ОглавлениеВВЕДЕНИЕЧасть первая.  Глава I. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ И КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 2. Простые и составные числа. Признаки делимости. 3. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. 4. Целые числа. Рациональные числа. 5. Десятичные дроби. Представление рациональных чисел десятичными дробями. 6. Иррациональные числа. Действительные числа. 7. Действия с приближенными числами. 8. Числовая ось. Координаты точки на плоскости. § 2. Степени и корни 9. Степени с натуральными показателями. 10. Степени с целыми показателями. 11. Корни. 12. Степени с рациональными показателями. Степени с действительными показателями. 13. Алгоритм извлечения квадратного корня. § 3. Комплексные числа 14. Основные понятия и определения. 15. Рациональные действия с комплексными числами. 16. Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа. 17. Действия с комплексными числами, заданными в тригонометрической форме.  Формула Муавра.18. Извлечение корня из комплексного числа. Глава II. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 19. Алгебраические выражения. Одночлены и многочлены. 20. Формулы сокращенного умножения. 21. Бином Ньютона. 22. Разложение многочлена на множители. 23. Дробные алгебраические выражения. § 2. Иррациональные алгебраические выражения 24. Радикалы из алгебраических выражений. 25. Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби. Глава III. ЛОГАРИФМЫ 26. Определение и свойства логарифмов. 27. Логарифмы по различным основаниям. Модуль перехода. § 2. Десятичные логарифмы 28. Характеристика и мантисса десятичного логарифма. 29. Применение десятичных логарифмов к вычислениям. Глава IV. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ 30. Величина. Числовые множества. 31. Определение функции. 32. График функции. Способы задания функций. 34. Сложная функция. 35. Обратная функция. 36.  n.41. Обратная пропорциональная зависимость. Степенная функция с рациональным показателем степени. 42. Показательная функция. 43. Логарифмическая функция. § 3. Преобразование графиков 44. Параллельный сдвиг графика. 45. График квадратного трех члена. 46. График дробно-линейной функции. 47. Преобразование симметрии. Сжатие и растяжение графика. 48. Построение графиков функций. 49. Сложение графиков. § 4. Некоторые сведения о рациональных функциях 50. Целые и дробные рациональные функции. Деление многочленов. 51. Схема Горнера. Теорема Безу. 52. Нули многочлена. Разложение многочлена на множители. Глава V. УРАВНЕНИЯ 53. Уравнение. Корни уравнения. 54. Равносильные уравнения. 55. Системы уравнений. 56. Графическое решение уравнений. §. 2. Алгебраические уравнения с одной неизвестной 57. Число и кратность корней. 58. Уравнения первой степени (линейные уравнения). 59. Уравнения второй степени (квадратные уравнения).  60. Формулы Виета. Разложение квадратного трехчлена на множители. 61. Исследование квадратного уравнения. 62. Уравнения высших степеней. Целые корни. 63. Двучленные уравнения. 64. Уравнения, сводящиеся к квадратным. 65. Возвратные уравнения. § 3. Системы алгебраических уравнений 66. Линейные системы. 67. Определители второго порядка. Исследование линейных систем двух уравнений с двумя неизвестными. 68. Системы, состоящие из уравнения второй степени и линейного уравнения. 69. Примеры систем двух уравнений второй степени. Системы уравнений высших степеней. 70. Иррациональные уравнения. 71. Показательные уравнения. 72. Логарифмические уравнения. 73. Разные уравнения. Системы уравнений. Глава VI. НЕРАВЕНСТВА 74. Свойства неравенств. Действия над неравенствами. 75. Алгебраические неравенства. § 2. Решение неравенств 76. Множество решений неравенства.  Равносильные неравенства.77. Графическое решение неравенств. 79. Квадратные неравенства. 80. Неравенства высших степеней. Неравенства, содержащие дробные рациональные функции от х. 81. Иррациональные, показательные и логарифмические неравенства. 82. Неравенства с двумя неизвестными. Глава VII. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 83. Числовая последовательность. 84. Предел числовой последовательности. 85. Бесконечно малые. Правила предельного перехода. § 2. Арифметическая прогрессия 86. Арифметическая прогрессия. Формула общего члена. 87. Свойства арифметической прогрессии. 88. Формула для суммы n членов арифметической прогрессии. § 3. Геометрическая прогрессия 89. Геометрическая прогрессия. Формула общего члена. 90. Свойства геометрической прогрессии. 91. Формулы для суммы n членов геометрической прогрессии. 92. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Глава VIII. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ УГЛА (ДУГИ) 93. Вектор, проекция вектора.  94. Положительные углы и дуги, меньшие 360°. 95. Углы и дуги, большие 360°. 