Линейное уравнение регрессии: Основы линейной регрессии

Вы можете скачать этот шаблон Excel с формулой регрессии здесь – Шаблон Excel с формулой регрессии

Пример № 1

Рассмотрим следующие две переменные x и y, вам необходимо выполнить расчет регрессии.

Решение:

Используя приведенную выше формулу, мы можем рассчитать линейную регрессию в excelЛинейная регрессия В ExcelЛинейная регрессия — это статистический инструмент Excel, который используется в качестве модели прогнозирующего анализа для изучения взаимосвязи между двумя наборами данных. Используя этот анализ, мы можем оценить взаимосвязь между зависимыми и независимыми переменными следующим образом.

У нас есть все значения в приведенной выше таблице с n = 5.

Теперь сначала вычислите точку пересечения и наклон для регрессии.

Расчет перехвата является следующим,

A = (628,33 * 88,017,46) — (519,89 * 106,206,14) / 5 * 88,017,46 — (519,89) ²

A = 0,52

.

b = (5 * 106 206,14) – (519,89 * 628,33) / (5 * 88 017,46) – (519,89) ²

b = 1,20

Давайте теперь введем значения в формулу регрессии, чтобы получить регрессию.

Отсюда линия регрессии Y = 0,52 + 1,20 * X 

Пример #2

Государственный банк Индии недавно ввел новую политику, связывающую процентные ставки по сберегательным счетам со ставками репо. Поэтому аудитор Государственного банка Индии хочет провести независимый анализ решений, принятых банком в отношении изменения процентной ставки, и того, были ли они изменены всякий раз, когда происходили изменения в ставке репо. Таким образом, ниже приводится сводная информация о ставке репо и процентной ставке по сберегательному счету Банка, которая преобладала в эти месяцы.

Аудитор Государственного банка Индии обратился к вам с просьбой провести анализ и представить его презентацию на следующей встрече. Используйте формулу регрессии и определите, изменилась ли ставка банка, как и когда она изменила ставку репо.

Решение:

Используя приведенную выше формулу, мы можем рассчитать линейную регрессию в Excel. Обращение с RepoRepoСоглашение об обратном выкупе или репо представляет собой краткосрочное заимствование для физических лиц, которые имеют дело с государственными ценными бумагами. Такое соглашение может заключаться между несколькими сторонами в трех типах: специализированная поставка, репо на хранении и репо с третьей стороной. Читать далее ставка как независимая переменная, то есть X, и учет ставки банка как зависимой переменной как Y.

У нас есть все значения в приведенной выше таблице с n = 6.

Теперь сначала вычислите точку пересечения и наклон для регрессии.

Расчет перехвата является следующим,

A = (24,17 * 237,69) — (37,75 * 152,06) /6 * 237,69 — (37,75) ²

A = 4,28

Расчет склона.

b = (6 * 152,06) — (37,75 * 24,17) / 6 * 237,69 — (37,75) ²

b = -0,04

Давайте теперь введем значения формул, чтобы получить цифру.

Следовательно, линия регрессии Y = 4,28 – 0,04 * X. Анализ:  Государственный банк Индии действительно следует правилу связывания своей ставки сбережений со ставкой репо, поскольку некоторое значение наклона указывает на взаимосвязь между ставка репо и ставка сберегательного счета банка.

Пример #3

Лаборатория ABC исследует рост и вес и хотела узнать, есть ли какая-либо взаимосвязь, например, по мере увеличения роста будет увеличиваться и вес. Итак, они собрали выборку из 1000 человек для каждой категории и нашли средний рост в этой группе.

Ниже приведены сведения, которые они собрали.

Вам необходимо выполнить расчет регрессии и прийти к выводу, что такие отношения существуют.

Решение:

Используя приведенную выше формулу, мы можем вычислить линейную регрессию в Excel. Рассматривая рост как независимую переменную, т.е. X, и вес как зависимую переменную как Y.

У нас есть все значения в приведенной выше таблице с n = 6

Теперь, во-первых, вычислите точку пересечения и наклон для регрессии.

Расчет перехвата является следующим образом,

A = (350 * 120,834) — (850 * 49 553) /6 * 120 834 — (850) ²

A = 68,63

Расчет склона — это следующее,

.

b = (6 * 49 553) – (850 * 350) / 6 * 120 834 – (850) ²

b = -0,07

Давайте теперь введем значения в формулу, чтобы получить цифру.

