Лимиты как решать: Как решать пределы для чайников, примеры решений

Пределы с иррациональностями. Примеры раскрытия неопределённостей. Первая часть.

Высшая математика » Пределы » Пределы с иррациональностями » Первая часть

Первая часть

Вторая часть

Третья часть

Пределы, содержащие иррациональности (или, попросту говоря, корни) крайне популярны у составителей типовых расчётов и контрольных работ по высшей математике. Обычно рассматриваются три группы неопределённостей:

В данной теме мы рассмотрим все три перечисленные выше группы пределов с иррациональностями. Начнём с пределов, содержащих неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

Схема решения стандартных примеров такого типа обычно состоит из двух шагов:

• Избавляемся от иррациональности, вызвавшей неопределенность, домножая на так называемое «сопряжённое» выражение;
• При необходимости раскладываем выражение в числителе или знаменателе (или и там и там) на множители;
• Сокращаем множители, приводящие к неопределённости, и вычисляем искомое значение предела. 2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end{equation} $$

  Формул (1)-(5) вполне хватит для решения стандартных задач, к которым мы сейчас и перейдём.

  Пример №1

  Найти $\lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{7-x}-2}{x-3}$.

  Решение

  Найдём отдельно пределы числителя и знаменателя:

  $$ \begin{aligned} & \lim_{x\to 3}(\sqrt{7-x}-2)=\sqrt{7-3}-2=\sqrt{4}-2=0;\\ & \lim_{x\to 3} (x-3)=3-3=0. \end{aligned} $$

  В заданном пределе мы имеем неопределённость вида $\frac{0}{0}$. Раскрыть эту неопределённость нам мешает разность $\sqrt{7-x}-2$. Для того, чтобы избавляться от подобных иррациональностей, применяют умножение на так называемое «сопряжённое выражение». Как действует такое умножение мы сейчас и рассмотрим. Умножим $\sqrt{7-x}-2$ на $\sqrt{7-x}+2$:

  $$(\sqrt{7-x}-2)(\sqrt{7-x}+2)$$

  Чтобы раскрыть скобки применим формулу №1, подставив в правую часть упомянутой формулы $a=\sqrt{7-x}$, $b=2$:

  $$(\sqrt{7-x}-2)(\sqrt{7-x}+2)=(\sqrt{7-x})^2-2^2=7-x-4=3-x. $$

  Как видите, если умножить числитель на $\sqrt{7-x}+2$, то корень (т.е. иррациональность) в числителе исчезнет. Вот это выражение $\sqrt{7-x}+2$ и будет сопряжённым к выражению $\sqrt{7-x}-2$. Однако мы не вправе просто взять и умножить числитель на $\sqrt{7-x}+2$, ибо это изменит дробь $\frac{\sqrt{7-x}-2}{x-3}$, стоящую под пределом. Умножать нужно одовременно и числитель и знаменатель:

  $$ \lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{7-x}-2}{x-3}= \left|\frac{0}{0}\right|=\lim_{x\to 3}\frac{(\sqrt{7-x}-2)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}{(x-3)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}$$

  Теперь вспомним, что $(\sqrt{7-x}-2)(\sqrt{7-x}+2)=3-x$ и раскроем скобки. А после раскрытия скобок и небольшого преобразования $3-x=-(x-3)$ сократим дробь на $x-3$:

  $$ \lim_{x\to 3}\frac{(\sqrt{7-x}-2)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}{(x-3)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}= \lim_{x\to 3}\frac{3-x}{(x-3)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}=\\ =\lim_{x\to 3}\frac{-(x-3)}{(x-3)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}= \lim_{x\to 3}\frac{-1}{\sqrt{7-x}+2} $$

  Неопределенность $\frac{0}{0}$ исчезла. 2-3x+6}-\sqrt{5x-9}}=-6$.

  В следующей (второй) части рассмотрим ещё пару примеров, в которых сопряжённое выражение будет иметь иной вид, нежели в предыдущих задачах. Главное, помните, что цель использования сопряжённого выражения – избавиться от иррациональности, вызывающей неопределённость.

