Таблица десятичных логарифмов для школьников и студентов
lg1 — lg100
lg1 = 0.00000
lg2 = 0.30103
lg3 = 0.47712
lg4 = 0.60206
lg5 = 0.69897
lg6 = 0.77815
lg7 = 0.84510
lg8 = 0.90309
lg9 = 0.95424
lg10 = 1.00000
lg11 = 1.04139
lg12 = 1.07918
lg13 = 1.11394
lg14 = 1.14613
lg15 = 1.17609
lg16 = 1.20412
lg17 = 1.23045
lg18 = 1.25527
lg19 = 1.27875
lg20 = 1.30103
lg21 = 1.32222
lg22 = 1.34242
lg23 = 1.36173
lg24 = 1.38021
lg25 = 1.39794
lg26 = 1.41497
lg27 = 1.43136
lg28 = 1.44716
lg29 = 1.46240
lg30 = 1.47712
lg31 = 1.49136
lg32 = 1.50515
lg33 = 1.51851
lg34 = 1.53148
lg35 = 1.54407
lg36 = 1.55630
lg37 = 1.56820
lg38 = 1.57978
lg39 = 1.59106
lg40 = 1.60206
lg41 = 1.61278
lg42 = 1.62325
lg43 = 1.63347
lg44 = 1.64345
lg45 = 1.65321
lg46 = 1.66276
lg47 = 1.67210
lg48 = 1.
68124
lg50 = 1.69897
lg51 = 1.70757
lg52 = 1.71600
lg53 = 1.72428
lg54 = 1.73239
lg55 = 1.74036
lg56 = 1.74819
lg57 = 1.75587
lg58 = 1.76343
lg59 = 1.77085
lg60 = 1.77815
lg61 = 1.78533
lg62 = 1.79239
lg63 = 1.79934
lg64 = 1.80618
lg65 = 1.81291
lg66 = 1.81954
lg67 = 1.82607
lg68 = 1.83251
lg69 = 1.83885
lg70 = 1.84510
lg71 = 1.85126
lg72 = 1.85733
lg73 = 1.86332
lg74 = 1.86923
lg75 = 1.87506
lg76 = 1.88081
lg77 = 1.88649
lg78 = 1.89209
lg79 = 1.89763
lg80 = 1.90309
lg81 = 1.90849
lg82 = 1.91381
lg83 = 1.91908
lg84 = 1.92428
lg85 = 1.92942
lg86 = 1.93450
lg87 = 1.93952
lg88 = 1.94448
lg89 = 1.94939
lg90 = 1.95424
lg91 = 1.95904
lg92 = 1.96379
lg93 = 1.96848
lg94 = 1.97313
lg95 = 1.97772
lg96 = 1.98227
lg97 = 1.98677
lg98 = 1.99123
lg99 = 1.99564
lg100 = 2.00000
lg101 — lg200
lg101 = 2.
00432
lg102 = 2.00860
lg103 = 2.01284
lg104 = 2.01703
lg105 = 2.02119
lg106 = 2.02531
lg107 = 2.02938
lg108 = 2.03342
lg109 = 2.03743
lg110 = 2.04139
lg111 = 2.04532
lg112 = 2.04922
lg113 = 2.05308
lg114 = 2.05690
lg115 = 2.06070
lg116 = 2.06446
lg117 = 2.06819
lg118 = 2.07188
lg119 = 2.07555
lg120 = 2.07918
lg121 = 2.08279
lg122 = 2.08636
lg123 = 2.08991
lg124 = 2.09342
lg125 = 2.09691
lg126 = 2.10037
lg127 = 2.10380
lg128 = 2.10721
lg129 = 2.11059
lg130 = 2.11394
lg131 = 2.11727
lg132 = 2.12057
lg133 = 2.12385
lg134 = 2.12710
lg135 = 2.13033
lg136 = 2.13354
lg137 = 2.13672
lg138 = 2.13988
lg139 = 2.14301
lg140 = 2.14613
lg141 = 2.14922
lg142 = 2.15229
lg144 = 2.15836
lg145 = 2.16137
lg146 = 2.16435
lg147 = 2.16732
lg148 = 2.17026
lg149 = 2.17319
lg150 = 2.17609
lg151 = 2.17898
lg152 = 2.