Отсюда линия регрессии Y = 68,63 – 0,07 * X

Анализ:  Существует значительная, меньшая взаимосвязь между ростом и весом, поскольку наклон очень низкий.

Релевантность и использование формулы регрессии

Когда коэффициент корреляции Коэффициент корреляцииКоэффициент корреляции, иногда называемый коэффициентом взаимной корреляции, является статистической мерой, используемой для оценки силы взаимосвязи между двумя переменными. Его значения варьируются от -1,0 (отрицательная корреляция) до +1,0 (положительная корреляция). Читать дальше показывает, что данные могут предсказывать будущие результаты. Наряду с этим, точечная диаграмма одного и того же набора данных выглядит как линейная или прямая линия. Можно использовать простую линейную регрессию, используя наилучшее соответствие, чтобы найти прогностическое значение или прогностическую функцию. Регрессионный анализ имеет множество применений в финансах, поскольку он используется в CAPM, модели ценообразования капитальных активовМодель ценообразования капитальных активовМодель ценообразования капитальных активов (CAPM) определяет ожидаемый доход от портфеля различных ценных бумаг с различной степенью риска. Он также учитывает волатильность конкретной ценной бумаги по отношению к рынку. Читать далее метод в финансах. Его можно использовать для прогнозирования доходов и расходов фирмы.

Рекомендуемые статьи

Эта статья представляет собой руководство по формуле регрессии. Здесь мы узнаем, как рассчитать регрессию, используя ее формулу, практические примеры и загружаемый шаблон Excel. Вы можете узнать больше о моделировании в Excel из следующих статей: –

• Формула коэффициента Джини Формула коэффициента ДжиниКоэффициент Джини или индекс Джини – это статистическая дисперсия, отражающая дисперсию доходов среди населения страны, т.е. страна. читать дальше
• Формула корреляции
• Расчет коэффициента вариации Расчет коэффициента вариацииКоэффициент вариации — это систематизированная мера дисперсии вероятностного или частотного распределения. Он определяется как отношение стандартного отклонения к среднему. читать далее
• Регрессия против ANOVA

Что такое линейная регрессия? — Recast

Линейная регрессия — один из самых известных и понятных алгоритмов в статистике и машинном обучении. Любой, у кого есть доступ к Excel или Google Sheets, может использовать линейную регрессию, но не позволяйте ее простоте и доступности обмануть вас — она необоснованно эффективна для решения длинного списка общих проблем, что делает ее рабочей лошадкой в ​​мире маркетинговой аналитики.

В этом посте вы увидите пример простой модели линейной регрессии и узнаете, как она работает, чтобы вы знали, как лучше всего использовать ее для получения информации из ваших маркетинговых данных. В этом посте вы узнаете:

• Как выглядит простая модель линейной регрессии в Excel / Google Таблицах
• Преимущества добавления дополнительных переменных с множественной линейной регрессией
• В чем разница между логистической и линейной регрессией
• Является ли линейной регрессия считается машинным обучением или просто статистика
• Что такое уравнение линейной регрессии и какие предположения мы делаем при его использовании
• Как использовать калькулятор линейной регрессии в Excel / Google Таблицах (+ бесплатный шаблон)
• Когда вместо этого имеет смысл использовать библиотеку Python SKLearn (+ бесплатный скрипт)

Вам не нужно много знать о статистике или математике, чтобы использовать линейную регрессию. Это введение в метод для начинающих, чтобы дать вам достаточно знаний, чтобы иметь возможность использовать его для решения бизнес-задач и понять, как лучше всего интерпретировать результаты проектов по науке о данных, которые вы делегируете своей команде.

Существует уже более 200 лет и изучается со всех сторон. К сожалению, это делает изучение линейной регрессии запутанным для новичка, потому что часто предполагается много предварительных знаний, а несколько имен используются взаимозаменяемо.

Простая модель линейной регрессии

В самом общем смысле линейная регрессия — это статистическая модель, которая предполагает наличие линейной зависимости между входными переменными (x) и одной выходной переменной (y). В частности, предполагается, что y можно вычислить из линейной комбинации входных переменных. Например, сумма, которую вы тратите на рекламу (x), влияет на количество продаж, которые вы получаете (y). Получив модель, мы можем оценить, сколько продаж вы получите на каждый доллар, потраченный на рекламу.

