Логарифмы с дробями: Логарифмы с дробным основанием примеры. Логарифмические выражения

Содержание

1.11. Определение логарифма

1⁰. Логарифмом числа b по основанию b называется показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить b, обозначается и

2⁰. Десятичный логарифм — это логарифм по основанию 10: .

3⁰. Натуральный логарифм — это логарифм по основанию : .

1.12. Основное логарифмическое тождество:

Например,

1.13. Свойства логарифмов

Сумма логарифмов есть логарифм произведения

Разность логарифмов есть логарифм дроби

Число, стоящее перед логарифмом ставим в показатель степени выражения, стоящего после знака логарифма

Переход к новому основанию

Следствия:

Любое число представимо в виде логарифма
Любое число k>0 представимо в виде степени

Пример. Вычислить a) если ; б)

►а) перейдём в к основанию 2. Воспользуемся свойством 4:

б) заменим корни степенями и воспользуемся свойством 6:

.◄

1.14. Логарифмирование и потенцирование

Если некоторое выражение составлено из положительных чисел с помощью операций умножения, деления и возведение в степень, то, используя свойства логарифмов, можно выразить через логарифмы входящих в выражение чисел. Такое преобразование называется

логарифмированием. Обратная задача: нахождение выражения по его логарифму, называется потенцированием.

Пример 1. Прологарифмировать по основанию выражение .

► ◄

Пример 2. Найти , если

► ◄

1.15. Теория многочленов

Многочленом степени называется целая рациональная функция

(3)

Многочлен — степени
Многочлен — степени
Многочлен — степени
Многочлен — степени
Многочлен — степени

Например, есть многочлен — степени, 2 есть многочлен — степени.

Деление многочленов:

1.16. Выделение целой части из дроби

Дробь называется неправильной, если в числителе стоит многочлен степени не ниже степени многочлена знаменателя.

Тогда дробь можно представить в виде: , где — частное от деления на (целая часть), — полученный при этом остаток.

Пример. Выделить целую часть из дроби .

►Дробь неправильная, делим числитель на знаменатель столбиком:

Целая часть (под уголком), а остаток (в конце деления). Поэтому дробь будет иметь вид:

◄

2. Алгебраические уравнения

Элементарная математика

Сканави М. И. Элементарная математика. 2-е изд., перераб. и доп., М.: 1974г. — 592с.

Книга представляет собой повторительный курс элементарной математики и рассчитана на тех, кто хочет пополнить, укрепить и систематизировать свои знания. Как и в первом издании, содержание ориентировано на программы вступительных экзаменов в технические вузы и, в особенности, на программы подготовительных отделений при высших учебных заведениях, для учащихся которых, как мы надеемся, книга окажется полезной.

(Книга включает в себя Ч1 — Арифметика, алгебра и элементарные функции и Ч2 — Геометрия. Каждый раздел включает в себя теоретическую часть и большое количество задач с решениями.)

ВВЕДЕНИЕ
Часть первая. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
Глава I. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ И КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
2. Простые и составные числа. Признаки делимости.
3. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.

4. Целые числа. Рациональные числа.
5. Десятичные дроби. Представление рациональных чисел десятичными дробями.

6. Иррациональные числа. Действительные числа.
7. Действия с приближенными числами.
8. Числовая ось. Координаты точки на плоскости.
§ 2. Степени и корни
9. Степени с натуральными показателями.
10. Степени с целыми показателями.
11. Корни.
12. Степени с рациональными показателями. Степени с действительными показателями.
13. Алгоритм извлечения квадратного корня.
§ 3. Комплексные числа
14. Основные понятия и определения.
15. Рациональные действия с комплексными числами.
16. Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа.
17. Действия с комплексными числами, заданными в тригонометрической форме. Формула Муавра.
18. Извлечение корня из комплексного числа.
Глава II. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
19. Алгебраические выражения. Одночлены и многочлены.
20. Формулы сокращенного умножения.

n.
41. Обратная пропорциональная зависимость. Степенная функция с рациональным показателем степени.
42. Показательная функция.
43. Логарифмическая функция.
§ 3. Преобразование графиков
44. Параллельный сдвиг графика.
45. График квадратного трех члена.
46. График дробно-линейной функции.
47. Преобразование симметрии. Сжатие и растяжение графика.
48. Построение графиков функций.
49. Сложение графиков.
§ 4. Некоторые сведения о рациональных функциях
50. Целые и дробные рациональные функции. Деление многочленов.
51. Схема Горнера. Теорема Безу.
52. Нули многочлена. Разложение многочлена на множители.
Глава V. УРАВНЕНИЯ
53. Уравнение. Корни уравнения.
54. Равносильные уравнения.
55. Системы уравнений.
56. Графическое решение уравнений.
§. 2. Алгебраические уравнения с одной неизвестной
57. Число и кратность корней.
58. Уравнения первой степени (линейные уравнения).