96. Отрицательные углы. Сложение и вычитание углов. § 2. Тригонометрические функции произвольного угла 97. Определение основных тригонометрических функций. 98. Изменение основных тригонометрических функций при изменении угла от 0 до 2pi. 99. Основные тригонометрические тождества. 100. Вычисление значений тригонометрических функций по значению одной из них. 101. Значения тригонометрических функций некоторых углов. § 4. Четность, нечетность и периодичность тригонометрических функций 102. Четность и нечетность. 103. Понятие периодической функции. 104. Периодичность тригонометрических функций. § 5. Формулы приведения 105. Зависимость между тригонометрическими функциями дополнительных углов. 106. Формулы приведения. Глава IX. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА И ИХ ГРАФИКИ § 1.  Тригонометрические функции числового аргумента108. Области определения и области изменения значений тригонометрических функций. 109. Некоторые неравенства и их следствия. § 2. Графики тригонометрических функций 110. Первоначальные сведения о таблицах тригонометрических функций. 111. Основные графики. 112. Примеры построения графиков некоторых других тригонометрических функций. 113. Дальнейшие примеры построения графиков функций. Глава X. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ 114. Расстояние между двумя точками на плоскости. 115. Косинус суммы и разности двух аргументов. 116. Синус суммы и разности двух аргументов. 117. Тангенс суммы и разности двух аргументов. 118. О формулах сложения для нескольких аргументов. § 2. Формулы для двойного и половинного аргумента. Выражение sin na и cos na через степени sin a и cos a 119. Тригонометрические функции двойного аргумента. 120. Выражение sin na и cos na через степени sin a и cos a при натуральном числе n.  121. Тригонометрические функции половинного аргумента. § 3. Преобразование в сумму выражений вида sina•cosb, cosa•cosb и sinа•sinb § 4. Преобразование в произведение сумм вида § 5. Преобразование некоторых выражений в произведения с помощью введения вспомогательного аргумента 127. Преобразование в произведение выражения a•sina + b•cosa. 128. Преобразование в произведение выражений a•sina+b и a•cosa+b 129. Преобразование в произведение выражения a•tga+b. Глава XI. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ 130. Функция у = arcsin x (арксинус). 131. Функция y = arccos x (арккосинус). 132. Функция y = arctg x (арктангенс). 133. Функция y = arcctg x (арккотангенс). 134. Пример. § 2. Операции над обратными тригонометрическими функциями 135. Тригонометрические операции. 136. Операции сложения (вычитания). § 3. Обратные тригонометрические операции над тригонометрическими функциями 137.  Функция у = arcsin (sin x).138. Функция y = arctg (tg x). Глава XII. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА 139. Уравнение sin х = а. 140. Уравнение cos х = a. 141. Уравнение tg x = a. 142. Уравнение ctg x = a. 143. Некоторые дополнения. § 2. Способ приведения к одной функции одного и того же аргумента 145. Некоторые типы уравнений, приводящихся к уравнениям относительно функции одного аргумента. 146. Способ разложения на множители. 147. Решение рациональных тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки tg(x/2) = t. § 3. Некоторые частные приемы решения тригонометрических уравнений и систем 148. Введение вспомогательного аргумента. 149. Преобразование произведения в сумму или разность. 150. Переход к функциям удвоенного аргумента. 151. Решение уравнения типа… § 4. Решение тригонометрических неравенств 154. Простейшие тригонометрические неравенства.  155. Примеры тригонометрических неравенств, сводящихся к простейшим. Часть вторая. ГЕОМЕТРИЯ 156. Точка. Прямая. Луч. Отрезок. 157. Плоскость. Фигуры и тела. 160. Равенство фигур. Движение. 161. Равенство тел. § 2. Измерение геометрических величин 162. Сложение отрезков. Длина отрезка. 163. Общая мера двух отрезков. 164. Сравнительная длина отрезков и ломаных. 165. Измерение углов. 166. Радианная мера угла. 167. Измерение площадей. 168. Площадь прямоугольника. Объем прямоугольного параллелепипеда. Глава XIV. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ 169. Перпендикуляр и наклонные. 170. Свойство перпендикуляра, проведенного к отрезку в его середине. 171. Параллельные прямые. 172. Углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей. 173. Углы с параллельными или перпендикулярными сторонами. § 2. Геометрические места точек. Окружность 174. Геометрическое место точек. 175. Свойство биссектрисы угла.  176. Окружность. 177. Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная и секущая. 178. Хорда и диаметр. Сектор и сегмент. 179. Взаимное расположение двух окружностей. § 3. Основные задачи на построение 181. Деление отрезка пополам. Построение перпендикуляров. 182. Построение углов. 