Матрицы и определители примеры и решения: Определитель матрицы — порядок вычисления определителя матрицы, примеры и решения

Матрицы и детерминанты имеют множество применений в научной сфере и применимы к практическим задачам реальной жизни. В основном они используются в области науки и техники.

Применение матриц и детерминантов следующим образом:

1. Решающая система линейных уравнений
2. Консистенция системы
3. Решающий линейный уравнение
. параллелепипеда

Решение системы линейных уравнений можно найти с помощью обратной матрицы. Пусть уравнения:

\(a_1x + b_1y + c_1z = d_1\)

\(a_2x r+ b_2y + c_2z = d_2\)

\(a_3x + b_3y + c_3z = d_3\)

Эти уравнения могут быть представлены с помощью матрицы как следует

\(\begin{bmatrix} a_{1}x +b_{1}y+c_{1}z\\ a_{2}x +b_{2}y+c_{2}z \\ a_{ 3}x +b_{3}y+c_{3}z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} d_{1}\\ d_{2}\\ d_{3} \end{bmatrix}\)

Кроме того, это можно записать как

\(\begin{bmatrix} a_{1} & b_{1} &c_{1} \\ a_{2}& b_{2} & c_{2}\\ a_{ 3} & b_{3} & c_{3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y\\ z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} d_{1} \\ d_{2} \\ d_{3} \end{bmatrix}\)

Далее эту систему можно записать как

AX = B

где матрица A содержит коэффициенты неизвестных переменных.

\(A = \begin{bmatrix} a_{1} & b_{1} &c_{1} \\ a_{2}& b_{2} & c_{2}\\ a_{3} & b_{3 } & c_{3} \end{bmatrix}\)

Матрица X — это матрица-столбец, содержащая неизвестные переменные.

\(X = \begin{bmatrix}x\\y\\z \end{bmatrix}\)

Матрица B также является матрицей-столбцом и содержит константы. 9{-1}\) не существует. В этом случае |А| = 0, поэтому вам придется вычислить (adj A)B.

1. Если (прил А)В ≠ О, то для системы линейных уравнений не существует, и эта система будет несовместной.
2. Если (adj A)B = O, то система линейных уравнений будет иметь либо нулевое решение, либо бесконечно много решений, поэтому система может быть несовместной, если она не имеет никакого решения, или, может быть, непротиворечивой, если у нее бесконечно много решений решения.

В зависимости от количества решений система уравнений называется непротиворечивой или непротиворечивой.

1. Непротиворечивая система. Система уравнений считается непротиворечивой, если она имеет решение.
2. Несовместимая система: Система уравнений считается несовместимой, если она не имеет решения.

Как проверить непротиворечивость уравнений

Чтобы проверить непротиворечивость уравнений, выполните следующие действия:

Шаг 1: Запишите данную систему уравнений в виде матричного уравнения AX = B

Шаг 2: Найдите расширенную матрицу [A, B] системы уравнений.

Шаг 3: Найдите ранг A и ранг [A, B], применяя только элементарные операции со строками. Операции со столбцами применять не следует.

Шаг 4: Если в системе уравнений n неизвестных и ρ(A) = ρ([A|B]) = n, то система AX = B совместна и имеет единственное решение. Если в системе AX = B ρ(A) = ρ([A| B]) < n неизвестных n, то система совместна и имеет бесконечно много решений и этих решений. Если ρ(A) ≠ ρ([A| B]), то система AX = B несовместна и не имеет решений.

Детерминанты можно использовать для быстрого решения линейных уравнений с одной переменной, линейных уравнений с двумя переменными, когда переменных больше двух. Важно понимать свойства определителей. Выше мы видели, как можно использовать матрицы для решения системы линейных уравнений. Мы можем распространить описанный выше метод на системы любого размера. Мы не можем использовать тот же метод для нахождения обратных матриц больше 2×2. Мы будем использовать систему компьютерной алгебры, чтобы найти инверсию больше 2 × 2.

Давайте рассмотрим пример линейного уравнения с тремя переменными.

Решите систему с помощью матричных методов.

