Логарифмы примеры и решения 10 класс: примеры решения перехода к новому основанию натурального логарифма и таблица или шпаргалка для этого в 10 классе

примеры решения перехода к новому основанию натурального логарифма и таблица или шпаргалка для этого в 10 классе

Сегодня мы поговорим о формулах логарифмов и дадим показательные примеры решения. Ранее мы уже познакомились с понятием логарифма. А также рассмотрели основные свойства и примеры решения.

Формулы логарифмов сами по себе подразумевают шаблоны решения согласно основным свойствам логарифмов. Прежде применять формулы логарифмов для решения напомним для вас, сначала все свойства.

Содержание

Формулы логарифмов. Логарифмы примеры решения

Теперь на основе этих формул(свойств), покажем примеры решения логарифмов.

Примеры решения логарифмов на основании формул

Логарифм положительного числа b по основанию a (обозначается logab) — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b, при этом b > 0, a > 0, а 1.

Согласно определения logab = x, что равносильно ax = b, поэтому logaax = x.

Логарифмы, примеры:

log28 = 3, т.к. 23 = 8
log749 = 2, т.к. 72 = 49
log51/5 = -1, т.к. 5-1 = 1/5

Десятичный логарифм — это обычный логарифм, в основании которого находится 10. Обозначается как lg.

lg100 = 2
log10100 = 2, т.к. 102 = 100

Натуральный логарифм — также обычный логарифм логарифм, но уже с основанием е (е = 2,71828… — иррациональное число). Обозначается как ln.

Формулы или свойства логарифмов желательно запомнить, потому что они понадобятся нам в дальнейшем при решении логарифмов, логарифмических уравнений и неравенств. Давайте еще раз отработаем каждую формулу на примерах.

Основное логарифмическое тождество
a logab = b
Пример.
82log83 = (82log83)2 = 32 = 9

Логарифм произведения равен сумме логарифмов loga (bc) = logab + logac
Пример.
log38,1 + log310 = log3 (8,1*10) = log381 = 4

Логарифм частного равен разности логарифмов
loga (b/c) = logab — logac
Пример.
9 log550/9 log52 = 9 log550- log52 = 9 log525 = 9 2 = 81

Свойства степени логарифмируемого числа и основания логарифма

Показатель степени логарифмируемого числа logab m = mlogab

Показатель степени основания логарифма loganb =1/n*logab

loganb m = m/n*logab,

если m = n, получим loganb n = logab

Пример.

log49 = log223 2 = log23

Переход к новому основанию
logab = logcb/logca,

если c = b, получим logbb = 1

тогда logab = 1/logba

Пример.

log0,83*log31,25 = log0,83*log0,81,25/log0,83 = log0,81,25 = log4/55/4 = -1

Как видите, формулы логарифмов не так сложны как кажутся. Теперь рассмотрев примеры решения логарифмов мы можем переходить к логарифмическим уравнениям.

Источник: https://reshit.ru/formuly-logarifmov-logarifmy-primery-resheniya

Логарифм: что это? Все формулы. Простейшие уравнения и неравенства

Сейчас речь пойдет о трех страшных буквах: l o g.Существовать в нашем бытии они просто так не могут. Обязательно должен быть какой-нибудь индекс — число снизу (основание логарифма) и число после букв (аргумент логарифма).

Прежде, чем мы перейдем к тому, что такое логарифм, решим парочку подводящих примеров.

Чтобы справиться с этим примером, мы проговариваем в голове: какое число нужно дважды (т.к. корень квадратный) умножить само на себя, чтобы получить 81.

А этот пример можно решить по алгоритму (решения показательных уравнений), а можно так же провести разговор с самим собой (главное не вслух, я считаю это нормально, но кого-то вы можете напугать разговором с самим собой): сколько раз нужно число 3 умножить само на себя, чтобы получить 27. Постепенным перемножением мы дойдем до ответа.

Тогда, если дело касается логарифма:

можно сказать так: в какую степень нужно возвести 3 (число снизу — основание логарифма), чтобы получить 27 (число слева — аргумент логарифма). Не напоминает выше стоящий пример?

На самом деле в этом и заключается основная формула (определение логарифма):

Логарифм говорит нам (кому-то кричит): логарифм числа «b» по основанию «a» равняется числу «c». Тогда без логарифма это можно сформулировать так: чтобы получить число «b», требуется число «a» возвести в степень «c». Логарифм — это действие, обратное возведению в степень.

У отца log есть два родных сына: ln и lg. Так же, как сыновья отличаются возрастом (мы говорим о максимальной точности), так и эти логарифмы отличаются основанием (числовым индексом снизу).

Данные логарифмы придумали для упрощения записи. На самом деле в прикладной математики именно логарифмы по такому основанию встречаются чаще всех остальных. А мы все в глубине души народ ленивый, так что почему бы себе жизнь не упростить?

Что нужно запомнить: ln — это обычный логарифм только по основанию e ( e — это число Эйлера, e = 2,7182…, мой номер телефона, кстати, — это последние 11 цифр числа Эйлера, так что буду ждать звонка).

А lg — это обычный логарифм по основанию 10 (10ая система — это система счисления, в которой мы живем, столько пальцев на руках у среднего человека. В общем 10 — это как 9, только на 1 больше).

Как мы не можем существовать без еды, воды, интернета… Так и логарифм не представляет свое существование без ОДЗ.

Всегда, когда существует логарифм, должно быть:

«Почему это так?» — это первый вопрос, который я предоставляю тебе. Советую начать с того, что логарифм — это обратное действие от возведения в степень.

А теперь разберем теорию на практике:

В какую степень нужно возвести два (число в основании), чтобы получить шестнадцать (аргумент логарифма).

Два нужно четыре раза умножить само на себя, чтобы получить 16.

Ответ: 4.

Источник: https://ik-study.ru/ege_math/logharifmy

Логарифмы: правила, основные свойства и формулы :

Логарифмы и правила действий с ними достаточно емкие и простые. Следовательно, разобраться в данной теме вам не составит труда. После того как вы узнаете все правила натуральных логарифмов, любая задача решится самостоятельно.

Первое знакомство с этой темой может показаться скучным и бессмысленным, но именно при помощи логарифмов решились многие проблемы математиков XVI века. «О чем это?» — подумали вы.

Прочтите статью до конца и узнаете, что этот раздел «царицы наук» может быть интересен не только математикам, ученым точных наук, но и простым ученикам средних школ.

Определение логарифма

Начнем с определения логарифма. Как гласят многие учебники: логарифмом числа b по основанию a (logab) является некое число с, для которого выполняется такое равенство: b=ac.

То есть, говоря простыми словами, логарифм — определенная степень, в которую возводим основание, чтобы получить данное число. Но важно помнить, что логарифм вида logab имеет смысл только при: a>0; a — число, отличное от 1; b>0, следовательно, делаем вывод, что логарифм можно найти только у положительных чисел.

Классификация логарифмов по основанию

Логарифмы могут быть с любым положительным числом в основании. Но также существует два вида: натуральный и десятичный логарифмы:

Натуральный логарифм — логарифм с основанием е (е — число Эйлера, численно приблизительно равняется 2,7, иррациональное число, которое ввели для показательной функции y = ex), обозначается как ln a = logea;
Десятичный логарифм — логарифм с основанием 10, то есть log10a = lg a.

Основные правила логарифмов

Для начала нужно познакомиться с основным логарифмическим тождеством: alogab=b, далее следуют два таких основных правила:

loga1 = 0 — так как любое число в нулевой степени равно 1;
logaa = 1.

Благодаря открытию логарифма для нас не составит труда решить абсолютно любое показательно уравнение, ответ которого нельзя выразить натуральным числом, а только иррациональным. Например: 5х = 9, х = log59 (так как натурального х для данного уравнения не существует).

Действия с логарифмами:

loga(x · y) = logax+ logay — чтобы найти логарифм произведения, нужно сложить логарифмы сомножителей. Обратите внимание на то, что основания логарифмов одинаковы. Если записать это в обратном порядке, то получим правило сложения логарифмов.
loga xy = logax — logay — чтобы найти логарифм частного, нужно найти разность логарифмов делимого и делителя. Обратите внимание: основания у логарифмов одинаковы. При записи в обратном порядке получаем правило вычитания логарифмов.
logakxp = (p/k)*logax — таким образом, если в аргументе и основании логарифма стоят степени, то их можно выносить за знак логарифма.
logax = logac xc — частный случай предыдущего правила, когда показатели степеней равны, их можно сократить.
logax = (logbx)(logba) — так называемый модуль перехода, процедура приведения логарифма к другому основанию.
logax = 1/logxa — частный случай перехода, смена мест основания и данного числа. Все выражение, образно говоря, переворачивается, и логарифм с новым основанием оказывается в знаменателе.

История возникновения логарифмов

В XVI веке возникла необходимость проведения многих приближенных вычислений для решения практических задач, главным образом, в астрономии (например, определение положения судна по Солнцу или звездам).

Эта потребность быстро росла и значительную трудность создавало умножение и деление многозначных чисел. И ученый-математик Непер при тригонометрических расчетах решил заменить трудоемкое умножение на обыкновенное сложение, сопоставив для этого некоторые прогрессии.

