Правила умножения числа на ноль
Всем нам в школе учителя прочно вбили в голову простейшее правило: «Любое число, умноженное на ноль, равняется нулю!». И все мы хорошо его запомнили и применяем в жизни, не задаваясь вопросом: «Почему?». Но вот мы выросли, у нас появились дети, и пришло время объяснять им те самые простейшие правила так, чтобы было понятно и запомнилось навсегда. Как это сделать? Какие слова подобрать? Будем разбираться.
Содержание:
Правила умножения любого числа на ноль
Что такое ноль
Из истории
Какие действия в математике можно выполнять с нулём
Умножение на ноль, правило математики
Деление на ноль, правило математики
Подведём итоги
Всем нам в школе учителя прочно вбили в голову простейшее правило: «Любое число, умноженное на ноль, равняется нулю!». И все мы хорошо его запомнили и применяем в жизни, не задаваясь вопросом: «Почему?». Но вот мы выросли, у нас появились дети, и пришло время объяснять им те самые простейшие правила так, чтобы было понятно и запомнилось навсегда.
Что такое ноль
Вокруг этой цифры всегда велось много споров. Число 0 занимает особое место в математике, даже несмотря на то, что оно буквально означает «ничто», «пустота». Ноль — это целое число, одна из цифр в десятичной системе счисления. Цифра ноль, поставленная справа от другой цифры, увеличивает числовое значение всех цифр, стоящих левее, на разряд — десяток, сотню и так далее. Например, если рядом с 5 ставим 0, получаем 50, если рядом с 50 ставим 0, получаем 500. А ещё ноль — это число, отделяющее положительные цифры от отрицательных на числовой прямой. Сам ноль при этом знака + / — не имеет.
Какие действия в математике можно выполнять с нулём
С нулём выполняются все арифметические действия: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень. При выполнении сложения и вычитания с нулём обычно проблем и сложностей не возникает. Здесь всё просто.
Если к любому числу добавить 0, это означает, что к нему не прибавилось ничего.
Слагаемое каким было, таким и осталось, сколько раз ноль ни прибавляй.
То же самое будет, если отнять ноль.
Если ноль разделить на любое ненулевое число, то в результате тоже получится ноль.
А вот операция умножения гораздо менее очевидна. Не все понимают, почему при умножении на 0 получается 0. Именно умножение на ноль мы сейчас рассмотрим подробнее, так как в нём содержатся некоторые нюансы. А заодно поговорим немного и о делении на ноль.
Умножение на ноль, правило математики
Чтобы разобраться, чем отличается умножение числа на ноль от умножения других чисел друг на друга, нужно для начала понять определение умножения в целом. Умножение — одно из основных действий в математике. Умножение — это арифметическое действие, когда сложение одинаковых чисел происходит искомое количество раз. В этом действии участвуют два составляющих компонента — множимое и множитель. Результат их умножения называют произведением.
То есть для натуральных чисел умножением, по сути, является многократное сложение. Таким образом, чтобы умножить число a на число b, необходимо b раз сложить a.
a ⋅ b = a + a + … + a} b
Так, пример 4 х 3 = 12 можно заменить следующим выражением: 4 + 4 + 4 = 12. То есть число 4 было взято 3 раза.
А можно ли умножать на ноль? Можно, только это бессмысленно и бесполезно. Ведь ноль — это ничто, пустота. А какой смысл умножать на пустоту? Тут, как ни крути, всё равно будет получаться ноль.
Как на примере объяснить это правило детям? Попробуем вот так:
- если съесть пять раз по два яблока, получится 2 * 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10, то есть в итоге будет съедено 10 яблок;
- если съесть по два яблока трижды, получится 2 * 3 = 2 + 2 + 2 = 6, в итоге будет съедено 6 яблок;
- если съесть по два яблока ноль раз, то 2 * 0 = 0 * 2 = 0 + 0 = 0, в итоге не съедено ни одного яблока.
Ведь съесть ноль раз — это означает не съесть ни одного. Ноль — это ничего, а когда у вас нет ничего, то на сколько его ни умножай, всё равно будет ноль.
Правда, иногда выдвигаются следующие возражения: предположим, у человека в руке 2 яблока. Если он не съел их, то яблоки не пропадут, они так и останутся у него в руке. Почему же тогда результат равен нулю? Да, яблоки действительно из руки никуда не денутся. Но ведь в примере мы считаем именно съеденные яблоки, то есть те из них, которые были съедены, проще говоря, оказались в желудке человека. А в последнем случае они туда не попали. Поэтому человек съел ноль яблок.
Итак, основное правило гласит: при умножении числа на ноль и при умножении нуля на число в ответе всегда будет получаться ноль.
a ⋅ 0 = 0
0 ⋅ a = 0
Это правило умножения на ноль в математике действительно для любых чисел: положительных, отрицательных, целых, дробей, разрядных, рациональных, иррациональных.
В любом случае произведение будет нулевым.
Для лучшего запоминания правила приведём примеры умножения на ноль:
0 ⋅ 3 = 0 + 0 + 0 = 0
0 ⋅ 4 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0
756 ⋅ 0 = 0
293 ⋅ 0 = 0
Деление на ноль, правило математики
А что же с делением на 0? Мы со школы помним правило: на ноль делить нельзя. Все это заучивают, не требуя лишних доказательств. Нельзя так нельзя. Большинство людей действительно не делит на ноль только исходя из этого правила, не пытаясь найти ответ, по которому станет понятен этот запрет. А почему, собственно, нельзя?
Деление в математике — действие, обратное умножению, также состоящее из двух компонентов — делимого и делителя. Результат деления называют частным. Также иногда результат деления называют отношением. Если умножение для натуральных чисел заменяет многократное сложение, то, соответственно, деление будет заменять многократное вычитание.
Чтобы было понятнее, рассмотрим на примерах.
- Разделим число 8 на число 2 (8 : 2). Из действия вычитания мы находим, что число 2 содержится в 8 четыре раза. В данном случае 8 — делимое, 2 — делитель, 4 — частное.
- Теперь разделим 0 на 2 (0 : 2). Чтобы 0 разделить на 2, надо найти число, при умножении которого на 2 получится 0. Это ноль, так как 0 ⋅ 2 = 0. Значит, 0 ⋅ 2 = 0. При делении нуля на любое число, не равное нулю, частное равно нулю.
- А теперь попробуем разделить 4 на 0 (4 : 0). Данное выражение можно представить и в виде уравнения: 0 ⋅ x = 4. Следовательно, чтобы разделить 4 на ноль, необходимо найти такое число, при умножении на которое получится 4, а это невозможно исходя из того, что мы выяснили ранее.
Следовательно, делить на 0 нельзя, так как такого числа, при умножении которого на ноль получится 4, не существует. И всё-таки лучше всего это правило просто запомнить и никогда не нарушать. Для лучшего запоминания предложите своему ребёнку выучить небольшое стихотворение:
Расскажу тебе, позволь,
Чтобы не делил на 0!
Режь 1, как хочешь, вдоль,
Только не дели на 0!
Таким образом, с нулём возможно совершать любые арифметические действия: прибавлять и вычитать любые числа, умножать на значения, не равные нулю, возводить в степень, не равную нулю.
Единственное ограничение — ноль не может быть делителем для любого действительного числа. В арифметике подобные действия считаются невозможными и бессмысленными.
Подведём итоги
Итак, сегодня мы выяснили, что за цифра такая — ноль. Мы узнали историю её возникновения. А также разобрались, чем отличается умножение числа на 0 от умножения других чисел друг на друга, а также почему на ноль нельзя делить. Чтобы закрепить полученные новые знания, важно отработать их на практике. Поэтому для закрепления и лучшего запоминания предложите своему ребёнку решить примеры:
7 * 0
15 * 0
0 * 9
0 * 346
72 : 9 * 0
Конечно же, во всех этих примерах ответ будет 0:
7 * 0 = 0
15 * 0 = 0
0 * 9 = 0
0 * 346 = 0
72 : 9 * 0 = 0
Закрепляем тему «Умножение на ноль»
Закрепить эту и многие другие изученные темы по математике можно на образовательной платформе iSmart. С помощью онлайн-тренажёров дети в увлекательной форме наработают вычислительную беглость в решении примеров с умножением на ноль.
Вот так, например, выглядят задания для второго класса:
А так выглядит сам каталог заданий по математике образовательной платформы iSmart:
Образовательная платформа iSmart разработана учителями и специалистами в области детской психологии в соответствии с требованиями ФГОС. Она предлагает программы подготовки по всем изучаемым в школе предметам, пакеты заданий для подготовки к контрольным работам, тестам, ВПР, олимпиадам, а также изучение дополнительных предметов, не вошедших в школьную программу.
Регистрируйте своего ребёнка и начинайте заниматься прямо сейчас!
вычитание сложение умножение деление дробей
Вы искали вычитание сложение умножение деление дробей? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и вычитание умножение деление сложение дробей, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «вычитание сложение умножение деление дробей».
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как вычитание сложение умножение деление дробей,вычитание умножение деление сложение дробей,деление и умножение дробей,дроби сложение вычитание умножение деление,дроби сложение и вычитание умножение и деление,дроби умножение деление вычитание сложение,дроби умножение деление сложение вычитание,дроби умножение и деление сложение и вычитание,как вычитать складывать умножать делить дроби,как делить и умножать дроби с разными знаменателями,как делить умножать складывать и вычитать дроби,как складывать вычитать делить и умножать дроби,как складывать вычитать умножать делить дроби,как складывать вычитать умножать и делить дроби,как складывать делить умножать и вычитать дроби,как умножать делить складывать и вычитать дроби,как умножать и делить дроби с разными знаменателями,обыкновенные дроби сложение вычитание умножение и деление,правила деления умножения сложения и вычитания дробей,правила сложения вычитания деления и умножения дробей,правила сложения вычитания умножения и деления дробей,правила сложения вычитания умножения и деления обыкновенных дробей,правила сложения умножения вычитания деления дробей,правила умножения деления вычитания и сложения дробей,правила умножения деления вычитания сложения дробей,правила умножения деления сложения и вычитания дробей,правила умножения сложения вычитания деления дробей,сложение вычитание деление и умножение обыкновенных дробей,сложение вычитание умножение деление дроби,сложение вычитание умножение и деление дробей с разными знаменателями,сложение и вычитание деление и умножение дробей,сложение и вычитание умножение деление обыкновенных дробей,сложение и вычитание умножение и деление дробей,сложение умножение вычитание и деление обыкновенных дробей,сложение умножение деление и вычитание обыкновенных дробей,умножение деление вычитание и сложение смешанных дробей,умножение деление сложение и вычитание дробей,умножение деление сложение и вычитание обыкновенных дробей,умножение и сложение дробей.
Где можно решить любую задачу по математике, а так же вычитание сложение умножение деление дробей Онлайн?
Решить задачу вычитание сложение умножение деление дробей вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.
Как сделать арифметику со значительными рисунками
: Крис Хрен и Питер Дж.
Микулеки и
Обновлено: 07-21-2021
Из книги: Химическая книга для «Думмии с онлайн-практикой
». Рабочая тетрадь по химии для чайников с онлайн-практикой
Исследуйте книгу Купить на Amazon
При выполнении математических операций по химии вам необходимо следовать некоторым правилам, чтобы убедиться, что ваши суммы, разности, произведения и частные честно отражают степень точности, присутствующую в оригинале измерения. Вот тут-то и появляются значимые цифры.Вы можете быть честным (и избежать скептических насмешек угрюмых химиков), если будете проводить по одному расчету за раз, следуя нескольким простым правилам. Одно правило применяется к сложению и вычитанию, а другое правило — к умножению и делению.
- Сложение или вычитание: Округлите сумму или разность до того же числа знаков после запятой, что и измерение с наименьшим числом знаков после запятой. Такое округление является честным, потому что вы признаете, что ваш ответ не может быть более точным, чем наименее точное измерение, которое вошло в него.
- Умножение или деление: Округлить произведение или частное так, чтобы оно имело то же количество значащих цифр, что и наименее точное измерение — измерение с наименьшим количеством значащих цифр.
