Логарифмические уравнения
Репетиторы ❯ Математика ❯ Логарифмические уравнения
Автор: Валентин В., онлайн репетитор по математике
●
29.10.2011
●
Раздел: Математика
Для начала обратимся к задаче.
Задача.
Решить уравнение log2 (х + 1) + log2 (х + 3) = 3 (1).
Решение.
Предположим, что х – такое число, при котором равенство (1) является верным, т.е х – корень уравнения (1). Тогда, опираясь на свойство логарифма, получаем верное равенство log
По определению логарифма из этого равенства получаем:
(х + 1)(х + 3) = 8, откуда х2 + 4х + 3 = 8,
т.е. х2 + 4х – 5 = 0.
Последнее равенство верно, если х1 = 1 или х2 = -5.
Итак, результатом предположения, что число х – корень уравнения (1), стало доказательство того, что х может быть равным или 1 или -5.
Проверим, являются ли полученные числа корнями уравнения (1). Подставляем х = 1 в левую часть данного уравнения и получаем
log2 (1 + 1) + log2 (1 + 3) = log2 2 + log2 4 = 1 + 2 = 3,
т.е. х = 1 – корень уравнения (1).
При х = -5 числа х + 1 и х + 3 отрицательны, и поэтому левая часть уравнения (1) смысла не имеет, то есть х = -5 не является корнем рассматриваемого уравнения.
Ответ. х = 1.
Заметим, что х = -5 является корнем уравнения (2), т.к. log2 (-5 + 1)(-5 + 3) = log 2 8 = log2 23 = 3.
Получается, что число х = 1 является корнем и уравнения (1), и уравнения (2), а число х = -5 не является корнем уравнения (1), но при этом является корнем уравнения (2).
Таким образом, при получении из уравнения (1) уравнения (2) корень х = 1 сохранился, но и появился посторонний корень х = -5. В таком случае уравнение (2) получило название следствия уравнения (1).
!!! Следствием первого уравнения называется второе уравнение, если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения.
Отметим, что в уравнении, которое является следствием данного, появление посторонних корней не рассматривается как обязательное явление; важно лишь не потерять корни исходного уравнения.
В большинстве случаев, как и в рассмотренной задаче, уравнение решается постепенным «передвижением» к более простым уравнениям – следствиям исходного уравнения. В таких случаях после нахождения корней необходима их проверка.
Рассмотрим задачу.
Задача.
Решить уравнение log2 (1 – х) = 3 – log2 (3 – х).
Решение.
1) Перенесем логарифм из правой части в левую: log2 (1 – х) + log2 (3 – х) = 3, откуда
log2 (1 – х)(3 – х) = 3 → (1 – х)(3 – х) = 8.
2) Решим полученное уравнение. Получим х1 = 5, х2 = -1.
3) Проведем проверку корней уравнения. Число х1 = 5 не является корнем исходного уравнения, так как при
х = 5 теряют смысл левая и правая части уравнения. Число х2 = -1 является корнем исходного уравнения.
Ответ. х = -1.
Равносильными называются уравнения, имеющие одно и то же множество корней. В частности, если два уравнения корней не имеют, они также являются равносильными.
Отметим, что любое из двух равносильных уравнений является следствием другого.
Напомним, что уравнение приводит нас к уравнениям, равносильным ему, в результате следующих преобразований:
1) можно переносить из одной части в другую любой член уравнения, помня при этом, что знак этого компонента необходимо заменить на противоположный;
2) можно умножить или разделить на одно и то же число обе части уравнения при условии, что это число не равно нулю.
Однако не при любом преобразовании уравнение меняется на равносильное.
Например, если мы возведем в квадрат обе части уравнения √х = х – 2, то получим уравнение х = (х – 2)2, которое является следствием первого, но в то же время не равносильно ему. Поэтому после решения второго уравнения обязательно необходимо проверить, являются ли его корни корнями исходного уравнения.
!!! Следует помнить, что при делении обеих частей уравнения на выражение, которое содержит неизвестное, может произойти потеря корней. Следовательно, уравнение, в обеих частях которого есть общий множитель, решают путем переноса всех членов в одну часть и разложения на множители.