Тогда деление, аналогично, заменяется на процедуру попроще и надежнее — вычитание, а дабы извлечь корень n-ой степени, нужно разделить логарифм подкоренного выражения на n. Решение такой нелегкой задачи в математике явно отображало цели Непера в науке.

Вот как он писал об этом в начале своей книги «Рабдология»:

Я всегда старался, насколько позволяли мои силы и способности, освободить людей от трудности и скуки вычислений, докучливость которых обыкновенно отпугивает очень многих от изучения математики.

Название логарифма предложил сам Непер, он был получен путем совмещения греческих слов, которые в сочетании означали “число отношений”.

Основание логарифма ввел Спейдел. Его заимствовал Эйлер из теории о степенях и перенес в теорию логарифмов. Понятие логарифмирования стало известным благодаря Коппе в XIX веке. А использование натуральных и десятичных логарифмов, а также их обозначения появились благодаря Коши.

В 1614 году Джон Непер издал на латыни сочинение «Описание удивительной таблица логарифмов». Там было изложено краткое описание логарифмов, правил и их свойств. Так термин «логарифм» утвердился в точных науках.

Операцию логарифмирования и первое упоминание о ней появилось благодаря Валлису и Иоганну Бернулли, а окончательно установлена она была Эйлером в XVIII веке.

Именно заслуга Эйлера в распространении логарифмической функции вида y = logax на комплексную область. В первой половине XVIII века вышла его книга «Введение в анализ бесконечных», где были современные определения показательной и логарифмической функций.

Логарифмическая функция

Функция вида y = logах (имеет смысл, только если: а > 0, а ≠ 1).

Логарифмическая функция определяется множеством всех положительных чисел, так как запись logах существует только при условии — х > 0;.

Данная функция может принимать абсолютно все значения из множества R (действительных чисел). Так как у всякого действительного числа b есть положительное x, чтобы выполнялось равенство logaх = b, то есть, это уравнение имеет корень — х = аb (следует из того, что logaab= b).

Функция возрастает на промежутке a>0, а убывает на промежутке 01.

Следует помнить, что любые графики логарифмической функции у = logах имеют одну стационарную точку (1;0), так как logа 1 = 0. Это хорошо видно на иллюстрации графика ниже.

Как видим на изображениях, функция не имеет четности или нечетности, не имеет наибольших или наименьших значений, не ограничена сверху или снизу.

Логарифмическая функция y = logаx и показательная функция y = aх, где (а>0, а≠1), взаимно обратные. Это можно видеть на изображении их графиков.

Решение задач с логарифмами

Обычно решение задачи, содержащей логарифмы, основано на преобразовании их в стандартный вид или же направлено на упрощение выражений под знаком логарифма. Или же стоит переводить обычные натуральные числа в логарифмы с нужным основанием, проводить дальнейшие операции по упрощению выражения.

Есть некие тонкости, которые не стоит забывать:

При решении неравенств, когда обе части стоят под логарифмами по правилу с одним основанием, не спешите «отбрасывать» знак логарифма. Помните о промежутках монотонности логарифмической функции. Так как, если основание больше 1 (случай, когда функция возрастает) — знак неравенства останется без изменений, но когда основание больше 0 и меньше 1 (случай, когда функция убывает) — знак неравенства изменится на противоположный;
Не забывайте определения логарифма: logах = b, а>0, а≠1 и х>0, чтобы не потерять корней из-за неучтенной области допустимых значений. ОДЗ (область допустимых значений) существует практически для всех сложных функций.

При решении логарифмических уравнений рекомендуется пользоваться равносильными преобразованиями. Также, необходимо быть внимательным и учитывать возможные преобразования, которые способны привести к потере некоторых корней.

Это банальные, но масштабные ошибки, с которыми столкнулись многие на пути поиска верного ответа для задания. Правил решения логарифмов не так уж и много, поэтому эта тема проще, чем другие и последующие, но в ней стоит хорошо разобраться.

Вывод

Данная тема с первого взгляда может показаться сложной и громоздкой, но, исследуя ее глубже и глубже, начинаешь понимать, что тема просто заканчивается, а сложностей так ничего и не вызвало. Мы рассмотрели все свойства, правила и даже ошибки, касающиеся темы логарифмов. Успехов в обучении!

Источник: https://www.syl.ru/article/407401/logarifmyi-pravila-osnovnyie-svoystva-i-formulyi

Свойства логарифмов

Логарифмом положительного числа b по основанию a (a>0, a не равно 1) называют такое число с, что ac = b: log a b=c⇔ a c =b (a>0,a≠1,b>0)

Обратите внимание: логарифм от неположительного числа не определен. Кроме того, в основании логарифма должно быть положительное число, не равное 1. Например, если мы возведем -2 в квадрат, получим число 4, но это не означает, что логарифм по основанию -2 от 4 равен 2.

Основное логарифмическое тождество

a log a b =b (a>0,a≠1) (2)

Важно, что области определения правой и левой частей этой формулы отличаются. Левая часть определена только при b>0, a>0 и a ≠ 1. Правая часть определена при любом b, а от a вообще не зависит. Таким образом, применение основного логарифмического «тождества» при решении уравнений и неравенств может привести к изменению ОДЗ.

Два очевидных следствия определения логарифма

log a a=1 (a>0,a≠1) (3) log a 1=0 (a>0,a≠1) (4)

Действительно, при возведении числа a в первую степень мы получим то же самое число, а при возведении в нулевую степень — единицу.

Логарифм произведения и логарифм частного

log a (bc)= log a b+ log a c (a>0,a≠1,b>0,c>0) (5)

log a b c = log a b− log a c (a>0,a≠1,b>0,c>0) (6)

Хотелось бы предостеречь школьников от бездумного применения данных формул при решении логарифмических уравнений и неравенств. При их использовании «слева направо» происходит сужение ОДЗ, а при переходе от суммы или разности логарифмов к логарифму произведения или частного — расширение ОДЗ.

Действительно, выражение log a (f(x)g(x)) определено в двух случаях: когда обе функции строго положительны либо когда f(x) и g(x) обе меньше нуля.

Преобразуя данное выражение в сумму log a f(x)+ log a g(x) , мы вынуждены ограничиваться только случаем, когда f(x)>0 и g(x)>0. Налицо сужение области допустимых значений, а это категорически недопустимо, т. к. может привести к потере решений. Аналогичная проблема существует и для формулы (6).

Степень можно выносить за знак логарифма

log a b p =p log a b (a>0,a≠1,b>0) (7)

И вновь хотелось бы призвать к аккуратности. Рассмотрим следующий пример:

log a (f (x) 2 =2 log a f(x)

Левая часть равенства определена, очевидно, при всех значениях f(х), кроме нуля. Правая часть — только при f(x)>0! Вынося степень из логарифма, мы вновь сужаем ОДЗ. Обратная процедура приводит к расширению области допустимых значений. Все эти замечания относятся не только к степени 2, но и к любой четной степени.

Формула перехода к новому основанию

log a b= log c b log c a (a>0,a≠1,b>0,c>0,c≠1) (8)

Тот редкий случай, когда ОДЗ не изменяется при преобразовании. Если вы разумно выбрали основание с (положительное и не равное 1), формула перехода к новому основанию является абсолютно безопасной.

Если в качестве нового основания с выбрать число b, получим важный частный случай формулы (8):

log a b= 1 log b a (a>0,a≠1,b>0,b≠1) (9)

Десятичным логарифмом числа x называется логарифм по основанию 10. Десятичные логарифмы используются довольно часто, поэтому для них введено специальное обозначение: log10x = lg x. Все перечисленные выше формулы сохраняют актуальность для десятичных логарифмов. Например, lg(xy)=lgx+lgy (x>0,y>0) .

Натуральным логарифмом числа x (обозначение lnx) называется логарифм х по основанию e. Число e — иррациональное, приближенно равно 2,71. Например, ln e = 1. Пользуясь формулой (8), можно любой логарифм свести к десятичным или натуральным логарифмам: log a b= lgb lga = lnb lna (a>0,a≠1,b>0)

Несколько простых примеров с логарифмами

Пример 1. Вычислите: lg2 + lg50. Решение. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Мы воспользовались формулой суммы логарифмов (5) и определением десятичного логарифма.

Пример 2. Вычислите: lg125/lg5. Решение. lg125/lg5 = log5125 = 3. Мы использовали формулу перехода к новому основанию (8).

a log a b =b (a>0,a≠1)

log a a=1 (a>0,a≠1)

log a 1=0 (a>0,a≠1)

log a (bc)= log a b+ log a c (a>0,a≠1,b>0,c>0)

log a b c = log a b− log a c (a>0,a≠1,b>0,c>0)

log a b p =p log a b (a>0,a≠1,b>0)

log a b= log c b log c a (a>0,a≠1,b>0,c>0,c≠1)

log a b= 1 log b a (a>0,a≠1,b>0,b≠1)

Источник: http://www.repetitor2000.ru/svoistva_logarifmov_01.html

Урок 24. логарифмы. свойства логарифмов — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок № 24. Логарифм. Свойства логарифмов.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1. Определение логарифма.

