Lg x логарифм: IIS 7.0 Detailed Error — 404.11

lg 1 = 0 ; lg 10 = 1 ; lg 100 = 2 {displaystyle lg ,1=0;,lg ,10=1;,lg ,100=2} lg 1000000 = 6 ; lg 0 , 1 = − 1 ; lg 0,001 = − 3 {displaystyle lg ,1000000=6;,lg ,0{,}1=-1;,lg ,0{,}001=-3}

В зарубежной литературе, а также на клавиатуре калькуляторов встречаются и другие обозначения десятичного логарифма: log , Log , Log10 {displaystyle operatorname {log} ,operatorname {Log} ,operatorname {Log10} } , причём следует иметь в виду, что первые 2 варианта могут относиться и к натуральному логарифму.

Алгебраические свойства

В нижеследующей таблице предполагается, что все значения положительны:

Существует очевидное обобщение приведённых формул на случай, когда допускаются отрицательные переменные, например:

lg ⁡ | x y | = lg ⁡ ( | x | ) + lg ⁡ ( | y | ) , {displaystyle lg |xy|=lg(|x|)+lg(|y|),} lg | x y | = lg ⁡ ( | x | ) − lg ⁡ ( | y | ) , {displaystyle lg !left|{frac {x}{y}} ight|=lg(|x|)-lg(|y|),}

Формула для логарифма произведения без труда обобщается на произвольное количество сомножителей:

lg ⁡ ( x 1 x 2 … x n ) = lg ⁡ ( x 1 ) + lg ⁡ ( x 2 ) + ⋯ + lg ⁡ ( x n ) {displaystyle lg(x_{1}x_{2}dots x_{n})=lg(x_{1})+lg(x_{2})+dots +lg(x_{n})}

Вышеописанные свойства объясняют, почему применение логарифмов (до изобретения калькуляторов) существенно облегчало вычисления. Например, умножение многозначных чисел x , y {displaystyle x,y} с помощью логарифмических таблиц производилось по следующему алгоритму:

Деление, которое без помощи логарифмов намного более трудоёмко, чем умножение, выполнялось по тому же алгоритму, лишь с заменой сложения логарифмов на вычитание. Аналогично производились возведение в степень и извлечение корня.

Связь десятичного и натурального логарифмов:

ln ⁡ x ≈ 2,302 59   lg ⁡ x ; lg ⁡ x ≈ 0,434 29   ln ⁡ x {displaystyle ln xapprox 2{,}30259 lg x;quad lg xapprox 0{,}43429 ln x}

Знак логарифма зависит от логарифмируемого числа: если оно больше 1, логарифм положителен, если оно между 0 и 1, то отрицателен. {-2} imes 1{,}2)=-2+lg ,1{,}2approx -2+0{,}079181=-1{,}920819}

Чтобы унифицировать действия с положительными и отрицательными логарифмами, у последних целая часть (характеристика) надчёркивалась сверху:

lg 0,012 ≈ − 2 + 0,079 181 = 2 ¯ , 079181 {displaystyle lg ,0{,}012approx -2+0{,}079181={ar {2}}{,}079181}

Мантисса логарифма, выбираемая из таблиц, при таком подходе всегда положительна.

Функция десятичного логарифма

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим функцию десятичного логарифма: y = lg x . {displaystyle y=lg ,x.} Она определена при всех x > 0. {displaystyle x>0.} Область значений: E ( y ) = ( − ∞ ; + ∞ ) {displaystyle E(y)=(-infty ;+infty )} . График этой кривой часто называется логарифмикой.

Функция монотонно возрастает, непрерывна и дифференцируема всюду, где она определена. Производная для неё даётся формулой:

d d x lg x = lg e x {displaystyle {frac {d}{dx}}lg ,x={frac {lg ,e}{x}}}

Ось ординат ( x = 0 ) {displaystyle (x=0)} является вертикальной асимптотой, поскольку:

lim x → 0 + 0 lg x = − ∞ {displaystyle lim _{x o 0+0}lg ,x=-infty }

Применение

Логарифмы по основанию 10 до изобретения в 1970-е годы компактных электронных калькуляторов широко применялись для вычислений. Как и любые другие логарифмы, они позволяли многократно упростить и облегчить трудоёмкие расчёты, заменяя умножение на сложение, а деление на вычитание; аналогично упрощались возведение в степень и извлечение корня. Но десятичные логарифмы обладали преимуществом перед логарифмами с иным основанием: целую часть логарифма числа x {displaystyle x} (характеристику логарифма) [ lg ⁡ x ] {displaystyle [lg x]} легко определить.