59. Уравнения второй степени (квадратные уравнения).

60. Формулы Виета. Разложение квадратного трехчлена на множители.
61. Исследование квадратного уравнения.
62. Уравнения высших степеней. Целые корни.
63. Двучленные уравнения.
64. Уравнения, сводящиеся к квадратным.
65. Возвратные уравнения.
§ 3. Системы алгебраических уравнений
66. Линейные системы.
67. Определители второго порядка. Исследование линейных систем двух уравнений с двумя неизвестными.
68. Системы, состоящие из уравнения второй степени и линейного уравнения.
69. Примеры систем двух уравнений второй степени. Системы уравнений высших степеней.
§ 4. Иррациональные, показательные и логарифмические уравнения
70. Иррациональные уравнения.
71. Показательные уравнения.
72. Логарифмические уравнения.
73. Разные уравнения. Системы уравнений.
Глава VI. НЕРАВЕНСТВА
74. Свойства неравенств. Действия над неравенствами.
75. Алгебраические неравенства.
§ 2. Решение неравенств
76. Множество решений неравенства.

Равносильные неравенства.
77. Графическое решение неравенств.
79. Квадратные неравенства.
80. Неравенства высших степеней. Неравенства, содержащие дробные рациональные функции от х.
81. Иррациональные, показательные и логарифмические неравенства.
82. Неравенства с двумя неизвестными.
Глава VII. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
83. Числовая последовательность.
84. Предел числовой последовательности.
85. Бесконечно малые. Правила предельного перехода.
§ 2. Арифметическая прогрессия
86. Арифметическая прогрессия. Формула общего члена.
87. Свойства арифметической прогрессии.
88. Формула для суммы n членов арифметической прогрессии.
§ 3. Геометрическая прогрессия

89. Геометрическая прогрессия. Формула общего члена.
90. Свойства геометрической прогрессии.
91. Формулы для суммы n членов геометрической прогрессии.
92. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
Глава VIII. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ УГЛА (ДУГИ)
93. Вектор, проекция вектора.

94. Положительные углы и дуги, меньшие 360°.
95. Углы и дуги, большие 360°.
96. Отрицательные углы. Сложение и вычитание углов.
§ 2. Тригонометрические функции произвольного угла
97. Определение основных тригонометрических функций.
98. Изменение основных тригонометрических функций при изменении угла от 0 до 2pi.
§ 3. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла
99. Основные тригонометрические тождества.
100. Вычисление значений тригонометрических функций по значению одной из них.
101. Значения тригонометрических функций некоторых углов.
§ 4. Четность, нечетность и периодичность тригонометрических функций
102. Четность и нечетность.
103. Понятие периодической функции.
104. Периодичность тригонометрических функций.
§ 5. Формулы приведения
105. Зависимость между тригонометрическими функциями дополнительных углов.
106. Формулы приведения.
Глава IX. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА И ИХ ГРАФИКИ
§ 1.

Тригонометрические функции числового аргумента
108. Области определения и области изменения значений тригонометрических функций.
109. Некоторые неравенства и их следствия.
§ 2. Графики тригонометрических функций
110. Первоначальные сведения о таблицах тригонометрических функций.
111. Основные графики.
112. Примеры построения графиков некоторых других тригонометрических функций.
113. Дальнейшие примеры построения графиков функций.
Глава X. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
114. Расстояние между двумя точками на плоскости.
115. Косинус суммы и разности двух аргументов.
116. Синус суммы и разности двух аргументов.
117. Тангенс суммы и разности двух аргументов.
118. О формулах сложения для нескольких аргументов.
§ 2. Формулы для двойного и половинного аргумента. Выражение sin na и cos na через степени sin a и cos a
119. Тригонометрические функции двойного аргумента.
120. Выражение sin na и cos na через степени sin a и cos a при натуральном числе n.

