Линейные неравенства с параметрами – Неравенства с параметром

Линейная функция в задачах с параметром. Видеоурок. Алгебра 11 Класс

В данном уроке мы рассмотрим задачи с параметром и линейной функцией, приведем примеры.

Тема: Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств

Урок: Линейная функция в задачах с параметром

Напомним смысл выражения «решить с параметром» – можно решать уравнения, неравенства, системы с параметром.

Решить задачу, например, уравнение  или неравенство  с параметром а – означает «перебрать» все значения параметра и для каждого из них указать ответ.

Поясним на конкретных примерах.

Пример 1 – решить линейное уравнение с параметром:

Если бы мы знали конкретное значение параметра, мы могли бы легко решить уравнение, разделив свободный член на коэффициент при х. Поэтому, чтобы решить заданное уравнение с параметром, необходимо сначала собрать все члены с х в одной части уравнения, а все остальные члены – в другой:

Вынесем в левой части общий множитель за скобки:

Разложим на множители по формуле разности квадратов:

теперь можно было бы разделить правую часть на коэффициент при х, деление можно выполнить, когда коэффициент не равен нулю, но он зависит от параметра а. В данном случае коэффициент равен нулю при . То есть нужно рассмотреть три случая, таким образом перебрать все значения параметра:

Ответ: при ; при ; при  

 

Решенный пример подтверждает известную специфику линейного уравнения или системы линейных уравнений. Она заключается в том, что такое уравнение или система может иметь единственное решение, бесчисленное множество решений или вовсе не иметь решений.

 

Рассмотрим линейные неравенства с параметром.

Пример 2 – решить линейное неравенство с параметром:

Аналогично решению уравнения, переносим члены с х в одну сторону и преобразовываем:

Теперь мы можем делить на коэффициент перед х, рассмотрим три случая – коэффициент положителен, равен нулю и отрицателен:

Ответ: при  ;

при  ;

при  

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с параметром.

Пример 3 – решить систему уравнений с параметром:

Выразим во втором уравнении х и подставим в первое уравнение:

Получили одно линейное уравнение с одной неизвестной, упрощаем его:

Таким образом, в результате преобразований получена система:

Теперь необходимо решить первое уравнение системы. При этом нужно рассмотреть случаи, когда коэффициент перед у равен нулю и не равен нулю:

Ответ: при  ; при  система не имеет решений; при  

Рассмотрим подробнее случай, когда заданная система не имеет решений, то есть когда , подставим значение а в уравнения системы:

Поделим первое уравнение на два:

Получено явное противоречие, очевидно, что система не имеет решений.

Выразим в обоих уравнениях у:

Проиллюстрируем:

Рис. 1. Графики функций  и

Прямые параллельны, и система не имеет решений.

Итак, мы рассмотрели решение различных задач с параметром и линейной функцией, далее перейдем к задачам с параметром и квадратичной функцией.

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

  

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Tutoronline.ru (Источник).

2. Параметры (Источник).

 

Домашнее задание

1. Решить уравнение с параметром:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

2. Решить неравенство с параметром:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

3. Решить систему уравнений с параметром:

а)  

б)

interneturok.ru

План-конспект урока по алгебре (7 класс) по теме: Линейные неравенства с параметрами

Урок по теме  «Линейные   неравенства   с   параметрами»

Каждое из неравенств  вида Ах > В,  Ах  

Пример 1.      Неравенство (m-1) х  

При m=1 оно принимает вид:    

что верно при  любом   действительном  значении  х.

При m > 1  получим   х

 х > (5m)/ (m-1).

Рассмотрим  пример неравенства, приводимого к  линейному.

Пример 2.   Пусть требуется решить относительно х

            (2х-5)/(m-1) –(Х+7)/3  ≤  (3х-2m)/2(m-1).              (1)

При m=1 это неравенство не имеет смысла.

При m >1 ,то есть при m-1 > 0 неравенство (1) равносильно неравенству

         6(2х-5)- 2(m-1)(х+7) ≤3(3х-2m),

или                           (2m-5)х≥-8(m+2).                               (2)

Отсюда, при m>2,5 получим х ≥ -8(m+2)/2m-5;

При 1

При  m=2,5 неравенство (2) принимает вид:

0х ≥-36,

то есть х-любое действительное число.

