5 Метод Гаусса и теорема Крамера
Лекция 5
ТЕМА: Построение решений систем линейных уравнений
Пусть задана система линейных уравнений
(4.1)
Если в заданной
системе
,
то берут любой отличный от нуля минор
основной матрицы порядка и рассматривают уравнений, коэффициенты которых входят
в этот базисный минор, а остальные
уравнения отбрасывают. Неизвестные,
которые входят в выбранный минор
объявляют главными, а остальные неизвестные – свободными.
Новую систему переписывают так, что в
левых частях уравнений остаются только
члены, содержащие главных неизвестных, а остальные члены
уравнений, содержащие неизвестных, переносятся в правые части
уравнений (выражаются через главные),
затем находят главные неизвестные
(например, по правилу Крамера). При этом
главные неизвестные выражаются через
свободные, каждое из которых может
принимать любое числовое значение.
Полученные решения новой системы с главными неизвестными называется общим решением системы (4.1).
Придавая свободным неизвестным некоторые числовые значения, из общего решения находят соответствующие значения главных неизвестных и тем самым находят частное решение исходной системы уравнений (4.1).
Пример 4.1
Решить систему линейных уравнений:
, найдем ранг матрицы методом «окаймляющих миноров»:
Рассмотрим миноры третьего порядка: ;
система совместна,
— базисный минор;
x, y – главные переменные,
z – свободная переменная.
решим систему по правилу Крамера.
,
.
Общим решением исходной системы является бесконечное множество наборов вида
Частным решением будет, например, числовой набор , получающийся при t=o.
Метод Гаусса
(метод последовательного исключения переменных)
На практике чаще
всего применяется метод Гаусса –
построения решения систем линейных
уравнений.
При исследовании и решении систем линейных уравнений производятся элементарные преобразования строк расширенной матрицы , в результате которых получится ступенчатая расширенная матрица некоторой новой системы, эквивалентной данной:
, (5.1).
Выберем в матрице ненулевой минор порядка , т.е. базисный минор (его можно выбрать на пересечении первых строк и столбцов, с которых начинаются ненулевые элементы строк). Будем считать, что этот минор расположен в левом верхнем углу матрицы
Этот минор является верхнетреугольным и равен произведению .
Нулевые строки матрицы отбросим
(им соответствуют уравнения ).
(5.2)
(отбросили нулевые столбцы и перенумеровали переменные).
Все элементы
базисного минора выше главной диагонали
можно сделать равными нулю, а элементы
главной диагонали равными единице.
Таким образом, исходная система (4.1)
приведена к эквивалентной системе:
(5.3),
или к системе (5.4)
из которой видно, что если , то система (5.4) имеет единственное решение:
, …, .
Если , то переменные – базисные, – свободные и придавая им произвольные значения , …, , можно записать общее решение системы в виде:
(5.5).
Итак, метод Гаусса состоит в следующем:
расширенную матрицу системы элементарными преобразованиями приводят к ступенчатому виду;
сравнивают ранги основной и расширенной матриц и делают вывод о совместности или несовместности системы;
в случае совместности системы в основной матрице выбирают базисный минор и дальнейшими элементарными преобразованиями строк добиваются того, чтобы в этом миноре все элементы вне главной диагонали стали равными нулю, а элементы главной диагонали стали равными единице;
выписывают систему, соответствующую полученной расширенной матрице, после чего переписывают систему, оставляя базисные неизвестные слева и переведя остальные слагаемые в правую часть;
если ,то в правой части стоят только свободные члены и получено единственное решение;
если , то в правой части есть свободные неизвестные.
Пример 5.2
.
Теорема Крамера 5.1
Линейная система (4.2) с квадратной матрицей имеет решение, притом единственное, тогда и только тогда, когда .
Доказательство
Пусть система (4.2) имеет и притом единственное решение. Допустим, что . Это значит, что единственный минор -го порядка в основной матрице (который является ее определителем), равен нулю, и потому (т.е. ранг матрицы меньше числа неизвестных). Но согласно следствию (2) теоремы (4.1) в этом случае система имеет бесконечное множество решений, что противоречит условию. Значит допущенное неверно, и потому .
Пусть
.
Тогда
,
а так как
,
то и
.
Но по теореме (4.1) это означает, что СЛУ
(4.2) имеет решение, а так как ранг основной
матрицы системы равен числу неизвестных,
то в силу следствия (1) теоремы (4.
Нахождение обратной матрицы методом Гаусса
Напомним, что матрица называется обратной к , если . Обратные матрицы существуют лишь для невырожденных матриц, т.е. . Было показано, что , где – присоединенная матрица, полученная из алгебраических дополнений, т. е. вычислением определителей -ого порядка. Вместе с тем, операция вычисления определителя, запрограммированная в ЭВМ, требует больших машинных ресурсов. Поэтому более предпочтительным выглядит вычисление обратной матрицы с помощью метода Гаусса.