\(\begin{matrix}
\displaystyle{\left.\begin{matrix}{x}+{2}{y}-{z}={6}\\{3}{x}+{5 }{y}-{z}={2}\\-{2}{x}-{y}-{2}{z}={4}\end{matrix}\right.}\\
{\ displaystyle{A}{\left(\begin{matrix}1 & 2 & -1\\3 & 5 & -1\\-2 & -1 & -2\end{matrix}\right)}, \displaystyle{ X} = {\ left (\ begin {matrix} {x} \\ {y} \\ {z} \ end {matrix} \ right)}, \ text {and} \ displaystyle {C} = {\ left ( \begin{matrix}{6}\\{2}\\{4}\end{matrix}\right)}}\\ 9{-{{1}}}{C}}\\
={\left(\begin{matrix}5,5 & -2,5 & -1,5\\-4 & 2 & 1\\-3,5 & -1,5 & -0,5 \end{matrix}\right)}{\left(\begin{matrix}{6}\\{2}\\{4}\end{matrix}\right)}\\
={\left(\begin {matrix}{22}\\{-16}\\{-16}\end{matrix}\right)}\\
\text{ Итак, решение } \displaystyle{x}={22}, \displaystyle {y}=-{16}\text{ и }\displaystyle{z}=-{16}.
\end{matrix}\)

Предположим, нам нужно найти уравнение прямой, проходящей через две точки \( (x_1, y_1)\) и \( ( х_2, у_2)\)
Пусть (x, y) любая точка на прямой.
Мы видим, что (x, y), \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) находятся на одной строке.
Значит, площадь треугольника, образованного этими тремя точками, равна нулю.

\(\begin{bmatrix}
x & y & 1\\
x_1 & y_1 & 1\\
x_2 & y_2 & 1
\end{bmatrix} = 0\)

Пример: Найти уравнение прямой, проходящей через (-1, 3), (3, -5) с помощью определителей .

Решение:  Мы знаем формулу

\(\begin{bmatrix}
x & y & 1\\
x_1 & y_1 & 1\\
x_2 & y_2 & 1
\end{bmatrix} = 0\)
Подстановка значений двух точек.

\(\begin{bmatrix}
x & y & 1\\
-1 & 3 & 1\\
3 & -5 & 1
\end{bmatrix}=0\)
x(3 x 1 – (-5) x 1) – y((-1) x 1 – 3 x 1) + ((-1) x (-5) – 3 x 3) = 0
x(3 + 5) – y(- 1 – 3) + (5 – 9) = 0
8x + 4y – 4 = 0
4 (2x + y – 1) = 0
2x + y – 1 = 0

Итак, уравнение прямой 2x + y – 1 = 0

Площадь параллелограмма, натянутого на a и b, равна величине a×b. Мы можем написать векторное произведение \(\vec{a} =a_1\hat{i}+a_2\hat{j}+a_3\hat{k}\) и \(\vec{b} =b_1\hat{ i}+b_2\hat{j}+b_3\hat{k}\) в качестве определителя.

\(a\times{b}=\begin{bmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\
a_1 & a_2 & a_3\\
b_1 & b_2 & b_3
\end{bmatrix}\)

Теперь представьте, что a и b лежат в плоскости так, что \(a_3 = b_3 = 0.\) Используя правила вычисления определителей, мы видим, что в этом случае векторное произведение упрощается до

\( a\times{b}=\begin{bmatrix}
a_1 & a_2\\
b_1 & y_2
\end{bmatrix}\)

Следовательно, площадь параллелограмма ∥a×b∥ является абсолютной величиной определителя

\(\begin{bmatrix}
a_1 & a_2\\
b_1 & y_2
\end{bmatrix}\)

Предположим, что \((x_1, y_1), (x_2, y_2 )\) и \(( x_3, y_3 )\) — три точки треугольника. Теперь площадь треугольника будет равна:
\(A = ½ [x_1 ( y_2 – y_3 ) + x_2 ( y_3 – y_1 ) + x_3 ( y_1 – y_2 ) ]\)

Чтобы найти площадь треугольник в детерминантной форме, мы используем формулу, приведенную ниже:

\(A={1\over{2}}\begin{bmatrix}
x_1 & y_1 & 1\\
x_2 & y_2 & 1\\
x_3 & у_3 & 1
\end{bmatrix}\)

