Линейное уравнение с двумя неизвестными: Линейное уравнение с двумя переменными и его график — урок. Алгебра, 7 класс.

Линейное уравнение с двумя переменными и его график (более сложные случаи) 7 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Напоминание теоретических основ

 

Напомним, что линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида

 

Мы научились строить графики подобных уравнений и узнали, что они имеют бесчисленное множество решений – пар чисел х и у, которые на графике отображаются в виде точек.

В предыдущих задачах нам было задано уравнение, но как и все другие – линейное уравнение с двумя переменными это математическая модель некоторой реальной ситуации. Теперь рассмотрим такие задачи, в которых нужно для простейшей задачи составить уравнение – математическую модель, а затем его решить.

 

Решение текстовой задачи

 

 

Пример 1:

 

Сумма двух чисел равна четырем. Построить математическую модель, то есть соответствующее линейное уравнение, и его график.

Пусть искомые числа это х и у, сумма их равна четырем:

 – линейное уравнение с двумя переменными. Построим график, для этого составим таблицу, для контроля возьмем три точки, а не две:

х	0	4	2
у	4	0	2

Решение задачи сведено в таблицу:

Словесная модель	Сумма двух чисел равна четырем
Алгебраическая модель	,
Геометрическая модель

Следующая группа задач связана с тем, что в одной задаче могут участвовать два линейных уравнения.

 

Решение задачи на два уравнения

 

 

Пример 2:

 

Графически найти точку пересечения прямых  и

Обе прямые являются графиками соответствующих уравнений, построим их. Для этого составим таблицы. Для удобства представим уравнение в следующем виде:

х	0	-1
у	1	0

х	0	2
у	4	0

Графически найдена точка пересечения А(1; 2)

Чтобы проверить, что точка А(1; 2) удовлетворяет обоим уравнениям, нужно подставить ее координаты в уравнения:

;

точка А удовлетворяет обоим уравнениям, значит, точка пересечения прямых найдена верно.

 

Решение уравнения с параметрами

 

 

Следующий тип задач – это задачи с параметрами.

 

Пример 3:

Найдите значение коэффициента  в уравнении , если известно, что решением уравнения является пара чисел (3; 2)

Ранее у нас было задано или мы сами составляли линейное уравнение с известными коэффициентами, в данном случае один из коэффициентов неизвестен, но дано одно из решений уравнения, то есть пара значений х и у, удовлетворяющих уравнению. Чтобы найти параметр  подставим данные значения в уравнение:

итак, исходное уравнение имеет вид:

 

Выводы по уроку

 

 

Итак, мы рассмотрели линейное уравнение с двумя неизвестными:

 

Отметим, что в случае, если , мы получаем частный случай данного уравнения – уравнение с одной переменной:

Аналогично если  мы получим линейное уравнение с одной переменной:

Вывод: в данном уроке мы рассмотрели более сложные задачи на линейные уравнения с двумя переменными, в частности текстовые задачи, уравнения с параметрами, задачи на два уравнения. Кроме того мы закрепили знание понятий и терминов.

 

Список рекомендованной литературы

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ 
3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Интернет-портал Nado5.ru (Источник).
2. Портал для семейного просмотра (Источник).
3. Интернет-портал Nado5.ru (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Задание 1: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 980, ст.212;
2. Задание 2: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 981, ст.212;
3. Задание 3: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 986, ст.212;

 

Линейные уравнения с двумя переменными и их системы

Используй поиск, чтобы найти научные материалы и собрать список литературы

База статей справочника включает в себя статьи написанные экспертами Автор24, статьи из научных журналов и примеры студенческих работ из различных вузов страны

Содержание статьи

1. Линейные уравнения с двумя переменными

2. График линейного уравнения с двумя переменными

3. Системы линейных уравнений с двумя переменными

4. Пример решения задачи с использованием понятия линейных уравнений с двумя переменными

Линейные уравнения с двумя переменными

Определение 1

Уравнение вида $ax+by=c$, где $x\ и\ y$ — неизвестные переменные, а $a,\ b\ и\ c$ — некоторые числа, причем $a\ и\ b$ отличны от нуля, называется линейным уравнением с двумя переменными.