Если m

6(2х-5)-2(m-1)(х+7)≥3(3х-2m)

или                                    (2m-5)х≤-8(m+2),

равносильное  неравенству(1).

Отсюда х≥-8(m+2)/(2m-5),так как 2m-5

Таким  образом, мы получили ответ:

При m2,5  х≥-8(m+2)/2m-5;

При 1

При m=2,5  х -любое  действительное число;

При m=1 неравенство (1) не имеет смысла.  

Пример 3.         2х-m/(m-2)(х+3) – m/(m-2)

По смыслу задачи m ≠2, х≠-3.

Несложные преобразования приводят к неравенству

                ((m-2)х-(6-7m))/(m-2)(х+3)>0,                                           (3а)  

или         х-((6-7m)/(m-2)) /(х+3) > 0,                                             (3б)

равносильному (3),сводящемуся к совокупности двух систем:

1)Х > (6-7m)  /  (m-2)  и  Х > -3

   2)х

Для выбора решения каждой из них сравним величины

(6-7m) /(m-2) и -3

Для этого рассмотрим разность

      (6-7m) /(m-2) –(-3)= - 4m /(m-2)

-4m /(m-2)0,т.е. при m2;

 -4m /(m-2)=0 при m=0;

-4m /(m-2)>0 при 4m /(m-2)

Следовательно,

     (6-7m) /(m-2) 2.

     (6-7m) /(m-2)≥ -3 при 0≤m

Ответ: При m2   - ∞

При 0≤m

 - ∞

Пример 4.  При каких значениях k неравенство

(к-1)х+2к+1>0                                                              (4)

верно при всех значениях х, удовлетворяющих условию -3≤х≤3.

Рассмотрим функцию f(х)=(к-1)х+2к+1.

Она является  линейной при любом действительном значении k, т.е. при любом действительном значении графиком ее служит прямая.(см.рис.)

 

 Из чертежа видно, что для выполнения неравенства (4) на всем отрезке  [-3;3] достаточно выполнения условия

f(-3)>0 и f(3)>0.

f(-3)=-3(k-1)+2k+1=4-k,

f(3)=3(k-1)+2k+1=5k-2

f(3)>0,f(-3) >0 при 4-к >0 и 5k-2>0, т.е. при 0,4

Упражнения.

  1. 3(2a-x)
  2. (a+2)x/(a-1)-2/3
  3. x/(x-2)
  4. (2х-1) /(m+1) –(х+1) /2(m-1)> (2х-3) /(m-1)
  5. (ах-3) /(х-3) – а/2
  6. ах / (а-2) –(х-1) /3

               

nsportal.ru

Уравнения и неравенства с параметрами

1. Линейное уравнение с параметром 2 вид - интерпретация лёгкое 4 Б.
Определить, при каких значениях параметра корень линейного уравнения равен 0, или уравнение не имеет корней.
2. Уравнение с модулем и параметром 2 вид - интерпретация лёгкое 7 Б. Решение уравнения с модулем и параметром.
3. Показательное уравнение с параметром 2 вид - интерпретация лёгкое 2 Б. Нахождение параметра.
4. Неравенство с модулем и параметром 2 вид - интерпретация лёгкое 7 Б. Решение неравенства с модулем и параметром.
5. Линейное уравнение с двумя параметрами 2 вид - интерпретация среднее 8 Б. Решение линейного уравнения с двумя параметрами.
6. Квадратичная функция с параметром 2 вид - интерпретация среднее 2 Б. Нахождение параметра.
7. Линейное неравенство с параметром 2 вид - интерпретация среднее 6 Б. Решение линейного неравенства с параметром.
8. Квадратичное неравенство с параметром 2 вид - интерпретация среднее 7 Б. Решение квадратичного неравенства с параметром.
9. Неравенство n-ой степени с параметром 2 вид - интерпретация среднее 3 Б. Неравенство с параметром. Чётная степень.
10. Линейное уравнение с параметром (с разложением на множители) 2 вид - интерпретация среднее 3 Б. Предлагается решить линейное уравнение с параметром (с разложением на множители) или выражения при неизвестном в левой части, или выражения в правой части.
11. Наименьшее целочисленное значение параметра 3 вид - анализ сложное 3 Б. Определяется наименьшее целочисленное значение параметра, при котором уравнение имеет два корня.
12. Логарифмическое неравенство с параметром 3 вид - анализ сложное 4 Б. Предлагается решить логарифмическое неравенство с параметром. Параметр находится в основании логарифма.
13. Показательное уравнение с параметром 3 вид - анализ сложное 4 Б. Определяется значение параметра, при котором показательное уравнение не имеет корней. Само уравнение не решается.

