Линейные уравнения с одной переменной задания: Линейное уравнение с одной переменной. Алгоритм решения. Алгебра, 7 класс: уроки, тесты, задания.

Линейное уравнение с одной переменной. 7-й класс

Урок № 1.

Тип урока: закрепление пройденного материала.

Цели урока:

Образовательные:

• формирование навыка решения уравнения с одним неизвестным сведением его к линейному уравнению с помощью свойств равносильности.

Развивающие:

• формирование ясности и точности мысли, логического мышления, элементов алгоритмической культуры;
• развитие математической речи;
• развитие внимания, памяти;
• формирование навыков само и взаимопроверки.

Воспитательные:

• формирование волевые качества;
• формирование коммуникабельность;
• выработка объективной оценки своих достижений;
• формирование ответственности.

Оборудование: интерактивная доска, доска для фломастеров, карточки с заданиями для самостоятельной работы, карточки для коррекции знаний для слабоуспевающих учащихся, учебник, рабочая тетрадь, тетрадь для домашних работ, тетрадь для самостоятельных работ.

Ход урока

1. Организационный момент – 1мин.

Поприветствовать учащихся, проверить их готовность к уроку, объявить тему урока и цель урока.

2. Проверка домашнего задания – 4 мин.

Учащиеся проверяют домашнюю работу, решение которой выведено с обратной стороны доски одним из учащихся.

3. Устная работа– 6 мин.

(1) Пока идет устный счет, слабоуспевающие учащиеся получают карточку для коррекции знаний и выполняют 1), 2), 4) и 6) задания по образцу. (См. Приложение 1.)

Карточка для коррекции знаний.

(2) Для остальных учащихся задания проецируются на интерактивную доску: (См. Презентацию: Слайд 2)

1. Вместо звездочки поставь знак “+” или “–”, а вместо точек – числа:
   
   а) (*5)+(*7) = 2;
   б) (*8) – (*8) = (*4)–12;
   в) (*9) + (*4) = –5;
   г) (–15) – (*…) = 0;
   д) (*8) + (*…) = –12;
   е) (*10) – (*…) = 12.
2. Составь уравнения, равносильные уравнению:
   а) х – 7 = 5;
   б) 2х – 4 = 0;
   в) х –11 = х – 7;
   г) 2(х –12) = 2х – 24.

3. Логическая задача: Вика, Наташа и Лена в магазине купили капусту, яблоки и морковь. Все купили разные продукты. Вика купила овощ, Наташа – яблоки или морковь, Лена купила не овощ. Кто что купил? (Один из учащихся, выполнивший задание выходит к доске и заполняет таблицу.) (Слайд 3)

	Вика	Наташа	Лена
К
Я
М

  Заполнить таблицу

	Вика	Наташа	Лена
К	+	–	–
Я	–	–	+
М	–	+	–

 Ответ

(Учащиеся используют пластиковые листы и фломастеры. )

4. Обобщение умения решать уравнения сведением их к линейному уравнению –9 мин.

Коллективная работа с классом. (Слайд 4)

Решим уравнение

12 – (4х – 18) = (36 + 5х) + (28 – 6х). (1)

для этого выполним следующие преобразования:

1. Раскроем скобки. Если перед скобками стоит знак “плюс”, то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки. Если перед скобками стоит знак “минус”, то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки:

12 – 4х + 18 = 36 + 5х + 28 – 6х. (2)

Уравнения (2) и (1) равносильны:

2. Перенесем с противоположными знаками неизвестные члены так, чтобы они были только в одной части уравнения (или в левой, или в правой). Одновременно перенесем известные члены с противоположными знаками так, чтобы они были только в другой части уравнения.

Например, перенесем с противоположными знаками неизвестные члены в левую, а известные – в правую часть уравнения, тогда получим уравнение

– 4х – 5х + 6х = 36 + 28 – 18 — 12, (3)

равносильное уравнению (2), а следовательно, и уравнению (1).

3. Приведем подобные слагаемые:

–3х = 34. (4)

Уравнение (4) равносильно уравнению (3), а следовательно, и уравнению

(1).

4. Разделим обе части уравнения (4) на коэффициент при неизвестном.

Полученное уравнение х = будет равносильно уравнению (4), а следовательно, и уравнениям (3), (2), (1)

Поэтому корнем уравнения (1) будет число

По этой схеме (алгоритму) решаем уравнения на сегодняшнем уроке:

1. Раскрыть скобки.
2. Собрать члены, содержащие неизвестные, в одной части уравнения, а остальные члены в другой.
3. Привести подобные члены.
4. Разделить обе части уравнения на коэффициент при неизвестном.

