Основные операции
Основные операции, которые используются в математике это сложение, вычитание, умножение и деление.
Помимо этих операций существуют ещё и операции отношения такие как: равно (=), больше (>), меньше (<), больше или равно (≥), меньше или равно (≤), не равно (≠).
Вообще, операции можно разделить на два вида:
- операции действия;
- операции отношения.
Операции действия это:
- сложение (+)
- вычитание (-)
- умножение (×)
- деление ( ÷ ).
Операции отношения это:
- равно (=)
- больше (>)
- меньше (<)
- больше или равно (≥)
- меньше или равно (≤)
- не равно (≠).
Начнем с операций отношения. Слово «отношение» говорит само за себя. Примеры из жизни: что-то имеет отношение к чему-то. Папа имеет отношение к маме. Это отношение называют браком:
Примеров отношений множество.
Можно сказать, что наш красивый мир, который развивается гармонично, тоже состоит из отношений.
Если пятёрка больше тройки, то мы говорим, что «пятерка больше по отношению к тройке» и записываем как 5 > 3 (читается: пять больше, чем три). Острый угол знака отношения должен быть направлен в сторону меньшего числá. В данном примере число 3 меньше, чем число 5, поэтому острый угол знака отношения направлен в сторону числа 3.
Ещё пример. Число 11 меньше, чем число 15. Эту фразу можно записать так:
11 < 15
В математике с помощью отношений можно записывать законы, формулы, уравнения и функции. Можно записать, что одно выражение равно другому, либо какое-то действие недопустимо по отношению к какому-нибудь объекту, числу, закону.
Например, знаменитая фраза «на ноль делить нельзя» записывается так:
Не будем опережать события и забегать вперёд. Просто скажем, что в этом выражении вместо a и b могут стоять любые числа.
Но потом говорится, что b не должно быть равным нулю.
Знак равенства = стáвится между величинами и говорит о том, что эти величины равны между собой.
Например, «пять равно пять» записывается как 5 = 5. Понятно, что две пятерки равны между собой. Помимо привычных для нас чисел, знáком равенства могут соединяться более сложные выражения, например: 9 + x + y = 4 + 5 + x + y.
Ещё пример: если один большой арбуз весит 20 кг, а два маленьких арбуза весят по 10 кг каждый, то между арбузом в 20 кг и двумя арбузами по 10 кг можно поставить знак равенства. Это отношение можно прочитать так: «один арбуз весом в 20 килограмм равен весу двух арбузов, каждый из которых весит 10 кг». Ведь 20 кг = 10 кг + 10 кг.
Знак не равно ≠ ставится между величинами тогда, когда они не равны между собой.
Например, 5 ≠ 7. Ясно, что пятёрка не равна семёрке. Ещё примеры: отличник не равен двоечнику, собака не равна кошке, мандарин это не апельсин:
отличник ≠ двоечник
собака ≠ кошка
мандарин ≠ апельсин
Вы можете осмотреться вокруг себя и найти множество примеров отношений, которые можно истолковать с точки зрения математики.
Операция сложения
Операция сложения обозначается знаком «плюс» (+) и используется, когда складывают числа.
Числа, которые складывают называются слагаемыми. Число, которое получается в результате их сложения, называется суммой.
Например, сложим числа 3 и 2.
Записываем 3 + 2 = 5
В этом примере 3 − это слагаемое, 2 − второе слагаемое, 5 − сумма.
В будущем придётся складывать довольно большие числа. Но сложение этих больших чисел в конечном итоге будет сводиться к тому, чтобы сложить маленькие.
Поэтому нужно научиться складывать маленькие числа в диапазоне от 0 до 9. Например:
2 + 2 = 4
3 + 4 = 7
7 + 2 = 9
0 + 7 = 7
Можете потренироваться, записав в тетради несколько простых примеров. Поверьте, ничего постыдного в этом нет.
Операция вычитания
Операция вычитания обозначается знаком «минус» (−) и используется когда из одного числа вычитают другое.
Число, из которого вычитают другое число, называется уменьшаемым. Число, которое вычитают из уменьшаемого числа, называется вычитаемым. Число, которое получается в результате, называется разностью.
Например, вычтем из числа 10 число 2.
10 − 2 = 8
В этом примере число 10 − это уменьшаемое, число 2 − вычитаемое, а число 8 − разность.
Операция умножения
Обозначается знаком умножения (×) и используется когда одно число умножается на другое. Слово умножение говорит само за себя — какое-то число увеличивается в определенное количество раз, то есть мнóжится.
Например, запись 4 × 3 означает, что четверка в ходе операции умножения будет увеличена в три раза.
Число, которое увеличивают, называется множимым. Число, которое показывает во сколько раз нужно увеличить множимое, называется множителем. Число, которое получается в результате называется произведением.
