Математика плюс на плюс дает минус: Правила знаков

базовых математических символов | Словарь

математика (BrE) | математика (AmE) является сокращенной формой математика

На этой странице перечислены основные математические символы с их названиями и примерами на английском языке.

+
плюс/дополнение

Знак плюс означает:

а. понятие

положительное

Любое число больше нуля является положительным числом и может быть записано со знаком плюс или без него.

Таким образом, +5 (плюс пять) и 5 ​​(пять) — одно и то же число.

б. операция сложения

3 + 5 = 8
три плюс пять равно восьми
пять прибавить к трем, получится восемь
три прибавить к пяти, получится восемь

Сложение дает нам сумму . В 3 + 5 = 8 сумма равна восьми.

—

знак минус/знак вычитания

Знак минус означает:

а.

понятие отрицательного

Любое число меньше нуля является отрицательным числом и записывается со знаком минус перед ним.

-3
минус три

б. операция вычитания

8 — 5 = 3
восемь минус пять равно трем
пять вычесть из восьми равно трем
если из восьми вычесть пять получится три
если из восьми вычесть пять получится три

Вычитание дает нам разницы . В 8 — 5 = 3 разница три.

×

знак умножения / знак умножения

Знак умножения на означает:

умножение

5 x 6 = 30
пять раз шесть равно тридцати
пять умножить на шесть равно тридцати
пять шестерок равно тридцати
если умножить 5 на 6 получится тридцать

Умножение дает нам произведение . В 5 х 6 = 30 произведение равно 30.

÷ ИЛИ /

знак деления

Знак деления представляет:

подразделение

15 ÷ 3 = 5
15 / 3 = 5
пятнадцать разделить на три равно пяти
пять получится пятнадцать трижды
если пятнадцать разделить на три получится пять
если три разделить на пятнадцать получится пять

Деление

дает нам

частное . В 15 ÷ 3 = 5 частное равно пяти.

Подытожим вышеописанные четыре операции следующим образом:

операция			результат
дополнение	«плюс»	2 + 2 = 4	сумма
вычитание	«минус»	5 — 3 = 2	разница
умножение	«раз»	3 х 5 = 15	товар
отделение	«делится на»	21/7 = 3	частное

=

знак равенства

Знак равенства представляет равенство :

3 + 4 = 7
три плюс четыре равно семь

Обратите внимание, что мы обычно говорим, что равно

НЕ равно:

• два плюс два равно четыре
• два плюс два равно четырем

<
меньше

3 < 4
три меньше четырех

>

больше

4 > 3
четыре больше трех

≠

НЕ равно

x ≠ z
x не равно z

≥

больше или равно

x ≥ z
x больше или равно z

≤

меньше или равно

z ≤ x
z меньше или равно x

¾

дробь

см. дроби

.

десятичный разделитель | точка

Десятичный разделитель отделяет целое число от его дробной части справа:

1,23

В английском языке десятичным разделителем обычно является точка (.). Обратите внимание, что в некоторых языках десятичным разделителем является запятая (,).

см. десятичные дроби

,

разделитель тысяч

В английском языке разделитель тысяч разделяет целые числа на группы по три справа.

10 987 654 321

В английском языке разделителем тысяч обычно является запятая (,). Обратите внимание, что в некоторых языках разделителем тысяч является точка (.), а иногда и пробел ( ).

см. тыс.

%

знак процента

Знак процентов указывает число или отношение в виде доли от 100 ( процентов ).

40%
сорок процентов
Только сорок процентов людей проголосовали за нее.
Какой процент проголосовал за нее? Сорок процентов.

√

квадратный корень

√16 = 4
квадратный корень из шестнадцати равен четырем
квадратный корень из шестнадцати равен четырем

Поиск полиномиальных произведений с помощью Пошагового решения математических задач

В этой главе мы хотим представить множество чисел со знаком или направленных чисел и установить четыре основные операции над этим множеством. Оставшаяся часть вашего изучения алгебры будет связана с этим новым набором чисел.

