Матпрофи комплексные числа: Конспект по комплексным числам. Формулы и термины / Библиотека МатПрофи.ком

Комплексные числа — презентация онлайн

После изучения темы «Комплексные числа
учащиеся должны:
Знать:
алгебраическую, геометрическую и тригонометрическую формы
комплексного числа.
Уметь:
•производить над комплексными числами операции сложения,
умножения, вычитания, деления, возведения в степень, извлечение
корня из комплексного числа;
•переводить комплексные числа из алгебраической формы в
геометрическую и тригонометрическую;
•пользоваться геометрической интерпретацией комплексных чисел;
•в простейших случаях находить комплексные корни уравнений с
действительными коэффициентами.

3. Какие числовые множества Вам знакомы?

I. Подготовка к изучению нового материала
Какие числовые множества Вам знакомы?
N
Z
Q
N Z Q R
R
Числовая система
Натуральные
числа, N
Целые числа, Z
Рациональные числа, Q
Действительные числа,
R
Комплексные
числа, C
Допустимые
алгебраические
операции
Сложение,
умножение
Сложение, вычитание,
умножение
Сложение, вычитание,
умножение, деление
Сложение, вычитание,
умножение, деление,
извлечение корней из
неотрицательных чисел
Все операции
Частично
допустимые
алгебраические
операции
Вычитание, деление,
извлечение корней
Деление,
извлечение корней
Извлечение корней из
неотрицательных
чисел
Извлечение корней
из произвольных
чисел
Минимальные условия, которым должны удовлетворять
комплексные числа:
С1) Существует квадратный корень из , т. е. существует
комплексное число, квадрат которого равен .
С2) Множество комплексных чисел содержит все действительные
числа.
С3) Операции сложения, вычитания, умножения и деления
комплексных чисел удовлетворяют обычным законам
арифметических действий (сочетательному, переместительному,
распределительному).
Выполнение этих минимальных условий позволяет определить
все множество С комплексных чисел.

6. Мнимые числа

i = -1, i – мнимая единица
i, 2i, -0,3i — чисто мнимые числа
Арифметические операции над чисто мнимыми числами
выполняются в соответствии с условием С3.
3i 13i 3 13 i 16i
3i 13i 3 13 i i 39i 2 39
i 7 i 2 i i
3
В общем виде правила арифметических операций с чисто мнимыми
числами таковы:
a b i;
a bi ab i;
ai bi
ai bi a b i;
ai bi abi a
где a и b — действительные числа.
2

7. Комплексные числа

Определение 1. Комплексным числом называют сумму
действительного числа и чисто мнимого числа.
z a bi C a R, b R,
i мнимая единица.
a Re z , b Im z
Определение 2. Два комплексных числа называют
равными, если равны их действительные части и равны
их мнимые части:
a bi c di a c, b d .

8. Классификация комплексных чисел

Комплексные числа
a + bi
Действительные числа
b=o
Рациональные
числа
Иррациональные
числа
Мнимые числа
b≠o
Мнимые числа с
ненулевой
действительной
частью
a ≠ 0, b ≠ 0.
Чисто
мнимые
числа
a = 0, b ≠ 0.

9. Арифметические операции над комплексными числами

(а + bi) + (c + di) = (а + с) + (b + d)i
(а + bi) — (c + di) = (а — с) + (b — d)i
(а + bi)·(с + di) = (ac — bd) + (ad + bc)i
a bi (a bi)( c di) ac bd bc ad
2
2
i
2
2
c di (c di)( c di) c d
c d

10. Сопряженные комплексные числа

Определение: Если у комплексного числа сохранить
действительную часть и поменять знак у мнимой части, то
получится комплексное число, сопряженное данному.
Если данное комплексное число обозначается буквой z, то
сопряженное число обозначается z :
z x yi z x yi
Из всех комплексных чисел действительные числа (и только они)
равны своим сопряженным числам.
Числа a + bi и a — bi называются взаимно сопряженными
комплексными числами.