2. Основное логарифмическое тождество.

3. Свойства логарифмов.

Глоссарий по теме

Логарифмом положительного числа по основанию , называется показатель степени, в которую надо возвести чтобы получить .

Логарифмирование – это действие нахождения логарифма числа.

Основное логарифмическое тождество:

Свойства логарифмов. При , справедливы равенства:

— логарифм произведения: ;

— логарифм частного: ;

— логарифм степени: .

Основная литература:

Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Фёдорова Н.Е. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый и углублённый уровни. – М.: Просвещение, 2014. – 384 с.

Открытые электронные ресурсы:

http://fipi.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

При решении простейших показательных уравнений не всегда можно найти точный ответ. Например, уравнение имеет корень 5, т. к. значит , В уравнении число 5 не является степенью 2, значит предыдущий способ решения не подходит. Нам известно, что уравнение имеет единственный корень. Посмотрим это на графике.

Абсцисса точки пересечения – единственное решение данного уравнения. Это число и называют логарифмом 5 по основанию 2.

Дадим определение логарифма.

Логарифмом положительного числа по основанию , называется показатель степени, в которую надо возвести чтобы получить .

Т. е. логарифм числа по основанию , есть некоторое число такое, что .

Пример 1.

, т. к. выполнены все условия определения:

1) 216 > 0; 2) 6 > 0, 6 ≠ 1; 3) .

Пример 2.

, т. к. выполнены все условия определения:

1) ; 2) 2 > 0, 2 ≠ 1; 3) .

Это действие называется логарифмированием.

Логарифмирование – это действие нахождения логарифма числа.

Существует краткая запись определения логарифма:

так называемое основное логарифмическое тождество. Его используют при вычислениях.

Пример 3.

(Читают: 4 в степени логарифм 5 по основанию 4 равен 5)

Пример 4.

(Читают: одна треть в степени логарифм 6 по основанию одна треть равен 6)

Решим несколько задач с использованием определения логарифма.

Задача 1. Вычислить .

Решение. Пусть тогда по определению логарифма Приведем левую и правую части к одному основанию. 27 = 3³, 81 = 3⁴, значит . Отсюда следует, что

Задача 2. Вычислить .

Решение. Для вычисления воспользуемся свойствами степеней: 1) , 2) и основным логарифмическим тождеством: .

Для решения более сложных задач потребуется знание свойств логарифмов. Рассмотрим их.

1. Логарифм произведения.

Логарифм произведения чисел по основанию равен сумме логарифма по основанию и логарифма по основанию .

Пример 5.

2. Логарифм частного.

Логарифм частного чисел по основанию равен разности логарифма по основанию и логарифма по основанию .

Пример 6.

3. Логарифм степени.

Логарифм числа по основанию равен произведению показателя и логарифма по основанию .

Пример 7.

Важно! Свойства выполняются при ,

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№ 1. Вычислите: .

Решение:

Чтобы выполнить это задание нам понадобятся следующие определения и свойства:

;
.

Представим в виде степени с рациональным показателем: . Далее воспользуемся свойством нахождения логарифма степени: . Вспоминаем таблицу квадратов: , значит , . Ответ: .

№ 2. Вычислите

Решение:

Чтобы выполнить это задание нам понадобятся следующие определения и свойства:

;
;
;
.

Логарифмы, примеры решений

Теория про логарифмы

Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается :

а логарифм по основанию называют натуральным и обозначают :

Примеры

ПРИМЕР 3

Задание

Вычислить значение выражения

Решение

Перейдем в каждом из слагаемых к логарифму по основанию 18, используя формулу перехода . Получим:

Так как сумма логарифмов равна логарифму произведения, последняя сумма перепишется в виде:

Число 324 можно представить как степень 18, получим

далее выносим степень как коэффициент перед знаком логарифма:

Учитывая, что , окончательно будем иметь:

Ответ

ПРИМЕР 5

Задание

Вычислить

Решение

Перейдем во всех логарифмах к основанию 2, используя формулу перехода к новому основанию:

получим

Представим 4 и 8 в виде степени двойки и вынесем полученные степени за знак логарифма как коэффициент:

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Задания В11. Логарифмические выражения | Подготовка к ЕГЭ по математике

Часть 4.

Здесь смотрим части 1, 2, 3, 5

При решении задач, что мы сегодня рассматриваем, нам понадобятся свойства логарифмов. Кстати, – видео по теме

Числовые логарифмические выражения

Задание 1.

Найдите значение выражения $9\cdot 7^{\log_73}$ .

Решение: + показать

Задание 2.

Найдите значение выражения $16^{\log_47}$ .

Решение: + показать

Представим как и далее воспользуемся следующим свойством логарифмов:

$n\log_ax=\log_ax^n$ при :

$16^{\log_47}=(4^2)^\log_47=4^{2\log_47}=4^{\log_47^2}$

А теперь применяем основное логарифмическое тождество:

$4^{\log_47^2}=49.$

Ответ: 49.

Задание 3.
Найдите значение выражения $\log_{0,2}125$ .
Решение: + показать
Задание 4.
Найдите значение выражения $\log_8160-\log_82,5$ .
Решение: + показать
Задание 5.
Найдите значение выражения $(\log_981)\cdot (\log_264)$ .
Решение: + показать
$(\log_981)\cdot (\log_264)=(\log_99^2)\cdot (\log_22^6)=(2\log_99)\cdot (6\log_22)=$
$=(2\cdot 1)\cdot (6\cdot 1)=12.$
Ответ: 12.

Задание 6.
Найдите значение выражения $\log_432+\log_{0,1}10$ .
Решение: + показать
Складывать логарифмы не имеем право, у них разные основания.
Работаем с каждым слагаемым по отдельности:
$\log_432=\log_{2^2}2^5=\frac{5}{2}\log_22=2,5;$
$\log_{0,1}10=\log_{10^{-1}}10=-\log_{10}10=-1;$
Тогда $\log_432+\log_{0,1}10=2,5-1=1,5.$
Ответ: 1,5.

Задание 7.
Найдите значение выражения $\frac{\log_2225}{\log_215}$ .
Решение: + показать
Задание 8.
Найдите значение выражения $\frac{\log_92}{\log_{81}2}$ .
Решение: + показать
$\frac{\log_92}{\log_{81}2}=\frac{\log_92}{\log_{9^2}2}=\frac{\log_92}{\frac{1}{2}\log_{9}2}=\frac{2\log_92}{\log_92}=2.$
Ответ: 2.

Задание 9.
Найдите значение выражения $\log_311\cdot \log_{11}27$ .
Решение: + показать
Задание 10.
Найдите значение выражения $\frac{3^{\log_{13}507}}{3^{\log_{13}3}}$ .
Решение: + показать
$\frac{3^{\log_{13}507}}{3^{\log_{13}3}}=3^{\log_{13}507-\log_{13}3}=3^{\log_{13}\frac{507}{3}}=3^{\log_{13}169}=3^2=9.$
Ответ: 9.

Задание 11.
Найдите значение выражения $(1-\log_218)(1-\log_918)$ .
Решение: + показать
$(1-\log_218)(1-\log_918)=(\log_22-\log_218)(\log_99-\log_918)=$
$=\log_2\frac{1}{9}\cdot \log_9\frac{1}{2}=-\log_29\cdot \log_9\frac{1}{2}=-\log_2\frac{1}{2}=\log_22=1.$
Ответ: 1.

Задание 12.
Найдите значение выражения $\log_{\sqrt[9]{13}}13$ .
Решение: + показать
$\log_{\sqrt[9]{13}}13=\log_{13^{\frac{1}{9}}}13=9\log_{13}13=9.$
Ответ: 9.

Задание 13.
Найдите значение выражения $\frac{\log_42}{\log_45}+\log_50,5$ .
Решение: + показать
$\frac{\log_42}{\log_45}+\log_50,5=\log_52+\log_50,5=\log_5(2\cdot 0,5)=\log_51=0.$
Ответ: 0.

Задание 14.
Вычислите значение выражения: $(5^{\log_57})^{\log_72}$ .
Решение: + показать
$(5^{\log_57})^{\log_72}=5^{\log_57\cdot \log_72}=5^{\log_52}=2;$
В самом конце мы применили основное логарифмическое тождество, а до этого – следствие из свойства 7 логарифмов.
Ответ: 2.

Задание 15.
Найдите значение выражения $\log_{16}\log_39$ .
Решение: + показать
Обратите внимание, это не произведение логарифмов. У логарифма по основанию подлогарифмным выражением является $\log_39$ .
$\log_{16}\log_39=\log_{16}2=\log_{2^4}2=\frac{1}{4}\log_22=0,25.$
Ответ: 0,25.

Буквенные логарифмические выражения
Задание 1.
Найдите $\log_a\frac{a^3}{b^5}$ , если $\log_ab=7$ .
Решение: + показать
$\log_a\frac{a^3}{b^5}=\log_aa^3-\log_ab^5=3\log_aa-5\log_ab=3-5\log_ab$
При $\log_ab=7$ имеем: $3-5\log_ab=3-5\cdot 7=-32.$
Ответ: -32.