Для этого воспользуемся определением обратной матрицы
…
Таким образом, матричное уравнение эквивалентно системе линейных уравнений, состоящей из систем, каждая из которых является системой из переменных и все они имеют одну и ту же основную матрицу системы:
; ; …;
Все эти системы объединим в одной расширенной матрице:
.
Приведение этой матрицы к ступенчатому виду должно обозначать приведение к ступенчатому виду всех расширенных матриц подсистем. Так как она может быть приведена к следующему виду:
.
Решение каждой из подсистем имеет вид:
, , …,
матрица , стоящая за вертикальной чертой, является обратной матрицей .
Пример 5.3
.
7
«Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.»
М Е Т О Д И Ч Е С К А Я К А Р Т А
З А Н Я Т И Я №__7__
Дисциплина Математика
Тема: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Цель: Показать применение определителей, метода Гаусса и закрепить умения и навыки при решении упражнений.
Развивать логическое мышление, способность к абстрагированию, анализу. Воспитывать самостоятельность и активность учащихся.
Вид занятия: практическое занятие
Оборудование: ноутбук, проектор, презентация, раздаточный материал (карточки для индивидуальной работы).
Х О Д З А Н Я Т И Я
№ | Элементы заданий, учебные вопросы | Приложения, изменения и замечания |
1 | 2 | 3 |
І | Организационные вопросы: | |
(приветствие, отметка отсутствующих) | ||
II | Проверка домашнего задания | |
Проверка наличия выполненных заданий | ||
III | Подготовка к восприятию нового материала | |
(Сообщение темы, цели, эпиграфа занятия. | ||
IV | Изучение нового материала | |
План | ||
4.1 | Решение систем двух уравнений с помощью определителей. | |
4.2 | Решение системы трех уравнений с помощью определителей (метод Крамера). | |
4.3 | Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. | |
V | Закрепление материала. | |
(решение упражнений) | ||
5.1 | Решение системы уравнений методом Гаусса (работа одного студента у доски, остальные самостоятельно в тетрадях)- 2 системы. Во время решения второй системы 3 студента выполняют задания на карточках. | |
5.2 | Работа в группах (решение системы линейных уравнений двумя способами – методом Крамера, Гаусса) в виде игры «Заморочки из бочки» | |
VІ | Подведение итогов занятия (рефлексия, анализ работы студентов и мотивация выставленных оценок) | |
VІІ | Домашнее задание: задания № 1-2 в тетрадях |
Актуализация. Решение у доски системы линейных уравнений матричным столбом.)
Подпись преподавателя: _________Т.
Н.Пащенко
Тема: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Вид занятия: практическое занятие
Оборудование: ноутбук, проектор, презентация, раздаточный материал (карточки для индивидуальной работы).
Ход занятия:
І Организационные вопросы:
(приветствие, отметка отсутствующих)
II Проверка домашнего задания
Проверка наличия выполненных заданий
III Подготовка к восприятию нового материала
(Сообщение темы, цели, эпиграфа занятия. Актуализация.
Решение у доски системы линейных уравнений матричным столбом.)
Эпиграф
Приобретение любого познания всегда полезно для ума, ибо он сможет впоследствии отвергнуть бесполезное и сохранить хорошее.
Ведь ни одну вещь нельзя ни любить, ни ненавидеть, если сначала ее не познать.
Леонардо да Винчи.
Актуализация.
Мы продолжаем рассматривать системы линейных уравнений.
Сначала немного систематизируем знания о системах линейных уравнений.
Фронтальный опрос:
Сколько решений может иметь система линейных уравнений?
Предполагаемый ответ учащихся:
Система линейных уравнений может:
1) Иметь единственное решение.
2) Иметь бесконечно много решений.
3) Не иметь решений (быть несовместной).
Какие методы решения систем линейных уравнений вы знаете?
Предполагаемый ответ учащихся:
Метод подстановки, сложения, графический метод, матричный метод.
Ответ:
IV Изучение нового материала
4.1 Решение систем двух уравнений с помощью определителей.
Условимся под символом
понимать выражение
Примеры:
Символ
называется определителем 2-го порядка.
Числа называется элементами определителя.
Решим системы
Знаменатель каждой из написанных дробей есть определитель ,
составленный из коэффициентов , при неизвестных x и y. Этот определитель называется главным определителем системы уравнений.
Пример:
Ответ:
4.2 Решение системы трех уравнений с помощью определителей (метод Крамера).
Символ
называется определителем 3-го порядка.
Числа называются элементами определителя.