Пример 1

$4x+2y=4$ — линейное уравнение с двумя переменными.

Определение 2

Пара чисел называется решением линейного уравнения с двумя переменными, если при их подстановке в уравнение получается верное равенство.

Пример 2

Пара чисел $(1,\ \ 2)$ является решением линейного уравнения $2x+y=4$.

Свойства линейных уравнений с двумя переменными:

1. К уравнению можно прибавлять с обоих сторон и вычитать из обоих сторон одно и тоже число.

2. Уравнение можно умножать и делить с обоих сторон на одно и тоже, отличное от нуля, число.

Пример 3

Уравнения

\[2x+y=4\] \[2x+y+1=5\] \[3(2x+y+1)=15\]

являются равносильными.

График линейного уравнения с двумя переменными

Определение 3

Графиком линейного уравнения с двумя переменными является множество всех точек, которые является решением данного линейного уравнения.

Пример 4

Построим график линейного уравнения $2x-y=-3$

Для этого сначала выразим переменную $y$ через $x$:

\[y=2x+3\]

Видим, что мы получили уравнение линейной функции.

Найдем две точки, принадлежащие данной функции. Пусть $x=1$, тогда $y=5$. Пусть $x=-1$, тогда $y=1$. Проведем прямую через точки $\left(-1,1\right)\ и\ (1,\ 5)$. Получим

Рисунок 1.

Системы линейных уравнений с двумя переменными

Определение 4

Системой линейных уравнений с двумя переменными называется такая система уравнений, которая в своем составе имеет два и более линейных уравнений с двумя переменными.

Определение 5

Решением системы линейных уравнений называется такая пара чисел, которая является решением всех уравнений, входящих в данную систему.

В дальнейшем будем рассматривать системы из двух линейных уравнений с двумя переменными.

Рисунок 2.

Как мы уже знаем, график каждого из данных уравнений является линейной функцией, а решение любой системы уравнений — пересечение графиков функции каждого из уравнений. Поэтому система двух линейных уравнений с двумя переменными может иметь либо одно решение (в случае, когда прямые пересекутся (рис. 3)) и не иметь решений совсем (если прямые параллельны друг другу(рис. 4))

Рисунок 3. Система имеет 1 решение

Рисунок 4. Система решений не имеет

Пример решения задачи с использованием понятия линейных уравнений с двумя переменными

Пример 5

Найти графическое решение уравнения $x-y=1$

Решение:

Вначале выразим переменную $y$ через $x$:

\[y=x-1\]

Видим, что мы получили уравнение линейной функции.

Найдем две точки, принадлежащие данной функции. Пусть $x=1$, тогда $y=0$. Пусть $x=0$, тогда $y=-1$. Проведем прямую через точки $\left(1,0\right)\ и\ (0,\ -1)$. Получим

Рисунок 5.

Это и есть графический вид решения системы с двумя переменными.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 04.03.2022

Выполнение любых типов работ по математике

Решение задач по комбинаторике на заказ Решение задачи Коши онлайн Математика для заочников Контрольная работа на тему числовые неравенства и их свойства Контрольная работа на тему умножение и деление рациональных чисел Контрольная работа на тему действия с рациональными числами Дипломная работа на тему числа Курсовая работа на тему дифференциальные уравнения Контрольная работа на тему приближенные вычисления Решение задач с инвариантами

Подбор готовых материалов по теме

Дипломные работы Курсовые работы Выпускные квалификационные работы Рефераты Сочинения Доклады Эссе Отчеты по практике Решения задач Контрольные работы