18184lg153 = 2.18469
lg154 = 2.18752
lg155 = 2.19033
lg156 = 2.19312
lg157 = 2.19590
lg158 = 2.19866
lg159 = 2.20140
lg160 = 2.20412
lg161 = 2.20683
lg162 = 2.20952
lg163 = 2.21219
lg164 = 2.21484
lg165 = 2.21748
lg166 = 2.22011
lg167 = 2.22272
lg168 = 2.22531
lg169 = 2.22789
lg170 = 2.23045
lg171 = 2.23300
lg172 = 2.23553
lg173 = 2.23805
lg174 = 2.24055
lg175 = 2.24304
lg176 = 2.24551
lg177 = 2.24797
lg178 = 2.25042
lg179 = 2.25285
lg180 = 2.25527
lg181 = 2.25768
lg182 = 2.26007
lg183 = 2.26245
lg184 = 2.26482
lg185 = 2.26717
lg186 = 2.26951
lg187 = 2.27184
lg188 = 2.27416
lg189 = 2.27646
lg190 = 2.27875
lg191 = 2.28103
lg192 = 2.28330
lg193 = 2.28556
lg194 = 2.28780
lg195 = 2.29003
lg196 = 2.29226
lg197 = 2.29447
lg198 = 2.29667
lg199 = 2.29885
lg200 = 2.30103
lg201 — lg300
lg201 = 2.
30320
lg202 = 2.30535
lg203 = 2.30750
lg204 = 2.30963
lg205 = 2.31175
lg206 = 2.31387
lg207 = 2.31597
lg208 = 2.31806
lg209 = 2.32015
lg210 = 2.32222
lg211 = 2.32428
lg212 = 2.32634
lg213 = 2.32838
lg214 = 2.33041
lg215 = 2.33244
lg216 = 2.33445
lg217 = 2.33646
lg218 = 2.33846
lg219 = 2.34044
lg220 = 2.34242
lg221 = 2.34439
lg222 = 2.34635
lg223 = 2.34830
lg224 = 2.35025
lg226 = 2.35411
lg227 = 2.35603
lg228 = 2.35793
lg229 = 2.35984
lg230 = 2.36173
lg231 = 2.36361
lg232 = 2.36549
lg233 = 2.36736
lg234 = 2.36922
lg235 = 2.37107
lg236 = 2.37291
lg237 = 2.37475
lg238 = 2.37658
lg239 = 2.37840
lg240 = 2.38021
lg241 = 2.38202
lg242 = 2.38382
lg243 = 2.38561
lg244 = 2.38739
lg245 = 2.38917
lg246 = 2.39094
lg247 = 2.39270
lg248 = 2.39445
lg249 = 2.39620
lg250 = 2.39794
lg251 = 2.39967
lg252 = 2.
40140lg253 = 2.40312
lg254 = 2.40483
lg255 = 2.40654
lg256 = 2.40824
lg257 = 2.40993
lg258 = 2.41162
lg259 = 2.41330
lg260 = 2.41497
lg261 = 2.41664
lg262 = 2.41830
lg263 = 2.41996
lg264 = 2.42160
lg265 = 2.42325
lg266 = 2.42488
lg267 = 2.42651
lg268 = 2.42813
lg269 = 2.42975
lg270 = 2.43136
lg271 = 2.43297
lg272 = 2.43457
lg273 = 2.43616
lg274 = 2.43775
lg275 = 2.43933
lg276 = 2.44091
lg277 = 2.44248
lg278 = 2.44404
lg279 = 2.44560
lg280 = 2.44716
lg281 = 2.44871
lg282 = 2.45025
lg283 = 2.45179
lg284 = 2.45332
lg285 = 2.45484
lg286 = 2.45637
lg287 = 2.45788
lg288 = 2.45939
lg289 = 2.46090
lg290 = 2.46240
lg291 = 2.46389
lg292 = 2.46538
lg293 = 2.46687
lg294 = 2.46835
lg295 = 2.46982
lg296 = 2.47129
lg297 = 2.47276
lg298 = 2.47422
lg299 = 2.47567
lg300 = 2.47712
lg301 — lg400
lg301 = 2.