Примечание: следует отметить, что приведенная схема не является обязательной, так как часто встречаются уравнения, для решения которых некоторые из указанных этапов оказываются ненужными. При решении же других уравнений бывает проще отступить от этой схемы, как, например, в уравнении:

7(х – 2) = 42.

5. Тренировочные упражнения – 8 мин.

№ № 132(а, г), 135(а, г), 138(б, г) – с комментарием и записью на доске.

6. Самостоятельная работа – 14 мин. (выполняется в тетрадях для самостоятельных работ с последующей взаимопроверкой проверкой; ответы будут отображены на интерактивной доске)

Перед самостоятельной работой учащимся будет предложено задание на сообразительность – 2 мин.

Не отрывая карандаша от бумаги и не проходя дважды по одному и тому же участку линии, начертите распечатанное письмо. (Слайд 5)

(Учащиеся используют пластиковые листы и фломастеры.)

1. Решить уравнения (на карточках) (См.

Приложение 2)

Дополнительное задание № 135 (б, в).

7. Подведение итогов урока – 1 мин.

Алгоритм сведения уравнения к линейному уравнению.

8. Сообщение домашнего задания – 2 мин.

п.6, № № 136 (а-г), 240 (а), 243(а, б), 224 (Разъяснить содержание домашнего задания).

Урок № 2.

Цели урока:

Образовательные:

• повторение правил, систематизация, углубление и расширение ЗУНов учащихся по решению линейных уравнений;
• формирование умения применять полученные знания при решении уравнений различными способами.

Развивающие:

• развитие интеллектуальных умений: анализа алгоритма решения уравнения, логического мышления при построении алгоритма решения уравнения, вариативности выбора способа решения, систематизации уравнений по способам решения;
• развитие математической речи;
• развитие зрительной памяти.

Воспитательные:

• воспитание познавательной активности;
• формирование навыков самоконтроля, взаимоконтроля и самооценки;
• воспитание чувства ответственности, взаимопомощи;
• привитие аккуратности, математической грамотности;
• воспитание чувства товарищества, вежливости, дисциплинированности, ответственности;
• Здоровьесбережение.

а) образовательная: повторение правил, систематизация, углубление и расширение ЗУНов учащихся по решению линейных уравнений;

б) развивающая: развитие гибкости мышления, памяти, внимания и сообразительности;

в) воспитательная: привитие интереса к предмету и к истории родного края.

Оборудование: интерактивная доска, сигнальные карточки (зеленая и красная), листы с тестовой работой, учебник, рабочая тетрадь, тетрадь для домашних работ, тетрадь для самостоятельных работ.

Форма работы: индивидуальная, коллективная.

Ход урока

1. Организационный момент – 1мин.

Поприветствовать учащихся, проверить их готовность к уроку, объявить тему урока и цель урока.

2. Устная работа – 10 мин.

(Задания для устного счета выводятся на интерактивную доску.) (Слайд 6)

1) Решите задачи:

а) Мама старше дочери на 22 года. Сколько лет маме, если им вместе 46 лет
б) В семье трое братьев и каждый следующий младше предыдущего в два раза. Вместе всем братьям 21 год. Сколько лет каждому?

2) Решите уравнения: (Пояснить)

;

Какие из данных уравнений являются линейными?

(Во время устного счета учащиеся используют сигнальные карточки: зеленую и красную)

3) Проверьте, правильно ли решено уравнение, если нет, то найди ошибки. (Слайд 7)

4 · (х – 5) = 12 – х 4х – 5 = 12 – х 4х + х = 12 – 5 5х = 7 /:5 х = 1,4

Желающий выходит к интерактивной доске  исправить ошибки

4) Пояснить задания из домашней работы, вызвавшие затруднение.

3. Выполнение упражнений – 10 мин. (Слайд 8)

(1) Какому неравенству удовлетворяет корень уравнения:

4 – 5х = 5

а) x > 1;
б) x < 0;
в) x > 0;
г) x < –1.

(2) При каком значении выражении у значение выражения 2у – 4 в 5 раз меньше значения выражения 5у – 10?

(3) При каком значении k уравнение kx – 9 = 0 имеет корень равный – 2?

Посмотри и запомни (7 секунд). (Слайд 9)

Через 30 секунд учащиеся воспроизводят рисунок на пластиковых листах.

4. Физкультминутка – 1,5 мин.