Формула линейной регрессии

Формула простой линейной регрессии с одной переменной x выглядит следующим образом:

y = B1*x + B0

Где

• y — количество продаж
• B1 — коэффициент рекламы , т. е. сколько продаж вы получите на каждый потраченный доллар
• x — сколько долларов вы потратите на рекламу
• B0 — сколько продаж вы получите, если потратите 0 долларов на рекламу

Когда коэффициент становится равным нулю, устраняет влияние этой переменной на модель. Если вы потратите ноль долларов на рекламу в течение одного месяца, модель предскажет базовый средний объем продаж или точку пересечения, представленную в формуле как B0.

Калькулятор линейной регрессии в Excel / Google Sheets

Если вы когда-либо строили линию тренда в Excel или Google Sheets, поздравляем, вы выполнили простую линейную регрессию! Отобразите уравнение на графике, и вы получите значения коэффициента (B1) и точки пересечения или константы (B0). Это, безусловно, самый простой способ запустить линейную регрессию, поэтому я предлагаю вам попробовать его сейчас, чтобы увидеть, насколько это просто, если вы еще этого не сделали.

Чтобы упростить понимание, мы создали калькулятор линейной регрессии в Google Sheets, который вы также можете загрузить в виде файла Excel. Он поставляется готовым с примерными данными, но вы можете вставить свои собственные, чтобы обновить диаграмму в шаблоне.

1. Перейдите по этой ссылке, чтобы получить пример данных (если у вас нет собственных)
2. Выберите все данные в двух столбцах, содержащих ваши переменные x и y.
3. Нажмите «Вставка» > «Диаграмма» > «Точечная диаграмма». Ваша переменная y должна быть на вертикальной оси
4. Добавьте линию тренда > Показать R2 > Показать уравнение для отображения формулы

Это то же уравнение регрессии, которое мы видели в предыдущем разделе, с моделью, оценивающей, что мы получаем 72,3 доллара в продажах на доллар, потраченный на рекламу (обе оси указаны в тысячах). Перехват или константа, то есть базовые продажи, которые мы получили бы без рекламы, оцениваются в 148 000 долларов.

Если мы хотим рассчитать, сколько продаж мы получим в неделю при еженедельном рекламном бюджете в 2000 долларов, мы можем подставить числа в уравнение, чтобы получить прогноз на основе модели.

72,3 * 2 + 148 = 292,6 тысячи долларов

Значение R2, равное 0,302, говорит нам, что эта модель может объяснить 30,2% данных о продажах, зная только сумму, потраченную на рекламу, что является относительно слабой корреляцией. Конечно, мы не можем полностью объяснить количество продаж, которое мы получим с помощью этой одной переменной — на продажи влияет множество различных факторов, таких как цена продукта или наличие праздника. Однако эта простая модель лучше, чем случайное угадывание, и на ее построение ушло очень мало времени и усилий.

Множественная линейная регрессия

При наличии одной входной переменной (x) метод называется простой линейной регрессией. Когда имеется несколько входных переменных, статистики называют этот метод множественной линейной регрессией.

В предыдущем разделе мы упоминали, что простая модель с одной переменной, представляющей сумму, потраченную на рекламу, не учитывает все факторы, влияющие на продажи. Если мы добавим дополнительные переменные x, мы сможем начать учитывать эти другие факторы и повысить точность нашей модели.

Для нескольких переменных мы больше не можем полагаться на линию тренда нашей диаграммы, поскольку каждая новая переменная представляет другое измерение. Мы можем работать с трехмерными диаграммами, но любые другие переменные не могут быть легко интерпретированы визуально. Теперь нам нужно перейти к использованию функции ЛИНЕЙН, предлагаемой как Excel, так и Google Sheets. Функция ЛИНЕЙН работает следующим образом:

ЛИНЕЙН(известные_y, [известные_x], [константа], [статистика])

Где

• известные_y — переменная y, которую мы пытаемся предсказать
• known_x — это несколько столбцов x, которые мы используем в качестве входных данных для нашей модели.
• const — хотим ли мы включить в нашу модель перехват или базовый уровень.

  Совет для профессионалов: при использовании функции ЛИНЕЙН результаты выводятся в обратном порядке! Самая первая ячейка в первой строке — это коэффициент для последней введенной вами переменной, и оттуда они продолжаются в обратном порядке. Последнее число в верхней строке — это коэффициент для отрезка или константа.

