Линейные уравнения с модулем задания: Решение уравнений с модулем в курсе математики 7-8 класса

Методические особенности обучения аналитическому решению линейных и квадратичных уравнений и неравенств с модулем в основной школе / Открытый урок

В Программе основного общего образования по математике [33, с. 35] в разделе Арифметика в теме Рациональные числа коротко записано: Модуль (абсолютная величина) числа. Больше это понятие не упоминается ни в указанной программе, ни в Программе среднего (полного) образования. Вводится понятие «модуль» в курсе математики 6 класса, но не как унитарная операция на множестве чисел, а через геометрическую интерпретацию: Модулем числа а называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А(а).

Далее в шестом классе модуль используется при сравнении чисел, при умножении и делении положительных и отрицательных чисел и приводится несколько простейших уравнений и неравенств с использованием модуля.

В седьмом классе [34,с. 25] про модуль учащиеся забывают на целый год, по крайней мере, в учебнике это понятие уже не встречается. В последующих классах только в некоторых учебниках вводится повторно понятие модуля числа и модуля выражения, и проскакивают эпизодические простейшие задания с модулем, например, линейные уравнения с модулем, но и они приводятся изредка и бессистемно. В  темах Решение линейных уравнений и неравенств, Решение квадратных уравнений и неравенств задания с модулем не рассматривается.

Можно сказать, что ситуация с изучением модуля в средней школе близка к катастрофической. После окончания как основной, так и средней школы учащимся предстоит пройти ГИА по математике, а во множестве заданий части 2 ОГЭ и части С ЕГЭ встречаются задания с модулем самого разного вида, причем на таком уровне сложности, который и не мыслился ранее.

Актуальность рассматриваемой темы именно в этом огромном пробеле школьного образования: в теме Модуль практически отсутствует сердцевина, переход от простейших заданий к очень трудным. А ведь эти две вертикальные палочки фантастическим образом меняют любую функцию, любое уравнение или неравенство, делают их более сложными, но и более интересными.

Это граничит с фокусом, когда, поставив модуль в квадратном уравнении, мы получаем у него уже не два, а четыре корня! И такие возможности не используются в практическом преподавании.

Кроме того, на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения, а последнее время и на Едином государственном экзамене, который призван стать не только выпускным, но и вступительным одновременно, задания с модулем есть постоянно. Кто-то же должен научить школьников их решать, а это посильно осуществить и на школьных уроках математики, не прибегая к помощи репетиторов.

Цель исследования: Изучение методических особенностей обучения аналитическому решению линейных и квадратичных уравнений и неравенств с модулем в основной школе.

Объект исследования:  Уравнения и неравенства  с модулем.

Предмет исследования: Линейные и квадратичные уравнения и неравенства  с модулем.

 Задачи исследования:

1)Провести анализ  математической литературы и рассмотреть различные подходы к определению «модуль числа», а также способы раскрытия модуля;

2)Провести анализ  методологической литературы и рассмотреть различные способы классификации уравнений и неравенств с модулем;  

3)Изучить состояние и перспективы развития темы «Уравнения и неравенства с модулем» по отношению к школе;

4)Обосновать и разработать  содержание и методику обучения теме «Уравнения и неравенства с модулем первой и второй степени» для уроков алгебры в 9 классе.

В данной работе я решила наметить пути исправления замеченного упущения: продумать формы работы и их содержание, чтобы модуль занял достойное место, не только на экзаменах, но и непосредственно в процессе обязательного образования. Правда есть здесь одно ограничение. Хорошо бы сформулировать тему шире и рассмотреть все возможные применения модуля: при рассмотрении функций и их графиков, при решении неравенств и систем уравнений, даже при вычислении интегралов. Но я ограничена рамками небольшой работы, поэтому предметом рассмотрения будут только уравнения и неравенства, содержащие модуль. И даже в решении уравнений, содержащих модуль, придется ограничиться уравнениями и неравенствами первой и второй степени. Объем не позволит рассмотреть примеры тригонометрических, показательных, логарифмических уравнений, которые тоже могут содержать модуль, если мы этого захотим.

Аттестационная работа состоит из двух глав. В первой главе рассмотрены психолого-педагогические основы обучения школьников решению уравнений и неравенств с модулем в курсе алгебры основной школы.

