Математика определитель: Определитель матрицы или просто определитель и его вычисление

Определители и их свойства. Миноры, дополнения

Вычисление определителей второго, третьего и старших порядков можно быстро осуществить с помощью программы-калькулятора YukhymCalc. Скачать ее можно по ссылке в конце статьи, а сейчас рассмотрим как возникли определители и правила их вычисления.

————

Решение многих задач математики, экономики, статистики, механики, сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений.

В результате вычислений получаем, что система одно решение, множество или нет ни одного. Давайте выясним от чего это зависит? Рассмотрим, для примера два линейных уравнения с двумя неизвестными:

неизвестными Для решения этих уравнений мы должны умножить их на соответствующие множители, при которых исключается одно из неизвестных или: первое на минус второй на для нахождения ; второе на минус первое на для нахождения

На основе этого

Эти выражения верны при условии, что знаменатель не равен нулю

Если ,то система уравнений или нет решения, или имеет бесконечное количество решений. Выражение в знаменателе (), которые являются одинаковыми при двух неизвестных, называют определителем и обозначают

Определителем второго порядку называется число, равное разнице произведений элементов главной и вспомогательной диагоналей, т.е

Определителем третьего порядка находят по правилу треугольников

Это правило легко запомнить, если дописать рядом с определителем первый и второй в столбце.

Данный метод вычисления определителя третьего порядка называется правилом Саррюса. В процессе вычислений систем линейных уравнений установлено, что определители равны сумме слагаемых, которые определяются как произведение элементов, взятых по одному одновременно с каждой строки и столбца. Для системы трех уравнений в произведение входит три элемента, четырех — четыре и т. д. Количество слагаемых в определителе в общем равна факториала числа уравнений. В случаях нулевых коэффициентов при неизвестных нахождения определителя упрощается. Для вычисления определителей старших порядков используют правила.

———————————————

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

1. Величина определителя не изменится, если его строки заменить столбцами, причем каждая строка заменяют столбиком с тем же номером (транспонирования).

2. Если в определителе поменять местами только две строки (или два столбца), то определитель меняет знак на противоположный, сохраняя свое абсолютное значение.

3. Если определитель имеет два одинаковых колонки или два одинаковых строки, то он равен нулю.

4. Если определитель содержит два пропорциональных строк (столбцов), то его значение равно нулю. Если элементы некоторого строки (столбца) равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

5.Если все элементы некоторого строки (столбца) умножить на постоянное число, то значение определителя также умножится на это число. Отсюда следует, что общий множитель всех элементов строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

———————————————

Определитель -го порядка, по правилу, равный сумме произведений элементов произвольного строки или столбца на соответствующие алгебраические дополнения. Мысленно вычеркнем в определителе -го порядка -й строчку и -й столбец, а из оставшихся элементов создадим определитель()-го порядка с сохранением размещения строк и столбцов. Полученный определитель называется минором определителя и обозначается

Алгебраическое дополнение элементаопределителя можно представить в виде

———————————————

Пример 1.

Задачи. Найти определитель 4-го порядка

Решение.

Разложим определитель по элементам второго столбца

Первый определитель разложим по первой строкой

Второй вычислим по правилу

Подставляя в формулу для определителя, получим

Студенческий калькулятор YukhymCALC осуществляет вычисления и выводит результат, быстрее чем Вы сможете ввести соответствующие матрицы. В результате получим следующий результат

*** Матрицы ***

Определитель матрицы

Входные данные

A=(3;1;-2;1)

(1;-2;1;0)

(4;0;-1;-3)

(-2;0;3;-1)

Det(A)=3*(-2*(-1)*(-1)+1*(-3)*0+0*0*3-(0*(-1)*0+1*0*(-1)+(-2)*(-3)*3))-1*(1*(-1)*(-1)+1*(-3)*(-2)+0*4*3-(0*(-1)*(-2)+1*4*(-1)+1*(-3)*3))-2*(1*0*(-1)+(-2)*(-3)*(-2)+0*4*0-(0*0*(-2)+(-2)*4*(-1)+1*(-3)*0))-1*(1*(-1)*(-1)+1*(-3)*(-2)+0*4*3-(0*(-1)*(-2)+1*4*(-1)+1*(-3)*3))=3*(-2+0+0+0+0-18)-1*(1+6+0+0+4+9)-2*(0-12+0+0-8+0)-1*(0-4+0+0+24+0)= 3*(-20)-1*(20)-2*(-20)-1*20=-60-20+40-20=-60

———————————————

——————————

Главная

С ЮБИЛЕЕМ, Герберт Александрович!