Такое округление является честным, потому что вы признаете, что ваш ответ не может быть более точным, чем наименее точное измерение, которое вошло в него.Вот пример. Выразите следующую сумму с нужным количеством значащих цифр:
35,7 мили + 634,38 мили + 0,97 мили = ?
Следовательно, вы округляете ответ до десятых, от 671,05 до 671,1 мили.Теперь попробуем пример с умножением. Выразите следующее произведение с нужным количеством значащих цифр:
27 футов * 13,45 футов = ?
Из двух измерений одно имеет две значащие цифры (27 футов), а другое — четыре значащих цифры (13,45 футов). Таким образом, ответ ограничивается двумя значащими цифрами. Вам нужно округлить сырой продукт, 363,15 фута². Вы можете написать 360 футов², но это может означать, что последний 0 является значащим, а не просто заполнителем. Для ясности выразите произведение в экспоненциальном представлении как 3,6 * 10² футов².
Эта статья из книги:
- Рабочая тетрадь по химии для чайников с онлайн-практикой,
Об авторах книги:
Кристофер Хрен — школьный учитель химии, бывший тренер по легкой атлетике и футболу.
Питер Дж. Микулецкий, доктор философии, преподает биологию и химию в Fusion Learning Center и Fusion Academy.
Эту статью можно найти в категории:
- Химия,
2.4: Значимые цифры в расчетах
- Последнее обновление
- Идентификатор страницы
- 47449
Цели обучения
- Правильно использовать значащие цифры в арифметических операциях.
Округление
Прежде чем разбираться с особенностями правил определения значащих цифр в вычисляемом результате, нужно уметь правильно округлять числа. до вокруг числа сначала решите, сколько значащих цифр должно быть в числе.
Как только вы это узнаете, округлите до указанного количества цифр, начиная слева. Если число непосредственно справа от последней значащей цифры меньше 5, оно отбрасывается, а значение последней значащей цифры остается прежним. Если число непосредственно справа от последней значащей цифры больше или равно 5, последняя значащая цифра увеличивается на 1.
Рассмотрим измерение \(207,518 \: \text{m}\). Прямо сейчас измерение содержит шесть значащих цифр. Как бы мы последовательно округляли его до все меньшего и меньшего числа значащих цифр? Следуйте процессу, указанному в таблице \(\PageIndex{1}\).
| Количество значащих цифр | Округленное значение | Рассуждение |
|---|---|---|
| 6 | 207,518 | Все цифры значащие |
| 5 | 207,52 | 8 раундов от 1 до 2 |
| 4 | 207,5 | 2 выпадает |
| 3 | 208 | 5 раундов от 7 до 8 |
| 2 | 210 | 8 заменяется на 0 и округляет 0 до 1 |
| 1 | 200 | 1 заменяется на 0 |
Обратите внимание, что чем больше округление сделано, тем менее надежна цифра.
Приблизительного значения может быть достаточно для некоторых целей, но научная работа требует гораздо более высокого уровня детализации.
При математических операциях с числами важно помнить о значащих цифрах. Например, деление 125 на 307 на калькуляторе дает 0,4071661238… с бесконечным числом цифр. Но имеют ли цифры в этом ответе какое-либо практическое значение, особенно когда вы начинаете с чисел, каждое из которых имеет только три значащих цифры? При выполнении математических операций существует два правила ограничения количества значащих цифр в ответе: одно правило для сложения и вычитания, а другое правило для умножения и деления.
В операциях со значащими цифрами ответ сообщается таким образом, чтобы он отражал надежность наименее точной операции. Ответ не более точен, чем наименее точное число, использованное для получения ответа.
Умножение и деление
Для умножения или деления правило состоит в том, чтобы подсчитать количество значащих цифр в каждом умножаемом или делимом числе, а затем ограничить значащие цифры в ответе до наименьшего количества.
Например:
Окончательный ответ, ограниченный четырьмя значащими цифрами, равен 4094. Первая отброшенная цифра — 1, поэтому мы не округляем.
Научное обозначение обеспечивает способ передачи значащих цифр без двусмысленности. Вы просто включаете все значащие цифры в начальное число. Например, число 450 имеет две значащие цифры и будет записано в экспоненциальном представлении как 4,5 × 10 2 , тогда как число 450,0 имеет четыре значащих цифры и будет записано как 4,500 × 10 9 .0182 2 . В экспоненциальном представлении все значащие цифры указаны явно.
Пример \(\PageIndex{1}\)
Запишите ответ для каждого выражения в экспоненциальном представлении с соответствующим количеством значащих цифр.
- 23,096 × 90,300
- 125 × 9000
Решение
a
Второй столбец помечен как «Ответ», а под ним в строке находится ответ. 93\)b
| Пояснение | Ответить |
|---|---|
| Калькулятор дает ответ 1125, но мы ограничиваем его тремя значащими цифрами. 93\) |
Сложение и вычитание
Как обрабатываются значащие числа в вычислениях? Это зависит от того, какой тип расчета выполняется. Если вычисление представляет собой сложение или вычитание, правило следующее: ограничьте сообщаемый ответ крайним правым столбцом, в котором все числа имеют общие значащие цифры. Например, если вы должны сложить 1,2 и 4,71, мы заметим, что первое число останавливает свои значащие цифры в столбце десятых, а второе число останавливает свои значащие цифры в столбце сотых.
Поэтому мы ограничиваем наш ответ десятым столбцом.
Мы опускаем последнюю цифру — 1 — потому что она не имеет значения для окончательного ответа.
Отбрасывание позиций в суммах и разностях поднимает тему округления. Несмотря на некоторые соглашения, в этом тексте мы примем следующее правило: окончательный ответ следует округлить в большую сторону, если первая пропущенная цифра 5 или больше, и округлить в меньшую сторону, если первая пропущенная цифра меньше 5.
Пример \(\PageIndex{2}\)
- 13,77 + 908.226
- 1027 + 611 + 363,06
Solution
a
| Пояснение | Ответить |
|---|---|
| Ответ калькулятора: 92\) |
b
| Пояснение | Ответить | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Калькулятор дает в качестве ответа 2001,06, но поскольку 611 и 1027 имеют крайнюю правую значащую цифру в разряде единиц, окончательный ответ должен быть ограничен разрядом единиц. 90\) Помните, что калькуляторы не понимают значащие цифры. Вы тот, кто должен применить правила значащих цифр к результату вашего калькулятора. Вычисления, включающие умножение/деление и сложение/вычитание На практике химики обычно работают с калькулятором и переносят все цифры вперед в последующих вычислениях. Однако при работе на бумаге мы часто хотим свести к минимуму количество цифр, которые нам приходится записывать. В рабочих примерах в этом тексте мы часто будем показывать результаты промежуточных шагов расчета. При этом мы покажем результаты только для правильного количества значащих цифр, разрешенных для этого шага, фактически рассматривая каждый шаг как отдельный расчет. Пример \(\PageIndex{3}\)
Раствора.
б.
в.
Упражнение \(\PageIndex{3}\)Выполните вычисления и запишите свои ответы, используя правильное количество значащих цифр.
Сводка
|
Первый столбец слева помечен как «Объяснение», а под ним в строке находится объяснение. Второй столбец помечен как «Ответ», а под ним в строке находится ответ.
Поскольку последовательное округление может усугубить неточности, промежуточное округление должно выполняться правильно. При работе на бумаге всегда округляйте промежуточный результат, чтобы сохранить хотя бы на одну цифру больше, чем можно оправдать, и переносите это число на следующий шаг в расчетах. Затем окончательный ответ округляется до правильного количества значащих цифр в самом конце.
Эта процедура предназначена для закрепления правил определения количества значащих цифр, но в некоторых случаях она может давать окончательный ответ, отличающийся последней цифрой от полученного с помощью калькулятора, где все цифры переносятся на последний шаг.
Первый столбец слева помечен как «Объяснение», а под ним в строке находится объяснение первого деления. Второй столбец помечен как «Ответ», а под ним в строке находится ответ.
