Теория вероятности формула бернулли: Формула Бернулли — Онлайн калькуляторы

alexxlab / / Разное

Задачи по теории вероятности на формулу Бернулли — Задачи #9102772 — Статистика и теория вероятности

Задача 1. Пусть проводится n  6 независимых испытаний, в каждом из которых
вероятность появления события A постоянна и равна p  0,1 . Найти вероятность того,
что в данной серии испытаний событие A появится m  3 раза.

Задача 2. Стрелок делает 6 выстрелов по мишени. Вероятность попадания при одном выстреле 2/3. Найти вероятность того, что он попал 4 раза.

Задача 3. В результате обследования были выделены семьи, имеющие по 4 ребенка. Считая вероятности появления мальчика и девочки в семье равными, определить вероятности появления в ней:
а) одного мальчика;
б) двух мальчиков.

Задача 4. Статистика аудиторских проверок компании утверждает, что вероятность обнаружения ошибки в каждом проверяемом документе равна 0,1. Какова вероятность, что из десяти проверяемых документов девять из них не будет содержать ошибки?

Задача 5. По данным технического контроля 2% изготовленных станков нуждаются в дополнительной регулировке. Найти вероятность того, что из 6 изготовленных станков 4 нуждаются в дополнительной регулировке.

Задача 6. Производится 5 выстрелов в мишень. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 3/4 . Найти вероятность того, что в мишени будет не менее трѐх, но и не более четырѐх пробоин. Найти наивероятнейшее число попаданий и соответствующую ему вероятность.

Задача 7. В каждой из восьми урн имеется 10 белых и 5 черных шаров. Из каждой урны извлекли по одному шару. Что вероятнее: появление двух черных и шести белых или трех черных и пяти белых шаров?

Задача 8. Вероятность поражения стрелком мишени равна 0,5. Найти вероятность того, что при 8 выстрелах мишень будет поражена от 5 до 7 раз.

Задача 9. Для вычислительной лаборатории приобретено девять компьютеров, причем вероятность брака для одного компьютера равна 0,1. Какова вероятность, что придется заменить более двух компьютеров.

Задача 10. В магазине 6 покупателей. Каждый может совершить покупку с вероятностью 0,4. Найти вероятность того, что не более двух человек совершат покупку.

Задача 11. Четыре покупателя приехали на оптовый склад. Вероятность того, что каждому из этих покупателей потребуется холодильник марки «Атлант», равна 0,4. Найти вероятность того, что холодильник потребуется:
а) не менее чем двум покупателям; б) не более чем трем покупателям; в) всем четырем покупателям.

Задача 12. Вероятность попадания стрелка в мишень при 1-м выстреле равна 0,5 .
Производится 5 выстрелов. Найти вероятность того, что стрелок промахнется не более двух раз.

Задача 13. Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет: а) менее 2 раз; б) не менее 2 раз.

Задача 14. Частица пролетает последовательно мимо 5 счетчиков. Каждый счетчик независимо от остальных отмечает ее пролет с вероятностью 0,8. Частица считается зарегистрированной, если она отмечена не менее чем 2 счетчиками.

Найти вероятность зарегистрировать частицу.

Задача 15. В телеателье имеется 7 телевизоров. Для каждого телевизора вероятность того, что в данный момент он включен, равна 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включены: а) четыре телевизора; б) хотя бы один телевизор; в) не менее трех телевизоров.

Тема:Задачи по теории вероятности на формулу Бернулли
Артикул:9102772
Дата написания:17.08.2020
Тип работы:Задачи
Предмет:Статистика и теория вероятности
Количество страниц: 8

Теория вероятностей и матстатистика — Схема испытаний Бернулли. Теорема Бернулли, следствия.

« Предыдущий вопрос

Формула полной вероятности, вывод.

Область применения теоремы Байеса. Опр.: пусть событие А может произойти только совместно с одним

Загрузка

СкачатьПолучить на телефон

например +79131234567

txt fb2 ePub html

на телефон придет ссылка на файл выбранного формата

Что это

Шпаргалки на телефон — незаменимая вещь при сдаче экзаменов, подготовке к контрольным работам и т.д. Благодаря нашему сервису вы получаете возможность скачать на телефон шпаргалки по теории вероятности и матстатистике. Все шпаргалки представлены в популярных форматах fb2, txt, ePub , html, а также существует версия java шпаргалки в виде удобного приложения для мобильного телефона, которые можно скачать за символическую плату. Достаточно скачать шпаргалки по теории вероятности и матстатистике — и никакой экзамен вам не страшен!