ЗНАЧЕНИЕ ЧИСЕЛ, ПОДПИСАННЫХ

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы должны уметь:

1. Найдите числа со знаком в числовой строке.
2. Найдите отрицательное число заданного числа.
3. Удалить символы группировки, перед которыми стоит знак минус.
4. Найдите абсолютное значение заданного числа.

Мы можем представить арифметические числа в числовой строке . Начнем с размещения нуля в точке на линии. Затем мы договариваемся, что будем размещать числа в других точках на прямой так, чтобы большее число было справа и чтобы все единицы (от 0 до 1, от 4 до 5, от 10 до 11 и т. д.) были одинаковой длины. Эта линия показана ниже.

Теперь мы хотим расширить наше мышление, чтобы включить числа слева от нуля. Такие числа называются отрицательными числами и записываются со знаком минус перед ними. Такие числа, как -6, -1 и -10, читаются как «минус шесть», «минус один» и «минус десять».

Стрелки указывают, что линия бесконечно продолжается в любом направлении.

Целые числа, которые мы изучали до этого момента, вместе с отрицательными целыми числами составляют набор чисел, называемый целым числом

.

Набор чисел, который может быть выражен как отношение двух целых чисел, называется набором рациональных чисел . Дроби, например, будут пропорционально падать на числовую прямую. Числовая строка, содержащая рациональные числа, называется 9.0289 рациональная числовая строка .

Числа справа от нуля называются положительными числами и записываются со знаком плюс. Если ненулевое число написано без знака, оно считается положительным числом. Следовательно, +7 или просто 7 будет представлять положительную семерку. Также обратите внимание, что «вправо» — это положительное направление, а «влево» — отрицательное направление. Ноль не является ни положительным, ни отрицательным.

Эти положительные и отрицательные числа обозначаются как

подписанные номера или направленные номера .

Какой единственный беззнаковый номер ?

Скорее всего, вы много раз встречали подписанные номера в своей газете или по телевизору. Например, если температура составляет десять градусов ниже нуля, ее обычно записывают как -10 градусов. Если фондовый рынок падает на четыре пункта, это обычно записывается как — 4. Вероятно, вы можете вспомнить и другие примеры, с которыми вы сталкивались.

Пример 1 Если бы футбольная команда выиграла три ярда в игре, как бы вы представили это, используя число со знаком? Как бы вы представили потерю пяти ярдов?

Решение

+3 означает выигрыш в три ярда.
— 5 означает потерю пяти ярдов.

Пример 2

У Джека был счет в банке на 23 доллара, и он выписал чек на 30 долларов. Представьте его баланс числом со знаком.

Решение

Поскольку он потратил на семь долларов больше, чем имел, его баланс составляет $ — 7, и банкир, вероятно, не слишком доволен.

Чтобы успешно использовать операции над числами со знаком, необходимо провести очень важное различие между отрицательным числом и отрицательным числом . Мы уже отмечали, что отрицательное число — это число, которому предшествует знак минус. На числовой прямой мы заметили, что отрицательные числа стоят слева от нуля.

Отрицательное число числа противоположно этому числу или этому числу с обратным знаком.

Небольшой урок английской грамматики: в «Отрицательном числе» отрицательное используется как существительное. В «отрицательном числе» отрицательное используется как прилагательное.

Пример 3 Отрицательное значение +5 равно -5.

Пример 4 Отрицательное значение -5 равно +5.

Пример 5 Отрицательное значение +x равно -x.

Пример 6 Отрицательное значение -x равно +x.

Пример 7 Если +7 соответствует 7 шагам на север, то -7 соответствует 7 шагам на юг.

Мы договоримся, что минус нуля равен нулю.

Пример 8 Если -3 градуса соответствует трем градусам ниже нуля, то +3 градуса соответствует трем градусам выше нуля.

Пример 9 Чему равно отрицательное число (-10)?

Решение

Поскольку «отрицательное значение» означает «противоположное», отрицательное значение -10 равно +10.

Знак «минус» часто используется как символ «отрицательного» или «противоположного». Следовательно, -(-10) означает «противоположность» — 10.

Обратите внимание на два значения знака минус.