www.yaklass.ru

Уравнения и неравенства с параметрами

1. Линейное уравнение с параметром 1 вид - рецептивный лёгкое 4 Б. Определить при каких значениях параметра корень линейного уравнения равен 0 или уравнение не имеет корней.
2. Линейное уравнение с двумя параметрами 1 вид - рецептивный среднее 8 Б. Решение линейного уравнения с двумя параметрами.
3. Квадратичная функция с параметром 1 вид - рецептивный среднее 2 Б. Нахождение параметра.
4. Уравнение с модулем и параметром 1 вид - рецептивный лёгкое 7 Б. Решение уравнения с модулем и параметром.
5. Показательное уравнение с параметром 1 вид - рецептивный лёгкое 2 Б. Нахождение параметра.
6. Линейное неравенство с параметром 1 вид - рецептивный среднее 6 Б. Решение линейного неравенства с параметром.
7. Линейное неравенство с параметром 1 вид - рецептивный лёгкое 3 Б. Линейное неравенство с параметром в знаменателе.
8. Квадратичное неравенство с параметром 1 вид - рецептивный среднее 4 Б. Нахождение параметра.
9. Квадратичное неравенство с параметром 1 вид - рецептивный среднее 7 Б. Решение квадратичного неравенства с параметром.
10. Неравенство с модулем и параметром 1 вид - рецептивный лёгкое 7 Б. Решение неравентво с модулем и параметром.
11. Неравенство n-ой степени с параметром 1 вид - рецептивный среднее 3 Б. Неравенство с параметром. Четная степень.
12. "Ц-Уровень" Линейное уравнение с двумя неизвестными 3 вид - анализ сложное 4 Б. Решение линейного уравнения с двумя неизвестными в натуральных числах. (Уровень С).

www.yaklass.ru

Рабочая программа по элективному курсу "Линейные уравнения и неравенства с параметрами" (9 класс)

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Ярцевская средняя общеобразовательная школа №9»

___________ В.А. Курносенкова

Директор школы

___________ Е.А. Хайкова

________________ 2011г.

_____________ 2011г.

9 класс

«Линейные и дробно-линейные уравнения и неравенства с параметрами». Газета «Математика» №1-3 2010.

Приказ Министерства образования и науки РФ от 05.03.2004 № 379 «Об утверждении федерального компонента образовательного стандарта»

Учебник

Приказ Министерства образования и науки РФ от 24.12.2010 № 2080 «Об утверждении федеральных перечней учебников, рекомендованных (допущенных) к использованию в образовательном процессе в ОУ на 2011/2012 учебный год»

Ступень образования

Основное общее образование

Учитель: Изотова Валентина Александровна

Квалификационная категория: первая

Программа рассмотрена на заседании школьного методического объединения

учителей математики и информатики.

Протокол от 30 августа 2011г №1.

Руководитель ШМО В.А.Изотова

Пояснительная записка

Рабочая программа элективного курса составлена на основе авторской программы элективного курса Т. Овчинниковой «Линейные и дробно-линейные уравнения и неравенства с параметрами». Газета «Математика» №2 2010.

Курс предназначен для изучения в 9 классе и ориентирован на естественнонаучный профиль. Он поможет учащимся оценить свои способности к математике на повышенном уровне и сделать осознанный выбор профиля дальнейшего обучения.