  1. Перейдите по этой ссылке, чтобы получить доступ к шаблону и данным примера
  2. Используйте функцию ЛИНЕЙН, введя столбец y и несколько столбцов x
  3. Поставьте 1 для параметров const и stats
  4. Вывод первой строки ваши коэффициенты
  5. Первое число слева в третьей строке — это значение R2 вашей модели

  В нашем примере мы видим, что наша модель намного лучше объясняет данные со значением R2 0,83. Также мы получаем кардинально обновленный коэффициент на рекламу. В нашей простой линейной регрессии он оценивался как 72,3 доллара продаж на один доллар, потраченный на рекламу, и теперь мы имеем более реалистичный коэффициент в 16 долларов. Коэффициент цены можно интерпретировать так: при увеличении цены продукта на 1 доллар мы теряем 17 000 долларов в продажах. Для праздника коэффициент означает, что мы зарабатываем 89 долларов.000 больше в праздники, чем не праздники. Наконец, в константе или перехвате говорится, что мы зарабатываем 415 000 долларов в среднем в неделю с учетом рекламы, цены и выходных.

  Уравнение линейной регрессии

  Рассчитать прогнозируемый объем продаж по нашей модели множественной регрессии немного сложнее, чем с помощью простой линейной регрессии, но это та же основная формула. У нас есть переменная y, которая является продажами, и B0, которая является константой или точкой пересечения, но на этот раз у нас есть несколько переменных x. Каждая переменная x умножается на соответствующую переменную B1, B2, B3, которая представляет собой коэффициент, затем эти значения складываются в конце.

  y = B3*x3 + B2*x2 + B1*x1 + B0

  Где

  • y количество продаж
  • B3 коэффициент для праздника, т. е. сколько продаж вы получаете, когда это праздник
  • B2 — коэффициент для цены, т. е. сколько продаж вы теряете из-за увеличения цены
  • B1 — коэффициент для рекламы, т. е. сколько продаж вы получаете на каждый потраченный доллар
  • x3 — независимо от того, праздник сейчас или нет
  • x2 — цена товара
  • x1 — сколько долларов вы потратите на рекламу
  • B0 — сколько продаж вы получите, если потратите 0 долларов на рекламу

  Если мы хотим сделать прогноз с помощью этой модели множественной линейной регрессии, мы просто подставим коэффициенты как мы сделали раньше, и найдите значение y.

  89 * 0 + -17 * 6,6 + 16 * 2 + 415 = 334,8 тысяч долларов

  Из коэффициентов мы знаем, что праздничные дни приносят дополнительную прибыль в размере 89 000 долларов, и каждый доллар повышения цены приводит к потере 17 000 долларов в продажах, но нам нужно введите гипотетические будущие значения, чтобы сделать этот прогноз. Если мы введем ноль для праздника, этот термин умножится на ноль, так что эта переменная не окажет влияния. Для цены давайте использовать среднее значение, которое составляло 6,6 доллара. Наконец, давайте предположим, что мы тратим 2000 долларов на рекламу. Мы также должны не забыть добавить базовые продажи из константы, которая составляла 415 000 долларов.

  Обыкновенный метод наименьших квадратов (OLS)

  Как Excel или Google Таблицы на самом деле строят вашу модель линейной регрессии? Он использует обычные наименьшие квадраты (OLS), самый популярный метод построения модели линейной регрессии. По сути, он рисует линию наилучшего соответствия между точками данных, которые у вас есть, сводя к минимуму разницу между тем, где проходит линия, и точкой на диаграмме.

  https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Linear_least_squares_example2.png

  Точнее, он минимизирует сумму квадратов разностей, то есть больше наказывает большие различия. Чем меньше различий, тем лучше модель соответствует данным. Результирующая модель может быть выражена простой формулой, особенно в случае простой линейной регрессии, в которой есть один регрессор в правой части уравнения регрессии.

  МНК — не единственный метод оценки и не всегда лучший метод оценки, но он самый популярный и работает во многих ситуациях, поэтому он стал стандартом де-факто. Есть несколько предположений, которые необходимы для того, чтобы OLS был лучшим оценщиком для использования, и большая часть работы статистика или специалиста по данным при использовании линейной регрессии заключается в манипулировании данными или обновлении модели для удовлетворения этих условий.

  Допущения линейной регрессии

  Линейная регрессия — хороший алгоритм по умолчанию, но он не является лучшим во всех ситуациях. Он делает четыре важных предположения о данных. Если одно или несколько из этих предположений нарушаются, то результаты нашей линейной регрессии могут быть ненадежными или даже вводящими в заблуждение.