Пример 10 — (+7) = — 7

Пример 11 -(-2) = +2

Расстояние от любого числа до нуля на числовой прямой определяется как абсолютное значение этого числа.

Абсолютное значение числа x записывается как |x|, где
|x| = x, если x равен нулю или положителен
|x| = -x, если x отрицательное

Пример 12 |3| = 3

Пример 13 | — 3| = 3

Обратите внимание, что абсолютное значение числа всегда положительное или нулевое.

В главе 1 вы узнали, что круглые скобки используются в качестве группирующих символов. Если мы заключаем числовое выражение в круглые скобки и ставим перед ним знак минус, мы указываем «отрицательность» всего выражения в круглых скобках.

Числа или символы, сгруппированные скобками, всегда считаются одним числом или символом.

Пример 14 — (a + b) означает «минус суммы a и b».

Пример 15 — (x + 3 — b) означает «отрицательное значение x плюс 3 минус b».

Чтобы найти отрицательное выражение выражения, заключенного в символы группировки , найдите отрицательное значение каждого члена внутри символов.

Пример 16 — (a + b) = — a — b

Пример 17 -(x + 3 — b) = -x — 3 + b

Пример 18 — (a — b) = — a + b

Пример 19 -(a — 3 + 4 — x) = — a + 3 — 4 + x

Очень распространенная ошибка при нахождении отрицательного выражения в том, что не меняется каждый знак. Обязательно выражайте противоположность каждому члену в символе группировки, если ему предшествует знак минус.

Давайте теперь переформулируем правило в более общем виде.

Чтобы удалить символы группировки, которым предшествует знак минус , измените знак каждого члена, который был внутри символов. Чтобы удалить символы группировки, перед которыми стоит знак плюс, не меняйте знак любого термина, который находился внутри символов.

Пример 20 — (a + 6 — 3) = -a — b + 3

Пример 21 + (a + 6 — 3) = a + b — 3

Пример 22 (x + y — a + b) = x+ y — a + b

ОБЪЕДИНЕНИЕ ЗНАКОВЫХ ЧИСЕЛ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Определите результат объединения двух или более чисел со знаком.
2. Используйте числовую строку для объединения чисел со знаком.

Пример 1 Если вы начнете с точки и сделаете шесть шагов на север, а затем сделаете еще три шага на север, где вы окажетесь относительно начальной точки?

Решение

Ответ на эту задачу в девяти шагах на север. Если «шаги на север» представлены как положительные, то шесть шагов на север, за которыми следуют три шага на север, равны девяти шагам на север, можно записать как +6 + 3 = +9..

Пример 2 Температура в 18:00. равен нулю градусов. С 18:00 до полуночи температура падает на три градуса, а с полуночи до 4 часов утра – еще на семь градусов. Какая температура в 4 утра?

Решение

Если падение температуры представлено знаком минус, то падение на 3 градуса, за которым следует падение на 7 градусов, можно записать как

-3 градуса — 7 градусов = -10 градусов.

Пример 3 В 9:00 температура +20 градусов и с 9:00 до 13:00. она поднимается на 14 градусов. Затем с 13:00 до 17:00 падает до 18 градусов. Какая температура в 17:00?

Решение

Начиная с +20 градусов, при повышении на 14 градусов температура поднимается до +34 градусов. Падение на 18 градусов затем приводит к +16 градусам. Если повышение температуры положительно, а понижение температуры отрицательно, то мы можем написать

+ 20 градусов + 14 градусов — 18 градусов = +16 градусов.

Числовая линия — полезный инструмент для комбинирования чисел со знаком. Если движение «вправо» считается +, а движение «влево» считается -, то рассмотрим следующие примеры.

Если в задаче не указано иное, всегда начинайте с нуля для первого хода.

Пример 4 + 3 + 4 = +7 означает «начать с нуля, сдвинуться на три единицы вправо, затем сдвинуться на четыре единицы вправо». Результатом является движение на семь единиц вправо.