121. Тригонометрические функции половинного аргумента.
122. Выражение основных тригонометрических функций аргумента а через tg(a/2).
§ 3. Преобразование в сумму выражений вида sina•cosb, cosa•cosb и sinа•sinb
§ 4. Преобразование в произведение сумм вида
§ 5. Преобразование некоторых выражений в произведения с помощью введения вспомогательного аргумента
127. Преобразование в произведение выражения a•sina + b•cosa.
128. Преобразование в произведение выражений a•sina+b и a•cosa+b
129. Преобразование в произведение выражения a•tga+b.
Глава XI. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ
130. Функция у = arcsin x (арксинус).
131. Функция y = arccos x (арккосинус).
132. Функция y = arctg x (арктангенс).
133. Функция y = arcctg x (арккотангенс).
134. Пример.
§ 2. Операции над обратными тригонометрическими функциями
135. Тригонометрические операции.
136. Операции сложения (вычитания).
§ 3. Обратные тригонометрические операции над тригонометрическими функциями
137.

Функция у = arcsin (sin x).
138. Функция y = arctg (tg x).
Глава XII. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
139. Уравнение sin х = а.
140. Уравнение cos х = a.
141. Уравнение tg x = a.
142. Уравнение ctg x = a.
143. Некоторые дополнения.
§ 2. Способ приведения к одной функции одного и того же аргумента
145. Некоторые типы уравнений, приводящихся к уравнениям относительно функции одного аргумента.
146. Способ разложения на множители.
147. Решение рациональных тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки tg(x/2) = t.
§ 3. Некоторые частные приемы решения тригонометрических уравнений и систем
148. Введение вспомогательного аргумента.
149. Преобразование произведения в сумму или разность.
150. Переход к функциям удвоенного аргумента.
151. Решение уравнения типа…
152. Применение подстановок sinx ± соsx = y.
§ 4. Решение тригонометрических неравенств
154. Простейшие тригонометрические неравенства.

155. Примеры тригонометрических неравенств, сводящихся к простейшим.
Часть вторая. ГЕОМЕТРИЯ
156. Точка. Прямая. Луч. Отрезок.
157. Плоскость. Фигуры и тела.
160. Равенство фигур. Движение.
161. Равенство тел.
§ 2. Измерение геометрических величин
162. Сложение отрезков. Длина отрезка.
163. Общая мера двух отрезков.
164. Сравнительная длина отрезков и ломаных.
165. Измерение углов.
166. Радианная мера угла.
167. Измерение площадей.
168. Площадь прямоугольника. Объем прямоугольного параллелепипеда.
Глава XIV. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ
169. Перпендикуляр и наклонные.
170. Свойство перпендикуляра, проведенного к отрезку в его середине.
171. Параллельные прямые.
172. Углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей.
173. Углы с параллельными или перпендикулярными сторонами.
§ 2. Геометрические места точек. Окружность
174. Геометрическое место точек.
175. Свойство биссектрисы угла.

176. Окружность.
177. Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная и секущая.
178. Хорда и диаметр. Сектор и сегмент.
179. Взаимное расположение двух окружностей.
§ 3. Основные задачи на построение
181. Деление отрезка пополам. Построение перпендикуляров.
182. Построение углов.
183. Другие задачи на построение.
Глава XV. ТРЕУГОЛЬНИКИ, ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
184. Стороны и углы треугольника.
185. Биссектрисы треугольника. Вписанная окружность.
186. Оси симметрии сторон треугольника. Описанная окружность.
187. Медианы и выcоты треугольника.
188. Равенство треугольников.
189. Построение треугольников.
190. Равнобедренные треугольники.
191. Прямоугольные треугольники.
§ 2. Параллелограммы
192. Четырехугольники.
193. Параллелограмм и его свойства.
194. Прямоугольник.
§ 3. Трапеция
196. Трапеция.
197. Средняя линия треугольника.
198. Средняя линия трапеции.
199. Деление отрезка на равные части.

§ 4. Площади треугольников и четырехугольников
200. Площадь параллелограмма.
201. Площадь треугольника.
202. Площадь трапеции.
Глава XVI. ПОДОБИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР
203. Пропорциональные отрезки.
204. Свойства биссектрис внутреннего и внешнего углов треугольника.
§ 2. Подобное преобразование фигур (гомотетия)
205. Определение гомотетичных фигур.
206. Свойства преобразования подобия.
§ 3. Общее подобное соответствие фигур
207. Подобные фигуры.
208. Периметры и площади подобных треугольников.
209. Применение подобия к решению задач на построение.
Глава XVII. МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ И КРУГЕ
210. Углы с вершиной на окружности.
211. Углы с вершиной внутри и вне круга.
212. Угол, под которым виден данный отрезок.
213. Четырехугольники, вписанные в окружность.
214. Пропорциональные отрезки в круге.
215. Задачи на построение.
§ 2. Метрические соотношения в треугольнике
216. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