183. Другие задачи на построение. Глава XV. ТРЕУГОЛЬНИКИ, ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ 184. Стороны и углы треугольника. 185. Биссектрисы треугольника. Вписанная окружность. 186. Оси симметрии сторон треугольника. Описанная окружность. 187. Медианы и выcоты треугольника. 188. Равенство треугольников. 189. Построение треугольников. 190. Равнобедренные треугольники. 191. Прямоугольные треугольники. § 2. Параллелограммы 192. Четырехугольники. 193. Параллелограмм и его свойства. 194. Прямоугольник. § 3. Трапеция 196. Трапеция. 197. Средняя линия треугольника. 198. Средняя линия трапеции. 199. Деление отрезка на равные части.  § 4. Площади треугольников и четырехугольников 200. Площадь параллелограмма. 201. Площадь треугольника. 202. Площадь трапеции. Глава XVI. ПОДОБИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР 203. Пропорциональные отрезки. 204. Свойства биссектрис внутреннего и внешнего углов треугольника. § 2. Подобное преобразование фигур (гомотетия) 205. Определение гомотетичных фигур. 206. Свойства преобразования подобия. § 3. Общее подобное соответствие фигур 207. Подобные фигуры. 208. Периметры и площади подобных треугольников. 209. Применение подобия к решению задач на построение. Глава XVII. МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ И КРУГЕ 210. Углы с вершиной на окружности. 211. Углы с вершиной внутри и вне круга. 212. Угол, под которым виден данный отрезок. 213. Четырехугольники, вписанные в окружность. 214. Пропорциональные отрезки в круге. 215. Задачи на построение. § 2. Метрические соотношения в треугольнике 216. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.  Теорема Пифагора.218. Теорема синусов. Формула Герона. 217. Квадрат стороны, лежащей против острого или тупого утла и треугольнике. Теорема косинусов. 218. Теорема синусов. Формула Герона. 219. Радиусы вписанной и описанной окружностей. § 3. Решение треугольников 220. Таблицы функций. 221. Решение треугольников. Сводка основных формул. 222. Решение прямоугольных треугольников. 223. Решение косоугольных треугольников. Глава XVIII. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ. ДЛИНА окружности И ПЛОЩАДЬ КРУГА 224. Выпуклые многоугольники. 225. Правильные многоугольники. 226. Соотношения между стороной, радиусом и апофемой. 227. Периметр и площадь правильного n-угольника. 228. Удвоение числа сторон правильного многоугольника. § 2. Длина окружности. Площадь круга и его частей 229. Длина окружности. 230. Площадь круга и его частей. Глава XIX. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ 231. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.  232. Взаимное расположение прямой линии и плоскости. 233. Взаимное расположение двух плоскостей. 234. Свойства параллельных прямых и плоскостей. 235. Построения в стереометрии. § 2. Перпендикулярность прямых и плоскостей 236. Перпендикуляр к плоскости. 237. Перпендикуляр и наклонные. 238. Угол между прямой и плоскостью. 239. Связь между перпендикулярностью и параллельностью прямых и плоскостей. 240. Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых. § 3. Двугранные и многогранные углы 241. Двугранный угол. 242. Взаимно перпендикулярные плоскости. 243. Трехгранные углы. 244. Многогранные углы. § 4. Многогранники 245. Многогранники. 246. Правильные многогранники. Глава XX. МНОГОГРАННИКИ И КРУГЛЫЕ ТЕЛА 247. Цилиндры и призмы. 248. Параллелепипеды. 249. Объемы призм и цилиндров. 250. Площадь боковой поверхности призмы. 251. Площадь поверхности цилиндра. § 2. Пирамида. Конус 252. Свойства пирамиды и конуса.  253. Объем пирамиды и конуса. 254. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды и конуса. 255. Усеченный конус и усеченная пирамида. § 3. Шаровая поверхность. Шар 256. Шар и шаровая поверхность. 257. Объем шара и его частей. 258. Площадь поверхности шара и ее частей. 259. Понятие телесного угла. Ответы к упражнениям Приложения |
§ 5. Линейное уравнение с одной переменной
Тема урока: § 5. Линейное уравнение с одной переменной. Навык решения линейных уравнений проверяется на экзаменах ОГЭ и ЕГЭ и необходим для решения текстовых задач.
Существуют ли такие значения переменной $x$, при которых соответственные значения выражений $3x$ и $x+8$ равны? Чтобы ответить на этот вопрос, надо решить уравнение:
$$3x=x+8$$
При $x$, равном $4$, значения левой и правой частей уравнения равны. Число $4$ называют решением или корнем данного уравнения.
Определение:
Корень уравнения с одной переменной — это число, обращающее данное уравнение в верное равенство.
Решить уравнение — значит найти множество всех его корней.
Линейное уравнение
Определение:
Каждое алгебраическое уравнение с одним неизвестным, степень которого равна единице называется линейным уравнением.
В общем виде линейное уравнение имеет вид:
$$kx+b=0$$
Где $k$ и $b$ — произвольные числа.