А именно возрастные особенности школьников основной школы, цели обучения курсу алгебры с точки зрения современных стандартов, отражение концепции духовно-нравственного воспитания на уроках алгебры, а также универсальные учебные действия как основа для применения различных педагогических технологий и получения гарантированного результата.

Вот второй главе затрагиваются особенности различных подходов к определению понятия «модуль числа», классификация и основные способы решения линейных и квадратичных уравнений и неравенств с модулем, способы раскрытия знака модуля в различных уравнениях и неравенствах и также их сравнительная характеристика. Следующие параграфы отражают анализ предметной линии «Решение уравнений и неравенств»  в учебниках по алгебре за 7-9 классы, а также методические рекомендации к обучению решению уравнений и неравенствах с модулем на уроках математики в 9 классе.  

Скачать публикацию

Модуль 3: Навыки линейных и квадратичных вычислений — Пути математики

Модуль 3: Навыки линейных и квадратичных вычислений

UTAS Home ›  › Пути математики › Пути к бизнесу  › Модуль 3: Навыки линейных и квадратичных вычислений Модули расширения математических навыков

3 -008

Алгебра — это способ мышления и набор понятий и навыков, которые позволяют нам анализировать математические ситуации.

Знание алгебры открывает двери и расширяет возможности, вдохновляя на широкий спектр математических идей, полезных во многих сферах бизнеса. Даже самые сложные аспекты алгебры проистекают из нескольких больших идей.

Следующий ролик Vimeo показывает, как наш мир моделируется алгеброй.

КРАСОТА МАТЕМАТИИ от ПАРАШЮТЫ на Vimeo.

Модуль 3 Предварительное тестирование: линейные и квадратичные навыки

Третий модуль: Навыки линейных и квадратичных вычислений

Нажмите на ссылку ниже, чтобы пройти предварительный тест для третьего модуля. Вам будет предложено 5 случайных вопросов, чтобы проверить свои знания линейных и квадратичных навыков.

Если вы набрали больше 80% или больше, вы можете перейти к следующему модулю. Если вы набрали менее 80 %, проработайте уроки модуля и пройдите пост-тест в конце модуля.

Убедитесь, что вы ввели свое полное имя и адрес электронной почты, чтобы ваши результаты могли быть отправлены вам по электронной почте. Вам нужно будет распечатать или сохранить эти результаты для ваших записей. Возможно, вам придется показать их вашему университету.

Третий модуль: предварительное тестирование

Уравнения используются в многие виды бизнес-моделирования и анализа.

Применение линейных и квадратных уравнений в бизнесе

Линейные уравнения используются:

Для расчета разрыва Четная точка для продукта с использованием отношения:

            Общая стоимость = фиксированная стоимость + переменная стоимость

Для анализа или прогнозирования прибыль:

            Прибыль = доход — общая стоимость

Например, Tom’s Tyres которые производят и продают шины, получили следующую информацию о новом шинный продукт, который они хотели бы производить.

Общие фиксированные затраты            $40 000

Цена продажи за единицу                       $100 единица         $60

Они хотят рассчитать точка безубыточности в единицах для нового продукта. Точка безубыточности (BEP) можно рассчитать по формуле (линейное уравнение):

BEP = постоянные затраты/(продажи Цена за единицу – Переменные затраты за единицу).

Таким образом, в этом примере BEP = 40 000 долл. США/ (10–6 долл. США) = 10 000 единиц

Линейные уравнения также могут помощь в ситуациях, когда у вас есть известное количество сырья и вам нужно рассчитать, сколько готового продукта вы можете сделать?

Одновременные уравнения

Одновременные уравнения полезны, когда в задаче есть два или более неизвестных, и вам нужно знать два или более набора информации о проблеме.

Например:

Параллельные уравнения могут быть использованы для исследования взаимосвязи между ценой и вероятными продажами продукт. То есть, насколько рынок чувствителен к цене?

Сравнение двух сценарии с разными ценами, такие как покупка двух копировальных аппаратов, первоначальные затраты плюс текущие расходы могут быть осуществлены с использованием одновременного уравнения.

Сравнение двух или более сценарии инвестирования в развитие бизнеса. Вы тратите больше на маркетинг или в улучшении машин и оборудования? Как добиться наилучшего баланса?