При решении уравнений важно не потерять корни, а вот посторонние корни можно установить посредством проверки. Поэтому необходимо следить за тем, чтобы при преобразовании уравнения каждое последующее уравнение было следствием предыдущего.
© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Остались вопросы?
Задайте свой вопрос и получите ответ от профессионального преподавателя.
Задать вопрос
Математика
Курсы по математике 10 класс
Математика
Курсы по математике 9 класс
Математика
Математика 11 класс
Математика
Курсы по геометрии 7 класс
Математика
Курсы по алгебре 7 класс
Математика
Алгебра 8 класс
Математика
Курсы по геометрии 8 класс
Французский язык
Курсы французского языка для начинающих
Открытая Математика.
Алгебра. Показательные и логарифмические уравнения Показательные уравненияПо определению логарифма из основного логарифмического тождества получаем, что f (x)=loga b. Если f (x) − алгебраическая функция, то и это уравнение будет алгебраическое, которое можно решить с помощью стандартных методов (так как loga b − это конкретное число, такое же, как и 5, 17, π, 10124 и т. п.).
Уравнения вида F (af (x))=0, a > 0, a≠1
Такие уравнения решаются в два этапа:
a) С помощью замены t=af (x) это уравнение сводится к уравнению F (t) = 0, у которого ищутся все его положительные корни tk, k=1, n¯, n∈ℤ (пусть таких корней ровно n штук).
b) Для каждого k=1, n¯ решается уравнение типа рассмотренного выше: af (x)=tk.
Эти два типа показательных уравнений являются основными, к ним сводятся все остальные методы.
Решите уравнение 4tg2 x+21cos2 x=8.
Так как 4tg2 x+21cos2 x=41cos2 x-1+21cos2 x=14ċ22cos2 x+21cos2 x=8, то, делая замену t=21cos2 x, получаем квадратное уравнение 14t2+t-8=0, корни которого t1=4 и t2=-8. Второй корень, очевидно, посторонний, так как нарушается условие t > 0. Получаем уравнение 1-го типа: 21cos2 x=4=22⇔1cos2 x=log2 4=2⇒cos2 x=12⇒⇒cos 2x=2 cos2 x-1=2ċ12-1=0⇒x=π4+πn2.
Ответ. x=π4+πn2, n∈ℤ.
Уравнения вида af (x) = ag (x), a > 0, a ≠ 1
В силу свойств монотонности показательной функции это уравнение равносильно уравнению f (x) = g (x).
Решите уравнение (3(3x+3)12x)2x-1=3310.
Так как (3(3x+3)12x)2x-1=3(1+x+32x)ċ2x-1
и 3310=31-110=3910,
то уравнение можно записать в виде 3(1+x+32x)ċ2x-1=3910.
Следовательно, исходное уравнение равносильно иррациональному уравнению (1+x+32x)ċ2x-1=910.
Ответ. 25.
Решите уравнение (87)y-2=(78)-|2-y2|-1.
Сразу заметим, что уравнение имеет вид (87)1/y2=(87)1/|2-y2|, что равносильно уравнению
1y2=1|2-y2|⇔{|2-y2|=y2,y≠0,y2≠2;⇔[2-y2=y2⇔y2=1,2-y2=-y2⇔y∈∅.⇔y=±1.Ответ. 1, –1.
Уравнения вида af (x) = bg (x), a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1
При решении таких уравнений применяется стандартный приём. Прологарифмируем обе его части по любому основанию. В нашем случае удобно логарифмировать по основанию a (или b), то есть по основанию показательной функции, входящей в уравнение:
loga a f (x)=loga bg (x)⇔f (x)=g (x) loga b.
А это уравнение уже можно решать стандартными алгебраическими способами, если f (x) и g (x) – алгебраические выражения.
Решите уравнение 32ċ252x=5ċ21x.