Примеры линейных уравнений
Приведём несколько примеров линейных уравнений:
Уравнение $x+5=8$ имеет корень $3$. Этот корень единственный, так как при $x3$ больше $8$.
Уравнение $(x+2)(x-1)(x-7)=0$ имеет три корня: $-2$, $1$ и $7$, так как каждое из этих чисел обращает уравнение в верное равенство, а при всех других значениях $x$ ни один из множителей (а значит, и их произведение) не равен нулю.
Уравнение $x+3=x-1$ совсем не имеет корней, так как при любых $x$ значение выражения, стоящего в левой части уравнения, на $4$ больше соответственного значения выражения, стоящего в правой части.
{2}-1=0$$(x-3)(x+5)=0$
$\left | x \right |=2$
Свойства линейных уравнений
Линейные уравнения обладают рядом специфических свойств, рассмотрим их:
Любое слагаемое можно переносить в противоположную сторону равенства, но при этом слагаемое меняет знак. Покажем на примере равенства:
$$x+2=0 \Rightarrow x=-2$$
Смена знака связана с тем, что мы вправе прибавлять к обоим частям уравнения одно и то же число (смысл уравнения от этого не меняется).
$$x+2+(-2)=0+(-2)$$
$$x+0=0-2 \Rightarrow x=-2$$
Каждую часть равенства можно умножать, делить на одно и то же число отличное от нуля (смысл уравнения от этого не меняется). Покажем на примере того же равенства, домножив обе части на число четыре:
$$x+2=0 \Rightarrow (x+2)\cdot 4=0\cdot 4$$
$$4x+8=0$$
Равносильные уравнения
Рассмотрим три уравнения:
$(x+2)(x-3)=0$
$x(x+2)(x-3)=0$ Уравнение (1) имеет два корня: $-2$ и $3$, а уравнение (2) — три корня: $0$, $-2$ и $3$.
Каждый корень уравнения (1) является корнем уравнения (2), но не каждый корень уравнения (2) является корнем уравнения (1).При $x=0$ второе уравнение обращается в
верное равенство, а первое — нет.Уравнение $x(x+2)=3(x+2)$ имеет два корня: $-2$ и $3$.
Каждое решение уравнения (3) является решением уравнения (1) и каждое решение уравнения (1) является решением уравнения (3). Такие уравнения называются равносильными.
Важно!
У равносильных уравнений множества их решений совпадают.Понятие равносильности уравнений распространяется и на уравнения с несколькими переменными. Например, два уравнения с переменными $x$ и $y$ считаются равносильными, если каждое решение первого уравнения является решением второго и каждое решение второго уравнения служит решением первого.
Пусть первое уравнение $P(x)=0$, а второе $Q(x)=0$ и если они равносильны, то имеет место знак равносильности:
$$P(x)=0\Leftrightarrow Q(x)=0$$
В дальнейшем мы будем часто использовать такую символику.
Свойства равенств
Можно ли, не решая уравнений $2x-5=9$ и $2x=14$, утверждать, что они равносильны? Ответить на этот вопрос помогут нам хорошо известные свойства равенств. Перечислим их:
Рефлексивность. Любое число равно самому себе: $a=a$.
Симметричность. Если одно число равно другому, то это второе число равно первому: если $a=b$, то $b=a$.
Транзитивность. Если первое число равно второму, а второе равно третьему, то первое число равно третьему: если $a=b$ и $b=c$, то $a=c$. Свойствами, аналогичными указанным свойствам равенств, обладают многие соотношения. Например, параллельность (в множестве прямых плоскости) обладает
симметричностьюитранзитивностью.Действительно, если $a||b$, то $b||a$; если $a||b$ и $b||c$, то $a||c$. Равносильность уравнений обладает всеми тремя свойствами. В самом деле, каждое уравнение равносильно самому себе; если одно уравнение равносильно другому, то второе равносильно первому; если одно уравнение равносильно второму, а второе — третьему, то первое уравнение равносильно третьему.
Приведем еще два свойства равенств, которые нам понадобятся дальше:
Если к обеим частям верного равенства прибавить одно и тоже число, то получится верное равенство: если $a=b$, то
$$a+c=b+c$$
Если обе части верного равенства умножить на одно и то же число, то получится верное равенство: если $a=b$, то
$$a\cdot c=b\cdot c$$
Примеры решения уравнений
Свойства равенств используются при решении уравнений. Покажем это на примере.
Задача 1.
Пусть нужно решить уравнение: $6x-42=0$Показать решение ↕
Решение:
Прибавим к левой и правой частям уравнения число $42$ (перенесем $-42$ в правую часть уравнения с противоположным знаком).
Получим уравнение: $6x=42$
Если при некотором значении $x$ равенство верно, то верно и равенство которое мы получили, и, наоборот, если при некотором значении $x$ верно равенство которое мы получили, то верно и исходное равенство.
