Линейная функция в задачах с параметром. Видеоурок. Алгебра 11 Класс
В данном уроке мы рассмотрим задачи с параметром и линейной функцией, приведем примеры.
Тема: Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств
Урок: Линейная функция в задачах с параметром
Напомним смысл выражения «решить с параметром» – можно решать уравнения, неравенства, системы с параметром.
Решить задачу, например, уравнение или неравенство с параметром а – означает «перебрать» все значения параметра и для каждого из них указать ответ.
Поясним на конкретных примерах.
Пример 1 – решить линейное уравнение с параметром:
Если бы мы знали конкретное значение параметра, мы могли бы легко решить уравнение, разделив свободный член на коэффициент при х. Поэтому, чтобы решить заданное уравнение с параметром, необходимо сначала собрать все члены с х в одной части уравнения, а все остальные члены – в другой:
Вынесем в левой части общий множитель за скобки:
Разложим на множители по формуле разности квадратов:
теперь можно было бы разделить правую часть на коэффициент при х, деление можно выполнить, когда коэффициент не равен нулю, но он зависит от параметра а. В данном случае коэффициент равен нулю при . То есть нужно рассмотреть три случая, таким образом перебрать все значения параметра:
Ответ: при ; при ; при
Решенный пример подтверждает известную специфику линейного уравнения или системы линейных уравнений. Она заключается в том, что такое уравнение или система может иметь единственное решение, бесчисленное множество решений или вовсе не иметь решений.
Рассмотрим линейные неравенства с параметром.
Пример 2 – решить линейное неравенство с параметром:
Аналогично решению уравнения, переносим члены с х в одну сторону и преобразовываем:
Теперь мы можем делить на коэффициент перед х, рассмотрим три случая – коэффициент положителен, равен нулю и отрицателен:
Ответ: при ;
при ;
при
Рассмотрим систему двух линейных уравнений с параметром.
Пример 3 – решить систему уравнений с параметром:
Выразим во втором уравнении х и подставим в первое уравнение:
Получили одно линейное уравнение с одной неизвестной, упрощаем его:
Таким образом, в результате преобразований получена система:
Теперь необходимо решить первое уравнение системы. При этом нужно рассмотреть случаи, когда коэффициент перед у равен нулю и не равен нулю:
Ответ: при ; при система не имеет решений; при
Рассмотрим подробнее случай, когда заданная система не имеет решений, то есть когда , подставим значение а в уравнения системы:
Поделим первое уравнение на два:
Получено явное противоречие, очевидно, что система не имеет решений.
Выразим в обоих уравнениях у:
Проиллюстрируем:
Рис. 1. Графики функций и
Прямые параллельны, и система не имеет решений.
Итак, мы рассмотрели решение различных задач с параметром и линейной функцией, далее перейдем к задачам с параметром и квадратичной функцией.
Список литературы
1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1. Tutoronline.ru (Источник).
2. Параметры (Источник).
Домашнее задание
1. Решить уравнение с параметром:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
2. Решить неравенство с параметром:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
3. Решить систему уравнений с параметром:
а)
б)
interneturok.ru
План-конспект урока по алгебре (7 класс) по теме: Линейные неравенства с параметрами
Урок по теме «Линейные неравенства с параметрами»
Каждое из неравенств вида Ах > В, Ах
Пример 1. Неравенство (m-1) х
При m=1 оно принимает вид:
0х
что верно при любом действительном значении х.
При m > 1 получим х
х > (5m)/ (m-1).
Рассмотрим пример неравенства, приводимого к линейному.
Пример 2. Пусть требуется решить относительно х
(2х-5)/(m-1) –(Х+7)/3 ≤ (3х-2m)/2(m-1). (1)
При m=1 это неравенство не имеет смысла.
При m >1 ,то есть при m-1 > 0 неравенство (1) равносильно неравенству
6(2х-5)- 2(m-1)(х+7) ≤3(3х-2m),
или (2m-5)х≥-8(m+2). (2)
Отсюда, при m>2,5 получим х ≥ -8(m+2)/2m-5;
При 1
При m=2,5 неравенство (2) принимает вид:
0х ≥-36,
то есть х-любое действительное число.