Линейные уравнения с двумя переменными

%PDF-1. 4 % 332 0 объект >/Metadata 503 0 R/OCProperties>/OCGs[511 0 R]>>/OpenAction[334 0 R/XYZ null null null]/PageLabels 327 0 R/PageMode/UseNone/Pages 330 0 R/PieceInfo>>>/ StructTreeRoot 333 0 R/Тип/Каталог>> эндообъект 510 0 объект >/Шрифт>>>/Поля 515 0 R>> эндообъект 503 0 объект >поток Acrobat Distiller 5.0 (Windows)2001-11-07T10:53:17-06:002013-04-18T09:55:40-05:002013-04-18T09:55:40-05:00Acrobat PDFMaker 5.0 для приложения Word/pdf

SLAC

Линейные уравнения с двумя переменными

UUID: 3e5558cf-6c17-43cd-99e8-d5dab2c5bee6uuid: e7c39ebf-b17b-4090-a19a-94dd0b2a8779 конечный поток эндообъект 327 0 объект > эндообъект 330 0 объект > эндообъект 333 0 объект > эндообъект 18 0 объект > эндообъект 301 0 объект > эндообъект 17 0 объект > эндообъект 302 0 объект [16 0 Р 20 0 Р 21 0 Р 24 0 Р 25 0 Р 26 0 Р 27 0 Р 28 0 Р 290 R 30 0 R 31 0 R 32 0 R 33 0 R 34 0 R 34 0 R 33 0 R 35 0 R 36 0 R 37 0 R 38 0 R 39 0 R 40 0 ​​R 42 0 R 44 0 R 46 0 R 47 0 Р 48 0 Р 49 0 Р 50 0 Р 51 0 Р 72 0 Р 73 0 Р 74 0 Р 75 0 Р 76 0 Р 77 0 Р 78 0 Р 79 0 Р 80 0 Р 81 0 Р 82 0 Р 83 0 Р 84 0 Р 85 0 Р 86 0 Р 87 0 Р 88 0 Р 52 0 Р 53 0 Р 54 0 Р 55 0 Р 56 0 Р 57 0 Р 59 0 Р 58 0 Р 60 0 Р 61 0 Р 62 0 Р 64 0 R 63 0 R 65 0 R 66 0 R 67 0 R 69 0 R 68 0 R 70 0 R 71 0 R] эндообъект 311 0 объект [90 0 Р 91 0 Р 90 0 Р 92 0 Р 93 0 Р 94 0 Р 95 0 Р 96 0 Р 97 0 Р 98 0 R 99 0 R 100 0 R 101 0 R 102 0 R 103 0 R 104 0 R 105 0 R 106 0 R 107 0 R 108 0 R 109 0 R 110 0 R 111 0 R 112 0 R 113 0 R 115 0 Р 116 0 Р 118 0 Р 299 0 Р 299 0 Р 113 0 Р 110 0 Р] эндообъект 317 0 объект [120 0 R 122 0 R 124 0 R 161 0 R 162 0 R 163 0 R 164 0 R 165 0 R 166 0 R 167 0 R 168 0 R 169 0 R 170 0 R 171 0 R 172 0 R 173 0 R 174 0 R 125 0 R 126 0 R 127 0 R 128 0 R 129 0 R 130 0 R 130 0 R 129 0 R 131 0 R 132 0 R 133 0 R 134 0 R 135 0 R 136 0 R 137 0 R 138 0 R 140 0 R 140 0 R 139 0 R 141 0 R 142 0 R 143 0 R 144 0 R 145 0 R 146 0 R 148 0 R 148 0 R 147 0 R 1490 R 150 0 R 151 0 R 152 0 R 153 0 R 154 0 R 156 0 R 156 0 R 155 0 R 157 0 R 158 0 R 159 0 R 160 0 R 300 0 R] эндообъект 323 0 объект [176 0 R 177 0 R 178 0 R 180 0 R 181 0 R 182 0 R 184 0 R] эндообъект 176 0 объект > эндообъект 177 0 объект > эндообъект 178 0 объект > эндообъект 180 0 объект > эндообъект 181 0 объект > эндообъект 182 0 объект > эндообъект 184 0 объект > эндообъект 9 0 объект >/ExtGState>/Font>/ProcSet[/PDF/Text]/XObject>>>/Rotate 0/StructParents 3/Type/Page>> эндообъект 516 0 объект >поток HTo0>p