  Первая часть

  Вторая часть

  Третья часть

  Вернуться к списку тем

  Задать вопрос на форуме

  Записаться на занятия

  Онлайн-занятия по высшей математике

  Задачи с пределами и интегралами

  
  Если на вашем пути к получению заветного образования встал математический анализ, то встречи с пределами и интегралами не избежать, и к этой встрече лучше быть готовым. В конце концов, “предупрежден — значит вооружен”. Здесь вы найдете советы по борьбе c интегралами и пределами, которые могут грозить вам расстройством сна и настроения.
   

  1. Не начавши — думай, а начавши — делай

  Начнем с того, что иногда можно выдать ответ, ничего не решая. Достаточно внимательно взглянуть на задание, подумать, и применить некоторые удобные свойства.
   

  Трюк 1.
  Если под интегралом стоит нечетная функция , интегрируемая на отрезке :
  тогда интеграл на этом отрезке для этой функции равен 0:

   
  
   

  Например,
   

  Для четной функции можно использовать четность, чтобы упростить интеграл:

   
  
   

  Трюк 2.
  Если вам дали предел для дроби, где и знаменатель и числитель представляют собой многочлены одного порядка, то достаточно взглянуть на коэффициенты:

   
  
   

  2. Не делай из мухи слона

  Подумайте, а стоит ли раздувать проблему. Некоторые задачи решаются “в лоб”. Если вам дан предел, попытайтесь просто подставить число в функцию:

   
  
   

  3. Какие труды, такие и плоды

  Если вы хотите получать отличный результат, то поучить кое-что все-таки придется. Ни в коем случае, не стоит зубрить список из 200 интегралов и пределов. Однако, базовые интегралы и замечательные пределы выучить придется. Без отличного фундамента сложно построить надежный дом. Базовых интегралов и пределов не так уж и много, не поленитесь выучить их. Большинство интегралов и пределов на вашем пути будут лишь модификациями-мутантами, которые произошли от своих более простых предков. Поэтому, если не хотите остаться у разбитого корыта при сдаче экзамена или контрольных работ, посвятите пару часов на усвоение таких базовых интегралов и пределов как:

  
   

  4. Играй по правилам

  Решая задачи, не забывайте следовать правилам и свойствам, которые вам даны, такие, как:

   
  
   

  5. Не изобретай велосипед

  Многие умные люди уже придумали очень много фокусов задолго до вас. Пользуйтесь этим.
  Например, если решение “в лоб” не помогает, а пристальный взгляд не дает результатов, и у вас неопределенность вида или , то смело применяйте правило Лопиталя:

   
  
   

  Иногда удобно пользоваться теоремой «о двух милиционерах» или, как называют ее американцы, правилом сэндвича: если для всех , быть может, лишь за исключением , и , то .

  Так, например, если мы рассмотрим следующий предел:

   
  
   
  мы можем воспользоваться тем, что , и, следовательно,

   
  
   

  Так как , то

   
  
   

  6.Научись видеть лес за деревьями

  Большинство интегралов можно решить приведением к какому-нибудь простому или стандартному интегралу. И главное — уметь это увидеть и преобразовать интеграл, чтобы получить результат.
  Например:

   
  
   
  или

   
  
   
  Делаем замену :

   
  
   

  Ловкость рук (или зрения?) пригодится и при решении пределов.
   

  Для пределов с квадратным корнем, мы можем, например, вспомнить, что , затем умножить и поделить на одно и то же выражение:

   
  
   

  7. Терпение, терпение и еще раз терпение…

  Если вы проходите углубленный курс математического анализа, то вам могут выдать и совсем противные интегралы или пределы. Например:

   
  
   

  Как решать? Придется терпеливо применять интегрирование по частям несколько раз:
   
  
   

  А теперь остается подставить эти члены, учесть коэффициенты и упростить.
   

  Такие же приключения случаются с пределами, когда приходится «лопиталить до посинения».
   

  Как видите, не так страшны интегралы и пределы, как их описывают. Нужен свежий взгляд, базовые знания, немного смекалки и ловкость рук.
   

  Успехов! И помните, что мы всегда готовы Вам помочь с решением задач по матану! Заявку можно оставить здесь.
   