Задание 2.
Найдите значение выражения $\log_a(ab^6)$ , если $\log_ba=\frac{2}{11}$ .
Решение: + показать
🙂 После плодотворной работы не помешало бы и отдохнуть немного… –>+ показать
Жизнь полна неожиданностей, неправда ли?

Вы можете пройти обучающий тест по теме «Преобразование логарифмических выражений».

Свойства логарифмов и примеры решений
Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».
Зачем в жизни нужны логарифмы?

Я уже говорил, что математики СУПЕРленивые люди? Это правда.
Вот представь себе, им лень умножать и они придумали логарифмы, которые позволяют заменить умножение сложением!
Им еще больше лень возводить в степень и они используют логарифмы, чтобы заменить возведение в степень умножением или делением!
То есть они используют логарифмы, чтобы быстро проделывать громоздкие вычисления.
Круто, да?

Как научиться решать логарифмы?

Логарифмы – ОЧЕНЬ ПРОСТАЯ ТЕМА!
Чтобы понять как их решать – нужно: разобраться со свойствами логарифма и понимать что как называется, понимать разницу между видами логарифмов (десятичными и натуральными).
Ну и уметь возводить число в степень, знать таблицу умножения (а это ты точно умеешь).

Все. Больше ничего не нужно.
Прочитай эту статью, обязательно реши примеры и решение логарифмов навсегда станет для тебя задачкой easy-peasy lemon squeezy — очень легкой 🙂

СОДЕРЖАНИЕ СТАТЬИ
Что такое логарифм?
Для начинающих объясним все человеческим языком. Логарифмы – очень простая тема. Чтобы понять как их решать – нужно всего лишь разобраться что как называется, знать таблицу умножения и уметь возводить в число в степень. Все. Больше ничего не нужно.
Начнем с простого. Как решить уравнение ?
Очень легко – просто ответь на вопрос в какую степень нужно возвести число   чтобы получить ? Решаем методом подбора: два в первой степени – нет, два во второй степени – нет, два в третей степени – ДА! Двойку нужно возвести в ТРЕТЬЮ степень, чтобы получить восемь ( ) и значит решением уравнения будет число три ( ).
Следующий вопрос. Как решить уравнение ?
Опять просто ответь на вопрос в какую степень нужно возвести число , чтобы получить число ? Попытаемся подобрать: два во второй степени равно четыре – мало, два в третьей степени равно восемь – много. Метод подбора сразу ответ не дает… Да и вообще, в этом случае подобрать решение не получится – ведь это не только нецелое число, это число даже не рациональное. Для нахождения таких решений было придумано понятие логарифм: . В общем виде он записывается так:
То есть логарифм – это степень, в которую нужно возвести основание , чтобы получить аргумент .
Вернёмся к . Если ты посчитаешь на калькуляторе, то получишь   и т.д. Это число иррациональное. Оно мало того, что не подбирается, оно еще и не кончается…
Ну и как с такими числами работать? Как их запоминать? Как их записывать?
В нашем случае решение уравнения можно записать как   или как .
Согласись второе выражение гораздо удобнее, чем первое. И оно, кстати, абсолютно точное.
Словами это произносится как: «Решением уравнения два в степени икс равно пяти является логарифм пяти по основанию два, или логарифм по основанию два от пяти».
Кстати, а ты заметил что и у степени числа и у логарифма основание всегда находится «ВНИЗУ». Легко запомнить правда? А вот «вверху», у степени находится ее показатель, а у логарифма – аргумент.
Выражение можно также записать в виде . Читается так: «Логарифм восьми по основанию два равен трем» или «Логарифм по основанию два от восьми равен трем».
Теперь более общая запись:
Читается так: «Логарифм по основанию   от   равен », и означает: «Чтобы получить число , нужно число   возвести в степень »:
Иными словами, – это степень, в которую нужно возвести , чтобы получить .
Примеры вычисления логарифмов

, так как число   нужно возвести во вторую степень, чтобы получить .

Чему равен ? Заметим, что , тогда , то есть   нужно возвести в степень , чтобы получить .

А чему равен ? Обращать внимание нужно, в первую очередь, на основание. Возможно ли представить   как   в какой-то степени? Да, возможно: запишем это число в виде обычной дроби: . Значит, .

Еще пример. Чему равен ? В какую степень надо возвести , чтобы получить ? Вспоминаем, что любое число в нулевой степени равно   (подробнее читай в разделе «Степень и ее свойства»). Значит, . Более того, логарифм с любым основанием от единицы равен .

. В этом случае аргумент   равен корню основания: . Но мы помним, что корень тоже можно представить в виде степени (с дробным показателем): .

Попробуй найти следующие логарифмы самостоятельно:

Ответы:

Десятичные логарифмы
Логарифм по основанию   называется десятичным логарифмом и записывается упрощенно:   вместо , например:
Когда нужная степень не подбирается
Как я уже говорил, далеко не всегда удается подобрать такую степень. Но это не значит, что такого числа не существует, просто его можно вычислить только на калькуляторе.
Например, . Видим, что это число расположено между   и , и это понятно: ведь это значит, чтобы получить , нужно   возводить в степень больше , но меньше .
На ЕГЭ пользоваться калькулятором нельзя, но даже если бы было можно, нельзя записывать приближенные вычисления. Поэтому, если перед нами задача первой части, ответ обязательно должен получиться «хороший», и его можно посчитать в уме. В письменной части могут попасться и «плохие» числа; в этом случае пугаться не нужно, в ответе можно просто написать логарифм. Например, ответ вполне может выглядеть так: , или даже так: .
Получается, что теперь мы можем мнгновенно записать решение любого элементарного показательного уравнения:
? Легко: .
?
?  . И так далее.
Но увлекаться и халтурить тоже не стоит – если в ответе оставить , высший балл за задачу не поставят. То есть, если ответ возможно упростить и представить в виде рационального числа, это обязательно нужно будет сделать. Потренируйся на следующих простых примерах:
Примеры для самостоятельной работы

Ответы на примеры для самостоятельной работы:

;

, но   никак не представить в виде степени четверки. Поэтому все просто: ;

;

. Как и в примере 2, здесь придумать степень не получится, поэтому  ;

;

. Очевидно, и здесь степень придумать не удастся:  .

Кстати, ответы типа   или можно упростить – сделать числа поменьше. Как это сделать, и зачем – об этом чуть позже, в разделе «Свойства логарифмов».

Область допустимых значений (ОДЗ) логарифма
Теперь поговорим об ограничениях (ОДЗ – область допустимых значений переменных).
Мы помним, что, например, квадратный корень нельзя извлекать из отрицательных чисел; или если у нас дробь, то знаменатель не может быть равен нулю. Подобные ограничения есть и у логарифмов:
То есть и аргумент, и основание должны быть больше нуля, а основание еще и не может равняться .
Почему так?
Начнем с простого: допустим, что . Тогда, например, число не существует, так как в какую бы степень мы не возводили , всегда получается . Более того,   не существует ни для какого . Но при этом   может равняться чему угодно (по той же причине –   в любой степени равно ). Поэтому объект не представляет никакого интереса, и его просто выбросили из математики.
Похожая проблема у нас и в случае :   в любой положительной степени – это , а в отрицательную его вообще нельзя возводить, так как получится деление на ноль (напомню, что ).
При   мы столкнемся с проблемой возведения в дробную степень (которая представляется в виде корня: . Например,   (то есть ), а вот   не существует.
Поэтому и отрицательные основания проще выбросить, чем возиться с ними.
Ну а поскольку основание a у нас бывает только положительное, то в какую бы степень мы его ни возводили, всегда получим число строго положительное. Значит, аргумент должен быть положительным. Например, не существует, так как   ни в какой степени не будет отрицательным числом (и даже нулем, поэтому   тоже не существует).
В задачах с логарифмами первым делом нужно записать ОДЗ. Приведу пример:
Решим уравнение .
Вспомним определение: логарифм   – это степень, в которую надо возвести основание , чтобы получить аргумент . И по условию, эта степень равна : .
Получаем обычное квадратное уравнение: . Решим его с помощью теоремы Виета: сумма корней равна , а произведение . Легко подобрать, это числа   и .
Но если сразу взять и записать оба этих числа в ответе, можно получить 0 баллов за задачу. Почему? Давайте подумаем, что будет, если подставить эти корни в начальное уравнение?
— верно.
– это явно неверно, так как основание не может быть отрицательным, то есть корень   – «сторонний».
Чтобы избежать таких неприятных подвохов, нужно записать ОДЗ еще до начала решения уравнения:

Тогда, получив корни   и , сразу отбросим корень , и напишем правильный ответ.
Пример 1 (попробуй решить самостоятельно):
Найдите корень уравнения . Если корней несколько, в ответе укажите меньший из них.
Решение:
.
В первую очередь напишем ОДЗ:

Теперь вспоминаем, что такое логарифм: в какую степень нужно возвести основание , чтобы получить аргумент ? Во вторую. То есть:

Казалось бы, меньший корень равен . Но это не так: согласно ОДЗ корень   – сторонний, то есть это вообще не корень данного уравнения. Таким образом, уравнение имеет только один корень: .
Ответ:  .
Основное логарифмическое тождество
Вспомним определение логарифма в общем виде:

Подставим во второе равенство вместо   логарифм:

Это равенство называется основным логарифмическим тождеством. Хотя по сути это равенство – просто по-другому записанное определение логарифма:
– это степень, в которую нужно возвести , чтобы получить .
Например:
Реши еще следующие примеры:
Пример 2.
Найдите значение выражения .
Решение:
Вспомним правило из раздела «Степень и ее свой
Что такое логарифм простыми словами
Многие школьники считают логарифмы сложной темой в курсе математики. Но если разобрать, что такое логарифм подробно, от простого к сложному, то на ЕГЭ вы не станете их опасаться.
Часто у учеников возникает путаница, где аргумент, а где основание логарифма. И что же нужно возвести в степень, чтобы этот логарифм, наконец, посчитать.
В этой статье мы откроем секрет, как легче запомнить принцип решения логарифма.
Итак, давайте разбираться, что такое логарифм.