Уравнение легко преобразовать к виду 24-1x=51-4x. Оно содержит показательные функции с разными основаниями. Для его решения прологарифмируем обе части по любому основанию, например, по основанию 2. Имеем: 4-1x=(1-4x)log2 5⇔4x-1x=-(4x-1)log2 5⇔(4x-1)(1x+log2 5)=0. Корни этого уравнения x1=14 и x2=-1log2 5=log512. Заметим, что обе части исходного уравнения строго положительны, и поэтому логарифмирование не могло привести ни к потере корней, ни к появлению новых.
Замечание. Рассмотренный приём перехода от уравнения af (x) = bg (x) к уравнению f (x) = g (x) loga b или, в общем случае, переход от уравнения
F (x) = G (x)
к уравнению
loga F (x) = logb G (x) (a > 0, a ≠ 0)
называется логарифмированием.
Заметим, что переход (1) → (2) в общем случае нарушает равносильность, так как логарифм существует только у неотрицательного числа.
Например, логарифмирование обеих частей уравнения x = x3, которое имеет вид (1), приводит нас к неравносильному уравнению lg x = lg x3 (область определения сузилась). Действительно, x=x3⇔x(x2-1)=0⇔[x=0,x=1,x=-1;lgx=lgx3⇔{x(x2-1)=0,x>0;⇔x=1.
Таким образом, произошла потеря корней исходного уравнения. Как видно, логарифмирование не является «безобидной» операцией, но в процессе решения уравнения типа af (x) = bg (x) эти неприятности не возникают, так как обе его части положительны.
Логарифмические уравненияУравнения вида loga f (x) = b, a > 0, a ≠ 1
Здесь предполагается, что f (x) − функция, уравнения с которой мы уже умеем решать. По определению логарифма из основного логарифмического тождества получаем, что f (x) = ab.
Это уравнение можно решать любыми доступными методами, поскольку ab – это число.
Уравнения вида F (loga f (x))=0, a>0, a≠1
Совершенно аналогично показательным уравнениям, уравнения такого типа решаются в два этапа.
С помощью замены t=loga f (x) это уравнение сводится к уравнению F (x) = 0, у которого ищутся все его корни tk, k=1, n¯, n∈ℤ (пусть таких корней ровно n штук).
Для каждого k=1, n¯ решается уравнение типа рассмотренного выше: loga f (x)=tk.
Понятно, что совершенно не обязательно уравнение будет иметь рассмотренный вид. А значит, в процессе преобразований логарифмических уравнений следует стремиться к тому, чтобы привести все входящие в уравнение логарифмы к одному основанию. При этом необходимо помнить об области определения рассматриваемых выражений, стараясь, чтобы при преобразовании она не уменьшалась, − те корни, которые, возможно, будут приобретены, можно будет отсеять проверкой.
Решите уравнение 2 log49 (x-1)2+log7(2x+97x+9)=0.
Преобразуем левую часть уравнения, приводя все логарифмы к основанию 7. 2ċ12ċ2 log7 |x-1|+2 log7(2x+97x+9)=0,log7|x-1|(2x+9)(7x+9)=0⇒|x-1|(2x+9)(7x+9)=1.
а) {x>1,(x-1)(2x+9)=(7x+9).⇔{x>1,x2=9. Корень последнего уравнения с учётом ограничения x > 1 есть x = 3.
б) {x<1,(1-x)(2x+9)=(7x+9).⇔{x<1,-2×2-14x=0.⇔{x<1,x(x+7)=0.⇔[x=0,x=-7.
Поскольку мы использовали, вообще говоря, неравносильное преобразование суммы логарифмов в логарифм произведения (это расширяет область определения), то необходима проверка, которая показывает, что все три найденных числа являются корнями исходного уравнения. Заметим, что число x = 1 рассматривать не нужно, поскольку оно не входит в ОДЗ уравнения.
Ответ. 0, 3, −7.
Решите уравнение
(x+4) log4 (x+1)+(4-x) log2 (x-1)-83log2 (x2-1)=0.