СЕГОДНЯ, 15 МАРТА 2023 ГОДА – ПРАЗДНУЕТ СВОЙ ЮБИЛЕЙ – 90 ЛЕТ ГЕРБЕРТ АЛЕКСАНДРОВИЧ ЕФРЕМОВ – выдающийся создатель ОТЕЧЕСТВЕННОЙ РАКЕТНОЙ И КОСМИЧЕСКОЙ ТЕХНИКИ.
Выпускник 1956 года Ленинградского военно-механического института («ВОЕНМЕХ» им. Д.Ф. Устинова) по специальности «Приборостроение».

Под его руководством разработаны ракетные комплексы стратегического назначения, а также космические аппараты «Полёт», автоматические станции «Алмаз» и «Протон», орбитальные станции «Салют». Он придумал и воплотил в жизнь «АВАНГАРД» С МАНЕВРИРУЮЩИМ ГИПЕРЗВУКОВЫМ БЛОКОМ – это фактически новый вид стратегического оружия. Его скорость в 27 раз превышает скорость звука.

ГЕРБЕРТ АЛЕКСАНДРОВИЧ ЕФРЕМОВ – Почетный Генеральный директор – Почетный Генеральный конструктор АО «ВПК «НПО машиностроения», советник Корпорации по науке.

ЗДОРОВЬЯ ВАМ И ВСЕГО САМОГО ДОБРОГО!

8 марта — Международный женский день!

Подробности

Опубликовано 07.03.2023 20:27 07 Март 2023

С Днём защитника Отечества!

Подробности

Опубликовано 22.02.2023 22:35 22 Февраль 2023

Защитникам нашим спасибо за мирное небо,
За солнце, за радугу и за полёты мечты!
За песни берёз и за запах дурманящий хлеба!
За смех детворы, за покой, за любовь, за цветы…
За всё, что даёт нам возможность без страха смеяться
И жить, просто так, без оглядки, мучений и слёз,
За то, что мы можем, в итоге, ЛЮДЬМИ оставаться
И верить в счастливое завтра всегда и всерьёз!
Виктория Дорошенко

А.

С. Пушкин — Клеветникам России

Подробности

Опубликовано 11.02.2023 11:49 11 Февраль 2023

О чем шумите вы, народные витии?

Зачем анафемой грозите вы России?
Что возмутило вас? волнения Литвы?
Оставьте: это спор славян между собою,
Домашний, старый спор, уж взвешенный судьбою,
Вопрос, которого не разрешите вы.

Уже давно между собою
Враждуют эти племена;
Не раз клонилась под грозою
То их, то наша сторона.
Кто устоит в неравном споре:
Кичливый лях, иль верный росс?
Славянские ль ручьи сольются в русском море?
Оно ль иссякнет? вот вопрос.

Оставьте нас: вы не читали
Сии кровавые скрижали;
Вам непонятна, вам чужда
Сия семейная вражда;
Для вас безмолвны Кремль и Прага;
Бессмысленно прельщает вас
Борьбы отчаянной отвага —
И ненавидите вы нас…

За что ж? ответствуйте: за то ли,
Что на развалинах пылающей Москвы
Мы не признали наглой воли
Того, под кем дрожали вы?
За то ль, что в бездну повалили
Мы тяготеющий над царствами кумир
И нашей кровью искупили
Европы вольность, честь и мир?.

.

Вы грозны на словах — попробуйте на деле!
Иль старый богатырь, покойный на постеле,
Не в силах завинтить свой измаильский штык?
Иль русского царя уже бессильно слово?
Иль нам с Европой спорить ново?
Иль русский от побед отвык?
Иль мало нас? Или от Перми до Тавриды,
От финских хладных скал до пламенной Колхиды,
От потрясенного Кремля
До стен недвижного Китая,
Стальной щетиною сверкая,
Не встанет русская земля?..
Так высылайте ж к нам, витии,
Своих озлобленных сынов:
Есть место им в полях России,
Среди нечуждых им гробов.