Алгебраические методы решения пары линейных уравнений с двумя переменными

Представим ситуацию, Анкита пошла на ярмарку в свою деревню. Ей хотелось кататься на аттракционах вроде Гигантского колеса и играть в шумиху (игра, в которой на предметы, хранящиеся в прилавке, бросают кольцо, и если кольцо полностью закрывает какой-либо предмет, игрок получает его). Количество раз, когда она играла в Hoopla, вдвое меньше, чем на Гигантском колесе. Если каждая поездка на гигантском колесе стоит 3 рупии, а игра в Hoopla стоит 4 рупии, выясните, сколько раз она каталась и сколько раз она играла в Hoopla при условии, что она потратила 20 рупий.0007

Для решения такой задачи первым делом нужно сформулировать ее в виде уравнений. Пусть x будет количеством раз, когда Анкита каталась на гигантском колесе, а y будет количеством раз, когда она играла в Hoopla. Уравнения примут вид:

x = 2y,

3x + 4y = 20.

Можем ли мы найти решение этой системы уравнений? Есть несколько способов поиска решений, давайте рассмотрим их подробно.

Пара линейных уравнений с двумя переменными

Уравнение, которое можно записать в виде ax + by + c = 0, где a, b и c — действительные числа, а a и b — ненулевые, называется линейное уравнение с двумя переменными x и y. Геометрически, если все точки, удовлетворяющие этому уравнению, нанесены на декартову плоскость. Он представляет собой линию.

Аналогично, система двух линейных уравнений представляет две прямые. Решение этой системы представляет собой точки, удовлетворяющие обоим уравнениям. Точки может быть либо нет, либо одна точка, либо бесконечно много точек.

Одно решение, нет решения и бесконечно много решений.

Алгебраические методы решения пары линейных уравнений 

Существует несколько методов алгебраического решения системы линейных уравнений, рассмотрим два из них: 

• Метод замены
• Метод исключения

Метод замены

Этот метод в основном состоит из двух шагов:

Шаг 1: Найдите значение одной переменной, т.е. x из любого уравнения, в зависимости от того, что удобно.

Шаг 2: Подставьте это значение y в другое уравнение и сведите его к уравнению с одной переменной, т. е. через x, которое можно решить.

Вопрос: Решите следующую систему уравнений:

7x — 15y = 2

x + 2y = 3

Решение:

9002 объяснено выше,

Мы выбираем уравнение для представления значения одной переменной через другие,

Давайте выберем, x = 3-2y (Это также удобно).

Подставьте значение x в другое уравнение.

7(3-2y) -15y = 2

⇒ 21 – 14y -15y = 2

⇒ 19 = 29y

⇒ y = 19/29

Теперь значение x становится равным 2 x(1 – 93 /29) = 3 – (38/29) = 49/29

Это решение также можно проверить, подставив оба значения в эти уравнения.  

Примечание: Мы заменили значение одной переменной, выразив его через другую переменную, чтобы решить проблему. Вот почему этот метод называется заменой.

Иногда, как в приведенном ниже примере, мы можем получить операторы без переменных. Если это утверждение верно, мы можем сказать, что пара линейных уравнений имеет бесконечно много решений. Если утверждение неверно, то пара линейных уравнений несовместна.

Вопрос: Анудж и Рахул купили в магазине канцелярские принадлежности. Ануж купил 2 карандаша и 3 ластика. Стоимость 2 карандашей и 3 ластиков составляла 9 рупий, и Рахул купил 4 карандаша и 6 ластиков. Стоимость 4 карандашей и 6 ластиков 18 рупий. Найдите стоимость каждого карандаша и каждой ластика.