  Использование алгебраических подходов для оценки пределов

  Использование алгебраических подходов для оценки пределов

  Блок 1 – День 4

  Блок 1

  День 1

  День 2

  День 3

  День 4

  День 5

  День 6

  День 7

  День 8

  День 9

  День 10

  День 11

  День 12

  День 13

  День 14

  День 15

  День 16

  День 17

  День 18

  Все разделы

  ​Цели обучения​

  ​

  ​Критерии успеха

  • Я могу оценить предел, используя методы факторинга и находя «дыры» в графике.

  • Я могу оценить лимит, используя идентификаторы триггеров.

  • Я могу оценить предел, переписав сложную функцию как комбинацию более простых функций.

  ​

  Краткий план урока

  Упражнение: Участники, сможете ли вы решить это ограничение?

       

  ​

  ​

  ​

  Обзор

  На этом уроке учащиеся изучают различные стратегии оценки пределов. Соединение ограничений предметной области с поведением функции — одна из основных целей в этом упражнении. Учащиеся рассмотрят полезность выражений факторинга для нахождения пределов, а также используют основные тригонометрические тождества для преобразования предельных выражений в более удобную форму. Также исследуются умножение на сопряженное и изучение табличных данных на их калькуляторе. На протяжении всего урока мы подчеркиваем, что учащиеся знают, почему и когда тот или иной подход работает лучше всего, а не просто следуют заученной процедуре.

  ​

  Советы преподавателям

  Эти уроки предоставляют прекрасную возможность повторить многие алгебраические операции, которые студенты изучали на предыдущих уроках математики. А поскольку повторения тригонометрии никогда не бывает слишком много, учащиеся должны будут вычислить (или, по крайней мере, повторить) соотношения для шести основных тригонометрических функций. Свойства, используемые для окончательной оценки предела, интуитивно понятны большинству учащихся; это алгебра, необходимая для реализации свойств, которая отнимает большую часть времени и усилий учащихся.

  
  Когда в числителе и знаменателе дроби появляются общие множители, мы говорим «исключить один», чтобы указать, что члены упрощаются (сокращаются) до 1. Когда добавляются противоположные члены, мы говорим «обнулить», чтобы указать члены упростить (отменить) до нуля. Слово «отмена» неоднозначно и не требует от учащихся понимания того, почему термины исчезают из выражения!

  ​

  Exam Insights

  Предельные оценочные вопросы могут появляться в разделе множественного выбора экзамена AP, поэтому эффективный выбор правильной техники решения (см. Тему 1.7), а затем правильное выполнение алгебры сэкономит драгоценное время.

  ​

  Заблуждения учащихся

  Ограничения домена для кусочных функций могут быть сложными: подчеркните, что конкретное значение x может принадлежать домену только одного из определений. Поскольку мы еще только начали говорить о пределах, некоторые студенты могут все еще полагать, что функция, не определенная при x = c, не может иметь предела, когда x приближается к c.

  Оценка пределов с помощью числа Эйлера :: Marco Cetica

  Оценка пределов с помощью числа Эйлера :: Marco Cetica

  Марко Четика

  ---

  [домой] :: [о] :: [контакт]

  25.08.2021

  ---

  В исчислении есть много способов оценить (т. е. нахождение фактического значения) предел. Нет предпочтительного метода перед другим, вы должны изучить все из них и выберите правильный в соответствии с пределом, который вы пытаетесь решить.

  В этом руководстве мы увидим, как решать пределы, используя число Эйлера (\ (e \)). Прежде чем идти дальше, я предполагаю, что вы уже знаете формальное определение предела. как их решать (хотя бы самый простой) и основы алгебры.

  Число Эйлера

  ---

  Число Эйлера является иррациональным (его нельзя представить как отношение между двумя числами), трансцендентный (не является решением любого многочлена с рациональным коэффициентом) Число, открытое швейцарским математиком Якобом Бернулли при изучении финансовых проблем. Символ \( e \) сохраняется за Леонардом Эйлером. Наряду с \(\pi \), это один из самая распространенная математическая константа; это выглядит так: $$ е = 2,718281828459{+\infty} \frac{1}{n!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \dots + \frac{1}{n!} $$

  Доказательство существования \(е\)

  ---

  Приведем доказательство только первого определения.

  No related posts.