  1. Линейная зависимость : Между каждой входной переменной x и выходной переменной y должна быть линейная зависимость.

  2. Независимость : Ошибки – разница между прогнозируемыми и фактическими значениями – должны быть независимыми. Например, не должно быть корреляции между ошибками в последовательные дни в модели временных рядов.

  3. Гомоскедастичность : Ошибки имеют постоянную дисперсию на каждом уровне x. Когда это предположение не выполняется, вы, как правило, видите «разветвление» ошибок с течением времени.

  4. Нормальность : Ошибки модели нормально распределены. т.е. они следуют распределению «колоколообразной кривой», когда вы наносите их на график.

  Существует множество методов борьбы с нарушениями этих допущений. Например, если одна из ваших переменных x не имеет линейной связи с расходами, вы можете преобразовать данные, прежде чем включать их в свою модель. Это довольно распространенный прием при работе с убывающей отдачей от рекламы. Ответ также может состоять в том, чтобы удалить некоторые переменные, добавить другие переменные или собрать больше данных.

  Байесовская линейная регрессия

  Традиционная линейная регрессия представляет собой частотный подход, где модель представляет собой комбинацию значений x. Другая школа мысли — байесовская, где регрессия формулируется с использованием распределений вероятностей. Значение y не оценивается как единственное значение, вместо этого мы получаем вероятности его возможных значений.

  Целью байесовской линейной регрессии является не поиск единственного «наилучшего» значения параметров модели, а определение наиболее вероятного диапазона значений параметров модели. Это может обеспечить большую гибкость, поскольку позволяет нам «сообщить» модели то, что мы знаем о вероятном диапазоне значений, которые следует учитывать, используя априорные модели. Например, с помощью байесовского моделирования маркетингового комплекса мы можем указать, что маркетинговый канал вряд ли приведет к отрицательным продажам.

  Байесовские методы позволяют провести экспертизу предметной области и дают нам оценку неопределенности в нашей модели. Если у нас нет хорошего представления о влиянии переменной, она будет иметь широкий «правдоподобный» диапазон. Используя моделирование методом Монте-Карло, мы можем учитывать это при составлении прогнозов и понимать вероятность потенциальных будущих результатов. Это может быть сложнее вычислить и использовать, чем OLS, но рекомендации лучше соответствуют нашей интуиции и тому, как мы на самом деле рассуждаем в реальном мире.

  Логистическая и линейная регрессия

  https://www.analyticsvidhya.com/blog/2020/12/beginners-take-how-logistic-regression-is-related-to-linear-regression/

  Линейная и логистическая регрессия похожи , поскольку они оба используют линейные уравнения для прогнозов. Однако функционал совершенно другой. Линейная регрессия используется для прогнозирования непрерывных переменных, таких как продажи или доход. Принимая во внимание, что логистическая регрессия используется для задач классификации, таких как прогнозирование того, нажмет ли пользователь на рекламный баннер или совершит покупку на веб-сайте. Для этого логистическая регрессия использует оценку максимального правдоподобия, а не обычный метод наименьших квадратов.

  Является ли линейная регрессия машинным обучением?

  Машинное обучение (МО) — это изучение компьютерных алгоритмов, которые могут автоматически улучшаться благодаря опыту и использованию данных, и считается подпадающим под категорию искусственного интеллекта. Машинное обучение в первую очередь связано с минимизацией ошибки модели или созданием максимально точных прогнозов, что часто достигается за счет объяснимости.

  Линейная регрессия была разработана в области статистики, но это не значит, что это не машинное обучение, поскольку относительно более новая область заимствует алгоритмы и методы из того, что было раньше. Линейная регрессия считается контролируемым алгоритмом машинного обучения, потому что модель учится на данных, как лучше всего соответствовать линии между независимыми (x) и зависимыми (y) переменными. В отличие от многих алгоритмов машинного обучения, линейная регрессия вполне объяснима и проста в использовании, поэтому она воспринимается как метод машинного обучения «начального уровня».

  История линейной регрессии

  • Лежандр публикует метод наименьших квадратов в 1805 г.
  • Гаусс публикует дополнительную информацию по этой теме в 1809 г. «регрессия» введена Гальтоном в 1885 г.
  • Фишер разъясняет некоторые допущения, необходимые в 1922 г.

    No related posts.