Следующие сайты приведите несколько примеров использования уравнений:

10 способов использования одновременных уравнений в повседневной жизни

Словесные задачи, которые приводят к одновременным уравнениям 

Квадратные уравнения

Квадратные уравнения могут помочь с такими проблемами, как оптимизация. Вы можете создать контейнер который содержит известное количество продукта, но использует наименьшее количество сырья.

Любые расчеты включая скорость, ускорение, траектории или падающие объекты будут включать квадратные уравнения.

Примеры использования квадратные уравнения можно найти на

101 использование квадратного числа сайт уравнения:

101 использование квадратного уравнения: Часть II

В этой теме вы повторите следующее

Урок 1 — Система координат

Урок 2 — Введение в линейные уравнения Линейные графики

Урок 4. Другие линейные уравнения

Урок 5. Построение графиков линейных уравнений

Примечание. Линейные функции и линейные уравнения

Линейная функция — это способ отображения связи между двумя или более переменными, такими как:

Пример

Книга стоит 6 долларов, и независимо от того, сколько книг вы покупаете, стоимость доставки составляет 12 долларов. .
Линейное уравнение — это утверждение, которое позволяет нам вычислить одну переменную, когда мы знаем другую.

Если общий счет составил 30 долларов, сколько книг было куплено.

6x + 12 = 30
6x = 18
x = 3 

Итак, было куплено 3 книги.

Во многих математических ресурсах термины «линейное уравнение» и «линейная функция» используются как синонимы, так что не путайтесь.

Урок 1. Система координат 

Об этом уроке

Система координат, также известная как декартова система координат, используется для графического представления математических взаимосвязей. В этом модуле нас интересует запись одной переменной как функции другой, поэтому мы используем двумерную плоскость x y следующим образом:0007

 

Источник изображения: http://www.cimt.plymouth.ac.uk/projects/mepres/book9/bk9i5/bk9_5i1.html

Подобные системы используются в привязке к карте и в таких играх, как линкоры.

Проверьте себя

Этот интерактивный рабочий лист и самопроверка помогут проверить ваши навыки и заполнить пробелы.

CIMT — Система координат

Узнать больше

Если вам нужна помощь в этой области, это просто введение

Математика — это весело — декартовы координаты

Эта серия Khan Academy включает учебные пособия и тесты для самопроверки.

Академия Хана — Координатный план

 

Все материалы Академии Хана доступны бесплатно по адресу   http://www.khanacademy.org/

 

Урок 2. Введение в линейные уравнения

Об этом уроке

Термин «линейный» означает, что мощность переменных равна 1. Не существует квадратов, кубов или каких-либо высших степеней, а также корней или дробных степеней.

Оно называется линейным уравнением, потому что график его функции представляет собой прямую линию.

На этом уроке вы повторите простые уравнения, которые не требуют большого количества преобразований

Пример

Чему равно x, если даст правильный ответ.

В этом случае ответ прост, в некоторых случаях вам нужно будет сделать некоторые перестановки терминов, чтобы выработать ответ.

Источник изображения: http://www.mathopenref.com/linearexplorermxb.html

Проверьте себя

Этот интерактивный лист и самопроверка помогут проверить ваши навыки и заполнить пробелы.

CIMT — Линейные уравнения

Узнайте больше

Ханская академия — почему алгебра

Хан Академия — Уравнения для начинающих серии

Ханская академия — Линеарное уравнение. http://www.khanacademy.org/

Урок 3. Введение в линейные графы

Об этом уроке

Линейные графики представлены прямыми линиями на координатной плоскости

y = 2x + 1 выглядит так

 

Источник изображения: http://www.cimt.plymouth.ac.uk/projects/mepres/ book8/bk8i14/bk8_14i3.htm

Если вы знаете уравнение, вы можете нарисовать его график и наоборот.

Проверьте себя

Этот интерактивный рабочий лист и самопроверка помогут проверить ваши навыки и заполнить пробелы.

CIMT — Построение графиков из их уравнений

Узнать больше

Некоторые простые пояснения можно найти по телефону

Math Is Fun — Ресурсы по математике — Изучите свойства линейного графика

Более подробные учебные пособия по телефону

Академия Хана — Графические решения уравнений

 

Использовать встроенную справку в

CIMT — Построение графиков из их уравнений

Для работы в любых областях, где требуется больше опыта.