Упражнение для глаз и для рук

(Учащиеся смотрят и повторяют упражнения, которые проецируются на интерактивную доску.)

5. Самостоятельная тестовая работа – 15 мин.

(Учащиеся выполняют тестовую работу в тетрадях для самостоятельных работ, дублируя ответы в рабочих тетрадях. Сдав тесты, учащиеся сверяют ответы с ответами, отображенными на доске)

Учащиеся, справившиеся с работой раньше всех, помогают слабоуспевающим учащимся.

(См. Приложение 3)

6. Подведение итогов урока – 2 мин.

– Какое уравнение с одной переменной называется линейным?

– Что называется корнем уравнения?

– Что значит “решить уравнение”?

– Сколько корней может иметь уравнение?

7. Сообщение домашнего задания. – 1 мин.

п. 6, № № 294(а, б),244, 241(а, в), 240(г) – Уровень А, В

п.6, № № 244, 241(б, в), 243(в),239, 237– Уровень С

(Разъяснить содержание домашнего задания.)

8. Рефлексия – 0,5 мин.

– Вы довольны своей работой на уроке?

– Какой вид деятельности вам понравился больше всего на уроке.

Литература:

1. Алгебра 7. / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Пешков, С.В. Суворова. Под редакцией С.А. Теляковского. / М.: Просвещение, 1989 – 2006.
2. Сборник тестовых заданий для тематического и итогового контроля. Алгебра 7 класс/ Гусева И.Л., Пушкин С.А., Рыбакова Н.В.. Общая ред.: Татур А.О. – М.: “Интеллект-Центр” 2009 – 160 с.
3. Поурочное планирование по алгебре. / Т.Н.Ерина. Пособие для учителей /М: Изд. “Экзамен”, 2008. – 302,[2] с.
4. Карточки для коррекции знаний по математике для 7 класса./ Левитас Г.Г. /М.: Илекса, 2000. – 56 с.

Линейное уравнение с одной переменной с примерами.

п.1. Количество корней линейного уравнения с одной переменной

Линейным уравнением с одной переменной x называют уравнение вида ax = b, где a и b — действительные числа.
a называют коэффициентом при переменной , а b — свободным членом .

При решении линейных уравнений возможны три случая.

a

b

x

Количество корней

a ≠ 0

$b \in \Bbb R$ — любой

$x = \frac{b}{a}$

Один корень

a = 0

b = 0

$x \in \Bbb R$ — любой

Бесконечное множество корней

a = 0

b ≠ 0

$x \in \Bbb \varnothing $

Решений нет

п.2. Примеры

Пример 1. Решите уравнение 6-5x = 8(3,5-2x)

Решение:

$ 6-5x = 8(3,5-2x) \iff 6-5x = 28-16x \iff -5x+16x = 28-6 \iff $

$ \iff 11x = 22 \iff x = 2 $

Ответ: x=2

Пример 2. 2-3a)}{a} = \frac{a(a-3)}{a} = a-3 \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} a = 0 \\ 0x = 0 \end{array} \right.} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} a≠0 \\ x = a-3 \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} a = 0 \\ x \in \Bbb R \end{array} \right.} \end{array} \right. $$

Ответ: при a ≠ 0,x = a-3; при a = 0, $x \in \Bbb R$ — любой

Пример 6*. Решите уравнение (k+1)x = k

Решение:

$$ (k+1)x = k \iff \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} k+1 ≠ 0 \\ x = \frac{k}{k+1} \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} k+1 = 0 \\ 0x = -1 \end{array} \right.} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} k ≠ -1 \\ x = \frac{k}{k+1} \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} k = -1 \\ x \in \Bbb \varnothing — решений \quad нет \end{array} \right.} \end{array} \right. $$

Ответ: при k ≠ -1, $ x = \frac{k}{k+1} $, при k = -1 решений нет

Пример 7*. Решите уравнение ax+b = cx+d

Решение:

$$ ax+b = cx+d \iff ax-cx = d-b \iff (a-c)x = d-b \iff $$

$$ \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} a-c ≠ 0 \\ x = \frac{d-b}{a-c} \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} a-c = 0 \\ d-b = 0 \\ 0x = 0 \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} a-c = 0 \\ d-b ≠ 0 \\ 0x ≠ 0 \end{array} \right.} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} a ≠ c \\ x = \frac{d-b}{a-c} \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} a = c \\ d = b \\ x \in \Bbb R — любой \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} a = c \\ d ≠ b \\ x \in \Bbb \varnothing — решений \quad нет \end{array} \right.} \end{array} \right. $$

c++ — Решение линейного уравнения с одной переменной

Решение линейного уравнения (надеюсь) чрезвычайно легко для вас, если вы вычислили коэффициенты a и b в уравнении a * x + b = 0 .