Например, умножим число 4 на 3.
4 × 3 = 12
В этом примере 4 − это множимое, 3 − множитель, 12 − произведение.
Запись 4 × 3 можно понимать как «повторить число 4 три раза». Например, если у нас имеются четыре конфеты и мы повторим их три раза, то полýчится двенадцать конфет:
Другими словами, умножение 4 на 3 можно представить как сумму трёх четвёрок:
Умножение можно понимать и другим образом, а именно как взятие чего-то определенное количество раз.
Допустим, в вазе лежат конфеты. Возьмём четыре конфеты один раз:
4 конф. × 1 = 4 конф.
У нас в руках окажется четыре конфеты.
Попробуем взять четыре конфеты 2 раза:
4 конф × 2 = 8 конф.
У нас в руках окажется восемь конфет.
Попробуем взять четыре конфеты ноль раз, то есть ни разу:
4 × 0 = 0
У нас на руках не окажется конфет, поскольку мы ни разу их не взяли. Поэтому умножение любого числа на ноль даёт в ответе ноль.
В некоторых книгах множимое и множитель называют одним общим словом — сомножители.
Например, в записи 4 × 3 множимым является 4, а множителем 3, но эти два числа ещё можно назвать сомножителями. Ошибкой это не будет.
В будущем мы будем умножать довольно большие числа. Но умножение больших чисел свóдится к тому, чтобы умножить маленькие. Поэтому сначала нужно научиться умножать маленькие числа. Благо, они уже перемножены и записаны в специальную таблицу, которую называют таблицей умножения. Если вы живёте в России или в странах бывшего СССР, то наверняка знаете эту таблицу наизусть. Если не знаете, обязательно выучите!
Операция деления
Обозначается знаком деления (÷ или : ) и используется когда делят числа.
Число, которое делят называют делимым. Число, которое указывает на сколько частей делят делимое, называется делителем. Число, которое получается в результате, называется частным.
Например, разделим число 10 на 2.
10 : 2 = 5
В этом примере число 10 − это делимое, число 2 − делитель, число 5 − частное.
Если у нас имеются десять конфет и мы разделим их на две равные части, то в каждой части полýчится по пять конфет:
Так можно понять смысл записи 10 : 2 = 5.
Задания для самостоятельного решения
Большинство людей решат эти задания в уме что конечно похвально. Однако, рекомендуется выполнить эти задания именно в тетради, взяв в руку карандаш. К математике следует привыкать посредством решения простых примеров.
Задание 1. Запишите в тетради, что 2 больше, чем 1
Показать решение
Задание 2. Запишите в тетради, что 2 меньше, чем 3
Показать решение
Задание 3. Запишите в тетради, что 5 больше, чем 2
Показать решение
Задание 4. Запишите в тетради, что 8 больше, чем 5
Показать решение
Задание 5. Запишите в тетради, что 10 больше, чем 8
10 > 8
Показать решение
Задание 6. Запишите в тетради, что 1 равно 1
Показать решение
Задание 7. Запишите в тетради, что 10 равно 10
10 = 10
Показать решение
Задание 8.
Запишите в тетради, что 7 не равно 8
Показать решение
Задание 9. Запишите в тетради, что 15 не равно 12
15 ≠ 12
Показать решение
Задание 10. Запишите в тетради, что 3 не равно 2
Показать решение
Задание 11. Сложите числа 2 и 3
2 + 3 = 5
Показать решение
Задание 12. Сложите числа 7 и 2
7 + 2 = 9
Показать решение
Задание 13. Сложите числа 4 и 3
4 + 3 = 7
Показать решение
Задание 14. Сложите числа 10 и 5
10 + 5 = 15
Показать решение
Задание 15. Сложите числа 12 и 8
12 + 8 = 20
Показать решение
Задание 16. Вычесть из числа 5 число 2
5 − 2 = 3
Показать решение
Задание 17. Вычесть из числа 9 число 4
9 − 4 = 5
Показать решение
Задание 18. Вычесть из числа 10 число 8
10 − 8 = 2
Показать решение
Задание 19. Вычесть из числа 12 число 4
12 − 4 = 8
Показать решение
Задание 20. Вычесть из числа 20 число 12
20 − 12 = 8
Показать решение
Задание 21.
Умножьте 2 на 3
2 × 3 = 6
Показать решение
Задание 22. Умножьте 3 на 4
3 × 4 = 12
Задание 23. Умножьте 5 на 3
5 × 3 = 15
Показать решение
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Выражения
Выражение — это любое сочетание чисел, букв и знаков операций. Можно сказать, что вся математика состоит из выражений.
Выражения бывают двух видов: числовые и буквенные.