ОДЗ данного уравнения: {x+1>0,x-1>0;⇔x>1. Выполним цепочку преобразований, равносильных в ОДЗ. 83log2 (x+1)+83log2 (x-1)=x+42log2 (x+1)-(x-4)log2 (x-1)⇔⇔(83+(x-4))log2 (x-1)=(x+42-83)log2 (x+1)⇔⇔(8+3x-123)log2 (x-1)=(3x+12-166)log2 (x+1)⇔⇔(3x-43)log2 (x-1)=(3x-46)log2 (x+1)⇔⇔(3x-46)(2 log2 (x-1)-log2 (x+1))=0⇔
1) 3x – 4 = 0, x=43 − входит в ОДЗ.
2) 2 log2 (x-1)-log2 (x+1)=0⇔log2(x-1)2(x+1)=0⇔(x-1)2(x+1)=1 (x + 1 > 0 в ОДЗ), x2-2x+1=x+1⇔x2-3x=x(x-3)=0.x = 0 − не входит в ОДЗ.
x = 3 − входит в ОДЗ.
Ответ. 3, 43.
Уравнения вида loga f (x) = loga g (x), a > 0, a ≠ 1
ОДЗ данного уравнения: {f (x)>0,g (x)>0.
В силу монотонности логарифмической функции, каждое своё значение она принимает ровно один раз.
Следовательно, в ОДЗ имеем:
loga f (x)=loga g (x)⇔f (x)=g (x).
Полная система равносильности выглядит так: loga f (x)=loga g (x)⇔{f (x)>0,f (x)=g (x);⇔{g (x)>0,f (x)=g (x).
Из двух последних систем выбирается та, которая проще (это зависит от конкретного вида функций f (x) и g (x)). На практике, как правило, проще решить уравнение f (x) = g (x) и проверить для его корней положительность одной из функций: f (x) > 0 или g (x) > 0, так как из равенства одной из этих функций следует положительность и другой.
Рассмотренный переход от уравнения loga f (x) = loga g (x) к уравнению f (x) = g (x) называется потенцированием.
Заметим, что потенцирование не является равносильным преобразованием. Область определения уравнения при потенцировании расширяется, так как второе уравнение определено при всех x, для которых определены функции f (x) и g (x), а первое − только при тех x, для которых f (x) > 0 и g (x) > 0.
Решите уравнение lg(x2+9x)+lgx+9x=0.
Преобразуем сумму логарифмов в логарифм произведения: lg(x2+9x)(x+9)x=0, или lg(x+9)2=0. Потенцируя по основанию 10, имеем (x+9)2=1, откуда x = –8, x = –10. Подстановка этих чисел в исходное уравнение даёт, что только x = –10 является корнем.
Ответ. x = –10.
Решите уравнение log3 (6sinx+4) log5 (6sinx+4)-log3 (6sinx+4)-log5 (6sinx+4)=0.
Очевидна замена 6 sin x + 4 = t > 0 (это требование взято из ОДЗ, ведь от t берётся логарифм). Перейдём к равносильному уравнению: log3 tlog3 tlog3 5=log3 t+log3 tlog3 5⇔log3 tlog3 tlog3 5=log3 t (log3 5+1)log3 5⇔log3 tlog3 tlog3 5=log3 t (log3 3+log3 5)log3 5⇔log3 tlog3 tlog3 5=log3 t log3 15log3 5⇔[log3 t=0,log3 t=log3 15;⇔[t=6sinx+4=1>0,t=6sinx+4=15>0;⇔[sin x=-12,x∈∅;⇔x=(-1)n+1π6+πn, n∈ℤ.
Ответ. (-1)n+1π6+πn, n∈ℤ.
Смотрите также:
Математика,
Английский язык,
Химия,
Биология,
Физика,
География,
Астрономия.
А также: библиотека ЭОРов и образовательный онлайн-сервис с тысячами интерактивных работ «Облако знаний».