Если решить систему
то можно убедиться в справедливости следующих формул:
определитель, стоящий в знаменателях, называется главным определителем системы.
Формулы Крамера:
Имея систему
получим
После этого дело сведется к решению такой, например, системы двух уравнений с двумя неизвестными:
Решив эту последнюю систему, найдем единственное решение данной системы с тремя неизвестными в следующем виде:
4.3 Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Метод Гаусса – наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решения любой системы линейных уравнений.
Известный немецкий математик Иоганн Карл Фридрих Гаусс еще при жизни получил признание величайшего математика всех времен, гения и даже прозвище «короля математики». А всё гениальное, как известно – просто!
Метод Гаусса — метод последовательного исключения неизвестных.
Напомню, что к элементарным преобразованиям системы относятся следующие:
1) Перемена местами двух уравнений в системе;
2) Умножение какого — либо уравнения системы на действительное число, не равное нулю.
3) Прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на произвольное число, не равное нулю.
На практике более удобным оказывается применение метода Гаусса не, собственно, к самой системе линейных уравнений, а к ее расширенной матрице. Когда расширенная матрица будет приведена к треугольному виду, на этом цепь элементарных преобразований над матрицей завершается.
Решим эту систему методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу:(решает студент у доски с полным объяснением, опережающее обучение)
↔ ↔ ↔
↔ , получили
В результате решения системы получили, что х1=1, х2=2, х3=2, х4=3.
V. Закрепление материала.
(решение упражнений)
5.1 Решение системы уравнений методом Гаусса (работа одного студента у доски, остальные самостоятельно в тетрадях)- 2 системы.
Во время решения второй системы 3 студента выполняют задания на карточках.
Карточка № 1
Дана система линейных уравнений. Решить с помощью определителей.
Ответ:
Карточка № 2
Дана система линейных уравнений. Решить с помощью определителей.
Ответ:
Карточка № 3
Дана система линейных уравнений. Решить с помощью определителей.
Ответ:
5.2 Работа в группах (решение системы линейных уравнений двумя способами – методом Крамера, Гаусса)в виде игры «Заморочки из бочки»
I группа
Ответ: (3,2,1)
II группа
Ответ:(0;2;-3)
III группа
Ответ: (11;-2;-3)
VІ.
Подведение итогов занятия (рефлексия, анализ работы студентов и мотивация выставленных оценок)
Рефлексия.
Выбери вариант соответствующий твоим ощущениям после сегодняшнего занятия.
1. Я все знаю, понял и могу объяснить другим!
2. Я все знаю, понял, но не уверен, что смогу объяснить другому.
3. Я сам знаю, понял, но объяснить другому не смогу.
4. У меня остались некоторые вопросы.
VІІ. Домашнее задание: задания № 1-2 в тетрадях
Решить системы уравнений методом Гаусса:
Ответ: бесконечное множество решений.
.
исключение Гаусса | математика | Британика
- Развлечения и поп-культура
- География и путешествия
- Здоровье и медицина
- Образ жизни и социальные вопросы
- Литература
- Философия и религия
- Политика, право и правительство
- Наука
- Спорт и отдых
- Технология
- Изобразительное искусство
- Всемирная история
- Этот день в истории
- Викторины
- Подкасты
- Словарь
- Биографии
- Резюме
- Популярные вопросы
- Обзор недели
- Инфографика
- Демистификация
- Списки
- #WTFact
- Товарищи
- Галереи изображений
- Прожектор
- Форум
- Один хороший факт
- Развлечения и поп-культура
- География и путешествия
- Здоровье и медицина
- Образ жизни и социальные вопросы
- Литература
- Философия и религия
- Политика, право и правительство
- Наука
- Спорт и отдых
- Технология
- Изобразительное искусство
- Всемирная история
- Britannica объясняет
В этих видеороликах Britannica объясняет различные темы и отвечает на часто задаваемые вопросы. - Britannica Classics
Посмотрите эти ретро-видео из архивов Encyclopedia Britannica. - #WTFact Видео
В #WTFact Britannica делится некоторыми из самых странных фактов, которые мы можем найти. - На этот раз в истории
В этих видеороликах узнайте, что произошло в этом месяце (или любом другом месяце!) в истории. - Demystified Videos
В Demystified у Britannica есть все ответы на ваши животрепещущие вопросы.