1831 г.

8 февраля – день российской науки

Подробности

Опубликовано 08.02.2023 08:45 08 Февраль 2023

Этот праздник был установлен 7 июня 1999 года Указом Президента РФ № 717 «…учитывая выдающуюся роль отечественной науки в развитии государства и общества, следуя историческим традициям и в ознаменование 275-летия со дня основания в России Академии наук».

8 февраля 1724 года Указом правительствующего Сената по распоряжению Петра I в России была основана Академия наук. В 1925 году она была переименована в Академию наук СССР. В 1991 году – в Российскую Академию наук.

линейная алгебра — Как минимизировать определитель без компьютера?

$\begingroup$

Меня попросили найти минимальное значение определителя порядка $3\times 3$, содержащего элементы $-1$ и $1$, и после проб и ошибок я смог найти это $$ \begin{vmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 1 и 1 и 1 \\ -1 & — 1& 1 \\ \end{vmatrix} = -4$$

Однако это похоже на брутальный подход, и искал более простые методы.

Я сталкивался с подобными ответами на максимизацию и минимизацию матрицы 3 на 3, однако, поскольку это для школы, я не могу использовать компьютеры для более сложных задач

• линейная алгебра
• матрицы
• определитель
• максимум-минимум

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Вы можете решить это без вычисления каких-либо определителей. Три строки соответствуют трем точкам; определитель (с точностью до знака) в 6 раз больше объема тетраэдра, углы которого являются вашими тремя точками вместе с началом координат. Вы всегда можете изменить знак, если вам нужно, поменяв местами две строки.

Учитывая, что все координаты равны $\pm1$, вы можете выбрать одну из восьми возможных точек, образующих углы куба, все длины сторон которого равны $2$. Если вы хотите, чтобы определитель был отличен от нуля, вы должны выбрать три угла так, чтобы ни один из них не был прямо противоположен любому другому (эквивалентно, ни одна строка не может быть отрицательной для любой другой строки). (В этой простой задаче оказывается, что все, что вам нужно нужно беспокоиться.)

Вращение куба сохраняет объем, так что вы можете выбрать первую строку (точку на кубе) так, как вам нравится. Вторая точка не может быть напротив первой, поэтому она должна иметь общую грань с первой точкой, либо смежную, либо прямо противоположную. По симметрии каждая из трех пар должна иметь общую грань.

Этого можно добиться, если три точки являются вершинами треугольника на одной грани куба, например, $(1,1,1)$, $(1,1,-1)$ и $(1,-1,-1)$, площадь треугольника равна $2$ (половина площади грани), поэтому тетраэдр имеет объем $2/3$ (напомним, что $V= 1/3 bh$) и определитель равен $\pm4$. (Знак зависит от того, по часовой или против часовой стрелки вы перечисляете точки.)

Но любое другое решение можно превратить в это. Чтобы увидеть это, зафиксируйте лицо и возьмите любые точки вашей тройки, которые не находятся на лице, и отразите их через начало координат, чтобы поместить их на лицо; это может изменить знак определителя, но не абсолютное значение. Три точки теперь находятся на одном лице и должны быть различны, так что мы в этом случае уже проанализированы. Таким образом, единственными возможными ненулевыми определителями являются $4$ и $-4$. 93$. Это следует из того, что в матрице $n\times n$ добавление столбца к другому столбцу не меняет определитель. Мы вынесем $\frac12$ из второго и третьего столбца после добавления к ним первого столбца.

Поскольку сумма $(\pm1)+(\pm1)$ всегда четна, мы можем безопасно разделить на 2 и гарантировать, что оставшийся столбец по-прежнему состоит из целых чисел.

Следовательно, $\det (M) = 4n$ для некоторого $n \in \mathbb{Z}$. Определитель $M$ представляет собой сумму $6$ слагаемых, все со значениями $\pm 1$. Таким образом, $|\det (M)| \ле 6$.

Имеется только $3$ допустимых значений, которые может принимать рассматриваемый определитель при всех этих ограничениях, а именно $0$ и $\pm 4$.