47857
lg302 = 2.48001
lg303 = 2.48144
lg304 = 2.48287
lg305 = 2.48430
lg306 = 2.48572
lg307 = 2.48714
lg308 = 2.48855
lg309 = 2.48996
lg310 = 2.49136
lg312 = 2.49415
lg313 = 2.49554
lg314 = 2.49693
lg315 = 2.49831
lg316 = 2.49969
lg317 = 2.50106
lg318 = 2.50243
lg319 = 2.50379
lg320 = 2.50515
lg321 = 2.50651
lg322 = 2.50786
lg323 = 2.50920
lg324 = 2.51055
lg325 = 2.51188
lg326 = 2.51322
lg327 = 2.51455
lg328 = 2.51587
lg329 = 2.51720
lg330 = 2.51851
lg331 = 2.51983
lg332 = 2.52114
lg333 = 2.52244
lg334 = 2.52375
lg335 = 2.52504
lg336 = 2.52634
lg337 = 2.52763
lg338 = 2.52892
lg339 = 2.53020
lg340 = 2.53148
lg341 = 2.53275
lg342 = 2.53403
lg343 = 2.53529
lg344 = 2.53656
lg345 = 2.53782
lg346 = 2.53908
lg347 = 2.54033
lg348 = 2.54158
lg349 = 2.54283
lg350 = 2.54407
lg351 = 2.54531
lg352 = 2.
54654lg353 = 2.54777
lg354 = 2.54900
lg355 = 2.55023
lg356 = 2.55145
lg357 = 2.55267
lg358 = 2.55388
lg359 = 2.55509
lg360 = 2.55630
lg361 = 2.55751
lg362 = 2.55871
lg363 = 2.55991
lg364 = 2.56110
lg365 = 2.56229
lg366 = 2.56348
lg367 = 2.56467
lg368 = 2.56585
lg369 = 2.56703
lg370 = 2.56820
lg371 = 2.56937
lg372 = 2.57054
lg373 = 2.57171
lg374 = 2.57287
lg375 = 2.57403
lg376 = 2.57519
lg377 = 2.57634
lg378 = 2.57749
lg379 = 2.57864
lg380 = 2.57978
lg381 = 2.58092
lg382 = 2.58206
lg383 = 2.58320
lg384 = 2.58433
lg385 = 2.58546
lg386 = 2.58659
lg387 = 2.58771
lg388 = 2.58883
lg389 = 2.58995
lg390 = 2.59106
lg391 = 2.59218
lg392 = 2.59329
lg393 = 2.59439
lg394 = 2.59550
lg395 = 2.59660
lg396 = 2.59770
lg397 = 2.59879
lg398 = 2.59988
lg399 = 2.60097
lg400 = 2.60206
Логарифмы — Ege-School
Предыдущую статью о показательных уравнениях мы начали с уравнения 2x = 8.
Там всё было ясно: x = 3.
А теперь рассмотрим уравнение 2x = 7.
По графику функции y = 2x мы видим, что это уравнение имеет корень, и притом единственный.
Ясно, что этот корень — не целое число (так как 22 = 4, 23 = 8). Более того, оказывается, что он не является даже рациональным числом, т. е. не представляется в виде обыкновенной дроби. Интуитивно мы чувствуем лишь, что он меньше 3, но не намного.
Этот корень обозначается log27 (читается: «логарифм семи по основанию два». Он является иррациональным числом, т. е. бесконечной непериодической десятичной дробью. Калькулятор даёт: log27 = 2,807354922057604107…
Итак, наше число log27 — это показатель степени, в которую надо возвести 2, чтобы получить 7.