 

Урок 4. Дополнительные линейные уравнения

Об этом уроке

Это продолжение работы из Урока 2. Линейные уравнения

Основное отличие состоит в том, что уравнения более сложны и требуют больше манипуляций для решения. Переменная может появляться более одного раза или в обеих частях уравнения.

Пример

6x — 2 = 4x + 8

Проверь себя

Этот интерактивный рабочий лист и самопроверка помогут проверить ваши навыки и заполнить пробелы.

CIMT — Линейные уравнения 2

Узнать больше

Академия Хана — Переменные с обеих сторон

Khan Academy — Super Yoga Plans объясняет линейные уравнения на примере сравнения тарифных планов занятий йогой.

Подробно ознакомьтесь с учебным пособием CIMT, используя встроенную справку.

CIMT — Линейные уравнения 2

Все материалы Академии Хана доступны бесплатно по адресу   http://www.khanacademy.org/

Урок 5. Построение графика линейных уравнений

Об этом уроке

Существует несколько способов представить линейное уравнение в виде графика.

По точкам на графике

 

Источник изображения: http://www.cimt.plymouth.ac.uk/projects/mepres/book8/bk8i14/bk8_14i3.htm

Используя наклон графика

Источник изображения: http://www. cimt.plymouth.ac.uk/projects/mepres/book8/bk8i14/bk8_14i3.htm

И с помощью точек пересечения осей x и y.

В этом уроке мы повторим эти методы.

Проверьте себя

Этот интерактивный рабочий лист и самопроверка помогут проверить ваши навыки и заполнить пробелы.

CIMT — Построение графиков по их уравнениям

Узнать больше

Академия Хана — Графики по точкам

Академия Хана — Графики с использованием точек пересечения x и y

Академия Хана — построение графика с использованием наклона (градиента)

 

Еще раз просмотрите учебник CIMT, используя встроенную справку.

CIMT — Построение графиков по их уравнениям

В этой теме вы пересмотрите следующие

Урок 1 — Одновременные уравнения

Одновременные уравнения используются для ….

Урок 1 — Одновременные уравнения

Об этом уроке

Изображение Изображение: HTTP: HTTP: HTTP: HTTP: HTTP: HTTP: HTTP: HTTP: HTTP: HTTP: //www.mathtutor.ac.uk/алгебра/simultaneouslinearequations/animation2

Одновременные уравнения относятся к ситуациям, когда у нас есть два или более уравнений об одной и той же задаче, которые оба верны в одно и то же время.

Пример

Если вы покупаете 4 чашки кофе и 3 чая и общая стоимость составляет 18 долларов, этой информации недостаточно для определения стоимости одной чашки кофе. Существует несколько вариантов:

Кофе по 4,50 доллара и чай бесплатно (маловероятно, но возможно)
Кому
Кофе бесплатно и чай 6 долларов (тоже маловероятно, но возможно)
Правильный ответ будет где-то посередине.

Если вы вернетесь на следующий день и купите 3 чашки кофе и 2 чая и общая стоимость составит 13 долларов, тогда у вас будет больше информации, и вы сможете рассчитать правильную стоимость каждого из них.

Рассматривая это как уравнения, где С — стоимость одного кофе, а Т — стоимость одного чая:

День 1
4C + 3T = 18

День 2
3C + 2T = 13

Путем проб и ошибок вы видите, что кофе по 3 доллара и чай по 2 доллара — единственное решение, которое работает в обоих случаях. Попробуйте и посмотрите.
Это простой пример, но вы можете использовать алгебраические методы для решения гораздо более сложных задач этого типа.

Существует три метода решения:
Замена одной переменной на другую.
Исключение одной из переменных
Нарисуйте два уравнения, чтобы увидеть, где они пересекаются.

Проверьте свой ответ здесь

Все эти методы описаны ниже.

Проверь себя

Этот интерактивный рабочий лист и самопроверка помогут проверить ваши навыки и заполнить пробелы.

CIMT — одновременные уравнения

Подробнее

Этот анимированный учебник на Mathtutor объясняет концепцию одновременных уравнений.

Mathtutor — Анимация одновременных уравнений

Если вам нужно больше практики, вернитесь к

CIMT — одновременные уравнения

Воспользуйтесь ссылками «Покажи мне», чтобы увидеть три способа решения одновременных уравнений, а затем выполните упражнения в конце.

