реальный анализ — Доказательство $\ln e = 1$
спросил
Изменено 8 лет, 8 месяцев назад
Просмотрено 2к раз
$\begingroup$
Используя определение $$ \ln x = \int_1^x \frac{dt}{t}, $$ можно ли показать, что $\ln e = 1$, не показывая сначала, что $\exp$ и $\ ln$ являются обратными функциями? Здесь $e$ определяется рядом $$ e = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}.
n}{n!}$. Тогда $g(1)=e$, $g'(x)=g(x)$ и, следовательно, $\ln(g(x))’=\ln'(g(x))g'(x) =\frac{1}{g(x)}g(x)=1$, следовательно, $\ln(g(x))=x+c$. Так как $g(0)=1$ и $\ln(1)=0$, то $c=0$, следовательно, $\ln(g(x))=x$ и, значит, $\ln(e) =\ln(g(1))=1$. 9н\\
\ln e&=\lim_{n \to \infty}n\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right).
\end{выравнивание}
$$
Пусть $\dfrac{1}{n}=x\;\Rightarrow\; n=\dfrac{1}{x}$. Так как $n\to\infty$, $x\to0$, то
$$
\ln e=\lim_{x \to 0}\frac{\ln\left(1 + x\right)}{x}.
$$
Теперь вы можете применить правило Лопиталя к RHS. Надеюсь, это поможет.
$$\\$$
$$\Large\color{blue}{\text{#}\mathbb{QED}\text{#}}$$
$\endgroup$
3 909к \\ &= 1 + 1 + \frac{1}{2!}(1 — \frac 1n) + \frac{1}{3!}(1 — \frac 1n)(1 — \frac 2n) + \ldots + \frac{1}{n!}(1 — \frac 1n)\cdots(1 — \frac{n-1}{n}). \end{выравнивание}$$
Отсюда легко увидеть, что $a_n < a_{n+1}$ и $a_n < e$, используя ваше определение $e$, так что этот предел существует.
$$ =\lim_{k\стрелка вправо\infty}k\ln ((1+1/k))$$ $$ =\lim_{k\стрелка вправо\infty}\frac{\ln ((1+1/k))}{1/k}$$ $$ =\lim_{u\rightarrow 0}\frac{\ln (1+u)}{u}$$
Применение Лопиталя и основной теоремы исчисления
$$ =\lim_{u\rightarrow 0}\frac{1}{u+1}=1$$
$\endgroup$
7
$\begingroup$
Мы знаем, что $e= \lim_{n \to +\infty}(1+\frac 1n)^{n}$.