Объем параллелепипеда, натянутого на векторы aa, bb и cc, представляет собой абсолютную величину скалярного тройного произведения (a×b)⋅ в. Мы можем написать скалярное тройное произведение \(\vec{a} =a_1\hat{i}+a_2\hat{j}+a_3\hat{k}\)
\(\vec{b} = b_1\hat {i}+b_2\шляпа{j}+b_3\шляпа{k}\) и \(\vec{c} =c_1\шляпа{i}+c_2\шляпа{j}+c_3\шляпа{k}\) как определитель

\((a\times{b}).c=\begin{bmatrix}
c_1 & c_2 & c_3\\
a_1 & a_2 & a_3\\
b_1 & b_2 & b_3
\end{bmatrix}\)

Пример 1: Проверка на непротиворечивость и решение: x + 2y + z = 7, 2x – y + 2z = 4, x + y – 2z = -1

Число ненулевых строк равно 3.

ρ(A) = ρ([A|B ]) = 3. Система совместна и имеет единственное решение.

С 1-го ряда,

х+2у+г = 7 —(1)

Со 2-го ряда,

5у = ​​10 —-(2)

у = 2

С 3-го ряда,

-15з = -30 —-(3)

з = 2

8 Прикладывая значение y и z в (1), получаем

x+2(2)+2 = 7

x+6 = 7

x = 7-6

x = 1

Решение: x = 1, y = 2 и z = 2

• Детерминанты в бизнес-приложениях возникли с древних времен и определяют системы решения проблем, а также вычитание из Интернета, которое он использует.
• Были разные страны о новом обучении математике и предприятиях, которые применимы, чтобы знать, что клиенты хотят кодировать на сервере.
• Предназначенные для бизнес-приложений матрицы отправляют запросы, чтобы определить, будут ли включены компетенции, выполняя форму поиска, чтобы сделать ее положительной.
• Матрица Правило Крамера и определители являются простыми и важными инструментами для решения многих задач в бизнесе и экономике, связанных с максимизацией прибыли и минимизацией убытков. Матрицы используются для нахождения дисперсии и ковариации.
• Матрица Правило Крамера используется для нахождения решений линейных уравнений с помощью определителей матриц.
• Равновесие рынков в модели IS-LM решается с помощью определителей и матрицы.
• Применение линейного преобразования; Модель непрерывной вероятности применима для определения того, не проектируется ли детерминант в первую очередь, не создается или не производится.

Матрицы находят множество применений в научной сфере и применимы к практическим задачам реальной жизни.

• Матрицы могут быть решены в приложениях, связанных с физикой, и могут применяться при изучении электрических цепей, квантовой механики и оптики с помощью матриц, расчета выходной мощности батареи и преобразования электрической энергии резистора в другую полезную энергию, эти матрицы играют роль в расчетах, с помощью матриц можно легко решить задачу, связанную с законом Кирхгофа о напряжении и токе.
• Матрицы могут играть жизненно важную роль в проецировании трехмерных изображений на двумерные экраны, создавая реалистичное определяющее движение.
• Теперь матрицы дня используются при ранжировании веб-страниц в поиске Google.
• Его также можно использовать для обобщения аналитического движения, такого как экспериментальное и производное, на их многомерность.
• Матрицы также используются в геологии для сейсморазведки, а также для построения графиков.
• Матрицы, используемые в статистике, играют жизненно важную роль в научных исследованиях.
• Матрицы также используются в робототехнике и автоматизации в качестве базовых элементов для движений роботов.
• Движения роботов запрограммированы с расчетом матриц «строка и столбец». Управление матрицами осуществляется путем расчета матриц.

• Наиболее важные области применения матриц в компьютерных приложениях — шифрование кодов сообщений только с помощью шифрования, внутренняя функция работает и даже могла бы работать при передаче конфиденциальные и личные данные.
• Во многих ситуациях программирования было бы удобно скрыть значение кода или значение определенных переменных. Это может быть достигнуто с помощью преобразований программы, которые сгруппированы под термином обфускация, выполняемая с использованием матрицы.
• Умножение матриц — это процесс решения линейных уравнений для заданного набора переменных. Именно потому, что матрицы так распространены в компьютерных науках, они позволяют компьютерам заранее выполнять большую часть вычислительной работы, что является одной из причин, по которой они так распространены.
• Компьютерная графика обычно используется с матрицами. Примерами матричных операций являются переводы, повороты и масштабирование. В дополнение к матричному преобразованию другие концепции матричного преобразования включают поле зрения, визуализацию, преобразование цвета и проекцию. Чтобы программировать 3D видеоигры, необходимо знать матрицы.