11. Свойства сопряженных чисел

1. Сумма и произведение двух сопряженных чисел есть число
действительное.
z z ( a bi ) ( a bi ) 2a
z z (a bi )( a bi ) a 2 (bi ) 2 a 2 b 2
2. Число, сопряженное сумме двух комплексных чисел, равно
сумме сопряженных данным числам.
z1 z2 z1 z2
3. Число, сопряженное разности двух комплексных чисел, равно
разности сопряженных данным числам.
z1 z2 z1 z2
4. Число, сопряженное произведению двух комплексных чисел, равно
произведению сопряженных данным числам.
z1z2 z1 z2

12. Свойства сопряженных чисел

5. Число, сопряженное п-ой степени комплексного числа z,
равно п-ой степени числа, сопряженного к числу z, т. е.
z n ( z)n , n N
6. Число, сопряженное частному двух комплексных чисел, из
которых делитель отличен от нуля, равно частному
сопряженных чисел, т.е.
a bi a bi
c di c di

13. Степени мнимой единицы

По определению первой степенью числа i является
1
само
число i, а второй степенью – число -1:
i1 = i, i2 = -1
.
Более высокие степени числа i находятся следующим
1
образом:
i4 = i3 ∙ i = -∙i2= 1;
i5 = i4 ∙ i = i;
i6 = i5 ∙ i = i2= — 1 и т.д.
Очевидно, что при любом натуральном n
i4n = 1;
i4n +2 = — 1
i4n+1 = i;
i4n+3 = — i.

14. Извлечение квадратных корней из комплексных чисел в алгебраической форме.

• Определение. Число w называют квадратным корнем из
2
комплексного числа z, если его квадрат равен z: w z
• Теорема. Пусть z=a+bi – отличное от нуля комплексное число.
Тогда существуют два взаимно противоположных комплексных
числа, квадраты которых равны z. Если b≠0, то эти два числа
выражаются формулой:
w
a2 b2 a
i signb
2
a 2 b 2 a
, где
2
1, если b 0
signb 1, если b 0
0, если b 0
При b 0, a 0 имеем : w a , при b 0, a 0 имеем : w i a .

15. Геометрическое изображение комплексных чисел.

Комплексному числу z на координатной плоскости
соответствует точка М(a, b).
Часто вместо точек на плоскости берут их
радиусы-векторы
OM
Определение: Модулем комплексного числа z = a + bi
называют неотрицательное числоa 2 b2
,
равное расстоянию от точки М до начала
z a 2 b2
координат
cos
y
М (a, b)
b
φ
O
a
x
a
и sin
b
a2 b2
a2 b2
аргумент комплексно го числа
;

16. Тригонометрическая форма комплексного числа

z r cos i sin
где φ – аргумент комплексного числа,
r=
a 2 b2 — модуль комплексного числа,
cos
a
a2 b2
и sin
b
a2 b2

17. Умножение и деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме

Теорема
Если
1.
z1 0, z2 0
и
z1 r1 cos 1 i sin 1 , z2 r2 cos 2 i sin 2 , то:
а)
z1 z2 r1r2 cos 1 2 i sin 1 2
б)
z1 r1
cos 1 2 i sin 1 2
z2 r2
Теорема 2 (формула Муавра).
Пусть z — любое отличное от нуля
комплексное число, п — любое целое число.
Тогда
z r cos i sin r n cosn i sin n .
n
n

18. Извлечение корня из комплексного числа.

• Теорема. Для любого натурального числа n и
отличного от нуля комплексного числа z существуют
n различных значений корня n-степени.
Если
z r cos i sin ,
то эти значения выражаются формулой
2 k
2 k
wk r cos
i sin
,
n
n
где k 0,1,…, (n 1)
n

Комплексные числа и операции с ними

Содержание

Введение Комплексная плоскость и мнимая единица Модуль и фаза комплексного числа Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера Операции над комплексными числами. Комплексно-сопряженные числа Выводы Список литературы

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов Распространяется под лицензией LGPL v3 Страница проекта на SourceForge

Обнаружили ошибку? Выделите ее мышью и нажмите

Введение

Известно, что область определения некоторых функций на множестве вещественных чисел ограничена. Например функция определена для , аналогично можно вспомнить, что функция определена для , а функция определена для .

Однако, ограниченная область определения функций на множестве вещественных чисел не означает, что , или не имеют смысла. Ограниченная область определения функций на множестве вещественных чисел говорит лишь о том, что не может быть представлено вещественным числом. Действительно, среди вещественных чисел не найти такого числа , квадрат которого был бы равен .

При решении квадратных уравнений часто возникает ситуация, когда дискриминант отрицательный. В этом случае это означает что парабола не пересекает прямую абсцисс ни в одной точке. Другими словами, корни квадратного уравнения не существуют среди вещественных значений и их также надо искать за пределами вещественных чисел.

Все бесконечное множество вещественных чисел можно представить в виде одной числовой прямой (смотри рисунок 1), на которой мы можем откладывать рациональные и иррациональные вещественные числа.

Но на этой прямой нет числа , значит его надо искать вне числовой прямой. Таким образом мы должны расширить множество вещественных чисел до множества в котором значения , или уже не бессмысленны, а являются такими же обычными числами в этом расширенном множестве, как на множестве вещественных чисел.