Цели и задачи курса:

  • Изучение методов решения задач избранного класса и формирование умений, направленных на реализацию этих методов;

  • Сформировать у учащихся представление о задачах с параметрами как задачах исследовательского характера, показать их многообразие;

  • Научить применять аналитический метод в решении задач с параметрами;

  • Научить осуществлять выбор рационального метода решения задач и обосновывать сделанный выбор;

  • Повысить математическую культуру учащихся в рамках школьной программы по математике.

Учебно-тематический план (17 часов)

Количество часов

Форма организации занятия

Форма контроля

Теория

Практика

Введение

1

1

Вводная беседа, практикум

Диктант

Линейные уравнения с параметрами

1

2

Лекция, практикум

Самостоятельная работа

Системы линейных уравнений с параметрами

1

2

Лекция, практикум

Самостоятельная работа

Линейные неравенства с параметрами

1

1

Лекция, практикум

Самостоятельная работа

Дробно-линейные уравнения и неравенства с параметрами

2

3

Лекция, практикум, семинар

Домашняя контрольная работа

Контрольная работа

2

Итого

6

11

Ожидаемые результаты

В результате изучения курса учащиеся должны:

  • уметь решать линейные уравнения и неравенства с параметрами, системы двух и трех линейных уравнений с параметрами, дробно-линейные уравнения и неравенства с параметрами;

  • использовать в решении задач свойства линейной функции;

  • научиться решать дробно- линейные неравенства с помощью метода интервалов;

  • осуществлять выбор метода решения задачи и обосновывать его;

  • владеть техникой использования каждого метода.

Содержание

Тема 1.Введение (1ч)

Понятие о параметрах. Контрольные значения параметра. Постановка задач с параметрами. Понятие об основных методах решения задач с параметрами.

Тема 2. Линейные уравнения с параметрами (3ч)

Линейные уравнения и уравнения, приводимые к линейным уравнениям вида

ах = b, где а и b – параметры. При решении таких уравнений необходимо рассмотреть два случая: 1) а=0 , 2) а≠0.

Тема 3. Системы линейных уравнений с параметрами (3ч)

Системы линейных уравнений с двумя неизвестными. Решение систем методом подстановки или методом сложения. Число решений системы двух уравнений с двумя переменными.

Тема 4. Линейные неравенства с параметрами (3ч)

Решение неравенств, которые приводятся к линейным неравенствам вида

а х > b,где а и b- параметры. При решении таких неравенств необходимо рассматривать случаи: 1) а = 0, 2) а > 0, 3) a < 0. Метод интервалов. Использование метода интервалов при решении неравенств.

Тема 5. Дробно-линейные уравнения и неравенства с параметрами (5ч)

Решение дробно – линейного уравнения вида .

Использование равносильности

Решение дробно – линейного неравенства с помощью метода интервалов.

Контрольная работа по теме «Линейные и дробно-линейные уравнения и неравенства с параметрами» (2ч)

Рекомендуемая литература

1. Алгебра и начала анализа: Сборник задач для подготовки и проведения итоговой аттестации за курс средней школы/Под ред. С.А.Шестакова.- М.:МИОО, МЦНМО, Интерактивная линия,2002.

2. Амелькин В.В., Рабцевич В.Л.Задачи с параметрами: Справочное пособие по математике.- 2-е изд.-Минск:Асар,2002.

3. Вавилов В.В. и др.Задачи по математике. Алгебра: Справочное пособие.- М. Наука,1987.

4. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С.Задачи с параметрами.- 3-е изд., доп. и перераб.- Илекса; Харьков: Гимназия,2002.

5. Г усев В.А., Мордкович А.Г.Математика: Справочные материалы.- М.Просвещение,1988.

6. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. - Просвещение,1990.

7. Родионов Е.М. Математика. Решение задач с параметрами: Пособие для поступающих в вузы.- Изд-во НЦ ЭНАС,2006.

8. Смыкалова Е.В. Модули, параметры, многочлены. Учебное пособие для учащихся 8 – 9 классов.- СПб.: СМИО Пресс,2006.

infourok.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *