Векторная алгебра
Рейтинг: 4 / 5
Теорема (правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида
$\frac{0}{0}$ или $\frac{\infty}{\infty}$).
Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ :
а) дифференцируемы в окрестности точки $a,$ за исключением, быть
может, самой точки $a,$ причем $g'(x)\neq 0$ в этой окрестности;
б) функции $f(x)$ и $g(x)$ являются одновременно либо бесконечно
малыми либо бесконечно большими при $x\rightarrow a;$
в) существует конечный $\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.$
Тогда существует $\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}$ и
выполняется равенство $\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.$
Если функции $f(x)$ и $g(x)$ дифференцируемы в точке $a,$
$g(a)=f(a)=0,$ $ g'(a)\neq ,0$ то $\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}.$
Примеры:
1. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^5-1}{2x^3-x-1}$
Имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}.
3}=\frac{1}{3}$ (см. пример 4), то искомый предел равен $2/3.$
Решение высшей математики онлайн
‹— Назад
Рассмотрим линейное пространство и преобразование этого пространства, то есть закон, по которому каждому вектору из соответствует вектор из того же пространства. Вектор называется образом вектора и обозначается , а вектор называется прообразом вектора .
Определение 19.1 Преобразование линейного пространства называется линейным, если для любых векторов и и любого числа выполнены равенства
| (19.1) |
то есть образ суммы векторов равен сумме образов слагаемых, образ вектора, умноженного на число, равен произведению этого числа на образ вектора.
Замечание 19.1 В этой главе с каждым линейным преобразованием будет связана матрица, которую мы будем обозначать той же буквой, что и само преобразование. Чтобы их различать, мы для букв, обозначающих преобразование, будем использовать так называемый «каллиграфический» шрифт.
Линейное преобразование пространства называют также линейным отображением из в или линейным оператором из в .
Исходя из равенств (19.1) легко проверить, что
то есть образ линейной комбинации векторов равен линейной комбинации их образов.
Рассмотрим несколько примеров линейных преобразований.
Пример 19.1 Пусть — двумерное векторное пространство, то есть множество векторов плоскости. Пусть . Это преобразование действует так: каждый вектор оно переводит в вектор такого же направления, но в два раза большей длины. Если считать, что все векторы имеют начало в начале координат, то преобразование можно представить как растяжение плоскости в два раза (рис.
19.1).
Рис.19.1.Преобразование растяжения
Проверим выполнение равенств (19.1)
Равенства (19.1) выполнены, следовательно, преобразование является линейным.
Пример 19.2 Пусть — двумерное векторное пространство, — поворот вектора по часовой стрелке на угол (рис. 19.2).
Рис.19.2.Преобразование поворота
Покажем, что это — линейное преобразование.
Пусть и — два вектора. Тогда — это диагональ параллелограмма со стронами , (рис. 19.3).
Рис.19.3.Образ суммы векторов
Если параллелограмм повернуть как единое целое на угол , то его стороны станут векторами и , диагональ будет вектором . С другой стороны, диагональ тоже повернулась на угол и поэтому является вектором .
Следовательно, , первое из условий (19.1) выполнено.
Пусть — число. Из рисунка 19.4 очевидно, что .
Рис.19.4.Образ вектора, умноженного на число
Следовательно, преобразование — линейное.
Упражнение19.1.1. Пусть — двумерное векторное пространство, — некоторая прямая, проходящая через начало координат, — преобразование, переводящее каждый вектор в вектор симметричный исходному относительно прямой (рис. 19.5). Другими словами, является зеркальным отражением вектора в прямой .
Рис.19.5.Преобразование отражения
Докажите, что является линейным преобразованием.
Упражнение19.1.2. Пусть — двумерное векторное пространство, — некоторая прямая, проходящая через начало координат, — преобразование, переводящее каждый вектор в его проекцию на прямую (рис.
19.6).
Рис.19.6.Преобразование проектирования
Докажите, что является линейным преобразованием.
Пример 19.3 Пусть — пространство всех многочленов, — преобразование, которое переводит вектор из , то есть многочлен, в производную этого многочлена, которая естественно является многочленом, то есть вектором из . Пусть , то есть . Тогда
Например, если , то . Покажем, что преобразование является линейным.
Пусть , — число. Тогда в силу свойства линейности производной получим
Аналогично,
Следовательно, — линейное преобразование.
Пример 19.4 Пусть — -мерное линейное пространство, Выберем в этом пространстве базис .
Тогда у любого вектора есть его координатный столбец . Пусть — квадратная матрица порядка . Определим преобразование следующим образом: является вектором, координатный столбец которого равен (справа стоит произведение матрицы на столбец ). Покажем, что преобразование — линейное.
Пусть и имеют координатные столбцы и соответственно, а их образы и — координатные столбцы , и . Тогда
Но выражение в последнем равенстве справа является координатным столбцом образа суммы векторов . Следовательно, .
Пусть — произвольное число. Тогда координатный столбец вектора равен , координатный столбец образа вектора
то есть равен числу , умноженному на координатный столбец образа вектора .
Поэтому . Тем самым мы доказали, что преобразование является линейным.
Очевидно, что примерами линейных преобразований могут служить тождественное преобразование, то есть преобразование, переводящее каждый вектор в себя, , и нулевое преобразование, переводящее каждый вектор в нуль, .
Легко проверяется, что для любого линейного преобразования образ нуля равен нулю, . Действительно, в силу второго из равенств (19.1)
Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции
Как работать с векторами для выпускных экзаменов по математике (высший уровень)
В этом посте мы рассмотрим, как вы справляетесь с более сложными вопросами, с которыми вы столкнетесь по теме векторов для выпускных экзаменов по математике на более высоком уровне.
Если вы еще не прочитали пост о векторах для выпускных экзаменов по математике на уровне Foundation, я рекомендую вам взглянуть на него, чтобы убедиться, что вы понимаете основы, прежде чем приступить к этому.
На более высоком уровне предполагается, что вы будете использовать свои знания Фонда для решения задач и создания геометрических аргументов и доказательств. В этом типе вопросов обычно нет сетки, поэтому вы не можете выразить векторы в форме вектора-столбца.
Пример 1: Достаточно простое доказательство
OAB (ниже) представляет собой разносторонний треугольник, где = a и = b .
M и N — середины OA и OB соответственно.
Показать, что параллельно .
Чтобы показать, что два вектора параллельны, нам нужно показать, что один из них скалярно кратен другому. Поскольку у нас нет сетки, мы не можем сделать это с векторами-столбцами, поэтому нам нужно использовать выражения в терминах , и 9.
Только 0009 b .
Мы знаем, что путь из A в B можно выразить как
+
или – a + b
или b – a
Итак, мы надеемся, что получится кратное ( б – а ).
Можете ли вы выразить через a и b ?
Ответ: Поскольку M находится на полпути,
= a
И аналогично, поскольку N находится на полпути ,
= b
Чтобы добраться от M до N, мы идем вперед и назад вдоль ,
т.е. б – а )
Так = ;
является скалярным числом, кратным , поэтому два вектора параллельны.
[ Помните, что вопросы «Покажи это» или «Докажи, что» ВСЕГДА должны заканчиваться утверждением, повторяющим вопрос! ]
Ваш ход
PQRS — это параллелограмм, где = a и диагональ = 2 b .
T — это середина PQ, а U — это середина SQ.
Докажите, что = .
Проверьте свой ответ здесь.
Пример 2. Решение задачи на отношение
В том же треугольнике OAB, который мы использовали в примере 1, точка P делит AB так, что AP : PB = 3 : 1. Выразите вектор через a и b.
Если отношение АР : РВ равно 3 : 1, то Р должен находиться на пути от А к В.
Так =
и = .
И, конечно, мы уже выяснили, что = b – a
Если отношение AP : PB равно 3 : 1, то P должно быть на пути от A к B.
Итак = ( b – a )
и = ( b – a ).
Чтобы попасть из O в P, мы можем выбрать путь через A или B.A + B — A
= A + B
через B:
= +
= B + — ( B — A )
= + B .
– b + a
= a + b
Ваш ход
Используемый ранее параллелограмм показан ниже.
PS был расширен таким образом, что теперь S является средней точкой PV.
Точка W делит QR в отношении 1 : 2.
Выразите вектор через a и b .
Проверьте свой ответ здесь.
Пример 3: Эти два вектора параллельны?
Снова взглянув на треугольник OAB, используйте векторы, чтобы установить, параллелен ли он .
Сначала попробуйте сами: Выразите через a и b . Какой вывод вы можете сделать?
Решение: Мы знаем, что = a и что a и b не параллельны друг другу (иначе у нас не было бы треугольника!),
поэтому, чтобы быть параллельным , он должен быть кратным только , без элемента б .
Из более раннего, = ( B — A )
и = B
SO = +
= B — ( B — A )
= B —10 + )
= B — B AS через
= через + b
Поскольку это включает элемент b , оно не является скалярным множителем и поэтому не может быть параллельным .
Вы также можете использовать этот подход, чтобы показать, что три точки (или два вектора) лежат на одной прямой:
Если два вектора параллельны и имеют общую точку, то они оба должны быть частью одной прямой. .
Образец экзаменационного вопроса
Этот вопрос взят из образца экзамена AQA GCSE.
В треугольнике ABC
M — середина AC
N — точка на BC, где BN : NC = 2 : 3
= 2 a
= 3 b
(a) Работа в термины a и b , давая ваш ответ в его простейшей форме.
(b) Используйте свой ответ на часть (a), чтобы объяснить, почему MN не параллелен AB.
Проверьте свои ответы здесь.
Включает более высокий курс по векторам для выпускных экзаменов по математике; если вам удалось разобраться с этими примерами и вопросами, то вы должны быть в состоянии справиться с любым вопросом Vectors, который задает вам экзаменационная комиссия!
Если вы нашли это полезным, поделитесь им с кем-нибудь еще, кому, по вашему мнению, будет полезно (используйте кнопки социальных сетей, если хотите). Если у вас есть какие-либо предложения по улучшению или другие темы, которые вы хотели бы осветить, оставьте комментарий ниже или напишите мне, используя мою контактную форму.
На другом моем сайте mathscourses.co.uk у меня есть отличные курсы, охватывающие всю спецификацию Foundation GCSE, а также курс «Flying Start to A-level Maths», который поможет вам убедиться, что вы готовы к начать курс A-level, а заодно поможет получить высшие оценки на GCSE.
Если вы хотите быть в курсе моих новых материалов, подпишитесь на мою рассылку, используя форму внизу этой страницы, которая также даст вам доступ к моей коллекции бесплатных загрузок.
Answers
Proof question
= +
= a – 2 b
= a
and, since the shape is a parallelogram, = = a
so = a
Так = + +
= a – 2 b + a
= a – 2 b
Итак = = a – 2 b0.
Назад к вопросу
Решение задачи с отношением
Мы уже знаем, что = a – 2 b
и поэтому также должно быть a – 2 b -9 0 равно
также совпадает с , т.е. a – 2 b еще раз.
Так как отношение QW : WR равно 1 : 2, W находится на пути вдоль QR
so = ( a – 2 b ).
SO Vector = + +
= (2 B — A ) + 2 B + ( A — 2 B )
= 2 B + 2 B — B – a + a
= 3 b – a
или b – a
Назад к вопросу
Экзаменационный вопрос
(a) Чтобы добраться из M в N, мы можем выбрать один из двух маршрутов:
(1) M в A в B в N
(2) M в C в N ( возможно, немного проще)
Вариант (1): + +
= – = – (2 a ) = – a
Чтобы найти выражение для , нам нужно найти выражение для .
Поскольку BC делится в соотношении BN : NC = 2 : 3, =
, поэтому нам нужно выражение для первого:
Чтобы получить из B в C это + , что равно -3 B + 2 A , или 2 A — 3 B
SO = (2 A — 3 B ) = A — B
и = +
= 3 B. + A — B
= A + B
SO = +
= — A + A + B
= — A + B
= — A + B
или — A + B
или A + B или
= (9 б – а ).
Опция (2): +
= = (2 A ) = A
= — 2A + 3B = 3B — 2A
= = (3 B — 2 A )
= B — A
= +
= a + b – a
= b – a
или (9 b – a ).
(b) не является скалярным кратным ( , так как = 3 b и содержит оба числа a s и b s, d нет ни одного числа, на которое можно умножить 3 b , чтобы получить что-то с a s и b s в нем ), поэтому два вектора не могут быть параллельным.
Вернуться к вопросу
Пожалуйста, поделитесь этим, если вы считаете это полезным!
Векторов Вопросы | Рабочие листы и редакция
Уровень 6-7GCSEУровень 8-9AQAEdexcelOCR
Уровень 6-7GCSE
Сложение и вычитание векторовКогда мы складываем векторов:
\textcolor{red}{\mathbf{a}+\mathbf{b}}
это приведет вас к началу \mathbf{a} до конца \mathbf{b} (справа).
отрицательное вектора имеет ту же величину, что и исходный вектор, только идет в противоположном направлении.
Когда мы вычтем векторов:
\textcolor{limegreen}{\mathbf{a}-\mathbf{b}},
мы прибавляем к минусу вычитаемого вектора.
Уровень 6-7GCSE
Умножение векторовУмножение векторов на скаляр — Мы можем умножить вектор на число. Например, мы можем умножить \mathbf{a} на 3:
3\mathbf{\textcolor{red}{a}}=\mathbf{\textcolor{red}{a}}+\mathbf{\textcolor{red }{a}}+\mathbf{\textcolor{red}{a}}
Это означает, что векторы добавляются встык.
Мы можем перемножать более сложные векторы
3\mathbf{(\textcolor{red}{a}+\textcolor{blue}{b})}=\mathbf{3\textcolor{red}{a}}+ \mathbf{3\textcolor{blue}{b}}
Примечание: все векторы здесь выделены жирным шрифтом.
Когда вы пишете это от руки, вы должны подчеркивать каждую букву, обозначающую вектор.
Скалярные кратные – все скалярные кратные параллельны друг другу:
\mathbf{3\textcolor{red}{a}}+\mathbf{3\textcolor{blue}{b}} параллельно \mathbf {\ textcolor {красный} {a}} + \ mathbf {\ textcolor {синий} {b}}
Уровень 6-7GCSE
Обозначение вектораВектор из точки X в точку Y будет показан как \overrightarrow{XY}.
Таким образом, из приведенной диаграммы видно, что: }
Если мы пойдем против стрелки, вектор станет отрицательным.
\overrightarrow{YX} = \mathbf{-a}
Мы также можем комбинировать векторы, что означает
\overrightarrow{XZ} = \mathbf{a + b} = \mathbf{-c}
Уровень 6-7GCSE
Уровень 6-7GCSE
Пример: векторы и отношенияНа приведенной ниже диаграмме у нас есть векторы
\overrightarrow{AB}=3\mathbf{a} и \overrightarrow{AC}=4\mathbf{b} .
Точка D лежит на прямой BC так, что BD:DC=1:3.
Запишите вектор \overrightarrow{AD} через \mathbf{a} и \mathbf{b}.
[3 балла]
Чтобы найти \overrightarrow{AD}, мы собираемся сложить векторы
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}
Мы знаем, что \overrightarrow{AB}=3\mathbf{a}, но нам нужно чтобы найти \overrightarrow{BD}
Мы знаем, что BD:DC=1:3, поэтому точка D находится на \dfrac{1}{4} на пути \overrightarrow{BC}
\overrightarrow{BC}=- \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=-3\mathbf{a}+4\mathbf{b}
Теперь нам нужно умножить это на \dfrac{1}{4}
\overrightarrow{BD} =\dfrac{1}{4}(3\mathbf{a}+4\mathbf{b})=-\dfrac{3}{4}\mathbf{a}+\mathbf{b}
Теперь нам нужно добавить \overrightarrow{AB} к ответу:
\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=3\mathbf{a}+\left(-\dfrac{ 3}{4}\mathbf{a}+\mathbf{b}\right)=\dfrac{9}{4}\mathbf{a}+\mathbf{b}
Таким образом, мы получили ответ в терминах \mathbf{a} и \mathbf{b}.