Комплексная плоскость и мнимая единица

Естественным расширением числовой прямой является плоскость, которую называют комплексной плоскостью. Числовая прямая вещественных чисел и ее расширение до комплексной плоскости показано на рисунке 1. Любая точка на комплексной плоскости определяет одно комплексное число. Например на рисунке 1 показано число .

Рисунок 1. Расширение множества вещественных чисел до множества комплексных числел

Значение вещественного числа однозначно определяет его позицию на числовой прямой, однако для определения позиции на плоскости одного числа недостаточно.

Для «навигации» по комплексной плоскости вводятся две прямые и , которые пересекаются в начале координат.

Прямая это числовая прямая, называемая реальной осью, на которой лежат все вещественные числа. Прямая называется мнимой осью и она перпендикулярна реальной оси . Оси и делят комплексную плоскость на четверти, как это показано на рисунке 1.

Любая точка комплексной плоскости задается двумя координатами и по осям и соответственно. При этом само комплексное число можно записать как , где называется реальной частью и задает координату точки комплексной плоскости на вещественной прямой , а называется мнимой частью и задает координату точки комплексной плоскости на мнимой оси .

Для того чтобы отделить одну координату от другой (реальную и мнимую части) вводят число , называемое мнимой единицей. Это так раз то число, которого не существует на множестве действительных чисел. Оно обладает особым свойством: . Тогда комплексное число может не только перемещаться по вещественной прямой вправо и влево, но и двигаться по комплексной плоскости потому что мы добавили ему слагаемое с мнимой единицей .

Мнимую единицу в математической литературе принято обозначать как , но в технике буква уже закреплена за обозначением электрического тока, поэтому чтобы избежать путаницы мы будем обозначать мнимую единицу буквой .

Если и , тогда число является действительным и располагается на реальной оси .

Если и , тогда число является чисто мнимым и располагается на мнимой оси .

Если и , тогда число располагается в одной из четвертей комплексной плоскости.

Модуль и фаза комплексного числа

Представление комплексного числа как называют алгебраической формой записи. Если из начала координат комплексной плоскости к точке восстановить вектор (смотри рисунок 1), то можно вычислить длину этого вектора как

(1)

 — неотрицательное вещественное число характеризующее длину вектора и называется модулем комплексного числа. При этом сам вектор комплексного числа повернут относительно реальной оси на некоторый угол , называемый фазой. Фаза комплексного числа может быть положительной или отрицательной, в зависимости от того в каком направлении относительно оси отсчитывать угол. Если угол поворота вектора на комплексной плоскости отсчитывать против часовой стрелки (как это показано на рисунке 1), то фаза будет принимать положительные значения, а если по часовой — то отрицательные.

Связь реальной и мнимой частей комплексного числа с его амплитудой и фазой представлено следующим выражением:

(2)

Тогда комплексное число можно представить в тригонометрической форме:

(3)

Связь угла поворота вектора комплексного числа с реальной и мнимой частью комплексного числа, представленного в алгебраической форме:

(4)

тогда

(5)

где учитывает четверть комплексной плоскости в которой расположено число :

(6)

Необходимость поправки возникает из-за того, что функция периодическая функция с периодом рад. В результате возвращает корректные значения только в интервале . Таким образом функция арктангенса не отличает четверть I от четверти III (в обоих случаях отношение положительное), а также не отличает четверть II от четверти IV (отношение отрицательное).

На рисунке 2 показаны значения параметра , в зависимости от того в какой четверти комплексной плоскости расположено число.

Рисунок 2. Значение поправки фазы комплексного числа в зависимости от расположения на комплексной плоскости.

На рисунке 2а исходное комплексное число расположено в первой четверти комплексной плоскости и .

Тогда и значение фазы комплексного числа равно:

(7)

Рассмотрим случай, когда комплексное число расположено во второй четверти комплексной плоскости (рисунок 2б), т.е. и . В этом случае и угол также будет отрицательным (красная пунктирная линия). Тогда для того, чтобы получить корректное значение фазы необходимо ввести поправку рад:

(8)

Пусть комплексное число расположено в третьей четверти комплексной плоскости (рисунок 2в), т. е. и . В этом случае и угол будет положительным (красная пунктирная линия). Тогда для того, чтобы получить корректное значение фазы необходимо ввести поправку рад:

(9)

Если расположено в четвертой четверти комплексной плоскости (рисунок 2г), т.е. и , то в этом случае и угол будет отрицательным и равным фазе комплексного числа без поправок ( рад):

(10)

Функция которая позволяет получить фазу комплексного числа c учетом четверти комплексной плоскости в которой расположено комплексное число называется функция арктангенс-2 и обозначается .