Теорема Пифагора.
218. Теорема синусов. Формула Герона.
217. Квадрат стороны, лежащей против острого или тупого утла и треугольнике. Теорема косинусов.
218. Теорема синусов. Формула Герона.
219. Радиусы вписанной и описанной окружностей.
§ 3. Решение треугольников
220. Таблицы функций.
221. Решение треугольников. Сводка основных формул.
222. Решение прямоугольных треугольников.
223. Решение косоугольных треугольников.
Глава XVIII. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ. ДЛИНА окружности И ПЛОЩАДЬ КРУГА
224. Выпуклые многоугольники.
225. Правильные многоугольники.
226. Соотношения между стороной, радиусом и апофемой.
227. Периметр и площадь правильного n-угольника.
228. Удвоение числа сторон правильного многоугольника.
§ 2. Длина окружности. Площадь круга и его частей
229. Длина окружности.
230. Площадь круга и его частей.
Глава XIX. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ
231. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

232. Взаимное расположение прямой линии и плоскости.
233. Взаимное расположение двух плоскостей.
234. Свойства параллельных прямых и плоскостей.
235. Построения в стереометрии.
§ 2. Перпендикулярность прямых и плоскостей
236. Перпендикуляр к плоскости.
237. Перпендикуляр и наклонные.
238. Угол между прямой и плоскостью.
239. Связь между перпендикулярностью и параллельностью прямых и плоскостей.
240. Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых.
§ 3. Двугранные и многогранные углы
241. Двугранный угол.
242. Взаимно перпендикулярные плоскости.
243. Трехгранные углы.
244. Многогранные углы.
§ 4. Многогранники
245. Многогранники.
246. Правильные многогранники.
Глава XX. МНОГОГРАННИКИ И КРУГЛЫЕ ТЕЛА
247. Цилиндры и призмы.
248. Параллелепипеды.
249. Объемы призм и цилиндров.
250. Площадь боковой поверхности призмы.
251. Площадь поверхности цилиндра.
§ 2. Пирамида. Конус
252. Свойства пирамиды и конуса.

253. Объем пирамиды и конуса.
254. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды и конуса.
255. Усеченный конус и усеченная пирамида.
§ 3. Шаровая поверхность. Шар
256. Шар и шаровая поверхность.
257. Объем шара и его частей.
258. Площадь поверхности шара и ее частей.
259. Понятие телесного угла.
Ответы к упражнениям
Приложения

логарифмов | nool

Перейти к основному содержанию

Домашняя страница Технологического института Онтарио

nool

Функция f(x) = 2 ^x называется экспоненциальной функцией, потому что переменная x является показателем степени. В общем случае показательные функции имеют вид f(x) = a ^x , где a — положительная константа. Функция, обратная показательной функции, называется логарифмической функцией. Таким образом, функция, обратная f(x) = a ^x, является логарифмической функцией с основанием a , так что y = log _a x ↔ a ^y = x. Во многих научных приложениях нас интересуют логарифмы по основанию 10.

В науке важно уметь оценивать логарифмические функции, поскольку они встречаются во многих приложениях. Чтобы вычислить логарифм (по основанию 10) числа, введите число в свой калькулятор, затем нажмите клавишу [log]. Некоторые калькуляторы немного отличаются; поэтому важно, чтобы учащиеся были знакомы с собственным калькулятором. Также во многих ситуациях важно уметь определять антилогарифмическое значение логарифмического значения. Чтобы вычислить антилогарифм числа, введите число в калькулятор и нажмите [10 ^x ].

Пример: Найдите x в каждом из следующих уравнений: x = log ₁₀ 3,6 и log ₁₀ x ₌ 6,75.

Решение:

x = log ₁₀ 3,6

x = 0,556 x= 5,62×10 ⁶

Пример: 90]10 .0009 -3 М до pH.

Решение :

PH = -LOG [H ⁺]

PH = -LOG [3,5 x 10 ^-3]

PH = 2,4

Пример: . Какое значение [H +] соответствует рН 4,3?