Эта серия Mathtutor состоит из 35-минутного видеоурока, упражнений и PDF-файла для печати, который хорошо освещает тему.

Mathtutor — уроки одновременных уравнений

Прямая ссылка на PDF-файл для печати по одновременным линейным уравнениям

В этой теме вы повторите следующее:

Урок 1. Что такое квадратичная функция

Урок 2. Решение квадратных уравнений с помощью факторизации

Урок 3. Решение квадратных уравнений с использованием формулы

Урок 1. Что такое квадратичная функция

Об этом уроке

Квадратное уравнение — это уравнение, в котором наибольшая степень переменной равна 2, например 

х ² +2х — 3 = 0

Квадратное уравнение обычно имеет два корня, другими словами, есть два значения x, которые делают приведенное выше утверждение верным. В особых случаях квадратное уравнение может не иметь корней или иметь два одинаковых корня, поэтому фактически один корень.

Нахождение корней квадратных уравнений является важным математическим навыком, и для этого есть несколько способов. Об этом подробнее в последующих уроках.

Вот график квадратичной функции x ² +2x — 3 = y, который показывает значения y для различных значений x .

 
Источник изображения: http://www. cimt.plymouth.ac.uk/projects/mepres/book9/bk9i17/bk9_17i2.html

Чтобы решить уравнение x ² +2x — 3 = 0, нам нужно посмотреть на точки, где y = 0, то есть где график пересекает горизонтальную ось. Вы можете видеть, где

x = 1 и x = -3 и это корни уравнения.

Форма графика называется параболой, и в этом случае ось симметрии проходит через точку
x = -1

Скрытые квадратичные уравнения

Иногда уравнение может не выглядеть как квадратное уравнение для пример:

3x(2x-1) = 6

, но при упрощении и перемещении всех терминов влево становится

6x ² — 3x — 6 = 0

Проверь себя

Ссылка ниже охватывает большую часть работы в этом модуле. Если вы понимаете все это и вопросы в конце, вы можете пропустить уроки в этом модуле.

Математика — это весело — Ресурсы по математике — Квадратные уравнения

Подробнее

Проведите некоторое время с этим Обозреватель квадратных уравнений  из открытого справочника по математике. Это позволяет вам изменять значения a, b и c в уравнении a x ² + b x + c = 0 для создания различных уравнений и просмотра полученного графика x ² + б х + с = у

Источник изображения: http://www.mathopenref.com/quadraticexplorer.html

Этот видеоурок от Maths Gives You Power представляет собой обзор квадратных уравнений.

 

Математика — это весело — Ресурсы по математике — Квадратные уравнения

Урок 2 — Решение квадратных уравнений методом факторизации

Об этом уроке

Примечание : в США используется термин факторизация, а не факторизация

Вот график квадратичной функции x ² +2x — 3 = y из Урока 1

 

Источник изображения: http://www. cimt.plymouth.ac.uk/projects/mepres/book9/bk9i17/bk9_17i2.html

Чтобы решить уравнение x ² +2 x — 3 = 0 с помощью факторизации, вам нужно превратить выражение слева в пару множителей, перемноженных вместе.

То есть ( x + 3)( x — 1) =0

Это позволяет нам найти корни благодаря закону нулевого фактора, который говорит нам, что

Если ab = 0 

7

6 Тогда a должно равняться нулю, или b должно равняться нулю, или оба должны равняться нулю.

Таким образом, либо x + 3 = 0
поэтому х = -3
Или х — 1 = 0
Следовательно, x = 1

Итак, это корни уравнения, которое согласуется с тем, что вы видите на графике.

Проверь себя

 

CIMT — Квадратные уравнения с помощью факторизации

 

Узнайте больше

0007

Уроки Ханской Академии ON — Решение квадратиков путем фактора

Посмотреть математику — это веселье — математические ресурсы — Квадратичные уравнения

. Все содержание KHAN Academy доступны для бесплатного

444499. /www.khanacademy.org/

Урок 3. Решение квадратных уравнений по формуле

Об этом уроке

Иногда невозможно решить квадратное уравнение путем разложения на множители, как бы вы ни старались, а построение графика не помогает всегда давайте точное значение, поэтому необходим другой метод.