Это следует из свойства 4. Значит, уравнения равносильны.$$6x-42=0\Leftrightarrow6x=42$$
Умножим обе части уравнения на $\frac{1}{6}$ (разделим на $6$). Получим уравнение: $x=7$
Из свойства 5. следует, что последние два уравнения равносильны:
$$6x=42 \Leftrightarrow x=7$$
Следовательно равносильны и уравнения (так как равносильность обладает свойством транзитивности): $6x-42=0 \Leftrightarrow x=7$
Значит число $7$ есть корень исходного уравнения.
Ответ: $x=7$
Рассмотренный пример показывает, что перенос членов уравнения из одной его части в другую с противоположным знаком и умножение (или деление) обеих частей уравнения на неравное нулю число приводят к уравнению, равносильному данному.
Задача 2.
Решите уравнение: $\frac{3}{4}x-\frac{5x}{16}=2$Показать решение ↕
Решение: $\frac{3}{4}x-\frac{5x}{16}=2$
Приведем все слагаемые левой части уравнения к общему знаменателю:
$$\frac{3x}{4}\cdot\frac{4}{4}-\frac{5x}{16}=2$$
$$\frac{12x}{16}-\frac{5x}{16}=2$$
$$\frac{12x-5x}{16}=2$$
$$\frac{7x}{16}=2$$
Домножим обе части равенства на $\frac{16}{7}$ чтобы избавиться от коэффициента при неизвестном, получим:
$$\frac{7x}{16}\cdot\frac{16}{7}=2\cdot\frac{16}{7}$$
Сократим числа $7$ и $16$, получим:
$$x=\frac{32}{7}$$
Ответ: $x=\frac{32}{7}$
Общий вид решений линейного уравнения
Решим уравнение: $kx+b=0$
Очевидно, решение зависит от наших параметров $k$ и $b$, поэтому рассмотрим несколько сюжетов, которые встречаются при решении линейных уравнений.
Шаг 1.
Коэффициент при неизвестной $k$ будет равняться нулю, а свободный член $b$ отличным от нуля.
$$k=0, b\neq 0 \Rightarrow 0\cdot x=-b$$
Заметим, в этом случае не найдется такого числа $x$, что при подстановке его в уравнение — получится верное равенство. Т.к при умножении на 0 мы не получим число отличное от нуля, стало быть — решений нет. Обычно это записывается так: $$x\in \oslash$$ что переводится как: $x$ принадлежит пустому множеству.
Шаг 2.
Коэффициент при неизвестной и свободный член отличны от нуля:
$$k\neq 0, b\neq 0 \Rightarrow kx=-b \Rightarrow x=\frac{-b}{k}$$
Т.е. $x$ принимает действительное и единственное решение в виде отношения двух чисел: $-b$ и $k$
Шаг 3.
Числа $k$ и $b$ принимают значения равное нулю, т.е:
$$k=0, b=0 \Rightarrow kx=-b \Rightarrow 0\cdot x=0$$
Очевидно, что какой бы $x$ мы не взяли — равенство будет верным, т.к, при умножении на 0 получим 0. Тогда говорят, что $x$ — любое число, либо $x$ принадлежит всем действительным числам.
Запись имеет такой вид:$$x\in \mathbb{R}$$
В данном случае решение можно записать несколькими способами, например с помощью двойного неравенства:
$$-\infty <x< \infty$$
Такая запись означает, что $x$ лежит в промежутке от минус бесконечности до плюс бесконечности. (Бесконечность это не число, поэтому неравенство строгое). Еще можно написать ответ в виде интервала:
$$x\in(-\infty;\infty)$$
Знак “$\in$” можно заменить словом “принадлежит”, этот символ называется квантором принадлежности. Тогда говорят, что $x$ принадлежит любому числу из данного интервала.
При решении уравнений, обычно мы задаемся вопросом: чему равно значение переменной? или, какое число при подстановке вместо неизвестной делает равенство верным?
И решением линейного уравнения называется — корень уравнения, а значит наша задача привести уравнение к виду:
$$x=…$$
Задачи для самостоятельного решения
Условие
Задача №1.
Найдите корень уравнения: $0,9x-0,6(x-3)=2(0,2x-1,3)$
Решение
$$0,9x-0,6(x-3)=2(0,2x-1,3)$$
Раскроем скобки и приведем подобные.
$$0,9x-0,6x+1,8=0,4x-2,6$$
$$0,3x+1,8=0,4x-2,6$$
Перенесем слагаемые содержащие неизвестную в одну часть, а остальные в другую.
$$1,8+2,6=0,4x-0,3x$$
$$4,4=0,1x$$
Домножим обе части равенства на $10$, тогда получим:
$$x=44$$
Ответ: $x=44$
Условие
Задача №2.
