$\endgroup$
$\begingroup$
Скорее комментарий, чем ответ, но…
Для чего этот курс?
Если это класс исчисления, где вы изучили l’Hôpital или исчисление экспонент и логарифмов, то эти инструменты дадут вам ответ, детали которого можно увидеть в других ответах здесь.
С другой стороны, если это курс анализа, и вы хотите доказать его из первых принципов, например, вычислить производную логарифма, то этот ответ совершенно неприемлем, потому что он круговой. В этом случае вы можете использовать выпуклость экспоненты, если вы ее знаете, как здесь. Или, как вы упоминаете, вы пытались в своем вопросе доказать, что последовательность ограничена и увеличивается, как здесь. Я думаю, что неравенство Бернулли, биномиальная теорема, неравенство Дженсена или AM-GM (которые в основном являются одним и тем же свойством экспонент) также могут помочь вам в этом.
таким образом $$\lim_{n\to+\infty}a_n=\ln (2) $$
$\endgroup$
исчисление — Как доказать, что $\lim_{n \to\infty} \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}=0$
спросил
Изменено 7 лет, 2 месяца назад
Просмотрено 3к раз
$\begingroup$
Итак, ребята, как я могу оценить и доказать, что $$\lim_{n \to\infty} \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}=0.$$ Любые идеи приветствуются .
$n!!$ — это двойной факториал, как объясняется в этом посте о wolfram.
- исчисление
- пределы
- факториал
$\endgroup$
17
$\begingroup$ Вы можете заметить, что $$\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} = \prod_{k=1}^n \frac{2k-1}{2k}
= \prod_{k=1}^n \left(1-\frac{1}{2k}\right).
$$ 92 $$
Теперь, разделив на $2n+1$ и правую часть плюс квадратный корень из всего тождества, мы получим:
$$ {\ frac {(2n-1)!!}{(2n) !!}} < {\ frac {1}{\sqrt{2n+1}}}$$
Так как второй член имеет предел 0, когда n стремится к бесконечности, а левая часть положительна, мы получаем, что:
$$\lim_{n\to \infty} {\ frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}} = 0$$
$\endgroup$
$\begingroup$
Поскольку вы спрашиваете об идее, вы можете использовать свойство двойного факториала. Нажмите на данную ссылку, посмотрите уравнение $(9{2n}} = \frac{1}{\sqrt{\pi n}}$$
Chic стремится к нулю, когда $n$ становится $+\infty$
$\endgroup$
2
$\begingroup$
$\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!}=0\quad$ и $\quad\lim\limits_{n\to \ infty}\dfrac{(2n+1)!!}{(2n)!!}=\infty.