Итак, самая трудная часть задачи состоит в том, чтобы разобрать выражение и «вычислить» его для нахождения коэффициентов. Выражение вашего примера чрезвычайно простое, в нем используются только операторы унарный - , бинарный - , бинарный + . И = , с которым вы могли бы справиться специально.

Из вопроса не ясно, должно ли решение также обрабатывать выражения, включающие двоичные числа * и / или скобки. Мне интересно, предназначен ли вопрос интервью:

• , чтобы вы написали какой-то простой код, или
• , чтобы вы спросили, каковы реальные масштабы проблемы, прежде чем что-то писать.

Оба навыка важны 🙂

Возможно даже, что вопрос предназначен:

• для того, чтобы отделить тех, у кого есть большой опыт написания синтаксических анализаторов (которые будут решать его так же быстро, как они могут писать/печатать) от тех, у кого его нет (которые могут столкнуться с трудностями при решении этого вопроса в все в течение нескольких минут, по крайней мере, без каких-либо намеков).

В любом случае, чтобы учесть будущие более сложные требования, существует два распространенных подхода к разбору арифметических выражений: рекурсивный спуск или алгоритм маневровой станции Дейкстры. Вы можете найти их, и если вам нужны только простые выражения в версии 1.0, вы можете использовать упрощенную форму алгоритма Дейкстры. Затем, когда вы проанализировали выражение, вам нужно его оценить: используйте значения, которые являются линейными выражениями в x и интерпретировать = как оператор с наименьшим возможным приоритетом, что означает «вычесть». Результатом является линейное выражение x , равное 0 .

Если вам не нужны сложные выражения, вы можете оценить этот простой пример практически слева направо после его токенизации[*]:

 x
х + 9
// устанавливаем бит "мы нашли знак минус", чтобы отрицать первое, что следует
x + 7 // и очистить отрицательный бит
х + 3
2 * х + 3
// устанавливаем бит "мы нашли знак равенства", чтобы отрицать все последующие
3*х+3
3*х - 2
3*х - 1
3*х - 4
4*х - 4
 

Наконец, решите a * x + b = 0 как x = - b/a .

[*] пример кода токенизации, на Python:

 acc = None
для idx, ch в перечислении (ввод):
    если ch в '1234567890':
        если акк равен None: акк = 0
        акк = 10 * акк + интервал (ч)
        продолжать
    если согл != Нет:
        доходность согласно
        акк = Нет
    если ch в '+-=x':
        выход ч
    Элиф ch == ' ':
        проходить
    еще:
        поднять ValueError('недопустимый символ "%s" в %d' % (ch, idx))
 

Альтернативный пример кода токенизации, также на Python, при условии, что между токенами всегда будут пробелы, как в примере. Это оставляет проверку токена парсеру:

 return input.split()
 

Определение линейной зависимости

Что такое линейная зависимость?

Линейная связь (или линейная ассоциация) – это статистический термин, используемый для описания прямолинейной связи между двумя переменными. Линейные отношения могут быть выражены либо в графическом формате, где переменная и константа связаны прямой линией, либо в математическом формате, где независимая переменная умножается на коэффициент наклона, к которому добавляется константа, определяющая зависимую переменную.

Линейной зависимости можно противопоставить полиномиальную или нелинейную (криволинейную) зависимость.

Основные выводы

• Линейная связь (или линейная ассоциация) — статистический термин, используемый для описания прямолинейной зависимости между двумя переменными.
• Линейные зависимости могут быть выражены либо в графическом формате, либо в виде математического уравнения вида y = mx + b.
• Линейные отношения довольно распространены в повседневной жизни.

Линейное уравнение:

Математически линейная зависимость — это зависимость, удовлетворяющая уравнению:

 у «=» м Икс + б где: м «=» склон б «=» y-перехват \begin{выровнено} &y = mx + b \\ &\textbf{где:}\\ &m=\text{наклон}\\ &b=\text{y-перехват}\\ \end{выровнено} ​y=mx+b, где:m=slopeb=y-отрезок​

В этом уравнении «x» и «y» — это две переменные, которые связаны параметрами «m» и «b». Графически y = mx + b отображается в плоскости x-y как линия с наклоном «m» и точкой пересечения с y «b». Точка пересечения y «b» — это просто значение «y», когда x=0. Уклон «m» рассчитывается из любых двух отдельных точек (x ₁ , у ₁ ) и (х ₂ , у ₂ ) как:

 м «=» ( у 2 − у 1 ) ( Икс 2 − Икс 1 ) м = \ гидроразрыва {(y_2 — y_1)}{(x_2 — x_1)} м = (x2​−x1​)(y2​−y1​)​

Линейные отношения

О чем говорят вам линейные отношения?