Функция арктангенс-2 присутствует во всех математических приложениях и может быть использована для расчета верного угла поворота вектора комплексного числа.

Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера

Мы уже рассмотрели алгебраическую и тригонометрическую формы записи комплексного числа. Помимо алгебраической и тригонометрической формы существует также показательная форма комплексного числа:

(11)

связанная с тригонометрической формой формулой Эйлера:

(12)

Cоотношение (12) легко доказать, если произвести разложение экспоненты в ряд Тейлора:

(13)

Представим ряд (13) в виде суммы четных и нечетных членов последовательности:

(14)

Рассмотрим более подробно мнимую единицу в четной и нечетной степенях.

Из определения мнимой единицы можно сделать вывод, что , тогда , в свою очередь .

Таким образом, можно сделать вывод что .

Построим аналогичным образом соотношение для нечетных степеней: , тогда , в свою очередь и окончательно можно записать: . Тогда (14) можно представить как:

(15)

В выражении (15) первая сумма по четным степеням дает разложение в ряд Тейлора функции , а вторая сумма по нечетным степеням дает разложение в ряд Тейлора функции . Таким образом, получено доказательство справедливости формулы Эйлера (12).

Необходимо отметить, что формула Эйлера является одной из важнейших в теории функций комплексного переменного. Так например при помощи формулы Эйлера можно связать математические константы и с использованием мнимой единицы :

(16)

Операции над комплексными числами. Комплексно-сопряженные числа

В данном параграфе мы кратко рассмотрим операции над комплексными числами. Сумма двух комплексных чисел и представляет собой комплексное число :

(17)

При сложении реальные и мнимые части комплексного числа также складываются. На комплексной плоскости операцию сложения можно реализовать как сложение векторов комплексных чисел по правилу параллелограмма (рисунок 3а).

Рисунок 3. Операции над комплексными числами

Разность двух комплексных чисел и представляет собой комплексное число

(18)

При вычитании реальные и мнимые части комплексного числа также вычитаются. На комплексной плоскости операцию вычитания можно реализовать как вычитание векторов по правилу параллелограмма (рисунок 3б). На первом шаге из вектора формируется вектор (обозначенный пунктирной линией на рисунке 3б), после чего вектор складывается с вектором по правилу параллелограмма.

Для того чтобы получить формулу для умножения комплексных числен необходимо перемножить два комплексных числа по правилу умножения многочленов:

(19)

Умножение комплексных проще выполнять если числа представлены в показательной форме:

(20)

При перемножении в показательной форме модули комплексных чисел перемножаются а фазы складываются. Операция произведения комплексных чисел показано на рисунке 3в.

Введем понятие комплексно-сопряженного числа. Число является комплексно-сопряженным числу .

Комплексно-сопряженные числа отличаются знаком перед мнимой частью.

Графически комплексно-сопряженные числа показаны на рисунке 3г.

При этом можно заметить, что модули комплексно-сопряженных чисел равны , а фазы имеют противоположные знаки.

Произведение комплексно-сопряженных чисел

(21)

представляет собой действительное число равное квадрату модуля этих чисел.

Из элементарных операций нам осталось рассмотреть лишь деление комплексных чисел. Рассмотрим результат деления комплексных чисел в показательной форме:

(22)

Таким образом, при делении комплексных чисел модуль частного равен частному модулей исходных чисел, а фаза равна разности фаз исходных чисел.

При этом необходимо потребовать, чтобы был не равен нулю, иначе у нас появится деление на ноль при расчете модуля частного.

Рассмотрим теперь деление комплексных чисел в алгебраической форме:

(23)

Домножим и числитель и знаменатель на число, комплексно-сопряженное знаменателю:

(24)

Выводы

В данной статье введено понятие комплексного числа и рассмотрены основные его свойства. Введено понятие мнимой единицы.

Подробно рассмотрена комплексная плоскость и представление комплексных чисел в алгебраической, тригонометрической и показательной формах. Введены понятия модуля и фазы комплексного числа.

Рассмотрены основные арифметические операции над комплексными числами.

Показано как выполнять операции сложения, вычитания в алгебраической форме, введено понятие комплексно-сопряженных чисел, а также операции умножения и деления в показательной и алгебраической формах.

Информация была полезна? Поделитесь с друзьями!

Список литературы

[1] Пантелеев А.В., Якимова А.С. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление в примерах и задачах. М: Высшая школа, 2011.