Сообщество

Не нашли что искали?

Если вам нужен индивидуальный подбор или работа на заказа — воспользуйтесь этой формой.

Следующий вопрос »

Локальная теорема Лапласа

Функция (х) и её свойства. В тех случаях, когда число испытаний n велико, а вероятность р близка к


Опр.: несколько опытов называются независи-мыми, если их исходы представляют собой неза-висимые в совокупности события; другими сло-вами если опыт выполняется при данном ком-плексе условий многократно, причем наступле-ние некоторого соб. А в каждом испытании не зависит от исхода других испытаний, то такие испытания называются независимыми.(Пример: подбрасывание монеты, стрельба по мишени без поправок на ошибку при повторном выстреле)
Опр.: последовательность n-независимых испы-таний в каждом из которых может про изойти некоторое событие с вероятностью Р(А)=р, или соб. с вероятностью Р( )=1-q называется схемой Бернулли. (Пример: при подбрасывании монеты, соб А выпадение герба, соб. — выпаде-ние орла.

Теорема: если производится n-независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления соб.А=р, а вероятность его не появле-ния q=1-р, то вероятность того, что соб. А про-изойдет ровно m раз вычисляется по формуле Бернулли:

m=1,2,…,n
Доказательство: найдем вероятность того, что соб.А ровно m раз появится в первых m опытах и n-m раз не появится в остальных опытах Р(А*…*А*
Найдем число слагаемых, для этого определим скольким числом способов можно расставить m штук А на n мест (характер выборки: неупоря-доч. , без повторений):
т.о.
m=1,2,…,n
совокупность вероятностей Рn(0), Рn(1), Рn(2),…, Рn(n), называется биномиальным законом рас-пределения.
Следствие: если в серии из n независимых опы-тов в каждом из которых может произойти одно и только одно из k-событий А1, А2, А3,…, Аk с вероятностями р1, р2, р3,… рk соответственно, то вероятность того, что соб.Аn появится вычисля-ется по формуле:

Рn(m1;m2;…;mk)=
m1+m2+…+mk=n
Ломанная соединяющая точки с координатами (m; Рn(m)), где m=1,2,…,n, называется много-угольником распределения вероятностей

Распределение Бернулли: интуитивное понимание

В сегодняшней статье я расскажу вам о распределении Бернулли. Это одно из самых простых и в то же время самых известных дискретных распределений вероятностей. Мало того, это основа многих других более сложных дистрибутивов.

Этот пост является частью моей серии о дискретных распределениях вероятностей.

В моем вводном посте о вероятностных распределениях я дал вам некоторое представление о двух основных типах: дискретных и непрерывных. А в следующем посте я показал вам общие формулы для расчета среднего значения и дисперсии любого распределения вероятностей.

Цель этого поста — дать вам более подробную информацию и интуицию о самом известном из всех дискретных распределений вероятностей, включая его функцию массы вероятности, среднее значение и дисперсию.

Содержание

Введение

В обзорном посте о дискретных распределениях вероятностей я показал вам, что вы можете увидеть основное различие между дискретными и непрерывными распределениями вероятностей в связанных с ними выборочных пространствах.

Короче говоря, выборочное пространство дискретного распределения вероятностей либо конечно, либо счетно бесконечно. С другой стороны, выборочное пространство непрерывного распределения вероятностей несчетно бесконечно. Следовательно, вы можете думать о дискретных выборочных пространствах как о подмножествах натуральных чисел, а о непрерывных выборочных пространствах — как о подмножествах действительных чисел. Подробнее об этом можно прочитать в разделе, посвященном дискретным демонстрационным пространствам.

Я также сказал вам, что каждое дискретное распределение вероятностей на самом деле является классом конкретных распределений, определяемых функцией массы вероятности (PMF). Конкретные распределения связаны с конкретными значениями одного или нескольких параметров PMF. Подробнее об этом можно прочитать в разделе параметров того же поста.

Распределение Бернулли имеет дело со случайными величинами, которые имеют ровно 2 возможных результата. И он просто присваивает вероятность каждому из этих исходов. Довольно просто, не так ли?

Единственная реализация случайной величины Бернулли называется испытанием Бернулли . С другой стороны, последовательность реализаций называется последовательностью Бернулли или, более формально, процессом Бернулли . Различные типы последовательностей Бернулли приводят к более сложным распределениям, таким как биномиальное распределение и распределение Пуассона.