Пример 5 -2 — 4=-6 означает «начать с нуля, переместить две единицы в

Пример 6 — 6 + 8 = +2

Пример 7 Объединить: 3 — 6 + 4 — 5 =

Решение

Используя числовую прямую и начав с нуля, сначала переместитесь на три единицы вправо.

«+» означает «вправо».

Затем переместитесь на шесть единиц влево.

Затем переместитесь на четыре единицы вправо.

«-» это «слева».

Наконец переместитесь на пять единиц влево.

Конечная локация -4. Следовательно, 3 — 6 + 4 — 5 = — 4,

«-» означает «слева».

Пример 8 Проиграв девять ярдов в первом дауне, «Браунс» выполнили пас и отыграли двенадцать ярдов во втором дауне. Какова была общая прибыль или убыток?

Решение

Сначала напишите числовой оператор — 9 + 12 =
Используя числовую прямую, мы получим

Таким образом, -9 + 12 = +3 (выигрыш в три ярда).

ПРАВИЛА СОЕДИНЕНИЯ ЗНАКОВЫХ ЧИСЕЛ

ЦЕЛИ

После завершения этого раздела вы сможете использовать правила комбинирования чисел со знаком.

В предыдущем разделе мы использовали значение числа со знаком и числовой прямой для решения задач на комбинирование чисел со знаком. Теперь мы готовы установить правила выполнения этой операции.

Сначала сделаем следующие наблюдения из обсуждения и примеров предыдущего раздела.

1. Знак (плюс или минус) влияет только на числовое выражение справа от него.

Пример 1 В +6 — 7 знак + влияет только на 6, а знак — влияет только на 7.

2. Знак, предшествующий скобкам, влияет на все термины внутри скобок.

Пример 2 В -( + 6 — 8) знак — перед скобками влияет как на +6, так и на -8.

Напомним, что если убрать скобки, то будет -( + 6 — 8) = -6 + 8.

3. Мы объединяем числа только по два за раз.

Пример 3 Объединить: +6 + 4 + 3

Решение

Сначала мы объединяем +6 + 4, чтобы получить +10. Затем мы объединяем +10 + 3, чтобы получить +13.

Мы также могли бы сначала объединить + 4 + 3, чтобы получить + 7, затем объединить + 6 + 7, чтобы получить + 13. Это связано с ассоциативным свойством сложения, которое говорит (a + b) + c = a + (b + c)

Из наблюдения 3 становится ясно, что нам нужны только правила для объединения двух чисел со знаком.

Для объединения двух чисел с одинаковым знаком добавьте числа и прикрепите общий знак.

Пример 4 +6 + 8 = +14. Складываем 6 и 8, чтобы получить 14, а затем присоединяем знак +, общий для 6 и 8.

Пример 5 — 6 — 8 = -14. Складываем 6 и 8, чтобы получить 14, а затем присоединяем знак -, общий для 6 и 8.

Чтобы объединить два числа с разными знаками , вычтите меньшее число (без учета знака) из большего числа ( без учета знака) и прикрепить знак большего числа.

Если вы двигаетесь дальше вправо, чем влево, вы ожидаете оказаться вправо. Следовательно, используйте знак большего числа.

Пример 6 — 7 + 11 = +4. Мы вычитаем 7 из 11 и используем знак +, потому что 11 больше, чем 7.

Пример 7 +7 -11 = -4. Мы вычитаем 7 из 11 и используем знак -, потому что 11 больше из двух чисел.

Попробуйте решить эти примеры, используя числовую строку, чтобы проверить ответы.

Пример 8 -14 + 8 = -6. Мы вычитаем 8 из 14 и используем знак — перед 14.

Еще раз обратите внимание, что правила объединения чисел со знаком применяются только к двум числам одновременно. Если выражение содержит несколько чисел, мы должны применить правила более одного раза.

Поскольку одновременно можно складывать или вычитать только два числа, эти операции называются бинарными.

Поскольку порядок комбинирования чисел не изменит ответ (коммутативность), мы можем, в примере 9, действуйте по-другому.

Следует практиковать оба этих подхода, чтобы вы могли выбрать тот метод, который проще для конкретной проблемы.