- Студенческий портал
Britannica — это главный ресурс для учащихся по ключевым школьным предметам, таким как история, государственное управление, литература и т. д. - Портал COVID-19
Хотя этот глобальный кризис в области здравоохранения продолжает развиваться, может быть полезно обратиться к прошлым пандемиям, чтобы лучше понять, как реагировать сегодня. - 100 женщин
Britannica празднует столетие Девятнадцатой поправки, выделяя суфражисток и политиков, творящих историю. - Britannica Beyond
Мы создали новое место, где вопросы находятся в центре обучения. Вперед, продолжать. Просить. Мы не будем возражать. - Спасение Земли
Британника представляет список дел Земли на 21 век. Узнайте об основных экологических проблемах, стоящих перед нашей планетой, и о том, что с ними можно сделать! - SpaceNext50
Britannica представляет SpaceNext50. От полёта на Луну до управления космосом — мы исследуем широкий спектр тем, которые подпитывают наше любопытство к космосу!
Содержание
- Введение
Краткие факты
- Связанный контент 9{0$} }
f _ {j} (x) — a _ {j} = \
a _ {j1} x _ {1} + \dots + a _ {jn} x _ {n} — a _ {j} = 0,
$$
$$ j = 1 \ точек м, $$
где $ a _ {ji} , a _ {j} $ являются элементами произвольного поля $P$.
{r} $
либо совместимо (т. е. не имеет ненулевых свободных членов), либо пусто.
9{0} $
для $ U = U _ {i} + U _ {k} $
представляет собой процедуру одновременного исключения двух неизвестных $ x _ {i} $
и $x_{k}$.
Например, пусть $ i = 1 $
и $k = 2$.
Если также$$ \Delta _ {12} = \left | \begin{массив}{ll} а _ {11} & _ {21} \\ а _ {12} & _ {22} \\ \конец{массив} \право | \neq 0, $$
тогда строки матрицы
$$ \влево \| \begin{массив}{cccccc} — \Delta _ {23} &\Delta _ {13} &- \Delta _ {12} & 0 &\dots & 0 \\ — \Delta _ {24} &\Delta _ {14} & 0 &- \Delta _ {12} &\dots & 0 \\ \точки &\точки &\точки &\точки &{} &\точки \\ — \Delta _ {2m} &\Delta _ {1m} & 0 & 0 &\dots &- \Delta _ {12} \\ \конец{массив} \право\| , $$ 9{0} $ могут быть решены с помощью алгоритмов, являющихся обобщением метода Гаусса.
Каталожные номера
[1] C.F. Gauss, «Beiträge zur Theorie der Alexandrischen Gleichungen», Werke , 3 , K. Gesellschaft Wissenschaft. Göttingen (1876) pp. 71–102[2] Курош А.Г., Высшая алгебра, МИР (1972) (Перевод с русск.) [3] 90890 Фаддеев, В.Н. Фаддеева, «Вычислительные методы линейной алгебры», Фримен (1963) (Перевод с русского) [4] С.Н. Черников, Lineare Ungleichungen, Deutsch. Verlag Wissenschaft. (1971) (Перевод с русского) Комментарии
Существует ряд вариантов этого метода, в основном основанных на соображениях практической реализации (например, методы Краута и Дулитла) или эффективности (например, метод Холески для симметричные системы).
В западной литературе понятия LU-разложения, прямого исключения и обратной замены часто ассоциируются с методом Гаусса (который также называют методом исключения Гаусса). Рассмотрим частный случай, когда матрица коэффициентов $A$ в системе $ A x = a $ является квадратной матрицей $ ( m = n ) $.
{2} ) $
сравнения. Можно показать, что с такой стратегией метод численно устойчив (см. Устойчивость вычислительного алгоритма; Устойчивость вычислительного процесса).Отличная книга по числовой линейной алгебре — [a1]. Проблема численной устойчивости при исключении Гаусса обсуждается в [a6].
Подпрограммы Fortan можно найти в [a4]; более старую версию Algol см. в [a5].
Каталожные номера
[a1] G.H. Голуб, С.Ф. ван Лоан, «Матричные вычисления», Северный Оксфорд, академик. (1983) [a2] Дж.Х. Уилкинсон, «Алгебраическая проблема собственных значений», Clarendon Press (19).65) [a3] Странг Г., «Линейная алгебра и ее приложения», пер. Press (1976) [a4] Х. Донгарра, Дж. Р. Банч, К. Б. Молер, Г. У. Stewart, «Руководство пользователя LINPACK», SIAM (1978) [a5] J.
{r} $
либо совместимо (т. е. не имеет ненулевых свободных членов), либо пусто.
9{0} $
для $ U = U _ {i} + U _ {k} $
представляет собой процедуру одновременного исключения двух неизвестных $ x _ {i} $
и $x_{k}$.
Например, пусть $ i = 1 $
и $k = 2$.
Если также
Gesellschaft Wissenschaft. Göttingen (1876) pp. 71–102
{2} ) $
сравнения. Можно показать, что с такой стратегией метод численно устойчив (см. Устойчивость вычислительного алгоритма; Устойчивость вычислительного процесса).