Теперь дадим общее определение логарифма. Пусть a > 0 и a ≠ 1 (условия те же, что и для основания показательной функции).
Определение. Логарифм положительного числа b по основанию a (обозначается logab) — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.
Иными словами,
Например:
так как
, так как
так как ;
, так как .
Логарифм с основанием 10 называется десятичным и обозначается lg. Например, lg 100 = 2, lg 1000 = 3, lg 0,01 = −2.
Логарифм с основанием e называется натуральным и обозначается ln.
Обратите внимание: логарифм определён только для положительных чисел. Причина заключается в том, что показательная функция может принимать лишь положительные значения. Например, число log2(−4) не существует: в какую бы степень мы ни возводили 2, мы никогда не получим −4.
Не забывайте также про ограничения на основание логарифма: 0 < a < 1 или a > 1.
Основные формулы
По определению, logab — это показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b:
| alogab=b | (1) |
Формула (1) называется основным логарифмическим тождеством.
Вот еще один вариант записи основного логарифмического тождества:
logaax=x.
Перечислим свойства логарифмов. Они являются простыми следствиями правил действия со степенями. Все логарифмы ниже считаются определёнными.
Логарифм произведения — это сумма логарифмов:
| loga(bc) = logab + logac. | (2) |
Логарифм частного — это разность логарифмов:
| (3) |
Показатель степени логарифмируемого числа «спрыгивает» перед логарифмом:
| (4) |
Показатель степени основания логарифма тоже «спрыгивает», но в виде обратного числа:
| (5) |
Формулы (4) и (5) вместе дают:
| (6) |
В частности, если m = n, мы получаем формулу:
| (7) |
Например, .
Наконец, важнейшая формула перехода к новому основанию:
| (8) |
В частности, если c = b, то logbb = 1, и тогда:
| (9) |
Приведём несколько примеров из банка заданий.
1. (применили формулу (2) суммы логарифмов).
2. (применили основное логарифмическое тождество(1))
3. (применили формулу (4).
4. (применили формулу (9), перейдя к новому основанию 0,8).
5. (применили формулу (3) разности логарифмов)
Немного истории
Теперь вы поняли, что такое логарифмы и как ими пользоваться. Но для чего они всё-таки нужны? Или это просто такая математическая игрушка с хитрой инструкцией по применению?
Понятие логарифма и логарифмические таблицы появились в 17 веке, и значение их было огромно.
Это в наши дни вычисления не представляют труда — у каждого есть калькулятор.
А как считали в «докомпьютерные» времена?
Складывать и вычитать можно было на счётах, а вот умножать и делить приходилось «в столбик» — медленно и трудно.
В 15–17 веках, в эпоху великих географических открытий, стали бурно развиваться торговля, экономика и наука. Требования к математике росли: расчёты становились более сложными, а точность — например, для решения навигационных задач — нужна была всё более высокая.
Необходим был инструмент, позволяющий упростить и ускорить расчёты, и таким инструментом явились логарифмы.
Предположим, что b и c — большие числа, которые надо перемножить. Появление таблиц логарифмов (например, с основанием 10) существенно упростило эту задачу. Теперь вычислителю достаточно было найти по таблицам десятичные логарифмы чисел b и c, сложить их (на счётах) и получить логарифм произведения: lgb + lgc = lg(bc).
А затем по таблице логарифмов найти само произведение чисел b и c.
Недаром французский математик и астроном Лаплас сказал, что изобретение логарифмов удлинило жизнь вычислителей.
Логарифмическая линейка (которой инженеры пользовались до 70-х годов двадцатого века) была не менее прогрессивным изобретением, чем современный калькулятор.