[2] Дубровин В.Т. Теория функций комплексного переменного. Теория и практика Казань: Казанский государственный университет, 2010. [PDF]

Последнее изменение страницы: 12.05.2022 (19:41:15)

Страница создана Latex to HTML translator ver. 5.20.11.14

Комплексные числа

Комплексный номер

Комплексное число представляет собой комбинацию
Действительного числа и Воображаемого числа

 

Реальные числа — это такие числа, как:

1

12,38

−0,8625

3/4

√2

1998

Почти любое число, которое вы можете придумать, является действительным числом!

Мнимые числа, когда в квадрате дают отрицательный результат .

Обычно этого не происходит, потому что:

• когда мы возводим в квадрат положительное число, мы получаем положительный результат, а
• , когда мы возводим в квадрат отрицательное число, мы также получаем положительный результат (поскольку отрицательное число, умноженное на отрицательное, дает положительный результат), например, −2 × −2 = +4

Но представьте, что такие числа существуют, потому что они нам нужны.

Поговорим еще о мнимых числах…

«Единичное» мнимое число (например, 1 для действительных чисел) равно i, которое является квадратным корнем из −1

Потому что, возведя i в квадрат, мы получим −1

i ² = −1

Примеры мнимых чисел Номера:

3i

1.04i

−2,8i

3i/4

(√2)я

1998i

И мы держим здесь маленькую букву «i», чтобы напомнить себе, что нам нужно умножить на √−1

Комплексные числа

Когда мы объединяем действительное число и мнимое число, мы получаем комплексное число :

.

Примеры:

1 + я

39 + 3i

0,8 − 2,2i

−2 + πi

√2 + i/2

 

Может ли число быть комбинацией двух чисел?

Можем ли мы составить число из двух других чисел? Мы можем точно!

Мы постоянно делаем это с дробями. Дробь ³ / ₈ — это число, состоящее из 3 и 8. Мы знаем, что это означает «3 из 8 равных частей».

Комплексное число — это всего лишь два числа, сложенные вместе (действительное и мнимое число).

Любая часть может быть равна нулю

Итак, у комплексного числа есть действительная и мнимая части.

Но любая часть может быть 0 , поэтому все действительные числа и мнимые числа также являются комплексными числами.

Комплексный номер	Реальная часть	Воображаемая часть
3 + 2i	3	2
5	5	0	Чисто настоящий
−6i	0	−6	Чисто воображаемый

Сложно?

Комплекс , а не означает сложный.

Это означает, что два типа чисел, действительные и мнимые, вместе образуют комплекс , точно так же, как комплекс зданий (здания, соединенные вместе).

Визуальное объяснение

Вы знаете, как идет числовая линия влево-вправо ?

Хорошо, пусть мнимые числа идут вверх-вниз :

И получаем Сложный Самолет

Комплексное число теперь может отображаться в виде точки:

Комплекс № 3+4 i

Добавление

Чтобы сложить два комплексных числа, складываем каждую часть отдельно:

(а+б я ) + (с+г я ) = (а+с) + (б+г) я

Пример: добавьте комплексные числа

3 + 2 i и 1 + 7 i

• добавьте действительные числа и
• добавить мнимые числа:

(3 + 2i) + (1 + 7i)
= 3 + 1 + (2 + 7) i
= 4 + 9i

Попробуем еще:

Пример: добавьте комплексные числа

3 + 5 i и 4 − 3 i

(3 + 5 i ) + (4 − 3 i )
= 3 + 4 + (5 − 3) i
90 + 3 2 0

На комплексной плоскости это:

Умножение

Чтобы умножить комплексные числа:

Каждая часть первого комплексного числа умножается на
каждая часть второго комплексного числа

Просто используйте «FOIL», что означает » F первоначальных, O маточных, I внутренних, L астровых» (подробнее см. Биномиальное умножение):

	Первые: a × c Внешний: a × d i Внутренние: b i × c Колодки: b i × d i
(a+b i )(c+d i ) = ac + ad i + bc i 3 id 0 + bc 005 2

Вот так:

Пример: (3 + 2i)(1 + 7i)

(3 + 2i)(1 + 7i) = 3×1 + 3×7i + 2i×1+ 2i×7i

 = 3 + 21i + 2i + 14i ²

= 3 + 21i + 2i − 14 (поскольку i ² = −1)

 = −11 + 23i

А это:

Пример: (1 + i)

²

(1 + i)(1 + i)= 1×1 + 1×i + 1×i + i ²

 = 1 + 2i − 1  (потому что i ² = −1)

 = 0 + 2i

Но есть более быстрый способ!