Если m
6(2х-5)-2(m-1)(х+7)≥3(3х-2m)
или (2m-5)х≤-8(m+2),
равносильное неравенству(1).
Отсюда х≥-8(m+2)/(2m-5),так как 2m-5
Таким образом, мы получили ответ:
При m2,5 х≥-8(m+2)/2m-5;
При 1
При m=2,5 х -любое действительное число;
При m=1 неравенство (1) не имеет смысла.
Пример 3. 2х-m/(m-2)(х+3) – m/(m-2)
По смыслу задачи m ≠2, х≠-3.
Несложные преобразования приводят к неравенству
((m-2)х-(6-7m))/(m-2)(х+3)>0, (3а)
или х-((6-7m)/(m-2)) /(х+3) > 0, (3б)
равносильному (3),сводящемуся к совокупности двух систем:
1)Х > (6-7m) / (m-2) и Х > -3
2)х
Для выбора решения каждой из них сравним величины
(6-7m) /(m-2) и -3
Для этого рассмотрим разность
(6-7m) /(m-2) –(-3)= — 4m /(m-2)
-4m /(m-2)0,т.е. при m2;
-4m /(m-2)=0 при m=0;
-4m /(m-2)>0 при 4m /(m-2)
Следовательно,
(6-7m) /(m-2) 2.
(6-7m) /(m-2)≥ -3 при 0≤m
Ответ: При m2 — ∞
При 0≤m
— ∞
Пример 4. При каких значениях k неравенство
(к-1)х+2к+1>0 (4)
верно при всех значениях х, удовлетворяющих условию -3≤х≤3.
Рассмотрим функцию f(х)=(к-1)х+2к+1.
Она является линейной при любом действительном значении k, т.е. при любом действительном значении графиком ее служит прямая.(см.рис.)
Из чертежа видно, что для выполнения неравенства (4) на всем отрезке [-3;3] достаточно выполнения условия
f(-3)>0 и f(3)>0.
f(-3)=-3(k-1)+2k+1=4-k,
f(3)=3(k-1)+2k+1=5k-2
f(3)>0,f(-3) >0 при 4-к >0 и 5k-2>0, т.е. при 0,4
Упражнения.
- 3(2a-x)
- (a+2)x/(a-1)-2/3
- x/(x-2)
- (2х-1) /(m+1) –(х+1) /2(m-1)> (2х-3) /(m-1)
- (ах-3) /(х-3) – а/2
- ах / (а-2) –(х-1) /3
nsportal.ru
| 1. | Линейное уравнение с параметром | 2 вид — интерпретация | лёгкое | 4 Б. | Определить, при каких значениях параметра корень линейного уравнения равен 0, или уравнение не имеет корней. |
| 2. | Уравнение с модулем и параметром | 2 вид — интерпретация | лёгкое | 7 Б. | Решение уравнения с модулем и параметром. |
| 3. | Показательное уравнение с параметром | 2 вид — интерпретация | лёгкое | 2 Б. | Нахождение параметра. |
| 4. | Неравенство с модулем и параметром | 2 вид — интерпретация | лёгкое | 7 Б. | Решение неравенства с модулем и параметром. |
| 5. | Линейное уравнение с двумя параметрами | 2 вид — интерпретация | среднее | 8 Б. | Решение линейного уравнения с двумя параметрами. |
| 6. | Квадратичная функция с параметром | 2 вид — интерпретация | среднее | 2 Б. | Нахождение параметра. |
| 7. | Линейное неравенство с параметром | 2 вид — интерпретация | среднее | 6 Б. | Решение линейного неравенства с параметром. |
| 8. | Квадратичное неравенство с параметром | 2 вид — интерпретация | среднее | 7 Б. | Решение квадратичного неравенства с параметром. |
| 9. | Неравенство n-ой степени с параметром | 2 вид — интерпретация | среднее | 3 Б. | Неравенство с параметром. Чётная степень. |
| 10. | 2 вид — интерпретация | среднее | 3 Б. | Предлагается решить линейное уравнение с параметром (с разложением на множители) или выражения при неизвестном в левой части, или выражения в правой части. | |
| 11. | Наименьшее целочисленное значение параметра | 3 вид — анализ | сложное | 3 Б. | Определяется наименьшее целочисленное значение параметра, при котором уравнение имеет два корня. |
| 12. | Логарифмическое неравенство с параметром | 3 вид — анализ | сложное | 4 Б. | Предлагается решить логарифмическое неравенство с параметром. Параметр находится в основании логарифма. |