Прежде чем я расскажу вам подробности о распределении Бернулли, позвольте мне рассказать вам несколько слов о его названии.

История распределения Бернулли.

Якоб Бернулли. На самом деле он не был тем, кто придумал сам термин. В то время концепция распределения вероятностей еще даже не была открыта.

Распределение названо в честь Бернулли, потому что он был тем, кто явно определил то, что мы сегодня называем испытанием Бернулли. А именно, эксперимент только с двумя возможными исходами. Для удобства эти результаты обычно называют «успехом» и «неудачей» (но не придавайте слишком большого значения этим ярлыкам). Эта традиция началась с самого Бернулли в его книге Ars Conjectandi («Искусство строить догадки»), опубликованная через 8 лет после его смерти. Взгляните на эту цитату:

Обложка Ars Conjectandi

Чтобы избежать утомительного многословия, я буду называть случаи, в которых может произойти определенное событие, плодородным или плодородным . Я буду называть стерильным те случаи, в которых событие не может произойти. Я также буду называть эксперименты плодовитыми или плодородными , в которых обнаружен один из фертильных случаев; и я позвоню неплодородные или стерильные те, у которых наблюдается один из стерильных случаев.

Многие историки считают Ars Conjectandi основополагающим документом математической вероятности. В нем представлены первые формальные решения сложных вероятностных задач и представлены фундаментальные понятия комбинаторики, такие как перестановки и комбинации (если вам интересно, ознакомьтесь с моей статьей о комбинаторике).

Приведенная выше цитата из другой замечательной части книги, в которой Бернулли представляет первое доказательство того, что мы сегодня называем законом больших чисел (ЗБЧ). Он доказал слабая версия закона путем анализа поведения гипотетических бесконечных последовательностей испытаний «успех»/«неудача» с фиксированной вероятностью. Для получения дополнительной информации ознакомьтесь с моим постом на LLN.

Распределение Бернулли

Рассмотрим несколько примеров реальных процессов, которые могут быть представлены распределением Бернулли. Мы ищем случайные величины только с двумя возможными исходами. Другими словами, нам нужны случайные величины, выборочное пространство которых содержит ровно 2 элемента.

На самом деле вы можете взять любой процесс и разделить его выборочное пространство на 2 части по любому четко определенному критерию. Рассмотрим несколько процессов:

  • Подбрасывание монеты
  • Бросание шестигранного кубика
  • Вытягивание случайной карты из колоды из 52 карт
  • Вращение колеса рулетки рассматривают вероятность выпадения «орла» или «решки». Бросок кубика можно было бы устроить, если разделить 6 возможных исходов на 2 группы, например «нечетное против четного» или «1/5 против 2/3/4/6». В примере с карточным розыгрышем вы также можете разделить 52 возможных результата на 2 группы, например «красная против черной масти». Точно так же в случае с рулеткой вы можете разделить результаты, скажем, на «меньше или больше или равно 10».

    Все это примеры повторяющихся физических процессов. Однако распределение Бернулли является более общим, и вы можете применять его для вычисления байесовских или даже логических вероятностей (см. мой пост об интерпретациях вероятностей). Это могут быть вероятности гипотез или утверждений (настоящих, прошлых и будущих). Например, вероятности, получаемые из таких вопросов, как «был ли вчера дождь?», «идет ли дождь в настоящее время?» и «будет ли дождь завтра?» также может быть представлено распределением Бернулли.

    Суть в том, что каждый раз, когда вы имеете дело с выборкой, состоящей только из двух результатов, вы имеете дело с распределением Бернулли.

    Параметры и функция массы вероятности

    В обзоре поста о дискретных распределениях я показал вам общее обозначение для PMF любого распределения: функция».

    Распределение Бернулли имеет один параметр, часто называемый стр . Значение p является действительным числом в интервале [0, 1] и обозначает вероятность одного из исходов.

    Вот как выглядит функция массы вероятности распределения Бернулли:

    Здесь x означает результат. Простой способ прочитать это:

    • Вероятность исхода 1 равна p
    • Вероятность исхода 0 равна (1 – p)

    Если вы подставите любое другое значение для x (кроме 0 или 1) , распределение вернет вероятность 0,

    Например, при подбрасывании монеты p обозначает наклон монеты. А в примере с розыгрышем карт p означает соотношение красных и черных мастей в колоде. Обратите внимание, что:

       

    Таким образом, на самом деле не имеет значения, какую вероятность исхода вы выбираете для представления с помощью p, если вы непротиворечивы.