Используйте это правило:

(a+b i )(c+d i ) = (ac−bd) + (ad+bc) i

Пример: (3 + 2i)(1 + 7i) = (3×1 − 2×7) + (3×7 + 2×1)i = −11 + 23i

Почему это правило работает?

Это просто метод «ФОЛЬГА» после небольшой работы:

(a+b i )(c+d i ) =ac + ad i + bc i + bd i ²  Фольговый метод

6 i 0 = 0ac + 1 ad 02 + до н. э. i − bd   (потому что i ² = −1)

 = (ac − bd) + (ad + bc) i   (собирая подобные термины)

И здесь у нас есть (ac − bd) + (ad + bc) i  шаблон.

Это правило, безусловно, быстрее, но если вы его забудете, просто запомните метод FOIL.

Попробуем i

²

Ради интереса воспользуемся методом вычисления i ²

Пример: i

²

Мы можем записать i с действительной и мнимой частями как 0 + i

i ² = (0 + i) ²

 = (0 + i)(0 + i )

 = (0×0 − 1×1) + (0×1 + 1×0) i

 = −1 + 0 i

 = −1

И это хорошо согласуется с определением, что я ² = −1

Так все замечательно работает!

Дополнительные сведения см. в разделе Умножение комплексных чисел.

Конъюгаты

Через минуту нам нужно будет узнать о конъюгатах!

В сопряжении мы меняем знак в середине следующим образом:

Спряжение часто пишется с чертой над ним:

Пример:

5 − 3 i   =   5 + 3 i

Разделение

Конъюгат используется для облегчения сложного деления.

Хитрость заключается в том, чтобы умножить верхнее и нижнее на сопряженное нижнее .

Пример: выполните следующее деление:

2 + 3 i 4 − 5 i

Умножьте верхнее и нижнее число на сопряженное число 4 − 5

9 6

0 45 2 + 3 я 4 − 5 i × 4 + 5 i 4 + 5 i   =   8 + 10 i + 12 i + 15 i ² 16 + 20 i я − 25 я ²

Теперь вспомним, что i ² = −1, поэтому:

= 8 + 10 i + 12 i − 15 16 + 20 90 090 111 900 10 + 25

Добавьте условия «Нравится» (и обратите внимание, как внизу 20 i − 20 i отменяется!):

=   −7 + 22 i 41

. 9 41 + 22 41 i

ГОТОВО!

Да, нужно немного посчитать. Но это можно сделать.

Умножение на сопряженное

Однако есть более быстрый способ.

В предыдущем примере интересно было то, что произошло внизу:

(4 — 5 i )(4 + 5 i ) = 16 + 20 i — 20 i — 25 i ²

Средние члены (20 i − 20 i ) сокращаются:

(4 — 5 i )(4 + 5 i ) = 16 — 25 i ²

Также i ² = −1 :

(4 — 5 i )(4 + 5 i ) = 16 + 25

А 16 и 25 — это (магически) квадраты 4 и 5:

(4 — 5 i )(4 + 5 i ) = 4 ² + 5 ²

Довольно простой результат. Общее правило:

(a + b i ) (a − b i ) = a ² + b ²

Это может сэкономить нам время при делении, например:

Пример: попробуем еще раз

2 + 3 i 4 − 5 i

Умножить верх и низ на сопряженное число 4 − 5 i :

2 + 3 i 4 − 5 i × 4 + 5 i 90 90 90 0 + 5 552   =   8 + 10 i + 12 i + 15 i ² 16 + 25

=   −7 + 22 i + 41 90 затем обратно в b i форма:

=   − 7 41 + 22 41 я

ГОТОВО!

 

Обозначение

Мы часто используем z для комплексного числа. И Re() для действительной части и Im() для мнимой части, например:

Что выглядит на комплексной плоскости так:

 

Набор Мандельброта

	Прекрасное множество Мандельброта (на фото) основано на комплексных числах. Это график того, что происходит, когда мы берем простое уравнение z 2 + c (оба комплексных числа) и возвращаем результат обратно в z снова и снова. Цвет показывает, как быстро растет z 2 + c , а черный означает, что он остается в определенном диапазоне.
Вот изображение, полученное путем увеличения множества Мандельброта
А вот центр предыдущего увеличен еще больше:

 

440, 1070, 273, 1071, 1072, 443, 3991, 271, 3992, 3993

Комплексное число — определение, формула, свойства, примеры

Комплексные числа помогают найти квадратный корень из отрицательных чисел. Концепция комплексных чисел была впервые упомянута в I веке греческим математиком Героем Александрийским, когда он пытался найти квадратный корень из отрицательного числа. Но он просто изменил отрицательное значение на положительное и просто взял числовой корень. Кроме того, реальная идентичность комплексного числа была определена в 16 веке итальянским математиком Джероламо Кардано в процессе нахождения отрицательных корней кубических и квадратичных полиномиальных выражений.