логарифмов
логарифмов
Составьте таблицу, как показано ниже. Угадай что в журнал 1 стоит первым (читается как журнал 1 по основанию 10) и поместите свое предположение в таблицу в правый столбец, даже если вы, вероятно, не знаете, что такое журнал! Затем используйте калькулятор, чтобы получить журнал 1, до 3 десятичных знака — поместите это в центр столбец в разделе «ответ калькулятора». Затем угадайте, что такое журнал 2. Поместите это число в правой колонке предположений. Используйте калькулятор, чтобы получить логарифм от 2 до 3 после запятой места — поместите это в «ответ калькулятора». Заполните остальную часть таблицы этим путь, и ищите закономерности по ходу дела.
Помните, Кави ничего не знал
про логи.
Когда он добрался до журнала 4 = 0,602, Дон спросил, видел ли он что-нибудь. Как
это относится к журналу 2 = .301? Он написал log 4 = 2 * log 2 = log 2 2 . Вы видите еще один такой же?
В поисках узоров Кави нашел три тождества сверху и снизу:
Идентификатор № 1.) log (A*B)= log A + Log B
Идентификатор # 2.) log (A/B) = log A — Log B, и
Идентификатор # 3.) log A B = B*log A и
Идентификатор # 4.) log A A = 1
Эти удостоверения работают для любой базы.
Дон также говорил с Кави о
.экспоненциальное уравнение: 10 2 = 100 и
соответствующее логарифмическое уравнение: log 10 100 = 2
Показатель степени 2 равен журнал; обобщающий логарифм B x = y Чтение: логарифм x, основание B = y и B
Примечание: журнал 10 10 = 1, потому что 10 1 = 10 и log e e = 1 ( e это
база
натуральные логарифмы) и
журнал А А = 1.
А журнал 10 1 = 0, потому что 10 0 = 1, и log e 1 = 0 и журнал А 1 = 0
Он также обнаружил, что может решить уравнение: log 4 x = 3, тогда x = 4 3 = 64.
Кевин построил график y=log 10 x , и нашел пару тождеств для логов.
Что происходит с графиком, когда x = 1/2 ?
Что насчет журнала 7 8 = х ? В вашем калькуляторе используется только основание 10 или основание e. Логи , а не 7!
Запись журнала 7 8 = x как экспоненциальное уравнение 7 x = 8, тогда возьмите
журнал обеих сторон по основанию 10 (или по основанию e) до получить
журнал 10 7 x = журнал 10 8 с использованием идентификатора № 3.
,
журнал 10 A B = B*log 10 А, мы get x*log 10 7 = log 10 8 Теперь мы
может найти x, разделив обе части на log 10 7, к получить
х = журнал 10 (8)/журнал 10 (7) или
х = пер (8)/лн (7)
Любой расчет, вы получите то же самое ответ и мы можем найти журнал числа в любой базе!
Дон рассказал Кевину о логарифме.
изобретен Нейпиром (вместе с некоторыми другими), и в результате
увеличить вычислительные мощности таких астрономов, как Тихо Браге и Кеплер.
Это произошло потому, что продукты превращаются в суммы с помощью Кевина.
журнал идентификации 10 А
+ log 10 B = log 10 (AxB)
а когда имеешь дело с большими числами, например, с расстояниями до Луны и
солнце, складывать логи намного проще, чем умножать числа.
[Так же
журнал 10 1000000 = 6.]
Когда ученики доберутся до этого места, Дон обычно спрашивает их, что такое ln( — 1)? Попробуйте на своем калькуляторе.
ln( — 1) = pi*i — мнимое число. Когда мы пишем это в виде показательного уравнения получаем E Pi*i = — 1 , добавьте 1 к обеим сторонам
E пи*и + 1 = 0
Мы получаем истинное утверждение с 5 самыми важными числами в математике: E, пи, я, 1 и 0 . ВАУ!!
См. как площадь под этими двумя кривыми y=1/x и y = 1/(1+x) путь к бревнам
Двоичный калькулятор шахматной доски Нейпира — Нейпир и логарифмы
Автор(ы):
Сидни Дж. Колпас и Эрвин Томаш
Джон Нейпир (1550-1617) его первые искусственные числа
90 , для которого он придумал название логарифмов (от греческого означает «отношение чисел») в своем Descriptio , опубликованном в 1614 году.