Есть три набора необходимых критериев, которым должно соответствовать уравнение, чтобы считаться линейным: уравнение, выражающее линейную зависимость, не может состоять более чем из двух переменных, все переменные в уравнении должны быть в первой степени. , и уравнение должно быть представлено прямой линией.

Обычно используемая линейная зависимость представляет собой корреляцию, которая описывает, насколько близко к линейной форме изменяется одна переменная по отношению к изменениям другой переменной.

В эконометрике линейная регрессия — это часто используемый метод построения линейных зависимостей для объяснения различных явлений. Он обычно используется для экстраполяции событий из прошлого, чтобы делать прогнозы на будущее. Однако не все отношения линейны. Некоторые данные описывают криволинейные отношения (например, полиномиальные отношения), в то время как другие данные не могут быть параметризованы.

Линейные функции

Математически похожей на линейную зависимость является концепция линейной функции. От одной переменной линейную функцию можно записать следующим образом:

 ф ( Икс ) «=» м Икс + б где: м «=» склон б «=» y-перехват \begin{выровнено} &f(x) = mx + b \\ &\textbf{где:}\\ &m=\text{наклон}\\ &b=\text{y-перехват}\\ \end{выровнено} ​f(x)=mx+b, где:m=slopeb=y-отрезок​

Это идентично данной формуле для линейной зависимости, за исключением того, что вместо 9 используется символ f(x).0121 г. Эта замена сделана, чтобы подчеркнуть значение того, что x отображается в f(x), тогда как использование y просто указывает на то, что x и y являются двумя величинами, связанными отношениями A и B.

При изучении линейной алгебры свойства линейных функций широко изучаются и становятся строгими. Учитывая скаляр C и два вектора A и B из R ^N , наиболее общее определение линейной функции гласит: с × ф ( А + Б ) «=» с × ф ( А ) + с × ф ( Б ) c \times f(A +B) = c \times f(A) + c \times f(B) с × е (А + В) = с × е (А) + с × е (В)

Примеры линейных зависимостей

Пример 1

Линейные отношения довольно распространены в повседневной жизни. Возьмем, к примеру, понятие скорости. Формула, которую мы используем для расчета скорости, выглядит следующим образом: показатель скорости – это расстояние, пройденное за время. Если кто-то в белом минивэне Chrysler Town and Country 2007 года едет между Сакраменто и Мэрисвиллем в Калифорнии, отрезком в 41,3 мили по шоссе 99, и вся поездка занимает 40 минут, она будет двигаться со скоростью чуть менее 60 миль в час.

Хотя в этом уравнении более двух переменных, оно по-прежнему является линейным уравнением, поскольку одна из переменных всегда будет константой (расстоянием).

Пример 2

Линейную зависимость также можно найти в уравнении расстояние = скорость x время. Поскольку расстояние является положительным числом (в большинстве случаев), эта линейная зависимость будет выражена в правом верхнем квадранте графика с осями X и Y.

Если велосипед, сделанный для двоих, ехал со скоростью 30 миль в час в течение 20 часов, то велосипедист в итоге проедет 600 миль. Представленная графически с расстоянием по оси Y и временем по оси X, линия, отслеживающая расстояние за эти 20 часов, будет проходить прямо от точки схождения осей X и Y.

Пример 3

Чтобы преобразовать градусы Цельсия в градусы Фаренгейта или Фаренгейты в градусы Цельсия, вы должны использовать приведенные ниже уравнения. Эти уравнения выражают линейную зависимость на графике:

 ° С «=» 5 9 ( ° Ф − 3 2 ) \степень C = \frac{5}{9}(\степень F — 32) ° С = 95​(° F-32)

 ° Ф «=» 9 5 ° С + 3 2 \градус F = \frac{9}{5}\градус C + 32 ° F = 59 ° C + 32

Пример 4

Предположим, что независимой переменной является размер дома (измеренный в квадратных футах), который определяет рыночную цену дома (зависимая переменная), когда она умножается на коэффициент наклона 207,65, а затем добавляется к постоянному члену 10 500 долларов США.