Это метод квадратичных формул, который работает для любого квадратного уравнения, имеющего корни.

Это формула. Это выглядит сложно и требует тщательной проработки.

Если a x ² + b x +c = 0, тогда корни равны

Часть с пометкой +/- означает, что на самом деле нужно рассчитать две версии. Сначала со знаком плюс, потом со знаком минус. Вот как вы получаете два корня

Проверь себя

 

Math Is Fun — Ресурсы по математике — Квадратные уравнения   Ответьте на вопросы в конце страницы

 

Подробнее

Посмотрите следующее видео от Maths Gives you Power — Решение квадратных уравнений с помощью формулы

 

Посмотрите урок Академии Хана по квадратичной формуле

 

Используйте Math Is Fun — математические ресурсы для  квадратных уравнений

  Все материалы Академии Хана доступны бесплатно по адресу www.khanacademy. com

 

Справочные сайты для Модуля 3 — Базовые навыки — Расширение математических навыков

Справочные сайты

Академия Хана — Алгебра 1

Полный набор руководств и тестов

Репетитор по математике — Алгебра

Подробные видеоуроки продолжительностью от 20 до 40 минут, учебники в формате PDF, диагностические тесты и упражнения 

Математика дает вам силу — канал YouTube

Серия видеоуроков по ряду математических тем.

Math Open Ref — Индексная страница

Имеет хороший набор интерактивных проводников в разделе «Инструменты».

Все материалы Академии Хана доступны бесплатно по адресу  www.khanacademy.com  

Третий модуль: линейные и квадратичные навыки после теста

Когда вы закончите модуль, проверьте свои знания с помощью этого пост-тест с множественным выбором.

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ:

• Этот тест подтвердит ваш уровень понимания навыков в этом модуле.
• Попробуйте ответить на все вопросы теста.
• Чтобы достичь «мастерства» (уровня, на котором вы действительно компетентны в этих навыках), вам необходимо набрать не менее 80%
• Вам нужно будет ввести свое имя и адрес электронной почты в тесте, чтобы получить результаты по электронной почте ты.

• Если вы хотите использовать эти результаты для применения к изучайте бизнес в UTAS или UNDA, убедитесь, что вы сохранили их для использования в качестве свидетельство того, что вы прошли модуль.

Третий модуль: Последующее тестирование

Введение в линейную алгебру 

Эта серия обучающих видео будет включать следующее.

Введение в линейную алгебру

Обзор векторов и матриц

Решение линейных уравнений:

Метод исключения с использованием матриц

Справочником для этой серии является «Линейная алгебра и ее приложения» Дэвида К. Лея . Еще одна книга «Линейная алгебра и ее приложения» Гилберта Стрэнга также рекомендуется. Гилберт Странг также читает курс по этой теме, который находится в свободном доступе на сайте MIT Open Courseware. Первое обучающее видео посвящено пониманию методов решения систем линейных уравнений (набор одного или нескольких линейных уравнений с одинаковыми переменными X1 ….. Xn ) первого шага в этом курсе линейной алгебры. Два видео включают решенный пример, и в этом чтении одна из проблем, описанных в видео, решена шаг за шагом в матричной нотации, за которой следует еще одна. Линейная алгебра составляет основу математического моделирования, пример линейного программирования, используемого во всех основных отраслях, от экономики, машиностроения, космических технологий до электрических сетей. В линейной алгебре обычно дается решение.

 

Василий Леонтьев получил Нобелевскую премию по экономике за свою работу в области анализа затрат и результатов. Он является архитектором математического моделирования, пионером в использовании компьютеров для анализа этих сложных вычислений. Не стесняйтесь ссылаться на книгу по вашему выбору, но ссылка на достойную книгу была бы очень полезной. Многие ресурсы находятся в сети бесплатно. Этот курс рассчитан на количественные вычисления, дополнен многими задачами и решениями, чтобы вы были компетентны в этом предмете.

Знакомство с векторами и скалярами

Следующее видео будет включать решение линейных уравнений. Мы понимаем, как интерпретировать наклон линейных уравнений.

 

В следующем видеоролике показано, как решить систему линейных уравнений.

 

 

Введение в линейную алгебру

 

Примечание в видео D записывается как L. Здесь C обозначает коэффициенты уравнения, а L решение. C и L могут быть действительными или комплексными числами, а нижний индекс n может принимать любое положительное число от числа 2 до числа в тысячах или более.