Комплексные числа находят применение во многих научных исследованиях, обработке сигналов, электромагнетизме, гидродинамике, квантовой механике и анализе вибрации. Здесь мы можем понять определение, терминологию, визуализацию комплексных чисел, свойства и операции с комплексными числами.

1.	Что такое комплексные числа?
2.	График комплексных чисел
3.	Свойства комплексных чисел
4.	Операции над комплексными числами
5.	Алгебраические тождества комплексных чисел
6.	Решенные примеры
7.	Практические вопросы
8.	Часто задаваемые вопросы о комплексных числах

Что такое комплексные числа?

Комплексное число – это сумма действительного числа и мнимого числа. Комплексное число имеет вид a + ib и обычно обозначается буквой z. Здесь и a, и b – действительные числа. Величина «а» называется действительной частью, которая обозначается Re(z), а «b» называется мнимой частью Im(z). Также ib называют мнимым числом.

 

 

 

 

Примерами комплексных чисел являются \(2+3i, -2-5i, \,\,\dfrac 1 2 + i\dfrac 3 2\) и т. д.

Степень i

Алфавит i называется йотой и полезен для представления мнимой части комплексного числа. Кроме того, йота (i) очень полезна для нахождения квадратного корня из отрицательных чисел. У нас есть значение i ²  = -1, и оно используется для нахождения значения √-4 = √i ² 4 = + 2i Значение i ²  = -1 является основным аспектом комплексного числа. Давайте попробуем понять больше о возрастающих силах i.

• я = √-1
• i ²  = -1
• i ³   = i.i ²  = i(-1) = -i
• i ⁴  = (i ² ) ²  = (-1) ²  = 1
• i ⁴ⁿ  = 1
• я ^{4n + 1}  = я
• i ^{4n + 2}  = -1
• i ^{4n + 3}  = -i

График комплексных чисел

Комплексное число состоит из действительной и мнимой частей, которые можно рассматривать как упорядоченную пару (Re(z), Im(z)) и представлять в виде точек координат на евклидовой плоскости. Евклидова плоскость применительно к комплексным числам называется комплексной плоскостью или Плоскостью Аргана, названной в честь Жана-Роберта Аргана. Комплексное число z = a + ib представлено действительной частью — a относительно оси x и мнимой частью -ib относительно оси y. Давайте попробуем понять два важных термина, относящихся к представлению комплексных чисел на аргановой плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. 92}\)|. Кроме того, это можно понимать как полученное из теоремы Пифагора, где модуль представляет собой гипотенузу, действительную часть — это основание, а мнимую часть — высоту прямоугольного треугольника.

Аргумент комплексного числа

Угол, образованный линией, соединяющей геометрическое представление комплексного числа и начало координат с положительной осью X в направлении против часовой стрелки, называется аргументом комплексного числа. Аргумент комплексного числа является обратным отношением тангенса мнимой части к действительной части комплексного числа. {-1}\frac{b}{a}\). 9{-1}\frac{b}{a}\)).

Свойства комплексного номера

Следующие свойства комплексных чисел помогают лучше понять комплексные числа, а также выполнять различные арифметические операции над комплексными числами.

Сопряжение комплексного числа

Сопряжение комплексного числа образуется путем взятия той же действительной части комплексного числа и замены мнимой части комплексного числа на ее аддитивную обратную. Если сумма и произведение двух комплексных чисел являются действительными числами, то они называются сопряженными комплексными числами. Для комплексного числа z = a + ib его сопряженным является \(\bar z\) = a — ib.

Сумма комплексного числа и его сопряженного равна \(z + \bar z\)  = (a + ib) + (a — ib) = 2a, а произведение этих комплексных чисел \(z.\bar z \) = (a + ib) × (a — ib) = a ²  + b ² .

Обратная величина комплексного числа

Обратная величина комплексных чисел полезна в процессе деления одного комплексного числа на другое комплексное число. {-1}\).