• Если x ⩾ 1 {displaystyle xgeqslant 1} , то [ lg ⁡ x ] {displaystyle [lg x]} на 1 меньше числа цифр в целой части числа x {displaystyle x} . Например, сразу очевидно, что lg ⁡ 345 {displaystyle lg 345} находится в промежутке ( 2 , 3 ) {displaystyle (2,3)} .
• Если 0 < x < 1 {displaystyle 0<x<1} , то ближайшее к lg ⁡ x {displaystyle lg x} целое в меньшую сторону равно общему числу нулей в x {displaystyle x} перед первой ненулевой цифрой (включая ноль перед запятой), взятому со знаком минус. Например, lg ⁡ 0,001 4 {displaystyle lg 0{,}0014} находится в интервале ( − 3 , − 2 ) {displaystyle (-3,-2)} .

Кроме того, при переносе десятичной запятой в числе на n {displaystyle n} разрядов значение десятичного логарифма этого числа изменяется на n . {displaystyle n.} Например:

lg ⁡ 8314 , 63 = lg ⁡ 8,314 63 + 3 {displaystyle lg 8314{,}63=lg 8{,}31463+3}

Отсюда следует, что для вычисления десятичных логарифмов достаточно составить таблицу логарифмов для чисел в диапазоне от 1 {displaystyle 1} до 10 {displaystyle 10} . Такие таблицы, начиная с XVII века, выпускались большим тиражом и служили незаменимым расчётным инструментом учёных и инженеров.

Поскольку применение логарифмов для расчётов с появлением вычислительной техники почти прекратилось, в наши дни десятичный логарифм в значительной степени вытеснен натуральным. Он сохраняется в основном в тех математических моделях, где исторически укоренился — например, при построении логарифмических шкал.

Обратите внимание, что у всех приведенных в таблице чисел n {displaystyle n} одна и та же мантисса M {displaystyle M} , поскольку:

lg ⁡ ( n ) = lg ⁡ ( x × 10 C ) = lg ⁡ ( x ) + lg ⁡ ( 10 C ) = lg ⁡ ( x ) + C {displaystyle lg(n)=lg left(x imes 10^{C} ight)=lg(x)+lg left(10^{C} ight)=lg(x)+C} ,

где 1 < x < 10 {displaystyle 1<x<10} — значащая часть числа n {displaystyle n} .

История

Первые таблицы десятичных логарифмов опубликовал в 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс для чисел от 1 до 1000, с восемью (позже — с четырнадцатью) знаками. Поэтому за рубежом десятичные логарифмы часто называют бригсовыми. Но в этих и в последующих изданиях таблиц обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Георга Веги (1783) появилось только в 1852 году в Берлине (таблицы Бремикера).

В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при участии Л. Ф. Магницкого. В СССР выпускались несколько сборников таблиц логарифмов:

Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы. М.: Дрофа, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0. Таблицы Брадиса, издаваемые с 1921 года, использовались в учебных заведениях и в инженерных расчётах, не требующих большой точности. Они содержали мантиссы десятичных логарифмов чисел и тригонометрических функций, натуральные логарифмы и некоторые другие полезные расчётные инструменты.

• Исаев, Мансур Мустафаевич
• Переулок Костя Гордиенко
• Гурне-ан-Бре
• Альгайер, Зепп
• Малый Сурмет
• Решетнёв, Михаил Фёдорович
• Карпатский биосферный заповедник
• Фазлыев, Руслан Ренатович
• Ада (графиня Голландии)
• Еникеева, Диля Дэрдовна

4.3 — Свойства логарифмов

Изменение базовой формулы

Одна из дилемм заключается в том, что в вашем калькуляторе есть логарифмы только для двух оснований. Основание 10 (log) и основание e (ln). Что произойдет, если вы захотите узнать логарифм для какой-то другой базы? Вам не повезло?

№ Существует изменение базовой формулы для преобразования между различными базами. К найдите логарифмическую базу a, где a предположительно является некоторым числом, отличным от 10 или e , иначе вы бы просто воспользовались калькулятором,

Возьмите лог аргумента, разделенный на лог базы.