Что такое логарифм и как его посчитать
Зачем логарифмам специальные обозначения
Основные свойства логарифмов — все формулы в одном месте
10 примеров логарифмов с решением
Что такое логарифм и как его посчитать
Логарифм имеет следующий вид:
где a – это основание логарифма,
b – это аргумент логарифма
Чтобы узнать значение логарифма приравняем его к X.и преобразовываем вЗапомните, что именно основание (оно выделено красным) возводится в степень.
Чтобы было легче, можно запоминать так – основание всегда остается внизу (и в первом, и во втором выражении a внизу)!
Приведем пример:
Чтобы вычислить данный логарифм, необходимо приравнять его к X и воспользоваться правилом, описанным выше:А в какую степень нужно возвести 2, чтобы получилось 8? Конечно же в третью степень, таким образом:
Еще раз обращаю ваше внимание, что основание (в нашем случае это – 2) всегда находится внизу и именно оно возводится в степень.
Еще примеры:

Логарифмы со специальным обозначением
Для некоторых логарифмов в математике введены специальные обозначения. Это связано с тем, что такие логарифмы встречаются особенно часто. К таким логарифмам относятся десятичный логарифм и натуральный логарифм. Для этих логарифмов справедливы все правила, что и для обычных логарифмов.
Десятичный логарифм
Десятичный логарифм обозначается lg и имеет основание 10, т.е.
Чтобы вычислить десятичный логарифм, нужно 10 возвести в степень X.
Например, вычислим lg100
Натуральный логарифм
Натуральный логарифм обозначается ln и имеет основание e, то есть
Чтобы вычислить данный логарифм нужно число е возвести в степень x. Некоторые из вас спросят, что это за число такое е? Число е – это иррациональное число, т.е. точное его значение вычислить невозможно. е = 2,718281…
Сейчас не будем подробно разбирать, зачем это число нужно, просто запомним, что
И вычислить его можно таким образом:
Основные свойства логарифмов
Логарифмы можно преобразовывать, но для этого необходимо знать правила, которые называются основными свойствами логарифмов. Данные свойства обязательно нужно знать каждому ученику! Без знания этих свойств невозможно решить ни одну серьезную логарифмическую задачу. Вот эти свойства:
Совет – тренируйтесь применять эти свойства в обе стороны, то есть как слева направо, так и справа налево!
Рассмотрим свойства логарифмов на примерах.
Логарифмический ноль и логарифмическая единица
Это следствия из определения логарифма. И их нужно обязательно запомнить. Эти простейшие свойства нередко вводят учеников в ступор.
Запомните, что логарифм от a по основанию а всегда равен единице:
log_a a = 1 – это логарифмическая единица.
Если же в аргументе стоит единица, то такой логарифм всегда равен нулю независимо от основания, так как a⁰ = 1:
log_a 1 = 0 – логарифмический ноль.
Основное логарифмическое тождество
В первой формуле число m становится степенью, которая стоит в аргументе. Данное число может быть любым. Некоторые выражения могут быть решены только с помощью этого тождества.
Вторая формула по сути является просто переформулированным определением логарифма
Разберем применение тождества на примере:
Необходимо найти значение выраженияСначала преобразуем логарифм
Вернемся к исходному выражению и применим правило умножения степеней с одинаковым основанием:Теперь применим основное логарифмическое тождество и получим:
Сумма логарифмов. Разница логарифмов
Логарифмы с одинаковыми основаниями можно складывать:Логарифмы с одинаковыми основаниями можно вычитать:Мы видим, что исходные выражения состояли из логарифмов, которые по отдельности не вычисляются, а при применении свойств логарифмов у нас получились нормальные числа. Поэтому повторим, что основные свойства логарифмов нужно знать обязательно!
Обратите внимание, что формулы суммы и разности логарифмов верны только для логарифмов с одинаковыми основаниями! Если основания разные, то данные свойства применять нельзя!
Вынесение показателя степени из логарифма
Вынесение показателя степени из логарифма:
Переход к новому основанию
Когда мы разбирали формулы суммы и разности логарифмов, то обращали внимание на то, что основания логарифмов должны быть при этом одинаковыми. А что же делать, если основания логарифмов разные? Воспользоваться свойством перехода к новому основанию.
Такие формулы чаще всего нужны при решении логарифмических уравнений и неравенств.
Разберем на примере.
Необходимо найти значение такого выраженияДля начала преобразуем каждый логарифм с помощью свойства вынесения показателя степени из логарифма:
Теперь применим переход к новому основанию для второго логарифма:Подставим полученные результаты в исходное выражение:
10 примеров логарифмов с решением
1. Найти значение выражения2. Найти значение выражения3. Найти значение выражения4. Найти значение выражения5. Найти значение выражения6. Найти значение выраженияСначала найдем значениеДля этого приравняем его к Х:Тогда изначальное выражение принимает вид:
7. Найти значение выраженияПреобразуем наше выражение:Теперь воспользуемся свойством вынесения показателя степени из логарифма и получим: 8. Найти значение выраженияТак как основания логарифмов одинаковые, воспользуемся свойством разности логарифмов:9. Найти значение выраженияТак как основания логарифмов разные, применять свойство суммы логарифмов нельзя. Поэтому решаем каждый логарифм по отдельности:Подставляем полученные значения в исходное выражение:
4 + 3 = 7
10. Найти значение выраженияОбращаем внимание, что данное выражение – это не произведение логарифмов. У логарифма по основанию 4 подлогарифным выражением является log₂16. Поэтому сначала найдем значение log₂16, а затем подставим полученный результат в log₄:
Надеюсь, теперь вы разобрались, что такое логарифм.
Формулы логарифмов. Логарифмы примеры решения.
Сегодня мы поговорим о формулах логарифмов и дадим показательные примеры решения.
Ранее мы уже познакомились с понятием логарифма. А также рассмотрели основные свойства и примеры решения.
Формулы логарифмов сами по себе подразумевают шаблоны решения согласно основным свойствам логарифмов. Прежде применять формулы логарифмов для решения напомним для вас, сначала все свойства:
Теперь на основе этих формул(свойств), покажем примеры решения логарифмов.
Примеры решения логарифмов на основании формул.
Логарифм положительного числа b по основанию a (обозначается log_ab) — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b, при этом b > 0, a > 0, а 1.
Согласно определения log_ab = x, что равносильно a^x = b, поэтому log_aa^x = x.
Логарифмы, примеры:
log₂8 = 3, т.к. 2³ = 8
log₇49 = 2, т.к. 7² = 49
log₅1/5 = -1, т.к. 5^-1 = 1/5
Десятичный логарифм — это обычный логарифм, в основании которого находится 10. Обозначается как lg.
lg100 = 2
log₁₀100 = 2, т.к. 10² = 100
Натуральный логарифм — также обычный логарифм логарифм, но уже с основанием е (е = 2,71828… — иррациональное число). Обозначается как ln.
Формулы или свойства логарифмов желательно запомнить, потому что они понадобятся нам в дальнейшем при решении логарифмов, логарифмических уравнений и неравенств. Давайте еще раз отработаем каждую формулу на примерах.
Основное логарифмическое тождество
a^log_ab = b
Пример.
8^2log₈3 = (8^2log₈3)² = 3² = 9
Логарифм произведения равен сумме логарифмов
log_a (bc) = log_ab + log_ac
Пример.
log₃8,1 + log₃10 = log₃ (8,1*10) = log₃81 = 4
Логарифм частного равен разности логарифмов
log_a (b/c) = log_ab — log_ac
Пример.
9^log₅50/9^log₅2 = 9^{log₅50- log₅2} = 9^log₅25 = 9² = 81
Свойства степени логарифмируемого числа и основания логарифма
Показатель степени логарифмируемого числа log_ab^m = mlog_ab
Показатель степени основания логарифма log_aⁿb =1/n*log_ab
log_aⁿb^m = m/n*log_ab,
если m = n, получим log_aⁿbⁿ = log_ab
Пример.
log₄9 = log_2²3² = log₂3
Переход к новому основанию
log_ab = log_cb/log_ca,
если c = b, получим log_bb = 1
тогда log_ab = 1/log_ba
Пример.
log_0,83*log₃1,25 = log_0,83*log_0,81,25/log_0,83 = log_0,81,25 = log_4/55/4 = -1
Как видите, формулы логарифмов не так сложны как кажутся. Теперь рассмотрев примеры решения логарифмов мы можем переходить к логарифмическим уравнениям. Примеры решения логарифмических уравнений мы более подробно рассмотрим в статье: «Решение логарифмических уравнений. Как решать, на примерах». Не пропустите!
Если у вас остались вопросы по решению, пишите их в комментариях к статье.
Заметка: решили получить образование другого класса обучение за рубежом как вариант развития событий.
Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:
