Логарифмы — формулы, свойства, примеры, как решать?
Поможем понять и полюбить математику
Начать учиться
209.6K
Вы знаете, какая тема в математике объединяет рога горных козлов, многие галактики и возможность получить 4 первичных балла на ЕГЭ по профильной математике? Это логарифм и его свойства! Но обо всем по порядку.
Что такое логарифм?
Нагляднее всего понять это с помощью графического решения уравнений. Начертим график и с его помощью решим уравнения:
x = 1 | x = 2 |
Отлично! А теперь решим уравнение .
И в этом случае невозможно назвать точное значение, то есть мы понимаем, что корень больше одного и меньше двух, но более точных данных нет.
Вот такой корень и задается с помощью логарифма, а именно (читается как «логарифм пяти по основанию три» или «логарифм по основанию три от пяти»).
Мы определили смысл — теперь перейдем к общему определению логарифма.
Логарифмом числа b по основанию a называют показатель степени с основанием a, равной b. То есть, попросту говоря, логарифм — это степень, в которую нужно возвести a для получения b. Однако у логарифма есть условия или ограничения, что основание а больше нуля и не равно единице, а также показатель b больше нуля.
Реши домашку по математике на 5.
Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.
Как решать примеры с логарифмами?
Рассмотрим пример, как решить логарифм:
Задаем вопрос: в какую степень нужно возвести 7, чтобы получить 49?
Ответ: во вторую степень. Значит, .
Какие бывают виды логарифмов?
Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается как . Пример десятичного логарифма: .
Логарифм по основанию e называется натуральным логарифмом и обозначается как . Пример натурального логарифма: .
Свойства и формулы логарифмов
Эта формула называется основным логарифмическим тождеством.
Пример: .
Пример: .
Пример: .
Логарифм степени находится по формуле: .
Видно, что показатель степени выносим перед логарифмом.
Пример: .
Показатель степени основания также выносим перед логарифмом, но в виде обратного числа, то есть, например, вместо 5 будет .
Пример: .
Если нужно перейти к другому основанию, то можно сделать это по формуле: . Свойство называется формулой перехода к новому основанию.
А частным случаем предыдущей формулы является формула, которая позволяет менять местами основание и аргумент логарифма: .
Конечно, это не все свойства логарифмов, а только самые главные. Комбинируя свойства выше, можно получать все новые и новые формулы для логарифмов.
Например, соединив 4-ю и 5-ю формулы, получим . Но запоминать ее нет смысла, важно знать лишь базовые свойства логарифмов.
Применение логарифмических свойств в примерах
Пример 1
Найдите значение выражения , если .
Если видите частное в показателе логарифма, то распишите по 3-й формуле: .
Решение
У каждого логарифма в показателе стоит степень, значит, поможет 4-я формула:
.
Первый логарифм можно вычислить по определению. И обратите внимание на второй логарифм: у него в основании стоит а, а в условии задачи дан логарифм с основанием b, значит, нужно а как-то заменить на b. Возможно ли это? Конечно, 7-я формула в помощь!
.
Подставьте числовое значение из условия, и все готово:
.
Отличный пример! Мы использовали практически все свойства логарифмов. А теперь попрактикуйтесь еще, но помните, что задача с подвохом!
Пример 2
Вычислите: .
Получился ответ 27? Если да, то поздравляю: вы попались на удочку самых популярных ошибок! Какое бы задание вам ни встретилось, действия с логарифмами нужно производить только по определениям и правилам. В примере вы видите деление двух логарифмов. А есть ли какая-то формула, в которой записано деление двух логарифмов?
Конечно, это формула перехода к новому основанию, которую мы привели в пункте 6 выше. Применим ее к этому случаю и вычислим логарифм по определению, задав вопрос: в какую степень нужно возвести основание, чтобы получился показатель?
.И получается ответ 4, а не 27.
Практическое применение логарифмов
Помните, выше мы говорили, что логарифм объединяет задания на ЕГЭ, галактики и рога горных козлов? И если с баллами на ЕГЭ все понятно, то про галактики и рога — интереснее.
Все дело в том, что существует логарифмическая спираль, которая задается по формуле: . По этой логарифмической спирали растут рога горных козлов, закручены многие галактики (и даже та, в которой мы живем), а также раковины некоторых морских животных, усики растений, ураганы, смерчи и многое другое.
Как видите, логарифмы имеют большое значение для нашей жизни — не только баллы на ЕГЭ!
Вопросы для самопроверки
Чтобы информация точно усвоилась, вспомните:
Что такое логарифм?
Какие ограничения есть у логарифма?
Какие логарифмические свойства вы знаете?
Какие бывают способы преобразования выражений с логарифмом?
В чем практическое применение логарифмов?
На курсах по математике в онлайн-школе Skysmart мы всегда показываем, зачем нужны математические правила и формулы в реальной жизни — ведь так учиться гораздо интереснее! И подтянуть знания перед ЕГЭ тоже поможем: приходите на бесплатный вводный урок и все увидите сами.