Решите уравнение: $-36(6x+1)=9(4-2x)$
Решение
$$-36(6x+1)=9(4-2x)$$
Раскроем скобки в обеих частях равенства.
$$-216x-36=36-18x$$
Перенесем переменные вправо, а остальные слагаемые влево.
$$-36-36=-18x+216x$$
Приведем подобные.
$$-72=198x$$
Разделим обе части уравнения на $198$ и получим ответ:
$$x=\frac{-72}{198}$$
Сократим дробь на $18$.
$$x=-\frac{4}{11}$$
Ответ: $x=-\frac{4}{11}$
Условие
Задача №3.
Чему равен наибольший корень уравнения: $(1,8-0,3y)(2y+9)=0$?
Решение
$$(1,8-0,3y)(2y+9)=0$$
Для решения уравнения нужно воспользоваться свойством произведения. Произведение равно нулю, тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а значит одно из выражений в скобках должно равнятся нулю. Рассмотрим первый случай:
$$1,8-0,3y=0\Rightarrow 1,8=0,3y$$
После переноса слагаемых домножим обе части равенства на $10$ и поделим на $3$.
$$\frac{1,8\cdot 10}{3}=\frac{0,3y\cdot 10}{3}$$
$$\frac{18}{3}=\frac{3y}{3}$$
$$y=6$$
Теперь рассмотрим второй случай:
$$2y+9=0$$
$$2y=-9$$
Разделим обе части равенства на $2$.
$$y=\frac{-9}{2}$$
$$y=-4,5$$
Как мы видим у нас получилось два корня, при которых уравнение обращается в $0$.
Для ответа выберем наибольший из данных, т.е:$$y=6$$
Ответ: $y=6$
Условие
Задача №4.
Найдите корень уравнения:
$$\frac{3m+5}{4}=\frac{5m+1}{3}$$
Решение
$$\frac{3m+5}{4}=\frac{5m+1}{3}$$
Вспомним, что все наши действия должны быть направлены на приведение уравнения к виду: $x=…$ Поэтому домножим обе части равенства на общий знаменатель $12$, т.е на $4$ и $3$.
$$\frac{3m+5}{4}\cdot \frac{4\cdot 3}{1}=\frac{5m+1}{3}\cdot \frac{4\cdot 3}{1}$$
После сокращения слева на $4$, а справа на $3$ получим:
$$(3m+5)\cdot 3=(5m+1)\cdot 4$$
Раскроем скобки.
$$3m\cdot 3+5\cdot 3=5m\cdot 4+1\cdot 4$$
$$9m+15=20m+4$$
В данном случае $9m$ удобно перенести вправо, так как не придется избавляться от минуса. Сделаем перенос слагаемых, приведем подобные и получим ответ.
$$15-4=20m-9m$$
$$11=11m$$
$$m=1$$
Ответ: $m=1$
Условие
Задача №5.
При каком значении $a$ уравнение: $3ax=12-x$ имеет корень, равный числу $-9$?
Решение
$$3ax=12-x$$
Если подставить вместо переменной $x$ число $-9$, то получим $a$ при котором эта ситуация имеет место.
$$3a\cdot (-9)=12-(-9)$$
Обратим внимание на правую часть равенства и воспользуемся свойством:
Если перед скобками стоит знак минус, то при их раскрытии все знаки стоящие в скобках меняются на противоположные.
$$-27a=12+9$$
$$-27a=21$$
Разделим обе части уравнения на число $-27$, получим:
$$a=\frac{21}{-27}$$
Сокращаем правую часть равенства на $3$ и получаем окончательный ответ.
$$a=-\frac{7}{9}$$
Ответ: $a=-\frac{7}{9}$
← Следующая тема
Линейные уравнения (типы и примеры решения)
Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение, в котором старший показатель переменной равен единице.
Линейное уравнение имеет одну, две или три переменные, но не каждая линейная система с 03 уравнениями. Обычно система линейных уравнений имеет только единственное решение , но иногда не имеет решения или бесконечное число решений .Линейное уравнение с двумя переменными описывает отношения, в которых значение одной переменной, скажем, «x», зависит от значение другой переменной скажем «y». При наличии двух переменных график линейного уравнения будет прямой линией.
Стандартная форма линейного уравнения
Линейные уравнения имеют стандартную форму:
Ax + By = C
и у — переменные.
Общая форма линейного уравнения с двумя переменными:
y = mx + c, m ≠ 0
Формула линейного уравнения
Некоторые общие формулы:0041
- точка Форма:
- Двухточковая форма:
{2}-1=0$
Каждый корень уравнения (1) является корнем уравнения (2), но не каждый корень уравнения (2) является корнем уравнения (1).
Это следует из свойства 4. Значит, уравнения равносильны.