90000 logarithm | Rules, Examples, & Formulas 90001 90002 90003 Logarithm 90004, the exponent or power to which a base must be raised to yield a given number. Expressed mathematically, 90005 x 90006 is the logarithm of 90005 n 90006 to the base 90005 b 90006 if 90005 b 90006 90013 90005 x 90006 90016 = 90005 n 90006, in which case one writes 90005 x 90006 = log 90021 90005 b 90006 90024 90005 n 90006. For example, 2 90013 3 90016 = 8; therefore, 3 is the logarithm of 8 to base 2, or 3 = log 90021 2 90024 8.In the same fashion, since 10 90013 2 90016 = 100, then 2 = log 90021 10 90024 100. Logarithms of the latter sort (that is, logarithms with base 10) are called common, or Briggsian, logarithms and are written simply log 90005 n 90006. 90037 90002 Invented in the 17th century to speed up calculations, logarithms vastly reduced the time required for multiplying numbers with many digits. They were basic in numerical work for more than 300 years, until the perfection of mechanical calculating machines in the late 19th century and computers in the 20th century rendered them obsolete for large-scale computations.The natural logarithm (with base 90005 e 90006 ≅ 2.71828 and written ln 90005 n 90006), however, continues to be one of the most useful functions in mathematics, with applications to mathematical models throughout the physical and biological sciences. 90037 90044 Properties of logarithms 90045 90002 Logarithms were quickly adopted by scientists because of various useful properties that simplified long, tedious calculations. In particular, scientists could find the product of two numbers 90005 m 90006 and 90005 n 90006 by looking up each number’s logarithm in a special table, adding the logarithms together, and then consulting the table again to find the number with that calculated logarithm (known as its antilogarithm).Expressed in terms of common logarithms, this relationship is given by log 90005 m 90006 90005 n 90006 = log 90005 m 90006 + log 90005 n 90006. For example, 100 × 1,000 can be calculated by looking up the logarithms of 100 (2) and 1,000 (3), adding the logarithms together (5), and then finding its antilogarithm (100,000) in the table. Similarly, division problems are converted into subtraction problems with logarithms: log 90005 m 90006/90005 n 90006 = log 90005 m 90006 — log 90005 n 90006.This is not all; the calculation of powers and roots can be simplified with the use of logarithms. Logarithms can also be converted between any positive bases (except that 1 can not be used as the base since all of its powers are equal to 1), as shown in the table of logarithmic laws. 90037 90002 Only logarithms for numbers between 0 and 10 were typically included in logarithm tables. To obtain the logarithm of some number outside of this range, the number was first written in scientific notation as the product of its significant digits and its exponential power-for example, 358 would be written as 3.58 × 10 90013 2 90016, and 0.0046 would be written as 4.6 × 10 90013 -3 90016. Then the logarithm of the significant digits-a decimal fraction between 0 and 1, known as the mantissa-would be found in a table. For example, to find the logarithm of 358, one would look up log 3.58 ≅ 0.55388. Therefore, log 358 = log 3.58 + log 100 = 0.55388 + 2 = 2.55388. In the example of a number with a negative exponent, such as 0.0046, one would look up log 4.6 ≅ 0.66276. Therefore, log 0.0046 = log 4.6 + log 0.001 = 0.66276 — 3 = -2.33724. 90037 Get exclusive access to content from our тисяча сімсот шістьдесят вісім First Edition with your subscription. Subscribe today 90044 History of logarithms 90045 90002 The invention of logarithms was foreshadowed by the comparison of arithmetic and geometric sequences. In a geometric sequence each term forms a constant ratio with its successor; for example, … 1 / 1,000, 1/100, 1/10, 1, 10, 100, 1000 … has a common ratio of 10. In an arithmetic sequence each successive term differs by a constant, known as the common difference; for example, … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 … has a common difference of 1.Note that a geometric sequence can be written in terms of its common ratio; for the example geometric sequence given above: … 10 90013 -3 90016, 10 90013 -2 90016, 10 90013 -1 90016, 10 90013 0 90016, 10 90013 1 90016, 10 90013 2 90016, 10 90013 3 90016 …. Multiplying two numbers in the geometric sequence, say 1/10 and 100, is equal to adding the corresponding exponents of the common ratio, -1 and 2, to obtain 10 90013 1 90016 = 10. Thus, multiplication is transformed into addition. The original comparison between the two series, however, was not based on any explicit use of the exponential notation; this was a later development.In 1620 the first table based on the concept of relating geometric and arithmetic sequences was published in Prague by the Swiss mathematician Joost Bürgi. 90037 90002 The Scottish mathematician John Napier published his discovery of logarithms in 1614. His purpose was to assist in the multiplication of quantities that were then called sines. The whole sine was the value of the side of a right-angled triangle with a large hypotenuse. (Napier’s original hypotenuse was 10 90013 7 90016.) His definition was given in terms of relative rates.90037 90098 90002 The logarithme, therefore, of any sine is a number very neerely expressing the line which increased equally in the meene time whiles the line of the whole sine decreased proportionally into that sine, both motions being equal timed and the beginning equally shift. 90037 90101 90002 In cooperation with the English mathematician Henry Briggs, Napier adjusted his logarithm into its modern form. For the Naperian logarithm the comparison would be between points moving on a graduated straight line, the 90005 L 90006 point (for the logarithm) moving uniformly from minus infinity to plus infinity, the 90005 X 90006 point (for the sine) moving from zero to infinity at a speed proportional to its distance from zero.Furthermore, 90005 L 90006 is zero when 90005 X 90006 is one and their speed is equal at this point. The essence of Napier’s discovery is that this constitutes a generalization of the relation between the arithmetic and geometric series; i.e., multiplication and raising to a power of the values of the 90005 X 90006 point correspond to addition and multiplication of the values of the 90005 L 90006 point, respectively. In practice it is convenient to limit the 90005 L 90006 and 90005 X 90006 motion by the requirement that 90005 L 90006 = 1 at 90005 X 90006 = 10 in addition to the condition that 90005 X 90006 = 1 at 90005 L 90006 = 0.This change produced the Briggsian, or common, logarithm. 90037 90002 Napier died in 1 617 and Briggs continued alone, publishing in 1624 a table of logarithms calculated to 14 decimal places for numbers from 1 to 20,000 and from 90,000 to 100,000. In 1628 the Dutch publisher Adriaan Vlacq brought out a 10-place table for values from 1 to 100,000, adding the missing 70,000 values. Both Briggs and Vlacq engaged in setting up log trigonometric tables. Such early tables were either to one-hundredth of a degree or to one minute of arc.In the 18th century, tables were published for 10-second intervals, which were convenient for seven-decimal-place tables. In general, finer intervals are required for calculating logarithmic functions of smaller numbers-for example, in the calculation of the functions log sin 90005 x 90006 and log tan 90005 x 90006. 90037 90002 The availability of logarithms greatly influenced the form of plane and spherical trigonometry. The procedures of trigonometry were recast to produce formulas in which the operations that depend on logarithms are done all at once.The recourse to the tables then consisted of only two steps, obtaining logarithms and, after performing computations with the logarithms, obtaining antilogarithms. 90037 Francis J. Murray 90044 Learn More in these related Britannica articles: 90045 .90000 Working with Exponents and Logarithms 90001 90002 What is an Exponent? 90003 90004 90005 90006 90007 90006 90007 90006 90011 The exponent of a number says 90012 how many times 90013 90014 to use the number in a multiplication. 