C ₁ x _{1 +} C ₂ x ₂ + C ₃ x ₃ + ……………………… C _n x 0 +…

 

# Скаляры и векторы

Начнем с понимания разницы между скалярами и векторами. Скаляры задают величину, а векторы задают и направление, и величину. Энтропия и скорость являются примерами скаляра, а скорость и сила — примерами вектора. Например, путешествие в на северо-восток со скоростью 80 км в час обозначает как величину, так и направление. В векторах стрелка символизирует направление действия, а длина — величину действия. Простое утверждение 80 км в час было бы скалярной величиной, но указание направления (северо-восток) становится вектором.

Пример: Вы едете из дома на север 3 км, затем поворачиваете на запад 2 км, чтобы добраться до пункта назначения.

3 km = a, 2 km = b — скалярное представление. V = ai+bj; здесь i — единичный вектор, указывающий на север, j — единичный вектор, указывающий на запад

Матрица только с одним столбцом известна как вектор или вектор-столбец. Вектор будет рассмотрен в теме r-two. Обратитесь к учебнику, чтобы узнать больше.

Система линейных уравнений может иметь любой из трех исходов. Она имеет либо одно, либо нет, либо бесконечное число решений. Примеры линейных уравнений, которые можно построить в двух измерениях; График этих уравнений представляет собой линии, которые будут интересны в одной точке для системы линейных уравнений, имеющей единственное решение, или будут параллельны для тех систем, которые не имеют решения. Хороший способ идентифицировать уравнения, не имеющие решения, — это когда коэффициенты набора уравнений равны нулю. Это означает, что если в любой строке матрицы коэффициенты равны нулю, то матрица не имеет решения. Системы, не имеющие решения, несовместны.

У уравнений, которые имеют бесконечные решения, линии пересекаются или совпадают друг с другом, поэтому решений много. Метод исключения используется для вычисления решения для систем линейных уравнений, метод, используемый алгоритмами в компьютерах для вычисления решений для сложных систем. Система линейных уравнений непротиворечива, если она имеет либо единственное, либо бесконечное число решений. Набор решений для системы включает в себя все числа, которые являются решением набора линейных уравнений в системе. Если ваша линейная система состоит из трех уравнений с тремя переменными, то набор решений должен выполняться для всех трех уравнений. Обратитесь к модулю.

# Линейное уравнение в матричной форме

x ₁ — 3 x ₃ = 8

2 x ₁ + 2 + 3 2 x ₁ + 2 + 39000 3 2 _{9 1} + 2 + 3

3 2 ₁ + 2 + 3

3 2 x ₁ + 2 +

2 x ₁ .

X ₂ + 5 X ₃ = -2      

Возьмем приведенный ниже пример, в котором есть три линейных уравнения. С левой стороны у вас есть запись линейного уравнения со всеми коэффициентами, перечисленными для соответствующих уравнений. Первое уравнение X ₁ – 3X ₃ = 8 коэффициенты 1, 0 и -3, 0 для X ₂ . Обратите внимание, что в уравнении 1 нет переменной X ₂ , подразумевающей, что коэффициент переменной равен 0. В первом уравнении 8 является константой или решением уравнения. Расширенная матрица состоит из всех констант системы линейных уравнений системы. Правая расширенная матрица.

Приведенная выше система решается ниже. Множество решений системы означает, что значения коэффициентов X _1, X _{2 ,}   X ₃ должны удовлетворять решениям всех уравнений, т. е. при подстановке они должны быть равны константе в правой части уравнения.

Строки матрицы взаимозаменяемы. Верхнюю строку 2 можно сдвинуть к строке 3 и наоборот без изменения фундаментальных свойств систем линейных уравнений, то есть изменение строк не влияет на результат.

Видео | Канал Middle Road на YouTube 

# Решение линейной системы. В этом примере три линейных уравнения составляют

 

Ниже приведен решенный вопрос из книги «Линейная алгебра и ее приложения» Дэвида С. Лея. Решите приведенные ниже системы и перечислите набор решений.