Таким образом, минимальный определитель должен быть $-4$, с одной возможной матрицей $$M=\begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 1 и 1 и 1 \\ -1 & — 1& 1 \\ \end{bmatrix}$$ так же, как вы заметили.

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Другой подход к нахождению минимума $-4$, основанный на комбинаторном определении определителя.

Назовите матрицу $A$ и ее элементы $a_{ij}$. Тогда, конечно, у нас есть

$\det(A)=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{ 32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}$

В идеальном мире мы могли бы «оптимизировать» произведения так, чтобы все члены имели правильные знаки и вносили $-1$ в определитель, а именно:

$a_{11}a_{22}a_{33}=a_{12}a_{23}a_{31}=a_{13}a_{21}a_{32}=-1$

$a_{ 11}a_{23}a_{32}=a_{12}a_{21}a_{33}=a_{13}a_{22}a_{31}=+1$

$\det(A)=- 6$

Но мы живем в несовершенном мире… .

Проверка реальности (и четности)

Увы, мы не можем этого сделать, потому что произведение всех девяти записей отображается как

$(a_{11}a_{22}a_{33})(a_{ 12}a_{23}a_{31})(a_{13}a_{21}a_{32})$

, а также

$(a_{11}a_{23}a_{32})(a_{ 12}а_{21}а_{33})(а_{13}а_{22}а_{31})$

но предложенные нами выше оптимальные назначения дают $-1$ за первый продукт против $+1$ за второй! Чтобы продукты согласовывались с

, нам нужно четное число отдельных перестановок, чтобы получить произведение $-1$. Когда мы подставляем это ограничение в формулу определителя, мы получаем, как указано в другом месте, принудительно кратное $4$. Таким образом, наименьший возможный определитель, если предположить, что вообще могут быть ненулевые определители, должен быть $-4$, а не $-6$.

(или a ) правильное решение

Мы меняем наши условия, чтобы соответствовать требованию паритета:

$a_{11}a_{22}a_{33}=a_{12}a_{23}a_{31}=a_{ 13}a_{21}a_{32}=a_{12}a_{21}a_{33}=-1$

$a_{11}a_{23}a_{32}=a_{13}a_{22 }a_{31}=+1$

$\det(A)=-4$

Проверим, поставив задачу построить матрицу явно. Из проверки на четность мы знаем, что только пять продуктов перестановок независимы, поэтому мы начинаем с указания четырех записей

\begin{pmatrix} 1&1&1\\1&*&*\\*&*&*\\\end{pmatrix}

Затем произведение $a_{12}a_{21}a_{33}=-1$ заставляет нижний правый элемент равняться $-1$, затем произведение $a_{11}a_{22}a_{33}= -1$ делает центральный элемент $+1$ и так далее; мы находим, что приведенная ниже матрица удовлетворяет всем приведенным выше скорректированным соотношениям произведений и действительно имеет определитель $-4$:

\begin{pmatrix} 1&1&1\\1&1&-1\\1&-1&-1\\\end{pmatrix}

Из $512$ матриц $3×3$, которые мы можем построить с элементами $\pm1$, каждая из $96$ имеет определитель $ +4$ и $-4$. Остальные имеют определитель $0$.

$\endgroup$

7

Детерминанты | Encyclopedia.com

БИБЛИОГРАФИЯ

В математике слово определитель относится к числу, связанному с квадратной матрицей, то есть массивом числовых величин, расположенных, скажем, в n строк и n столбцов . Матрицы такого рода обычно возникают как средство для n линейных уравнений в n неизвестные.

Suppose the system of equations is

a ₁₁ x ₁ + a ₁₂ x ₂ + … + a _1n x _n = b ₁

a ₂₁ x ₁ + A ₂₂ x ₂ +… + A _2N x _N = B ₂

⋮

A _N1

⋮

A _N1

⋮

A _N1

⋮

A _N1

A _N1

A + … а _nn x _n = b _n

Тогда матрица отдельных коэффициентов

называется невырожденной тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля. Существование и единственность решения системы уравнений определяются невырожденностью A . Если A не имеет этого свойства, говорят, что сингулярна , и в этом случае система может не иметь решения (несуществование) или иметь бесконечно много решений (неединственность).