Запись имеет такой вид:
Для ответа выберем наибольший из данных, т.е:
Линейное уравнение имеет одну, две или три переменные, но не каждая линейная система с 03 уравнениями. Обычно система линейных уравнений имеет только единственное решение , но иногда не имеет решения или бесконечное число решений .Примеры линейных уравнений
В вышеупомянутых примерах самый высокий показатель переменной — 1.
- Уравнение с одним переменным: , например
- 12x – 10 = 0
- 12x = 10
- Уравнение с двумя переменными: Уравнение с двумя переменными, например
- 12x +10y – 10 = 0
- 12x +23y = 20
- Уравнение с тремя Переменные: An уравнение с тремя переменными, например
- 12x +10y -3z – 10 = 0
- 12x +23y – 12z = 20
Решенные примеры линейных уравнений:
Пример №1:
Решение:
Пример №2:
Решение:
Пример №3:
Решение:
В линейном уравнении знак равенства (=) делит уравнение на две стороны, такие как L.H.S. и Р.Х.С.
В данном уравнении значение переменной, которое
делает LHS = RHS, называется решением линейного уравнения.
Примеры
№1
х + 6 = 8 — линейное уравнение.
Здесь, L.H.S. равно x + 6 и R.H.S. равно 8
Если мы положим x = 2, то левая часть будет 2 + 6, что равно правой части сторона
Таким образом, решением данного линейного уравнения будет x = 2
Пример №2
3x – 2 = 2x – 3 является линейным уравнением
Если мы положим x = -1, то левая часть будет 3(-1) – 2 и правая часть будет 2(-1) – 3
Мы получено,
-3 – 2= -2 – 3
-5 = -5
Следовательно, Л.Х.С. = R.H.S.
Итак, x = -1 является решением данного линейного уравнения.
Типы линейных уравнений:
Существует три типа линейных уравнений
- Условное Уравнение
- Идентичность Уравнение
- Противоречие Уравнение
1. Условное уравнение:
Условное уравнение имеет только одно решение. Например,
2. Уравнение тождества:
Уравнение тождества всегда истинно, и каждое действительное число является
ее решение, следовательно, она имеет бесконечные решения.
Решение линейной
уравнение, которое имеет тождество, обычно выражается как
Иногда левая сторона равна в правую часть (вероятно, получим 0=0), поэтому легко находим из того, что это уравнение является тождеством. Например,
3. Уравнение противоречия:
A Уравнение противоречия всегда ложно и не имеет решения. Противоречие Уравнение чаще всего записывается как:
Например,
Линейные уравнения представляют собой линии
Уравнение представляет собой линию на графике, и мы имеем требуется две точки, чтобы провести линию через эти точки. На графике переменные «x» и «y» показывают координаты «x» и «y». графика. Если мы поместим значение для «x», то мы можем легко вычислить соответствующее значение «y», и эти два значения покажут точку на графике. Точно так же, если мы продолжим помещать значения «x» и «y» в заданную линейную уравнения, мы можем получить прямую линию на графике.
Графическое представление линейного уравнения
Мы можем подставить значения «x» и «y» в уравнение, чтобы построить график линейного уравнения.
Мы можем использовать точки «перехвата». Должны быть соблюдены следующие пункты:
- Поместите x = 0 в уравнение и найдите y и нанесите точку (0,y) на оси y
- Поместите y = 0 в уравнение и найдите x и начертите точку (x,0) на оси x
- Наконец, проведите прямую линию между двумя точками
Чек ваши навыки, чтобы найти решения этих линейных уравнений:
См. также: Типы математических уравнений
4.2 Решение линейных уравнений | Уравнения и неравенства
Предыдущий 4.1 Введение | Следующий 4.3 Решение квадратных уравнений |
4.2 Решение линейных уравнений (EMA34)
Самое простое уравнение для решения — это линейное уравнение.
Линейное уравнение – это уравнение, в котором наибольшее
показатель степени переменной равен \(\text{1}\). Ниже приведены примеры линейных уравнений:
Решение уравнения означает нахождение значения переменной, которая делает уравнение верным. Например, чтобы решить простое уравнение \(x + 1 = 1\), нам нужно определить значение \(x\), которое сделает левый ручная сторона равна правой. Решение \(x = 0\).
Решение, также называемое корнем уравнения, представляет собой значение переменной, удовлетворяющей уравнению. Для линейных уравнений существует не более одного решения уравнения.
Для решения уравнений мы используем алгебраические методы, которые включают раскрытие выражений, группировку терминов и
факторизация.
Например:
\начать{выравнивать*} 2х+2&=1\ 2x & =1 — 2 \quad \text{ (переставить)} \\ 2x & = -1 \quad \text{ (упростить)} \\ x & = -\frac{1}{2} \quad \text{(разделить обе части на } 2\text{)} \конец{выравнивание*}Проверьте ответ, подставив \(x=-\frac{1}{2}\).