90015 90011 In this example: 90012 2 90018 3 90019 = 2 × 2 × 2 = 8 90014 90015 90022 90023 (2 is used 3 times in a multiplication to get 8) 90024 90015 90007 90027 90028 90002 What is a Logarithm? 90003 90011 A Logarithm goes the other way.90015 90011 It asks the question «what exponent produced this?»: 90015 90022 90015 90011 And answers it like this: 90015 90022 90015 90011 In that example: 90015 90043 90044 The Exponent takes 90012 2 and 3 90014 and gives 90012 8 90014 90023 (2, used 3 times in a multiplication, makes 8) 90024 90051 90044 The Logarithm takes 90012 2 and 8 90014 and gives 90012 3 90014 90023 (2 makes 8 when used 3 times in a multiplication) 90024 90051 90060 90011 A Logarithm says 90012 how many 90014 of one number to multiply to get another number 90015 90011 So a logarithm actually gives you the 90012 exponent as its answer 90014: 90015 90011 90015 90023 (Also see how Exponents, Roots and Logarithms are related.) 90024 90002 Working Together 90003 90011 Exponents and Logarithms work well together because they «undo» each other (so long as the base «a» is the same): 90015 90022 90015 90022 They are «Inverse Functions» 90015 90011 90015 90011 Doing one, then the other, gets you back to where you started: 90015 Doing 90012 a 90018 x 90019 90014 then 90012 log 90090 a 90091 90014 gives you 90012 x 90014 back again: Doing 90012 log 90090 a 90091 90014 then 90012 a 90018 x 90019 90014 gives you 90012 x 90014 back again: 90011 90015 90011 It is too bad they are written 90023 so differently 90024… it makes things look strange. So it may help to think of a 90018 x 90019 as «up» and log 90090 a 90091 (x) as «down»: 90015 90011 going up, then down, returns you back again: down (up (x)) = x 90015 90011 going down, then up, returns you back again: up (down (x)) = x 90015 90011 90015 90011 Anyway, the important thing is that: 90015 90022 90012 The Logarithmic Function is «undone» by the Exponential Function. 90014 90015 90022 90023 (and vice versa) 90024 90015 90011 Like in this example: 90015 90133 Example, what is 90012 x 90014 in 90012 log 90090 3 90091 (x) = 5 90014 90140 90011 Start with: log 90090 3 90091 (x) = 5 90015 90011 We want to «undo» the log 90090 3 90091 so we can get «x =» 90015 Use the Exponential Function (on both sides): And we know that, so: x = 3 90018 5 90019 90011 Answer: x = 243 90015 90011 And also: 90015 90133 Example: Calculate y in 90012 y = log 90090 4 90091 (1/4) 90014 90140 90011 Start with: y = log 90090 4 90091 (1/4) 90015 Use the Exponential Function on both sides: 90011 Simplify: 4 90018 y 90019 = 1/4 90015 90011 Now a simple trick: 90012 1/4 = 4 90018 -1 90019 90014 90015 90011 So: 4 90012 90018 y 90019 90014 = 4 90012 90018 -1 90019 90014 90015 90011 And so: 90012 y = -1 90014 90015 90002 Properties of Logarithms 90003 90011 One of the powerful things about Logarithms is that they can 90012 turn multiply into add 90014.90015 90022 log 90090 a 90091 (m × n) = log 90090 a 90091 m + log 90090 a 90091 n 90015 90022 90023 «the log of multiplication is the sum of the logs» 90024 90015 90133 Why is that true? See Footnote. 90140 90011 Using that property and the Laws of Exponents we get these useful properties: 90015 90211 90005 90213 log 90090 a 90091 (m × n) = log 90090 a 90091 m + log 90090 a 90091 n 90007 90006 90023 the log of multiplication is the sum of the logs 90024 90007 90027 90005 90213 90007 90006 90007 90027 90005 90213 log 90090 a 90091 (m / n) = log 90090 a 90091 m — log 90090 a 90091 n 90007 90006 90023 the log of division is the difference of the logs 90024 90007 90027 90005 90213 90007 90006 90007 90027 90005 90213 log 90090 a 90091 (1 / n) = -log 90090 a 90091 n 90007 90006 this just follows on from the previous «division» rule, because log 90090 a 90091 (1) = 0 90007 90027 90005 90213 90007 90006 90007 90027 90005 90213 log 90090 a 90091 (m 90018 r 90019) = r (log 90090 a 90091 m) 90007 90006 90023 the log of m with an exponent r is r times the log of m 90024 90007 90027 90005 90213 90007 90006 90007 90027 90028 90022 Remember: the base «a» is always the same! 90015 90011 90012 History: 90014 Logarithms were very useful before calculators were invented… for example, instead of multiplying two large numbers, by using logarithms you could turn it into addition (much easier!) 90015 90011 And there were books full of Logarithm tables to help. 90015 90011 Let us have some fun using the properties: 90015 90133 Example: Simplify 90012 log 90090 a 90091 ((x 90018 2 90019 +1) 90018 4 90019 √x) 90014 90140 90011 Start with: log 90090 a 90091 ((x 90018 2 90019 +1) 90018 4 90019 √x) 90015 90011 Use 90012 log 90090 a 90091 (mn) = log 90090 a 90091 m + log 90090 a 90091 n 90014: log 90090 a 90091 ((x 90018 2 90019 +1) 90018 4 90019) + log 90090 a 90091 (√x) 90015 90011 Use 90012 log 90090 a 90091 (m 90018 r 90019) = r (log 90090 a 90091 m) 90014: 4 log 90090 a 90091 (x 90018 2 90019 +1) + log 90090 a 90091 (√x) 90015 90011 Also 90012 √x = x 90018 ½ 90019 90014: 4 log 90090 a 90091 (x 90018 2 90019 +1) + log 90090 a 90091 (x 90018 ½ 90019) 90015 90011 Use 90012 log 90090 a 90091 (m 90018 r 90019) = r (log 90090 a 90091 m) 90014 again: 4 log 90090 a 90091 (x 90018 2 90019 +1) + ½ log 90090 a 90091 (x) 90015 90011 That is as far as we can simplify it… we can not do anything with log 90090 a 90091 (x 90018 2 90019 +1). 90015 90011 90015 90022 Answer: 4 log 90090 a 90091 (x 90018 2 90019 +1) + ½ log 90090 a 90091 (x) 90015 90011 Note: there is no rule for handling log 90090 a 90091 (m + n) or log 90090 a 90091 (m-n) 90015 90011 90015 90011 We can also apply the logarithm rules «backwards» to combine logarithms: 90015 90133 Example: Turn this into one logarithm: 90012 log 90090 a 90091 (5) + 90014 90012 log 90090 a 90091 (x) 90014 — 90012 log 90090 a 90091 (2) 90014 90140 90011 Start with: log 90090 a 90091 (5) + log 90090 a 90091 (x) — log 90090 a 90091 (2) 90015 90011 Use 90012 log 90090 a 90091 (mn) = log 90090 a 90091 m + log 90090 a 90091 n 90014: log 90090 a 90091 (5x) — log 90090 a 90091 (2) 90015 90011 Use 90012 log 90090 a 90091 (m / n) = log 90090 a 90091 m — log 90090 a 90091 n 90014: log 90090 a 90091 (5x / 2) 90015 90011 90015 90022 Answer: log 90090 a 90091 (5x / 2) 90015 90002 The Natural Logarithm and Natural Exponential Functions 90003 90011 When the base is 90012 e 90014 ( «Euler’s Number» = 90012 2.718281828459 90014 …) we get: 90015 90043 90044 The Natural Logarithm 90012 log 90090 e 90091 (x) 90014 which is more commonly written ln (x) 90051 90044 The Natural Exponential Function e 90018 x 90019 90051 90060 90011 And the same idea that one can «undo» the other is still true: 90015 90022 ln (e 90018 x 90019) = x 90015 90022 e 90018 (ln x) 90019 = x 90015 90011 And here are their graphs: 90015 90495 90496 90006 90011 Natural Logarithm 90015 90007 90006 90007 90006 90011 Natural Exponential Function 90015 90007 90027 90496 90006 90007 90006 90007 90006 90007 90027 90496 90006 Graph of 90012 f (x) = ln (x) 90014 90007 90006 90007 90006 90011 Graph of 90012 f (x) = e 90018 x 90019 90014 90015 90007 90027 90496 90006 90011 Passes through 90012 (1,0) 90014 and 90012 (e, 1) 90014 90015 90007 90006 90007 90006 90011 Passes through 90012 (0,1) 90014 and 90012 (1, e) 90014 90015 90007 90027 90028 90011 90015 90011 They are the 90012 same curve 90014 with x-axis and y-axis 90012 flipped 90014.90015 90011 Which is another thing to show you they are inverse functions. 90015 90211 90005 90006 90007 90006 90007 90006 90011 On a calculator the Natural Logarithm is the «ln» button. 90015 90007 90027 90028 90011 Always try to use Natural Logarithms and the Natural Exponential Function whenever possible. 90015 90002 The Common Logarithm 90003 90011 When the base is 90012 10 90014 you get: 90015 90043 90011 90044 The Common Logarithm 90012 log 90090 10 90091 (x) 90014, which is sometimes written as log (x) 90051 90015 90060 90011 Engineers love to use it, but it is not used much in mathematics.90015 90211 90005 90006 90007 90006 90007 90006 90011 On a calculator the Common Logarithm is the «log» button. 90015 90011 It is handy because it tells you how «big» the number is in decimal (how many times you need to use 10 in a multiplication). 