Определитель квадратной матрицы A равен числу

, где (Anij) обозначает подматрицу, полученную из A удалением ее i -й строки и j -го столбца. Это определение определителя использует так называемое расширение по строке , в данном случае по строке i . Существует аналогичное определение det( A ) в терминах расширения по столбцу , скажем, j , что говорит

Эти формулы связаны с именем французского математика Пьера-Симона Лапласа (1749–1827). Из любого из них видно, что определитель единичной матрицы I равен 1 и, следовательно, невырожден.

Определитель квадратной матрицы A и ее транспонированной A ^T всегда равны. Более того, определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей. В символах, если A и B — это две матрицы n X n , тогда

det( AB ) = det( A ) det(B) .

Отсюда и из того факта, что определитель единичной матрицы I равен 1, следует, что когда A невырожденна,

Таким образом, определитель невырожденной матрицы и определитель обратной к ней обратны друг друга.

Как легко понять, вычисление определителя большой матрицы с помощью разложения по строкам или столбцам может потребовать значительного объема работы. К счастью, существуют матрицы, определители которых вычислить несложно. Среди них диагональные матрицы (например, единичная матрица) и, в более общем смысле, нижние треугольные матрицы. Определитель любой такой матрицы есть произведение ее диагональных элементов. (То же верно для всех верхних треугольных матриц.) Нахождение определителя облегчается процедурами (такими как исключение Гаусса), которые преобразуют матрицу в другую, структура которой позволяет относительно легко вычислить ее определитель.

Правило Крамера для решения системы Ax = b исходит из предположения, что A невырождена. В этом случае система имеет единственное решение: x = A ^-1 b . Правило Крамера дает формулы для значений компонентов этого вектора в терминах данных, в частности, в виде отношений определителей. Выражение этих соотношений требует введения обозначения матрицы, полученной из А и б путем замены j -й столбец A вектором b . Пусть это обозначение будет A _-j (b) . Тогда правило Крамера гласит, что для каждого

в системе

детерминант A составляет 15. Матрицы A _-1 ( B ), A _-2 ) () () () (

8) () (

8) () () () () () () () ( B ), A ) ( B ). , A _-3 ( b ) соответственно равны

Чтобы использовать правило Крамера в этом случае, нужно вычислить

det(A ₁ (b)) = -10, det(A ₂ (( b )) = -55, и det( A ₃ b 4 )) = 5.

Правило Крамера тогда дает

Хотя правило Крамера полезно при численном решении небольших систем уравнений (состоящих из двух уравнений с двумя неизвестными или трех уравнений с тремя неизвестными), его не рекомендуется использовать для решения больших систем из-за к трудности вычисления определителей порядка выше 3. Это предостережение неприменимо к ситуациям, в которых вычисление является полностью символическим Пример последнего рода можно найти в 9 П. А. Самуэльсона.0133 Основы экономического анализа (издательство Гарвардского университета, Кембридж, 1963; см. уравнение 7, стр. 14).

Задача решения квадратных систем линейных уравнений возникает из задач наименьших квадратов, которые, в свою очередь, возникают в линейном регрессионном анализе. Квадратная система обычно имеет вид A ^T AX = A ^T b . Они называются нормальными уравнениями. Проблема в том, чтобы найти х . Первый вопрос, с которым приходится сталкиваться, состоит в том, является ли матрица A ^T A невырожденной. Если это не так, то есть det( A ^T A ) = 0, то правило Крамера неприменимо. Если оно невырожденное, то, в принципе, решение х = АтА ) ^-1 А t b При n число переменных х

, 1 _n , довольно маленький (и det[ A ^T A] = 0), можно рассмотреть использование правила Крамера для решения уравнений. Но большинство практических задач такого рода немалы и должны решаться с помощью компьютеров. Поскольку при этом теряется точная арифметика, на первый план выходят несколько числовых проблем. Широкое использование определителей нецелесообразно просто из соображений вычислительной эффективности. Еще одно соображение, номер состояния AtA , вступает в игру здесь. Как заявил Гилберт Странг, «Формирование A ^T A может превратить здоровую проблему в больную, и гораздо лучше (за исключением очень маленьких проблем) использовать либо Грам-Шмидт, либо разложение по сингулярным числам» (Strang 1976, стр.