\начать{выравнивать*} \text{LHS} & = 2x + 2 \\ & = 2\влево(-\фракция{1}{2}\вправо) + 2 \\ &=-1+2\ & = 1 \\ \text{правая сторона} & =1 \конец{выравнивание*}Следовательно, \(x=-\frac{1}{2}\)
Следующее видео дает введение в решение линейных уравнений.
Видео: 2F9B
Метод решения линейных уравнений (EMA35)
Общие шаги решения линейных уравнений:
Раскройте все скобки.
Переставьте члены так, чтобы все члены, содержащие переменную, находились на одной стороне уравнения, а все постоянные члены находятся на другой стороне.
Сгруппируйте похожие термины вместе и упростите.
Факторизировать, если необходимо.
Найдите решение и запишите ответ.
Проверьте ответ, подставив решение обратно в исходное уравнение.
Уравнение всегда должно быть сбалансировано, что бы вы ни делали с левой частью, вы должны делать и с левой Правая сторона.
Рабочий пример 1: Решение линейных уравнений
Найдите \(x\):
\[4(2x — 9) — 4x = 4 — 6x\]
Раскройте скобки и упростите
\начать{выравнивать*} 4(2х — 9) — 4х & = 4 — 6х \\ 8х — 36 — 4х & = 4 — 6х\ 8х — 4х + 6х & = 4 + 36\ 10x & = 40 \end{выравнивание*}Разделить обе стороны на 10
\[х = 4\]Проверьте ответ, подставив решение обратно в исходное уравнение
\начать{выравнивать*} \text{LHS} & = 4[2(4) — 9] — 4(4) \\ & = 4(8 — 9) — 16 \\ & = 4(-1) — 16 \\ &=-4 — 16\ &=-20\\ \text{RHS} & = 4 — 6(4) \\ &=4 — 24\ &=-20\\ \поэтому \text{левый } = \text{правый} \конец{выравнивание*}
Поскольку обе стороны равны, ответ правильный.
Рабочий пример 2: Решение линейных уравнений
Найдите \(x\):
\[\frac{2 — x}{3x + 1} = 2\]
Умножить обе части уравнения на \(\left(3x + 1\right)\)
Деление на \(\text{0}\) не определено, поэтому должно быть ограничение: \(\left(x\) пе -\frac{1}{3}\right)\).
\начать{выравнивать*} \frac{2 — x}{3x + 1} & = 2 \\ (2 — х) & = 2(3х + 1) \конец{выравнивание*}
Раскройте скобки и упростите
\начать{выравнивать*} 2 — х&=6х+2\ -х — 6х & = 2 — 2\ -7x & = 0 \конец{выравнивание*}Разделите обе стороны на \(-\text{7}\)
\начать{выравнивать*} х & = \ гидроразрыва {0}{-7} \\ х & = 0 \конец{выравнивание*}Проверьте ответ, подставив решение обратно в исходное уравнение
\начать{выравнивать*} \text{LHS} & = \frac{2 — (0)}{3(0) + 1} \\ & = 2 \\ & = \text{Правая} \конец{выравнивание*}
Поскольку обе стороны равны, ответ правильный.
Рабочий пример 3: Решение линейных уравнений
Решите для \(а\): \[\frac{2a — 3}{3} — 3a = \frac{a}{3}\]
Умножьте уравнение на общий знаменатель \(\text{3}\) и упростите
\начать{выравнивать*} 2а — 3 — 9а & = а \\ -7а — 3 & = а \end{выравнивание*}Переставить термины и упростить
\начать{выравнивать*} -7а — а&=3\ -8а & = 3 \конец{выравнивание*}Разделить обе стороны на \(-\text{8}\)
\[а= -\фракция{3}{8}\]Проверьте ответ, подставив решение обратно в исходное уравнение
\начать{выравнивать*} \text{LHS} & = \frac{2\left(-\frac{3}{8}\right) — 3}{3} — 3\left(-\frac{3}{8}\right) \ \ & = \ гидроразрыва {\ влево (- \ гидроразрыва {3} {4} \ справа) — \ гидроразрыва {12} {4}} {3} + \ гидроразрыва {9{8} \\ & = \left[-\frac{15}{4}\times \frac{1}{3}\right] + \frac{9}{8} \\ & = -\frac{5}{4} + \frac{9}{8} \\ & = -\frac{10}{8} + \frac{9}{8} \\ & = -\frac{1}{8} \\ \text{RHS} & = \frac{-\frac{3}{8}}{3} \\ & = \frac{-\frac{3}{8}}{3} \\ & = -\frac{3}{8}\times \frac{1}{3} \\ & = -\frac{1}{8} \\ \поэтому \text{левый } = \text{правый} \конец{выравнивание*}
Поскольку обе стороны равны, ответ правильный.