Решение:

Пара линейных уравнений, составленная из приведенного выше описания, имеет вид это стоимость ластика.

x = 

Подставляем это значение в другое уравнение.

Это утверждение верно для всех значений y. Однако мы не получаем конкретного значения y в качестве решения. Поэтому мы не можем получить конкретное значение x. Эта ситуация возникла из-за того, что оба приведенных уравнения одинаковы. Следовательно, оба эти уравнения имеют бесконечно много решений.

Метод исключения

Этот метод в основном включает следующие шаги:

1. Умножьте оба уравнения на некоторые подходящие ненулевые константы и сделайте коэффициенты одной переменной (x или y) численно равными.
2. Сложите или вычтите одно уравнение из другого, чтобы исключить одну переменную. Если получено уравнение с одной переменной, переходим к шагу 5.
3. Если на шаге 2 мы получаем верное утверждение без переменной, то исходная пара уравнений имеет бесконечно много решений.
4. Если на шаге 2 мы получим ложное утверждение, не содержащее переменных, то исходная пара уравнений не имеет решения, т. е. несовместна.
5. Решите полученное уравнение с одной переменной (x или y), чтобы получить ее значение.
6. Подставьте это значение x (или y) в любое из исходных уравнений, чтобы получить значение другой переменной.

Вопрос 1: Найдите все возможные решения следующей системы уравнений методом исключения.

2x + 3y = 8 – (1)

4x + 6y = 7 – (2)

Решение:

Решение:

, Это сделает коэффициенты x в обоих уравнениях одинаковыми. Тогда мы получаем уравнения как:

4x + 6y = 16

4x + 6y = 7

Вычитая оба уравнения,

мы получаем 0 = 9

Это неверно. Таким образом, для этой системы линейных уравнений решения не существует.

Вопрос 2: Сумма двузначного числа и числа, полученного перестановкой цифр, равна 66. Если цифры числа отличаются на 2, найдите число. Сколько таких чисел?

Решение:

Пусть x и y — разряд десятков и единиц соответственно. Таким образом, первое число можно записать как 10x + y в расширенной форме (например, 56 = 10 (6) + 5).

(10x + y) + (10y + x) = 66,

т.е.⇒ 11(x + y) = 66

т. е. ⇒ x + y = 6

Также известно, что цифры отличаются на 2,

Итак, либо x – y = 2, либо y – x = 2. Рассмотрим оба случая, 

Случай 1: x – y = 2,

Подставив x = y + 2 в приведенное выше уравнение,

y + 2 + y = 6

⇒ 2y = 4

⇒ y = 2. Итак,

,

2 = 4 

Случай 2: y – x = 2, 

Подставляя y = x + 2 в приведенное выше уравнение, 

x + y = 6.

⇒ x + x + 2 = 6

⇒ 2x = 4

⇒ x = 2

y = 4.

Метод перекрестной мультипликации

Это один из методы определения решения линейного уравнения с двумя переменными, как известно, самый быстрый метод.

Предположим, пара линейных уравнений: 

a ₁ x + b ₁ y + c ₁ = 0

2 x _{9 20241 y + c 2 = 0}

Используя перекрестное умножение, мы можем найти значения «x» и «y»:

Вывод для перекрестного умножения 9 02020 0 9 x + b ₁ y + c ₁ = 0 ⇢(1)

a ₂ x + b ₂ y + c ₂ = 0 ⇢ 2 ⇢ 2 9000 9000 9000 в уравнении (1) и b ₁ в уравнении (2):

a ₁ b ₂ x + b ₁ b ₂ y + c ₁ b ₂ = 0 ⇢(3)

a ₂ b ₁ x + b ₁ b ₂ y + c ₂ b ₁ = 0 ⇢(4)

Вычитание уравнения (4) из уравнения (3) даст значения x и y как

Легкая техника для понимания формул понижающие коэффициенты в исходной форме:

a ₁     b ₁     c ₁

A ₂ B ₂ C ₂

Игнорируйте коэффициенты x и перекрестные умножения.