В такой задаче, как эта, многие студенты любят объединять все отрицательные числа вместе и все положительные числа вместе, а затем объединять два получившихся числа с разными знаками.

Выполните пример, комбинируя числа слева направо.

Обратите внимание, что в последнем примере этот порядок дает более простые комбинации, чем комбинирование слева направо. Выбор порядка остается за студентом, так как ответ будет одинаковым в любом случае.

В разделе 1-2 мы узнали правила удаления группирующих символов. При объединении чисел мы должны быть уверены, что каждый член имеет правильный знак. Термин вне символа группировки никогда не следует объединять с термином внутри символа, однако, подобные термины внутри символа группировки должны быть объединены до удаления символа.

Помните, что при удалении символов группировки, которым предшествует знак минус, следует менять все знаки. При удалении символов группировки, которым предшествует знак плюс, не меняйте никаких знаков.

Напомним, что когда мы упрощаем выражение, содержащее группирующие символы внутри группирующих символов, мы сначала удаляем самый внутренний набор символов.

Выполнение одной операции за раз.

ОБЪЕДИНЕНИЕ ПОДОБНЫХ ТЕРМИНОВ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Объедините похожие термины, включающие числа со знаком.
2. Удалить символы группировки и объединить одинаковые термины.

В главе 1 мы определили подобные термины как термины, которые имеют точно такие же буквальные факторы. Мы также отметили, что только подобные термины могут быть объединены. Теперь мы применим те же самые правила к терминам, включающим числа со знаком.

К СЛОВУ О ВЫЧИТАНИИ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Определение вычитания в терминах сложения.
2. Вычитание чисел со знаком.

Символ — используется для обозначения как вычитания , так и отрицательного числа . Выражение 5x — (- 4x) можно рассматривать как «вычесть отрицательное значение 4x из 5x» или как «прибавить отрицательное значение 4x к 5x». Мы объединили эти подобные термины, думая об этом вторым способом. Мы изменили 5x — (- 4x) на 5x + 4x и получили 9Икс.

Следующее определение должно прояснить, что оба утверждения на самом деле одинаковы.

Вычитание добавляет минус. В символах
a — b = a + (-b).
(b, вычитаемое из a, равно отрицательному значению b, прибавленному к a.)

Два знака никогда не пишутся вместе без использования группирующих символов. Запомните порядок удаления символов группировки.

Умножение и деление чисел со знаком

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Применение правила умножения чисел со знаком.
2. Примените распределительное свойство умножения вместо сложения.
3. Разделить числа со знаком.

Умножение можно рассматривать как «быстрое сложение». Например, если мы хотим умножить (7)(5), мы можем представить это как «семь пятерок» или 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 и получить результат 35. Или мы могли бы подумать о это как «пять семерок» или 7 + 7 + 7 + 7 + 7, а также получить тот же результат 35.

Применение той же техники к числам со знаком приведет к одному из правил их умножения.

Произведение положительного числа на отрицательное число дает отрицательное число.

Помните, что умножение любого числа на ноль всегда дает ноль. (5)(0) = 0 (-4)(0) = 0

Из арифметики известно следующее правило.

Произведение двух положительных чисел положительный.

В каждом из этих правил обратите внимание на то, что слово «два» очень важно. Поскольку мы можем умножать только два числа за раз, нам нужны правила только для двух чисел.

Пример 4 Найдите продукт: (3)(-2)(7)

Решение

Это можно сделать несколькими способами. Мы могли бы сначала умножить (3)(-2), получив

Должно быть ясно, что порядок умножения чисел не имеет значения. Результат будет таким же.

Это потому, что умножение коммутативно. Это потому, что умножение ассоциативно. То есть

Чтобы установить правило для произведения или частного двух отрицательных чисел, нам нужно будет использовать свойство операций над числами, называемое распределительным свойством умножения над сложением. В символах распределительное свойство умножения над сложением равно

Обратите внимание, что а — это множитель, то есть он умножает количество (b + c).

Мы можем выразить это свойство словами, сказав: «Чтобы умножить термины, заключенные в скобки, на число, мы должны умножить каждый термин в скобках на это число».