| 13. | Показательное уравнение с параметром | 3 вид — анализ | сложное | 4 Б. | Определяется значение параметра, при котором показательное уравнение не имеет корней. Само уравнение не решается. |
www.yaklass.ru
| 1. | Линейное уравнение с параметром | 1 вид — рецептивный | лёгкое | 4 Б. | Определить при каких значениях параметра корень линейного уравнения равен 0 или уравнение не имеет корней. |
| 2. | Линейное уравнение с двумя параметрами | 1 вид — рецептивный | среднее | 8 Б. | Решение линейного уравнения с двумя параметрами. |
| 3. | Квадратичная функция с параметром | 1 вид — рецептивный | среднее | 2 Б. | Нахождение параметра. |
| 4. | Уравнение с модулем и параметром | 1 вид — рецептивный | лёгкое | 7 Б. | Решение уравнения с модулем и параметром. |
| 5. | Показательное уравнение с параметром | 1 вид — рецептивный | лёгкое | 2 Б. | Нахождение параметра. |
| 6. | Линейное неравенство с параметром | 1 вид — рецептивный | среднее | 6 Б. | Решение линейного неравенства с параметром. |
| 7. | Линейное неравенство с параметром | 1 вид — рецептивный | лёгкое | 3 Б. | Линейное неравенство с параметром в знаменателе. |
| 8. | Квадратичное неравенство с параметром | 1 вид — рецептивный | среднее | 4 Б. | Нахождение параметра. |
| 9. | Квадратичное неравенство с параметром | 1 вид — рецептивный | среднее | 7 Б. | Решение квадратичного неравенства с параметром. |
| 10. | Неравенство с модулем и параметром | 1 вид — рецептивный | лёгкое | 7 Б. | Решение неравентво с модулем и параметром. |
| 11. | Неравенство n-ой степени с параметром | 1 вид — рецептивный | среднее | 3 Б. | Неравенство с параметром. Четная степень. |
| 12. | «Ц-Уровень» Линейное уравнение с двумя неизвестными | 3 вид — анализ | сложное | 4 Б. | Решение линейного уравнения с двумя неизвестными в натуральных числах. (Уровень С). |
www.yaklass.ru
Рабочая программа по элективному курсу «Линейные уравнения и неравенства с параметрами» (9 класс)
Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
«Ярцевская средняя общеобразовательная школа №9»
___________ В.А. Курносенкова
Директор школы
___________ Е.А. Хайкова
________________ 2011г.
_____________ 2011г.
9 класс
«Линейные и дробно-линейные уравнения и неравенства с параметрами». Газета «Математика» №1-3 2010.Приказ Министерства образования и науки РФ от 05.03.2004 № 379 «Об утверждении федерального компонента образовательного стандарта»
Учебник
Приказ Министерства образования и науки РФ от 24.12.2010 № 2080 «Об утверждении федеральных перечней учебников, рекомендованных (допущенных) к использованию в образовательном процессе в ОУ на 2011/2012 учебный год»
Ступень образования
Основное общее образование
Учитель: Изотова Валентина Александровна
Квалификационная категория: первая
Программа рассмотрена на заседании школьного методического объединения
учителей математики и информатики.
Протокол от 30 августа 2011г №1.
Руководитель ШМО В.А.Изотова
Пояснительная записка
Рабочая программа элективного курса составлена на основе авторской программы элективного курса Т. Овчинниковой «Линейные и дробно-линейные уравнения и неравенства с параметрами». Газета «Математика» №2 2010.
Курс предназначен для изучения в 9 классе и ориентирован на естественнонаучный профиль. Он поможет учащимся оценить свои способности к математике на повышенном уровне и сделать осознанный выбор профиля дальнейшего обучения.