Решение :

PH = -LOG [H+]

4,3 = -LOG [H+]

-4,3 = log [H+]

[H+] = 10 ^-4,3

[H+] = = = = 10^-4,3

[H+] = = = 5,0 x 10 ^-5 M

Пример:

Объяснение и примеры, показатели, доказательства
Законы логарифмов — это правила, которые можно применять для упрощения и решения сложных логарифмических уравнений. При работе с логарифмами важно следить за тем, чтобы все основания были одинаковыми.
Основные законы бревен
Формула изменения закона находится в буклете с формулами, который вам дадут на экзамене.
Доказательство закона логарифмов
Не обязательно уметь доказывать каждый закон логарифма для экзамена, но важно понимать каждый шаг и почему он происходит.
Закон произведения (сложения)
1. Если и , то можно переписать логарифмы в виде экспоненциальной функции.
Для , основание равно x, показатель степени равен c , ответ на показатель степени равен a .
Следовательно, это можно записать как
Для , основание равно x, показатель степени равен d , а ответ на показатель степени равен b.
Следовательно, это можно записать как
2. Таким образом, используя наше экспоненциальное (индексное) правило,
3. Возьмем логарифм обеих сторон:
4. Поскольку включает как экспоненту с основанием x , так и логарифм с основанием x (), они компенсируют друг друга, чтобы стать просто c + d.
Этот шаг связан с тем, что логарифмы и экспоненты являются обратными функциями друг друга. Подумайте о том, когда мы компенсируем +4 и -4 в x +4 -4 = 10 — это тот же принцип.
5. Мы определили c и d в части 1. и
Следовательно,
Правило частных
1. Если и , то можно переписать логарифмы в виде экспоненциальной функции.
Ибо, основание равно x, показатель степени равен c, и ответ на показатель степени равен a .
Следовательно, это можно записать как
Для , основание равно x, показатель степени равен d, и ответ на показатель степени равен б.
Следовательно, это можно записать как
2. Таким образом, используя наши экспоненциальные (индексы) правила ,
3. Возьмем журнал обеих сторон.
4. Поскольку включает экспоненту с основанием x и логарифм с основанием x , они компенсируют друг друга и становятся просто c — d .
5. Мы определили c и d в части 1 где и :
Изменение основания
1. Пусть, где основание a , показатель степени равен k, и x экспоненциальный ответ на x .
Следовательно, его можно переписать в экспоненциальном виде:
2. Возьмите логарифм обеих сторон
3. Используйте степенное правило для упрощения
, которое затем можно подставить обратно в уравнение
4. Перестроить, чтобы получить k самостоятельно путем деления на
5. Поскольку k уже определено, его можно подставить в уравнение как использование наших экспоненциальных правил с негативами.
Вы можете использовать правило журнала питания, чтобы уменьшить -1, как это делается.
Журнал базы
Набор, где база а, 9Показатель степени 0012 равен x, , а ответ на экспоненту равен a . Поэтому его можно записать как.
В соответствии с экспоненциальными правилами, если ответ экспоненты равен основанию, то показатель степени должен быть равен 1.
Логарифм 1
Набор, где основание равно a, показатель степени равен x, и ответ на экспоненту равен 1. Следовательно, это можно записать как.
В соответствии с экспоненциальными правилами, если ответ экспоненты равен 1, то показатель степени должен быть равен 0.
Упрощение и решение с использованием законов бревен
Здесь мы рассмотрим несколько примеров упрощения ряда законов бревен.
Упрощение и решение с использованием 1 логарифмического закона
Показать логарифм (6) + логарифм (4) = логарифм (24)
логарифм (6) + логарифм (4) = логарифм (6 x 4) = логарифм (24)
Лог решения (14) — Лог (7)
Лог (14) — Лог (7) = Лог (14/7) = Лог (2) = 0,301 (3 ст. ф.)
Упростить 2логарифм (9), сохранить точная форма
Решить
Упрощение и решение с использованием законов множественных журналов
Возможно, будет полезно использовать правила, которые упрощают отдельные журналы, перед выполнением законов упрощения множественных журналов.
Решить
Упростить
Доказать, где
1. Используя правило степени, .
Следовательно,
2. Используя правило отношения,
3. Когда вы хотите удалить логарифм, вам нужно преобразовать его в экспоненту. Это работает так же, как обычно — просто убедитесь, что вы пометили каждую часть.
Основание равно 2; показатель степени равен 3; ответ на экспоненциальный
4. Решите как обычное уравнение являются законом продукта, частным законом, изменением основного закона и правилом силы.
Закон взаимности, логарифм основания и логарифм 1 — это более специализированные логарифмы — их можно использовать только в определенных контекстах.
No related posts.