Числовые выражения состоят из чисел и знаков математических операций. Например, следующие выражения являются числовыми:
Буквенные выражения помимо чисел и знаков операций содержат ещё и буквы.
Например, следующие выражения являются буквенными:
Буквы, которые содержатся в буквенных выражениях, называются переменными. Запомните это раз и навсегда! Спросите любого школьника что такое переменная — этот вопрос поставит его в ступор, несмотря на то что он будет решать сложные задачи по математике, не зная что это такое. А между тем, переменная это фундаментальное понятие, без понимания которого математику невозможно изучать.
Под словом «изучать» мы подразумеваем самостоятельное чтение соответствующей литературы и способность понимать, что там написано. А то вроде и знаешь математику на четвёрку, задачи решаешь, но не можешь понять, что написано в лекциях и книгах. Каждому знакомо такое чувство, особенно студентам.
Поскольку понятие переменной очень важно, остановимся на нём подробнее. Посмотрите внимательно на слово «переменная». Ничего не напоминает? Слово «переменная» происходит от слов «меняться», «изменить», «изменить своё значение». Переменная в математике всегда выражена какой-то буквой.
Например, запишем следующее выражение:
a + 5
Это буквенное выражение. Здесь одна переменная a. Поскольку она является переменной, значит может изменить свое значение в любой момент времени. Изменить значение может любой: вы, учитель, ваш товарищ, кто угодно. Например, давайте изменим значение этой переменной. Присвоим ей значение 5. Для этого запишем саму переменную, затем поставим знак равенства и запишем 5
a = 5
Что случится в результате этого? Значение переменной a, то есть 5 отправится в главное выражение a + 5, и подставится вместо a.
Значение переменной a подставляется в исходное выражение.В результате имеем: 5 + 5 = 10
Конечно, мы рассмотрели простейшее выражение. На практике встречаются более сложные выражения, в которых присутствуют дроби, степени, корни и скобки. Выглядит это устрашающе. На самом деле ничего страшного. Главное понять сам принцип.
В учебниках часто встречаются задания следующего содержания: найдите значение выражения x + 10, при x = 5.
Такие задания как раз и требуют, чтобы вместо переменной подставили её значение. Давайте выполним это задание. Значение переменной x равно 5. Подставляем эту пятёрку в исходное выражение x + 10 и получаем 5 + 10 = 15.
Переменная это своего рода контейнер, где хранится значение. Переменные удобны тем, что они позволяют, не приводя примеров доказывать теоремы, записывать различные формулы и законы.
Вспомним второй урок «Основные операции». Чтобы понять сложение, мы привели пример 5 + 2 = 7 и сказали, что числа 5 и 2 являются слагаемыми, а число 7 — суммой. Но можно было понять эту тему и без примера, если бы мы воспользовались буквенным выражением. Обозначили бы слагаемые любыми буквами, например a и b, а сумму обозначили бы как с.
Тогда у нас получилось бы выражение с тремя переменными a + b = c, и можно было сказать, что a и b — это слагаемые, c — сумма.
И далее имея выражение a + b = c, можно пользоваться им, подставляя вместо переменных a и b любые числа. А переменная c будет получать своё значение автоматически, в зависимости от того какие числа будут подставлены вместо a и b
В качестве практики можете выполнить следующее задание. Дано выражение a + b = c. Найдите его значение, если a = 10, b = 6. Переменная c получит своё значение автоматически. Ответ запишите следующим образом: при a = 10 и b = 6, переменная c равна такому-то числу.
Решение:
a + b = c
10 + 6 = 16
Ответ: при a = 10 и b = 6, переменная c равна 16.
Значение выражения
Фраза «выполнить действие» означает выполнить одну из операций действия.
В учебниках младших классов часто можно встретить задания такого содержания: выполнить действия, и далее приводятся примеры, которые нужно решить.
Когда перед нами подобное задание, мы сразу должны понимать, что от нас требуют решить пример. В народе это звучит как «решить пример«, но более правильно надо говорить «найти значение выражения»
Например, если дано выражение 10 + 6, и от нас требуют найти значение этого выражения, это означает что нам нужно решить данный пример. Поставить знак равенства = и записать ответ:
10 + 6 = 16
Сумма 16, которая получилась в результате и называется значением выражения 10 + 6.
Значение выражения — это результат выполнения действий, содержащихся в выражении.
Рассмотрим еще примеры:
- 16 это значение выражения 4 × 4, поскольку 4 × 4 = 16
- 20 это значение выражения 10 + 10, поскольку 10 + 10 = 20
- 5 это значение выражения 10 ÷ 2, поскольку 10 ÷ 2 = 5
Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Найдите значение выражения 5 + x при x = 4
Показать решение
Задание 2.