Цели и задачи курса:
Изучение методов решения задач избранного класса и формирование умений, направленных на реализацию этих методов;
Сформировать у учащихся представление о задачах с параметрами как задачах исследовательского характера, показать их многообразие;
Научить применять аналитический метод в решении задач с параметрами;
Научить осуществлять выбор рационального метода решения задач и обосновывать сделанный выбор;
Повысить математическую культуру учащихся в рамках школьной программы по математике.
Учебно-тематический план (17 часов)
Количество часов
Форма организации занятия
Форма контроля
Теория
Практика
Введение
1
1
Вводная беседа, практикум
Диктант
Линейные уравнения с параметрами
1
2
Лекция, практикум
Самостоятельная работа
Системы линейных уравнений с параметрами
1
2
Лекция, практикум
Самостоятельная работа
Линейные неравенства с параметрами
1
1
Лекция, практикум
Самостоятельная работа
Дробно-линейные уравнения и неравенства с параметрами
2
3
Лекция, практикум, семинар
Домашняя контрольная работа
Контрольная работа
2
Итого
6
11
Ожидаемые результаты
В результате изучения курса учащиеся должны:
уметь решать линейные уравнения и неравенства с параметрами, системы двух и трех линейных уравнений с параметрами, дробно-линейные уравнения и неравенства с параметрами;
использовать в решении задач свойства линейной функции;
научиться решать дробно- линейные неравенства с помощью метода интервалов;
осуществлять выбор метода решения задачи и обосновывать его;
владеть техникой использования каждого метода.
Содержание
Тема 1.Введение (1ч)
Понятие о параметрах. Контрольные значения параметра. Постановка задач с параметрами. Понятие об основных методах решения задач с параметрами.
Тема 2. Линейные уравнения с параметрами (3ч)
Линейные уравнения и уравнения, приводимые к линейным уравнениям вида
ах = b, где а и b – параметры. При решении таких уравнений необходимо рассмотреть два случая: 1) а=0 , 2) а≠0.
Тема 3. Системы линейных уравнений с параметрами (3ч)
Системы линейных уравнений с двумя неизвестными. Решение систем методом подстановки или методом сложения. Число решений системы двух уравнений с двумя переменными.
Тема 4. Линейные неравенства с параметрами (3ч)
Решение неравенств, которые приводятся к линейным неравенствам вида
а х > b,где а и b- параметры. При решении таких неравенств необходимо рассматривать случаи: 1) а = 0, 2) а > 0, 3) a < 0. Метод интервалов. Использование метода интервалов при решении неравенств.
Тема 5. Дробно-линейные уравнения и неравенства с параметрами (5ч)
Решение дробно – линейного уравнения вида .
Использование равносильности
Решение дробно – линейного неравенства с помощью метода интервалов.
Контрольная работа по теме «Линейные и дробно-линейные уравнения и неравенства с параметрами» (2ч)
Рекомендуемая литература
1. Алгебра и начала анализа: Сборник задач для подготовки и проведения итоговой аттестации за курс средней школы/Под ред. С.А.Шестакова.- М.:МИОО, МЦНМО, Интерактивная линия,2002.
2. Амелькин В.В., Рабцевич В.Л.Задачи с параметрами: Справочное пособие по математике.- 2-е изд.-Минск:Асар,2002.
3. Вавилов В.В. и др.Задачи по математике. Алгебра: Справочное пособие.- М. Наука,1987.
4. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С.Задачи с параметрами.- 3-е изд., доп. и перераб.- Илекса; Харьков: Гимназия,2002.
5. Г усев В.А., Мордкович А.Г.Математика: Справочные материалы.- М.Просвещение,1988.
6. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. — Просвещение,1990.
7. Родионов Е.М. Математика. Решение задач с параметрами: Пособие для поступающих в вузы.- Изд-во НЦ ЭНАС,2006.
8. Смыкалова Е.В. Модули, параметры, многочлены. Учебное пособие для учащихся 8 – 9 классов.- СПб.: СМИО Пресс,2006.
infourok.ru