    Кстати, если вы хотите увидеть простой пример байесовской оценки параметров для распределений Бернулли, посмотрите мой пост об оценке смещения монеты.

    Среднее значение распределения Бернулли

    Помните общую формулу среднего значения дискретного распределения вероятностей:

    На словах оно равно сумме произведений всех исходов и их соответствующих вероятностей. Ну, распределение Бернулли имеет только 2 параметра, поэтому мы можем легко вычислить его среднее значение:

       

    Довольно просто. Это, конечно, означает, что среднее значение последовательности испытаний Бернулли будет приближаться к p, поскольку количество испытаний приближается к бесконечности. Как доказал сам Бернулли!

    А как я вам показывал в посте о законе больших чисел. Позвольте мне взять пример из того поста, где я написал короткую симуляцию 1000 случайных подбрасываний честной монеты (p = 0,5):

    Нажмите на изображение, чтобы запустить/перезапустить анимацию.

    Вы видите, как процент выпадения орла колеблется вокруг ожидаемого процента 50 и постепенно к нему приближается. Если бы количество подбрасываний было намного больше (например, 1 миллион), процент выпадения орла был бы почти ровно 50% (или 0,5).

    Дисперсия распределения Бернулли

    Теперь давайте вспомним общую формулу дисперсии дискретного распределения вероятностей:

    Чтобы вычислить дисперсию, нам сначала нужно вычислить среднее значение распределения. Что мы и сделали. Для распределения Бернулли он равен самому параметру p. Следовательно:

       

       

    Теперь давайте упростим:

       

       

    Обе формы в последней строке достаточно просты, но принято использовать вторую. Следовательно, дисперсия распределения Бернулли равна:

       

    Обратите внимание, что это просто перемножение вероятностей двух возможных исходов. Таким образом, среднее значение распределения Бернулли — это вероятность одного из исходов, а дисперсия — произведение вероятностей двух исходов. В этой простоте есть какая-то красота, не так ли?

    Также обратите внимание, что дисперсия равна нулю, когда p = 0 или p = 1. Это связано с тем, что каждое из этих значений p подразумевает полную достоверность результатов (либо все 0, либо все 1). Что по существу делает его детерминированной переменной без дисперсии. Взгляните на график, показывающий дисперсию распределения Бернулли как функцию параметра p:

    Обратите внимание, что дисперсия имеет максимальное значение 0,25 при p = 0,5 и постепенно уменьшается до 0 по мере удаления p от 0,5. Интуитивно это так, потому что чем ближе p к 0,5, тем разнообразнее будет последовательность результатов (и наоборот).

    Графики распределения Бернулли

    Теперь, чтобы лучше понять распределение Бернулли, давайте взглянем на несколько графиков с разными значениями параметра p. Как я уже сказал, распределение Бернулли — это класс бесконечного множества конкретных распределений для каждого возможного значения р.

    Вот как выглядит распределение Бернулли с p = 0,5:

    Это также распределение подбрасывания правильной монеты или любой другой случайной величины с двумя равновероятными исходами.

    Вот график распределения с p = 0,3:

    Это распределение может представлять такие вещи, как подбрасывание необъективной монеты, вытягивание красного шара из пула, состоящего из 30% красных и 70% зеленых шаров, и так далее.

    А вот как выглядит распределение при p = 0,85:

    Давайте, наконец, взглянем на анимацию, показывающую полный класс распределений Бернулли, когда p изменяется от 0 до 1:

    Нажмите на изображение, чтобы запустить/перезапустить анимацию.

    Да, вы только что видели (разреженное подмножество) полный спектр распределений Бернулли, которые когда-либо существовали и будут существовать!

    Резюме

    В сегодняшней статье я представил одно из простейших распределений вероятностей. Распределение Бернулли названо в честь швейцарского математика Якоба Бернулли. Это дискретное распределение вероятностей, представляющее случайные величины ровно с двумя возможными исходами. Вероятности могут быть связаны с повторяемыми физическими процессами, а также с истинностью прошлых, настоящих или будущих гипотез.

    Распределение Бернулли имеет один параметр p, который определяет очень простую функцию массы вероятности — p для одного из исходов и (1 – p) для другого исхода:

       

    формулы среднего и дисперсии для дискретных распределений вероятностей, мы вывели такие же простые формулы:

       

       

    Ну, на сегодня это все. Я надеюсь, что вы нашли этот пост полезным. Следите за моими будущими сообщениями из моей серии о распределениях вероятностей!

    Биномиальное распределение и испытание Бернулли