Показать решение
Задание 3. Найдите значение выражения a + a + a при a = 10
Показать решение
Задание 4. Найдите значение выражения a + b при a = 10 и b = 20
Показать решение
Задание 5. Найдите значение выражения b + b + b при b = 5
Показать решение
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
First In Math Online Math Practice
С момента закрытия школ учащиеся решили 3 737 791 091 задачу.
Решено 28 903 061 220 математических задач — и их число продолжает расти!
«Я был по-настоящему поражен интересом и решимостью, проявленными в моих учениках First in Math, с мотивацией не было проблем! Они не только изучили математику и улучшили свою способность концентрироваться, они также узнали о важности постановки и достижения ежедневных целей.
долгосрочные цели, чтобы в конечном итоге достичь того, что вначале было только мечтами».
Джоэл Стоктон — учитель 5-го класса, начальная школа Кавасос, La Joya ISD, TX УЗНАТЬ БОЛЬШЕ
First In Math охватывает всех учащихся K-8, от интерактивных до одаренных, а также всех демографических групп, что делает его бесценным
дополнение к любой учебной программе.
УЗНАТЬ БОЛЬШЕ >>
Более 200 заданий для самостоятельного обучения предлагают немедленную обратную связь, чтобы помочь учащимся овладеть процедурными навыками и помочь
педагоги оценивают, где необходимо вмешательство.
«Учеба First In Math очень ценна. Она дает детям, которым нужна небольшая дополнительная помощь, возможность поработать над своими навыками, а также позволяет детям, которые преуспевают, выйти за рамки того, чему учат в классе.
»
Доктор Франк Фишель — Директор начальной школы Маунтин-Вью, Фландрия, Нью-Джерси
Постановка и достижение целей, а также постоянные возможности для признания дают учащимся энергию для поддержания ускоренных усилий с течением времени.
УЗНАТЬ БОЛЬШЕ >>
Первая демонстрация математики
Учителя, запишитесь на один класс бесплатно! Если вам нравится программа First In Math и вы решите ее купить, ваши ученики смогут продолжить, не упустив ни одной детали.
Истории успеха в математике
Прочтите информативные статьи из нашей библиотеки, в том числе образовательные теории о том, почему First In Math работает,
тематические исследования,
Истории успеха,
свидетельства, и
Результаты.
Посмотреть видео
Оцените силу First In Math! В этом четырехминутном видеоролике показано, насколько увлекательными являются игры FIM как для учащихся, так и для преподавателей.
- Показать пароль
Доступ к учетной записи преподавателя
ИЛИ
ИЛИ
Почему бы тебе сегодня не попробовать игру lorem ipsum?
Первая онлайн-практика по математике по математике
С момента закрытия школ учащиеся решили 3 737 791 727 задач.
28,9Решено 03 061 856 математических задач — и их число продолжает расти!
«Я был по-настоящему поражен интересом и решимостью, проявленными в моих учениках First in Math, с мотивацией не было проблем! Они не только изучили математику и улучшили свою способность концентрироваться, они также узнали о важности постановки и достижения ежедневных целей. долгосрочные цели, чтобы в конечном итоге достичь того, что вначале было только мечтами».
Джоэл Стоктон — учитель 5-го класса, начальная школа Кавасос, La Joya ISD, TX ПОДРОБНЕЕ
First In Math охватывает всех учащихся K-8, от интерактивных до одаренных, а также всех демографических групп, что делает его бесценным
дополнение к любой учебной программе.
УЗНАТЬ БОЛЬШЕ >>
Более 200 заданий для самостоятельного обучения предлагают немедленную обратную связь, чтобы помочь учащимся овладеть процедурными навыками и помочь
педагоги оценивают, где необходимо вмешательство.
УЗНАТЬ БОЛЬШЕ >
«Учеба First In Math очень ценна. Она дает детям, которым нужна небольшая дополнительная помощь, возможность поработать над своими навыками, а также позволяет детям, которые преуспевают, выйти за рамки того, чему учат в классе.»
Доктор Франк Фишель — Директор начальной школы Маунтин-Вью, Фландрия, Нью-Джерси
Постановка и достижение целей, а также постоянные возможности для признания дают учащимся энергию для поддержания ускоренных усилий с течением времени.
УЗНАТЬ БОЛЬШЕ >>
Первая демонстрация математики
Учителя, запишитесь на один класс бесплатно! Если вам нравится программа First In Math и вы решите ее купить, ваши ученики смогут продолжить, не упустив ни одной детали.
Истории успеха в математике
Прочтите информативные статьи из нашей библиотеки, в том числе образовательные теории о том, почему First In Math работает,
тематические исследования,
Истории успеха,
свидетельства, и
Результаты.