Уровень 8-9GCSE
Примеры вопросов
Сначала мы можем найти вектор \overrightarrow{AC}
\overrightarrow{AC} =\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC} =3\mathbf{a} +2\mathbf{b }
Поскольку M является серединой AC, мы знаем, что \overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}
\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2 }(3\mathbf{a} +2\mathbf{b}) = \dfrac{3}{2}\mathbf{a} +\mathbf{b}
Вектор \overrightarrow{EF} такой же, как:
\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CF}
Во-первых, мы можем найти вектор \overrightarrow{ED} как \dfrac{1}{2}\mathbf{b} .
Тогда мы также знаем \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}, следовательно, \overrightarrow{DC}=2\mathbf{a} .
Последний участок \overrightarrow{CF} = \dfrac{3}{5}\times 2\mathbf{a}=\dfrac{6}{5}\mathbf{a}
Следовательно,
\overrightarrow{EF}= \dfrac{1}{2} \mathbf{b}+2\mathbf{a}+\dfrac{6}{5}\mathbf{a}=3.
2\mathbf{a} + \dfrac{1}{2} \mathbf{b}
Сначала мы можем найти вектор \overrightarrow{BC}
\overrightarrow{BC} =-\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AC} =-\mathbf{a} +2\mathbf{b}
Тогда мы можем найти:
\overrightarrow {BD} =\dfrac{3}{5}\overrightarrow{BC} =-\dfrac{3}{5}\mathbf{a} +\dfrac{6}{5}\mathbf{b}
Далее:
\begin{aligned} \overrightarrow{AD} &=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD} \\ &=\mathbf{a} +\bigg(-\dfrac{3}{5 }\mathbf{a} +\dfrac{6}{5}\mathbf{b}\bigg) \\ & =\dfrac{2}{5}\mathbf{a}+\dfrac{6}{5}\ mathbf{b} \end{aligned}
Наконец:
\begin{aligned} \overrightarrow{AE} &=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD} \\ &=\dfrac{1}{3}\bigg( \dfrac{2}{5}\mathbf{a}+\dfrac{6}{5}\mathbf{b}\bigg) \\ &= \dfrac{2}{15}\mathbf{a}+\dfrac {2}{5}\mathbf{b} \end{выровнено}
Мы найдем \overrightarrow{AC},
\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}
Таким образом,
\overrightarrow{AC} =\mathbf{b}-\mathbf{a}+\mathbf{b}= 2\mathbf{b}-\mathbf{a}
Мы найдем \overrightarrow{EB}, выполнив
\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}
Первый вектор прост, потому что мы знаем \overrightarrow{AE} , а это точно такой же вектор в обратном направлении.
\overrightarrow{EA}=-\overrightarrow{AE}=-(3\mathbf{a}-2\mathbf{b})=-3\mathbf{a}+2\mathbf {б}
Теперь нам нужна \overrightarrow{AB}. Поскольку B является серединой AC (указано в вопросе), мы должны иметь \overrightarrow{AB}=\frac{1}{2} \overrightarrow{AC}. Следовательно, глядя на диаграмму, получаем, что:
\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AD }+\overrightarrow{DC}\right)
Нам дана вторая часть этого, \overrightarrow{DC}=2\mathbf{a}+4\mathbf{b}, и поскольку E является средней точкой AD, мы также можем решить первую часть:
\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AE}=2(3\mathbf{a}-2\mathbf{b})=6\mathbf{a}-4\mathbf{b}
Теперь у нас есть все необходимое, и мы можем вернуться к нашей работе, заполняя найденные пробелы:
\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\left(6\mathbf{a} -4\mathbf{b}+2\mathbf{a} +4\mathbf{b}\right)=\dfrac{1}{2}\left(8\mathbf{a}\right)=4\mathbf{ a}
В итоге имеем:
\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}=-3\mathbf{a}+2\mathbf{b}+4\ mathbf{а}=\mathbf{а}+2\mathbf{b}
Если \overrightarrow{EB} и \overrightarrow{DC} параллельны, то одно должно быть кратно другому.