X ₁ – 3 X ₃ = 8                                                                     

2 х ₁ + 2 х ₂ + 9 х ₃ = 7

X ₂ + 5 X ₃ = -2      

Следующее системное уравнение записано в матричной форме ниже. Имеются четыре столбца и три строки, и система представлена ​​в виде Матрицы A. 0928 обозначение . (Сторона) Под элементами здесь понимаются коэффициенты переменных вместе с их константами. Матрица A представляет собой расширенную матрицу (3*4), т.е. 3 строки и 4 столбца . (m*n) Нам нужно решить для трех переменных X _1, X _2, X _3. Мы можем видеть коэффициенты трех переменных слева и константы справа, столбец C4 . Чтобы найти набор решений для этой системы линейных уравнений, используйте метод исключения, чтобы найти ответ на одну переменную. Получив значение для любой из переменных, используйте метод подстановки, чтобы найти другие решения.

Глядя на уравнения в матричной форме, вы видите, что мы можем исключить X ₂ , если умножим все элементы в строке 3 на 2 и вычтем новое уравнение из строки 2. Сохранение уравнения в матрице

 

Теперь умножьте строку 1 на 2 и добавьте строки 1 и строки 3, чтобы получить новые элементы. для строки 3. Мы хотим удалить коэффициенты двух элементов или переменных, чтобы найти значение одной из переменных. Здесь, добавляя ряд 1 и ряд 3, мы удаляем x ₁ и x ₂ , чтобы найти значение x _3.

из строки 3, -5 x ₃ = 5, который x ₃ = 5/-5 =- 1

Замените значение x ₃ в уравнениях системы, приведенных

x ₂ + 5 x ₃ = -2 ====> x ₂ + 5 (-1. ) = -2; X ₂ = -2 +5 = 3

Теперь у нас есть следующие значения. Х ₃ = -1, X ₂ = 5

Подставьте значение X3 в приведенное ниже уравнение, чтобы найти значение X. = 8 + 3x _{3 ================>} x ₁ = 8 + 3 (-1) = 8-3 = 5

x

₁ = 5; X ₂ = 3 и  X ₃ = -1                                                                      Набор решений  (5,3-1) 

 

В приведенном ниже видео более подробно объясняется решение приведенной выше системы линейных уравнений.

 

 

Проблема Проверьте, непротиворечиво ли следующее уравнение? Вопрос: Дэвид Си Лей 

х ₁ + 3 х ₃ = 2

х ₂ — 3 х ₄ = 3

-2 х ₁ + 3 х ₃ + 2 х ₄ = 1

3 X ₁ +7 X ₄ = -5

 

Во-первых, используйте матричное представление для приведенной выше задачи.

Есть четыре переменные и одна константа, это матрица 4*5

Вам нужно исключить три переменные, чтобы получить решение для одной переменной. Умножьте 1-ю строку на 3 и вычтите 4-ю строку из 1-й.0007

x ₁ + 3 x ₃ = 2 *3 = 3 x ₁ + 9 x ₃ = 6

3 x ₁ + 9 x ₃ = 6

— (3 + 9 x ₃ = 6

— (3 + ₃ = 6

— X ₁ +7 X ₄ = -5)    =  9 X ₃ – 7 X ₄ = 11

 

Теперь добавим строку 2 и строку 3 для новых значений для строки формы 2. Мы используем матрицу только для решения уравнения. Обновление новых значений для строки 2.

 

X ₂ — 3 X ₄

+ ( — 2 x ₂ + 3 x ₃ + 2 x ₄ = 1)

=======> 3 x ₃ — 4 x ₄ =. 7 ROW 2

Скалы 2 на 3. (3x ₃ — 4x ₄ = 7) * 3 = 9 x ₃ — 12 x ₄ = 21,

31100 — 12 x ₄ = 21,

3100 — 12 x ₄ = 21,

00 — 12 x ₄ = 21,

00 Теперь вычтите это уравнение из уравнения 1, чтобы получить новое уравнение для строки 1.

9 х ₃ – 7 х ₄ = 11

-(9 x ₃ -12 x ₄ = 21) ============> 5 x ₄ = -10

Система линейных уравнений в настоящее время является следующей

5 x ₄ = 2

9 x ₃ -12 x ₄ = 21

-2 x ₂ + 3 x ₃

-2 x ₂ + 3 x ₃

-2 x ₂ + 3 x ₃

-2 x _{2 .}

No related posts.