Логарифм дроби: Логарифмы с дробным основанием примеры. Логарифмические выражения

Логарифм деления (разность логарифмов с одинаковыми основаниями): формула, примеры

Sign in

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

MicroExcel.ru Математика Алгебра Логарифм деления (частного) или разность логарифмов

Логарифм деления/частного (или дроби) равняется разности логарифмов делимого и делителя (числителя и знаменателя) с одним и тем же основанием.

log_b (x / y) = log_b x – log_b y

Обязательное условие: (x / y) > 0.

Это одно из главных свойств логарифмов, которое можно представить в обратном порядке:

Разность логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму частного/деления или дроби, состоящей из подлогарифмических выражений. Основание при этом не меняется.

log_b x – log_b y = log_b (x / y), при x>0 и y>0

Примеры:

• log₆ (5 / 8) = log₆ 5 – log₆ 8
• log₁₆ (15 / 5) = log₁₆ 15 – log₁₆ 5
• log₅ 9 – log₅ 4 = log₅ (9 / 4)

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

Логарифм и его свойства

Логарифм — это показатель степени, в которую надо возвести основание степени, чтобы получилось некоторое число.

Ничего не понятно! Будем разбираться на простых примерах.

Пусть дано уравнение: 2^х = 4 (2 — основание степени, х — неизвестный показатель степени, 4 — некоторое число).

Это показательное уравнение. Интуитивно понятно, что неизвестная переменная х равна 2, т.к. 2² = 4.

Модернизируем уравнение: 2^х = 5.

Хм… И как?

х = 2 — мало, а х = 3 много, т.е. х — это какое-то дробное число, скорее всего, даже иррациональное. В любом случае, точно подобрать не получится, разве что на калькуляторе и с округлением.

И поэтому для таких вот случаев ленивые математики придумали определение логарифма. В общем, корнем этого уравнения будет являться х = log₂5 (читается: логарифм числа 5 по основанию 2).

Естественно, что у логарифма есть ограничения, числа a и b должны быть положительными и а не должно быть равно 1 (Если пораскинуть мозгами, станет понятно почему).

Пришло время красиво записать полное определение логарифма на математическом языке, с помощью которого ты сможешь решать простейшие показательные уравнения (наподобие тех, что были выше).

Мы рассмотрели самый приятный вид логарифма. Есть еще два вида, десятичный и натуральный.

В десятичном логарифме основание равно 10, а в натуральном — е (е ≈ 2,718…).

Такие логарифмы пишутся немного по-другому:

log₁₀b = lgb;

log_eb = lnb.

Основные свойства логарифмов.

Свойства работают в обе стороны, при этом a, b, c — положительные и основания логарифмов не равны 1.

Прототипы заданий из ЕГЭ по математике (ФИПИ). Базовый и профильный уровни.

Задание 1.

Найдите корень уравнения 

___________

Для решения этого уравнения используем определение логарифма. Продублирую его еще раз:

Наша задача основание логарифма 3 возвести в третью степень и приравнять выражению в скобках. Уравнение примет вид:

2х — 7 = 3³.

При этом важно не забыть, что (2х — 7) должно быть больше нуля. Это важно.

Решаем обычное линейное уравнение:

2х — 7 = 27;

2х = 34;

х = 17.

Надо убедится, что корень подходит области определения логарифма: 2 · 17 — 7 > 0. Неравенство верно.

Ответ: 17.

Задание 2.

Найдите корень уравнения

___________

Основания у логарифмов одинаковые, значит можно приравнять (5х — 23) и 17.

Снова получаем обычное линейное уравнение:

5х — 23 = 17;

5х = 40;

х = 8.

Удовлетворяет ли корень области определения логарифма? Да (5 · 8 — 23 > 0).

Ответ: 8.

Задание 3.

Найдите значение выражения

___________

Воспользуемся 8-м свойством: изменим основание первого логарифма на удобное нам. А еще представим 4 как 2 в квадрате.

Теперь преобразуем второй логарифм, используя свойство 4.

Одинаковые логарифмы сокращаются…

Ответ: 2.

Задание 4.

Найдите значение выражения

___________

Представим основание нижнего логарифма как 8² и по свойству 5 вынесем показатель степени вперед.

Логарифмы сокращаются, остается разделить 1 на ½.

Ответ: 2.

Задание 5.

Найдите значение выражения

___________

У логарифмов одинаковые основания, значит сработает свойство 2.

В какую степени надо возвести число 7, чтобы получилось 49? Правильно, 2.

Ответ: 2.

Задание 6.

Найдите значение выражения

___________

Для дроби используем свойство 7, только наоборот, а затем — свойство 2.

Ответ: 1.

Задание 7.

Найдите значение выражения

___________

Представим десятичные дроби в виде обыкновенных и сократим их.

Поменяем основание у первого логарифма, используя свойство 8.

Представим дробь 5/4 как 4/5 в минус первой степени.

По свойству 4 выносим -1 вперед.

Логарифмы равны и сокращаются.

Ответ: -4.

рекуррентные отношения — логарифмы с дробью в качестве основания

спросил 4 года 10 месяцев назад

Изменено 4 года, 10 месяцев назад

Просмотрено 11 тысяч раз

$\begingroup$

Как решить логарифмическое выражение, основанием которого является дробь? В моем примере я пытаюсь решить следующее: 9{\log_\frac{3}{2}(1)} \tag{1} $$

Это связано с использованием «главной теоремы» для решения рекуррентных соотношений. Люди обычно приводят примеры, где они решают что-то вроде:

$$ {\log_\frac{1}{3}(27)} \tag{2} $$

, что кажется простым для понимания. {\log_{\frac 32}\frac 92$

$\endgroup$

3

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

Логарифмы дробей спросил

3 года 8 месяцев назад

Изменено 3 года, 8 месяцев назад

Просмотрено 223 раза

$\begingroup$

Существует ли соглашение против передачи дроби в логарифмическую функцию? Причина, по которой я спрашиваю, для моего класса исчисления I. 9х = 1/2

Мой ответ: x = ln(1/2)

Ответ учителя: -ln(2)

Я понимаю закон, в котором пер(1/2) = пер(1) — пер(2) технически делая мой ответ и ответ моего учителя правильными.

Итак, мой вопрос. Должен ли мой ответ быть принят как правильный, или существует соглашение против использования дробей в качестве аргумента логарифмической функции?

Спасибо!

• логарифмы

$\endgroup$

1

$\begingroup$

$$\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b$$

Для вашего случая $\begin{bmatrix}a \\ b\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1 \\2\end{bmatrix}$.