• В физике оптики матрицы используются для определения отражения и преломления. Помимо использования в электрических цепях, матрицы также полезны в квантовой механике и преобразовании резисторов. В электрических цепях матрицы используются для решения уравнений сети переменного тока.
• Измерение объемов в общем смысле в качестве меры (например, в формулировке интеграла по путям во многих случаях результат выражается в виде определителя обычно бесконечномерной матрицы)
• Детерминанты полезны при оценке векторных произведений и векторные операции, такие как curl.
• Матрицы могут использоваться во многих областях кинематики. Квантовая механика также сильно зависит от матричной алгебры и тензоров для компактного выражения своих уравнений. нотация Бра и Кет в квантовой механике широко использует матрицы и матричные операции.
• Матрицы применяются при изучении квантовой механики, электрических цепей и оптики. Это помогает в расчете заряда батареи.
• Матричные методы необходимы в любом курсе квантовой физики, как для формулировки, так и для решения задач.

• Детерминанты могут проявляться в любой области, которая может решить проблемы с (а) большим количеством переменных, которые (б) взаимодействуют значимым образом. Это практически вся наука, инженерия, большие данные, анализ данных, бизнес-расчеты и так далее. Не всем, кто работает над этими вещами, нужны детерминанты, но многие люди во всех этих областях определенно использовали детерминанты.
• Они используются для построения графиков, статистики, а также для проведения научных исследований и исследований практически в различных областях.
• Мы видим результаты матричной математики в каждом созданном компьютером изображении с эффектами отражения или искажения, такими как свет, проходящий через водную рябь.
  Компьютеры запускают марковское моделирование на основе стохастических матриц, чтобы моделировать события, начиная от азартных игр и прогнозирования погоды и заканчивая квантовой механикой.
• Область вероятности и статистики может использовать матричные представления. Вектор вероятности перечисляет вероятности различных исходов одного испытания. Стохастическая матрица — это квадратная матрица, строки которой являются векторами вероятностей.

Надеюсь, эта статья о применении матриц и определителей была информативной. Попрактикуйтесь в том же в нашем бесплатном приложении Testbook. Скачать сейчас!

В. 1 Каковы применения матриц и определителей?

Ответ 1 Применение матриц и определителей следующее:

1. Решение системы линейных уравнений
2. Непротиворечивость системы
3. Решение линейных уравнений
4. Общее уравнение прямой
5. Площадь параллелограмма
6. Площадь треугольника
7. Объем параллелепипеда

Q.2 В чем разница между матрицей и определителями?

Ответ 2 A Матрицы — это двумерное расположение чисел в строках и столбцах, заключенное в пару квадратных скобок, или, можно сказать, матрицы — это не что иное, как прямоугольное расположение чисел, выражений, символов, которые расположены в столбцах и строках. В математике определитель — это скалярное значение, являющееся функцией элементов квадратной матрицы. Это позволяет охарактеризовать некоторые свойства матрицы и линейного отображения, представляемого матрицей.

Q.3 Каково применение определителей?

Ответ 3 Детерминанты используются при решении линейных уравнений, непротиворечивости системы, объеме параллелепипеда, площади треугольника, применении определителей в бизнесе, технике, информатике, физике и применении определителей в реальных life

Q.4 Какие области применения матриц?

Ответ 4 Детерминанты могут проявляться в любой области, которая может решить проблемы с (а) множеством переменных, которые (б) взаимодействуют значимо. Это практически вся наука, инженерия, большие данные, анализ данных, бизнес-расчеты и так далее. Не всем, кто работает над этими вещами, нужны детерминанты, но многие люди во всех этих областях определенно использовали детерминанты.

Q.5 Каково применение матриц в технике?

Ans.5 Матрицы могут быть решены в приложениях, связанных с физикой, а также при изучении электрических цепей, квантовой механике и оптике, с помощью матриц, расчете выходной мощности батареи, преобразовании электрической энергии резистором в другую полезной энергии, эти матрицы играют роль в расчетах, с помощью матриц проблема, связанная с законом Кирхгофа напряжения и силы тока, может быть легко решена.