В таком выражении, как 2 + (x + 3), у многих студентов возникает соблазн умножить выражение в скобках на 2. Но 2 — это , а не множитель. Число, непосредственно умножающее скобки, равно (+1).

Если мы используем распределительное свойство, мы имеем

Пример 6 Удалите скобки и объедините одинаковые члены:

Решение

Теперь мы хотим установить правило для умножения двух отрицательных чисел.

Когда сумма двух чисел равна нулю, мы говорим, что одно число является аддитивной инверсией другого. Поскольку (5) + (-5) = 0, мы говорим, что 5 является аддитивной инверсией к (-5).

Используя наши правила сложения чисел со знаком, мы решили такие задачи, как (-15) + (+15) = -15 + 15 = 0,

Мы также знаем, что умножение на ноль дает в результате ноль. Например, (-3)(0) = 0,

Теперь рассмотрим эту задачу. Найдите результат ( — 3) [(5) + ( — 5)]. Если мы заметим, что (5) + (- 5) = 0, то мы получим

. термин внутри символов группировки на множитель, предшествующий символам группировки.

Мы знаем, что этот результат должен быть равен нулю. То есть -15 + (-3)(-5) = 0. Следовательно, (-3)(-5) = +15, так как +15 — единственное число, которое можно добавить к -15, чтобы получить нулевой результат. .

Выбор чисел в этом обсуждении не изменит вывод. Отсюда имеем следующее правило:

Произведение двух отрицательных чисел положительно.

Сложение двух отрицательных чисел дает отрицательное число. Умножение двух отрицательных чисел дает положительное число. Не путайте эти два правила.

Еще раз мы должны осознать важность слова «два». Это правило, как и все остальные, должно применяться только к двум номерам одновременно.

Пример 10 Найдите произведение (- 3)(-2)(- 5).

Решение

Если мы сначала умножим (- 3)(- 2), мы получим ( + 6). Затем умножив ( + 6)( — 5), мы получим окончательный результат.

Найдите этот продукт, сначала умножив (-2)(-5)

Найдите этот продукт, сначала умножив (-3)(-5)

Деление определяется как «умножение на обратное». Множительное число , обратное числа, иногда называют , обратным числа.

В такой задаче, как 12 разделить на 6, мы делим на 6. Используя определение, задача такая же, как умножение на обратный мультипликатив (или обратный) из 6, то есть.

Эта связь связывает деление и умножение вместе, так что правила для знаков при делении совпадают с правилами для знаков при умножении. Для удобства мы сформулируем правила как одно правило.

При умножении или делении чисел со знаком произведение или частное двух чисел с одинаковыми знаками будет положительным , а произведение или частное двух чисел с разными знаками будет отрицательным .

УПРАЖНЕНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЗНАКОВЫХ ЧИСЕЛ

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы должны уметь:

1. Упрощение выражений, содержащих числа со знаком.
2. Вычислить выражения, содержащие числа со знаком.

Мы использовали символы группировки в нескольких ситуациях в предыдущих главах. Теперь, когда мы обсудили свойство дистрибутивности и операции над числами со знаком, мы можем расширить наши возможности по удалению символов группировки.

Не забудьте сначала упростить самые внутренние группирующие символы.

В главе 1 мы оценивали буквенные выражения, используя только арифметические числа. Теперь мы можем вычислять выражения, включающие числа со знаком.

Обратите внимание на разницу между b и c. Помните, что это означает (- 3)(-3).

ОБЗОР

Ключевые слова

• A номер строки полезен для визуализации относительного положения чисел.
• Числам со знаком предшествует знак плюс или минус.
• Положительные числа — это числа, перед которыми стоит знак плюс.
• Отрицательные числа — это числа, перед которыми стоит знак минус.
• Отрицательное значение числа — это число с противоположным знаком.
• Набор из целых чисел состоит из целых чисел и целых отрицательных чисел.
• Рациональные числа — это числа, которые можно выразить как отношение двух целых чисел.

  No related posts.