Эта работа была ограничена по объему практическим применением логарифмов и включала первую опубликованную логарифмическую таблицу или то, что Нейпир назвал «Каноном» (общим законом, правилом или принципом). Это была таблица не логарифмов чисел, а логарифмов синусов углов для каждой минуты квадранта (первые 90 градусов). Лишь в 1619 году в своих «Конструкциях , » Непье представил концепцию логарифмов и метод, который он использовал для построения правил их использования в вычислениях. Подготовка таблицы и двух книг, должно быть, заняла у Нэпьера много лет. О том, что он добился значительного прогресса по крайней мере за десять лет до даты публикации, свидетельствует отчет Иоганна Кеплера 1594 года о том, что Тихо Браге недавно узнал о каноне Непера и надеялся, что он скоро будет опубликован. У. В. Роуз Болл заявил, что Нейпир «в частном порядке сообщил Тихо Браге сводку своих результатов еще в 159 г.4» (1912/2001, стр. 195). Рис. 1. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (1614).
Из библиотеки Эрвина Томаша по истории вычислительной техники.
Рис. 2. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio (1620). Из коллекции Сиднея Дж. Колпаса.
Новаторская природа логарифмов была широко признана коллегами Нейпира. Логарифмы заменили неуклюжие методы, сведя умножение к сложению, а деление к вычитанию. Канон Нэпьера представлял собой серьезное усовершенствование, которое в принципе предоставило практикующим математикам, таким как астрономы, геодезисты и навигаторы, новый мощный инструмент, с помощью которого гораздо проще выполнять крупномасштабные вычисления. Однако на практике логарифмы Напера были неудобны, поскольку их основание не было десятичным. Нейпир быстро осознал эту трудность, поскольку во втором выпуске первого издания 9-го0274 Descriptio , также опубликованном в 1614 году, он включил краткое заключительное «Admonitio», в котором упомянул, что скоро будет доступна другая система логарифмов, более подходящая для практических расчетов в десятичной системе.
Это была ссылка на десятичные логарифмы, которые мы знаем сегодня, иногда называемые Бриггсовскими логарифмами или десятичными логарифмами.
Рисунок 3. Предложение Генри Бриггса относительно логарифмов по основанию 10 из 9 Непера0274 Canonis Constructio (1620). Из коллекции Сиднея Дж. Колпаса
Вскоре после первоначальной публикации Descriptio Генри Бриггс (1561–1630), первый профессор геометрии Грешема в Лондоне, а затем первый профессор геометрии Савилиана в Оксфорде, предпринял при активном сотрудничестве Нейпира вычисление набора десятичных логарифмов. Работа Бриггса была продолжена и завершена голландским математиком Адрианом Влаком, так что к 1628 году, всего через 14 лет после первоначального объявления Непера, были доступны удобные десятичные логарифмические таблицы с несколькими разрядами для упрощения вычислений.
Рис. 4. Влака Tabulae Sinuum, Tangentium, et Secantium, et Logarithmorum (1670).
Из библиотеки Эрвина Томаша по истории вычислительной техники.
Вычисление и применение логарифмов занимали математиков и в следующем столетии. Даже два столетия спустя одним из основных факторов, побудивших Чарльза Бэббиджа заняться разработкой своей разностной машины, было его желание автоматически генерировать безошибочные и легко читаемые логарифмические таблицы.
Рис. 5. Современное выполнение планов Бэббиджа для его разностной машины
Рис. Из библиотеки Эрвина Томаша по истории вычислительной техники.
Изобретение логарифмов вскоре привело к изобретению основанных на них механических вычислительных устройств. В 1620 году Эдмунд Гюнтер описал свою «линию чисел», физическое выражение десятичных логарифмов как последовательность длин на линейке. Затем он добавил больше «линий» для логарифмов тригонометрических функций, создав популярное устройство, обычно называемое шкалой Гюнтера. В 1630 году Эдмунд Вингейт описал скольжение двух таких весов друг относительно друга, таким образом изобретя линейную логарифмическую линейку.