журнал _a x = (log _b x) / (log _b a)

Есть нет необходимости использовать базу 10 или базу и , но поскольку это два у вас есть на калькуляторе, это, вероятно, те два, которые вы собираетесь использовать больше всего. Я предпочитаю естественный журнал (ln состоит всего из 2 букв, а log — 3, плюс есть дополнительное преимущество, о котором я знаю из исчисления). База, которая вы используете не имеет значения, только то, что вы используете одну и ту же базу для обоих числитель и знаменатель.

log _a x = (log x) / (log a) = (ln x) / (ln a)

Пример: log ₃ 7 = (ln 7) / (ln 3)

Логарифмы в степени

Помните, что логарифмы являются показателями степени, поэтому свойства показателей степени свойства логарифмов.

Умножение

Каково правило при умножении двух значений с одним и тем же основанием вместе (х ² * х

лог продукта — это сумма логов.

log _a xy = log _a x + log _a y

Подразделение

Правило при делении двух значений с одинаковым основанием состоит в том, чтобы вычесть экспоненты. Следовательно, правилом деления является вычитание логарифмов.

логарифм частного — это разница логов.

log _a (x/y) = log _a x — log _а у

Возведение в силу

Когда вы возводите количество в степень, правило состоит в том, что вы умножаете показатели степени вместе. В этом случае один из показателей будет логарифмическим, а другой экспонентой будет мощность, до которой вы увеличиваете количество.

экспонента аргумента — это коэффициент логарифма.

log _a x ^r = r * log _a x

Мелодическая математика

Некоторые из приведенных выше утверждений очень мелодичны. То есть звучат хорошо. Это может помочь вам запомнить мелодическую математику, а не формулу.

• Журнал продукта представляет собой сумму логов
• Сумма журналов равна журналу продуктов
• логарифм частного представляет собой разность логарифмов
• Разница журналов равна журналу частного
• Показатель степени аргумента является коэффициентом журнала
• Коэффициент логарифма является показателем степени аргумента

Итак, последние два не такие мелодичные.

Распространенные ошибки

Я почти не решаюсь помещать здесь этот раздел. Кажется, когда я пытаюсь указать из ошибки, которую люди собираются сделать, что больше людей делают это.

• лог суммы НЕ является суммой логов. Сумма журналов — это журнал продукт. Журнал суммы не может быть упрощен.
  журнал _a (x + y) ≠ log _a x + журнал _и и
• лог разницы НЕ является разницей логов. Разница журналы — это журнал частного. Журнал разницы нельзя упростить.
  log _a (x — y) ≠ log _a x — журнал _и и
• Ан экспонента журнала НЕ является коэффициентом журнала. Только когда аргумент возводится в степень, можно ли показатель степени превратить в коэффициент. Когда весь логарифм возводится в степень, то его нельзя упростить.
  (лог. _a x) ^r
  ≠ r * журнал _a x
• журнал частного не является частным журналов. Частное журналов происходит от изменения базовой формулы. Журнал частного — это разница журналов.
  log _a (x / y) ≠ ( log _a x )/(журнал г)

журнал функций

А логарифмическая функция является обратной экспоненциальной функцией. Обратное функция получается путем замены x и y в функции. логарифмический функция может быть записана в виде x=a ^г
В в предыдущем разделе мы нарисовали уравнения этой формы.

Переписывание в логарифмической форме: когда мы записываем логарифмическую (или логарифмическую) функцию в виде x=a ^y , мы говорим, что она экспоненциальная. форма. Альтернатива логарифмическая форма написания y = log

Определение журнала: журнал _а х определяется как показатель степени нужно было поднять до, чтобы получить х.

• журнал ₃ 81 равно 4, так как 3 нужно возвести в 4-ю степень, чтобы получить 81
• журнал ₃ 3 ^m равно m, так как 3 нужно возвести в m-ю степень заказ на получение 3 ^м
• журнал _x x равно 1, так как x нужно возвести в 1-ю степень, чтобы получить х
• журнал _x 1 равно 0, так как x нужно возвести в нулевую степень, чтобы получить 1

х=а ^у    и  у = log _a x оба заявляют одно и то же отношения между х и у. Они оба указывают, что если вы поднимете до мощность у вы получите х. Нам нужно потренироваться конвертировать из одной формы к другому.

Решение Простые логарифмические уравнения: 90 156
Включено уравнения вида y = log _a х, где а или х неизвестные, возможно найти x, перейдя в экспоненциальную форму.

No related posts.