8.6- Решение логарифмических уравнений — MHF4U-Глава 8
| Пример 1: Решите для x в уравнении 8Log(2x)=28 Шаг 2: Формальное преобразование уравнения в экспоненциальное. логарифмический член. В этом случае, чтобы выделить логарифмический член в левой части уравнения, обе части необходимо разделить на 8: 8 Log (2x)=28 =8Log (2x)=28 8 8 =Log(2x)=7 2 Шаг 2: Теперь, когда логарифмический член выделен, преобразуйте уравнение в экспоненциальную форму. Отзыв! y=logax эквивалентно x=ay Следовательно, теперь уравнение будет записано следующим образом: 103,5=2x Шаг 3: Найдите значение x, выделив x. В этом случае, чтобы изолировать x, 2 нужно разделить на обе стороны. 103,5=2x С помощью калькулятора найдите значение x 2 2 x=103,5 2 x≈1581,13883 Проверить! Проверьте ответ, график функции или с использованием замены и подразделения решаемого значения x обратно в уравнение и посмотрите, если LS = RS График: с использованием заменителя: 8log (2x) = 28 LS 8log (2x) = 28 LS 8log (2x) = 28 LS 8log (2x) = 28 LS (2x) 28 =8Log(2(1581. =28 ∴ LS=RS Таким образом, x действительно равен 1581,13883 Решение логарифмических уравнений, содержащих несколько логарифмических членов. Пример 2: Найдите x в log(x+8)-log(x-6)=log(3x-8) Шаг 1: Посмотрите, следует ли из законов логарифмов. В этом случае частное следует. Следовательно, теперь уравнение можно упростить, как показано на рисунке: Так как loga(m÷n)= logam-logan log (x+8) =log(3x-8) (x-6) Шаг 2: Приведите обе части уравнения к экспоненциальной форме, поместив их в показатель степени основания e 9.0009 elog((x+8)÷(x-6))= elog(3x-8) Шаг 3: Упростите уравнение. Теперь уравнение можно упростить, как показано ниже: (x+8)=(3x-8) (x-6) (x+8)=(3x-8)(x-6) ( x+8)=(3×2-24x-8x+48) (x+8)=(3×2-32x+48) =3×2-23x-x+48-8 =3×2-24x+40 x=5,632993162 x=2,367006838 | 🌟 Реальные приложения для решения логарифмических уравнений: Решение логарифмических уравнений могут быть полезны в научных областях, таких как интенсивность и величина звука, они могут быть полезны для измерения того, насколько громче или сильнее звук или землетрясение. Пример: решение научных уравнений, таких как магнитуда землетрясения. Магнитуда землетрясения определяется следующим уравнением: R=log (a÷T)+B , где R=7,5, B=5,4, T=8; определить значение а. ~ Используя методы и навыки решения логарифмических уравнений, можно решить значение «а». Sub R=7.5, B=5.4, T=8 в R=log (a÷T)+B R=log (a÷T)+B 7.5=log(a÷8)+5.4 Решите для: 7,5=log(a÷8)+5,4 7,5-5,4=log(a÷8) 2,1=log(a÷8) 10 2,1 =a÷8 38() =a 1007,14=a ∴ a= 1007,14 Пример: Громкость звука в децибелах (дБ) определяется следующим уравнением: ~Где L=громкость (дБ) I= интенсивность звука (Вт/м 2 ) I 0 = 10 -12 Вт/м 2 • Милый пушистый шпиц лает в зоомагазине. Определите силу лая собаки, если уровень его звука составляет 96 дБ. Sub L=96dB, I 0 =10 -12 в L=10log(I÷I 0 ) L=10log (I÷10 -12 ) (I=log 90 90 ÷10 -12 ) 96÷10=log (I÷10 -12 ) 9,6=log(I÷10 -12 ) 10 5÷ 4,60144 -12 (10 9,6 ) (10 -12 ) = I I = 10 -2,4 I = 3,981×10 -3 999997 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7. 7. -3 дБ. |
13883) 
981X10 -3 возведение в степень — Решение уравнения с логарифмом в показателе степени
спросил
Изменено 3 года, 5 месяцев назад 9{\log_N{125}} = 216 $$
Я знаю, что здесь ответ 5, но как мне переписать уравнения, чтобы решить их?
Я пытался взять журнал с обеих сторон, но это мне не помогло, потому что я застрял. Может ли кто-нибудь объяснить мне, как это сделать?
Спасибо!
- логарифмы
- возведение в степень
$\endgroup$
$\begingroup$
Подсказка: Используйте правила логарифмирования, особенно правило степени и правило изменения основания.