90015 90007 90027 90028 90133 Example: Calculate log 90090 10 90091 100 90140 90011 Well, 10 × 10 = 100, so when 10 is used 90012 2 90014 times in a multiplication you get 100: 90015 90022 log 90090 10 90091 100 = 2 90015 90011 Likewise log 90090 10 90091 1,000 = 3, log 90090 10 90091 10,000 = 4, and so on.90015 90133 Example: Calculate log 90090 10 90091 369 90140 90011 OK, best to use my calculator’s «log» button: 90015 90022 log 90090 10 90091 369 = 2.567 … 90015 90002 Changing the Base 90003 90011 What if we want to change the base of a logarithm? 90015 90011 Easy! Just use this formula: 90015 90022 90015 90022 «x goes up, a goes down» 90015 90011 Or another way to think of it is that 90012 log 90090 b 90091 a 90014 is like a «conversion factor» (same formula as above): 90015 90011 So now we can convert from any base to any other base.90015 90011 Another useful property is: 90015 90011 See how «x» and «a» swap positions? 90015 90133 Example: Calculate 1 / log 90090 8 90091 2 90140 90022 1 / log 90090 8 90091 2 = log 90090 2 90091 8 90015 90011 And 2 × 2 × 2 = 8, so when 2 is used 90012 3 90014 times in a multiplication you get 8: 90015 90022 1 / log 90090 8 90091 2 = log 90090 2 90091 8 = 3 90015 90011 90015 90011 But we use the Natural Logarithm more often, so this is worth remembering: 90015 90011 90015 90133 Example: Calculate log 90090 4 90091 22 90140 90211 90005 90006 90007 90006 90011 My calculator does not have a «90012 log 90090 4 90091 90014» button… 90015 90011 … but it does have an «90012 ln 90014» button, so we can use that: 90015 90007 90027 90028 90011 log 90090 4 90091 22 = ln 22 / ln 4 90015 90011 = 3.09 … / 1.39 … 90015 90011 = 2.23 90023 (to 2 decimal places) 90024 90015 90022 90015 90011 What does this answer mean? It means that 4 with an exponent of 2.23 equals 22. So we can check that answer: 90015 90022 Check: 4 90018 2.23 90019 = 22.01 (close enough!) 90015 90011 Here is another example: 90015 90133 Example: Calculate log 90090 5 90091 125 90140 90011 log 90090 5 90091 125 = ln 125 / ln 5 90015 90011 = 4.83 … / 1.61 … 90015 90011 = 3 90023 (exactly) 90024 90015 90022 90015 90011 I 90015.90000 Logarithms Can Have Decimals 90001 90002 90003 90002 On Introduction to Logarithms we saw that a logarithm answers questions like this: 90003 90002 How many 2s do we multiply to get 8? 90003 90002 Answer: 90009 2 × 2 × 2 = 8 90010, so we needed to multiply 3 of the 90009 2 90010 s to get 90009 8 90010 90003 90002 So the logarithm is 3 90003 90002 And we write «the number of 2s we multiply to get 8 is 90009 3 90010» as 90003 90002 log 90023 2 90024 (8) = 3 90003 So these two things are the same: 90002 90003 90002 90003 90030 Example: What is log 90023 10 90024 (100)…? 90033 90002 10 × 10 = 100 90003 90002 Multiplying 2 10s together makes 100, so: 90003 90002 log 90023 10 90024 (100) = 2 90003 90002 90003 90002 Note: using exponents it is: 90009 10 90046 2 90047 = 100 90010 90003 90002 But now we ask a new question: 90003 90030 Example: What is log 90023 10 90024 (300) …? 90033 90002 10 × 10 = 100 90003 90002 10 × 10 × 10 = 1000 90003 90002 Oh no! We are either too low or too high. 90003 90002 So multiplying 90009 two 90010 10s is not enough, but multiplying 90009 three 90010 10s is too many… 90003 90002 … but what about 90009 two and a half 90010 …? 90003 90002 90003 90074 Half a Multiply … 90075 90002 How can we do 90009 half a multiply 90010? 90003 90002 90003 90002 Well, 90009 half a multiply 90010 is something we need to do 90009 twice 90010 to make a 90009 whole multiply 90010. 90003 90002 90003 90002 And that is square root! 90003 90002 √10 × √10 = 10 90003 90002 Multiplying by a square root is like doing half a multiply.90003 90002 So let us try that: 90003 90030 Example: log 90023 10 90024 (300) (continued) 90033 90002 Try using 10 in a multiplication 90009 two and a half times 90010: 90003 90002 10 × 10 × √10 90109 = 10 × 10 × 3.16 … 90109 = 316 …. 90003 90002 We are close to 300, so we could say: 90003 90002 log 90023 10 90024 (300) ≈ 2.5 (approximately) 90003 90002 In other words using 10 in a multiplication two and a half times gets approximately 300. 90003 90002 (Note: using exponents we can say 90009 300 ≈ 10 90046 2.5 90047 90010) 90003 90002 And this is what it looks like on a graph: 90003 90002 90003 90002 2: 10 × 10 = 90009 100 90010 90109 2.5: 10 × 10 × √10 = 90009 316 …. 90010 90109 3: 10 × 10 × 10 = 90009 1000 90010 90109 90003 90002 So logarithms are not just whole numbers like 2 or 3: we found a value at 90009 2.5 90010, 90003 90002 We can find more values (using cube roots, fourth-roots etc) like 2.75, or 1.9055, and so on. 90003 90002 But we do not have to use square roots etc to find logarithms, because… 90003 90002 … 90009 in practice 90010 it is easier to use a calculator! 90003 90002 90003 90074 Just Use A Calculator 90075 90157 90158 90159 90160 90159 90160 90159 90002 For example the «log» button will give the «base 10» logarithm. 90003 90160 90167 90168 90030 Example: Using the calculator, what is log 90023 10 90024 (300)? 90033 90002 Get your calculator, type in 90009 300 90010, then press 90009 log 90010 90003 90002 Answer: 90009 2.477 … 90010 90003 90002 90003 90002 That means that we need to use 10 in a multiplication 2.477 … times to make 300: 90003 90002 log 90023 10 90024 (300) = 2.477 … 90003 90002 Our earlier estimate of 90009 2.5 90010 was not too bad, was it? 90003 90002 Note: using exponents it is: 90009 10 90046 2.477 … 90047 = 300 90010 90003 90002 90003 90030 Example: What is log 90023 10 90024 (640)? 90033 90002 Get your calculator, type in 640, then press log 90003 90002 Answer: 90009 2.806 … 90010 90003 90002 That means that we need to use 10 in a multiplication 2.806 … times to make 640: 90003 90002 log 90023 10 90024 (640) = 2.806 … 90003 90002 Have a look at the graph above, and see what value you get at x = 640 90003 90002 Note: using exponents it is: 90009 10 90046 2.806 … 90047 = 640 90010 90003 90002 90003 90002 So there you have it … logarithms (that tell us how many times to use a number in a multiplication) can have decimal values. 90003 90002 90003 90002 90003 .90000 Properties of Logarithms 90001 90002 The properties of logarithms assume the following about the variables 90003 M 90004, 90003 N 90004, 90003 b 90004, and 90003 x 90004. 90011 90002 90013 90011 90015 90016 90002 log 90003 90019 b 90020 b 90004 = 1 90011 90023 90016 90002 log 90003 90019 b 90020 90004 1 = 0 90011 90023 90016 90002 log 90003 90019 b 90020 b 90037 x 90038 90004 = 90003 x 90004 90011 90023 90016 90002 90003 b 90037 logbx 90038 90004 = 90003 x 90004 90011 90023 90016 90002 log 90003 90019 b 90020 90004 (90003 MN 90004) = log 90003 90019 b 90020 90004 (90003 M 90004) + log 90003 90019 b 90020 90004 (90003 N 90004) 90011 90023 90016 90002 90078 90011 90002 90003 Note: 90004 Do not confuse 90083 with 90084.90011 90002 To find the latter, first evaluate each log separately and then do the division. 90011 90023 90016 90002 log 90003 90019 b 90020 M 90037 x 90038 90004 = 90003 x 90004 log 90003 90019 b 90020 M 90004 90011 90023 90016 90002 If log 90003 90019 b 90020 x 90004 = log 90003 90019 b 90020 y 90004, then 90003 x = y 90004. 90011 90023 90016 90002 90121. 90011 90023 90124 90002 This is known as the change of base formula. 90011 90127 Example 1 90128 90002 Simplify each of the following expressions.90011 90015 90016 90002 log 90019 7 90020 7 90011 90023 90016 90002 log 90019 5 90020 1 90011 90023 90016 90002 log 90019 4 90020 4 90037 3 90038 90011 90023 90016 90002 6 90037 log65 90038 90011 90023 90124 90015 90016 90002 90162 90011 90023 90016 90002 90167 90011 90023 90016 90002 90172 90011 90023 90016 90002 90177 90011 90023 90124 90127 Example 2 90128 90002 If log 90019 3 90020 5 ≈ 1.5, log 90019 3 90020 3 = 1, and log 90019 3 90020 2 ≈ 0.6, approximate the following by using the properties of logarithms. 90011 90015 90016 90002 log 90019 3 90020 10 90011 90023 90016 90002 90200 90011 90023 90016 90002 log 90019 3 90020 25 90011 90023 90016 90002 90211 90011 90023 90016 90002 log 90019 3 90020 1.5 90011 90023 90016 90002 log 90019 3 90020 200 90011 90023 90124 90015 90016 90002 90230 90011 90023 90016 90002 90235 90011 90023 90016 90002 90240 90011 90023 90016 90002 90245 90011 90023 90016 90002 90250 90011 90023 90016 90002 90255 90011 90023 90124 90127 Example 3 90128 90002 Rewrite each expression as the logarithm of a single quantity.90011 90015 90016 90002 90266 90011 90023 90016 90002 90271 90011 90023 90124 90015 90016 90002 90278 90011 90023 90016 90002 90283 90011 90023 90124 .
No related posts.