Равенство комплексных чисел

Равенство комплексных чисел аналогично равенству действительных чисел. Два комплексных числа \(z_1 = a_1 + ib_1\) и \(z_2 = a_2 + ib_2 \) называются равными, если относительная часть обоих комплексных чисел равна \(a_1 = a_2\),  и мнимая части обоих комплексных чисел равны \(b_1 = b_2 \). Кроме того, два комплексных числа в полярной форме равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую величину, а их аргумент (угол) отличается на целое кратное 2π.

Упорядочивание комплексных чисел

Упорядочивание комплексных чисел невозможно. Действительные числа и другие связанные системы счисления можно упорядочить, но нельзя упорядочить комплексные числа. Комплексные числа не имеют структуры упорядоченного поля, и нет упорядоченности комплексных чисел, совместимой со сложением и умножением. Также нетривиальная сумма квадратов в упорядоченном поле есть число \(\neq 0\), а в комплексном числе нетривиальная сумма квадратов равна i ²  + 1 ²  = 0. Комплексные числа можно измерить и представить на двумерной арграндовой плоскости по их величине, которая является расстоянием от начала координат.

Формула Эйлера: В соответствии с формулой Эйлера для любого действительного значения θ мы имеем e ^iθ  = Cosθ + iSinθ, и оно представляет комплексное число в координатной плоскости, где Cosθ – действительная часть, представленная относительно ось x, Sinθ – мнимая часть, представленная относительно оси y, θ – угол, образованный по отношению к оси x и воображаемой линии, соединяющей начало координат и комплексное число. Согласно формуле Эйлера и функциональному представлению x и y имеем e ^{x + iy}  = e ^x (уютно + isiny) = e ^x уютно + т.е. ^x сине. Это разлагает экспоненциальную функцию на ее действительную и мнимую части.

Операции над комплексными числами

Различные операции сложения, вычитания, умножения, деления натуральных чисел можно выполнять и для комплексных чисел. Детали различных арифметических операций с комплексными числами заключаются в следующем.

Сложение комплексных чисел

Сложение комплексных чисел аналогично сложению натуральных чисел. Здесь в комплексных числах действительная часть добавляется к действительной части, а мнимая часть добавляется к мнимой части. Для двух комплексных чисел вида \(z_1 = a + id\) и \(z_2 = c + id\) сумма комплексных чисел \(z_1 + z_2 = (a + c) + i(b + d) \). Комплексные числа следуют всем следующим свойствам сложения.

• Закон замыкания: Сумма двух комплексных чисел также является комплексным числом. Для двух комплексных чисел \(z_1\) и \(z_2\) сумма \(z_1 + z_2\) также является комплексным числом.
• Коммутативный закон: Для двух комплексных чисел \(z_1\), \(z_2\) имеем \(z_1 + z_2 = z_2 + z_1\).
• Ассоциативный закон: Для данных трех комплексных чисел \(z_1, z_2, z_3\) имеем \(z_1 + (z_2 + z_3) = (z_1 + z_2)+z_3 \). 2 = -1\). Для двух комплексных чисел \(z_1\) = a + ib, \(z_2\) = c + id произведение равно \(z_1.z_2\) = (ca — bd) + i(ad + bc).

  Умножение комплексных чисел в полярной форме немного отличается от упомянутой выше формы умножения. Здесь абсолютные значения двух комплексных чисел перемножаются, а их аргументы складываются для получения произведения комплексных чисел. Для комплексных чисел \(z_1 = r_1(Cos\theta_1 + iSin\theta_1)\) и  z ₂  = \(z_2 = r_1(Cos\theta_2 + iSin\theta_2)\) произведение комплексные числа \(z_1.z_2 = r_1.r_2(Cos(\theta_1 + \theta_2) + iSin(\theta_1 + \theta_2))\). 92 + 2z_1z_2 +2z_2z_3 +2z_3z_1\)

Связанные темы:

• Комплексное сопряжение
• Калькулятор комплексных чисел
• Тригонометрия
• Координатная плоскость
• Координатная геометрия

Комплексные числа Советы и подсказки:

• Все действительные числа являются комплексными числами, но не все комплексные числа должны быть действительными числами.
• Все мнимые числа являются комплексными числами, но все комплексные числа не обязательно должны быть мнимыми числами. 9{2}-4(1)(1)}}{2(1)} \\[0,2 см]
  &=\frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2}\\[0,2 см]
  \text{Здесь } &\sqrt{-3} = \sqrt{-1} \times \sqrt{3} = i \sqrt{3}\\[0,2 см]
  x&= \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}\\[0,2 см]
  \end{align} \]

  Таким образом, корнями данного квадратного уравнения являются: \(\frac{-1}{2}+ i\frac{\sqrt{3}}{2};\,\,\ , \ frac{-1}{2}- i\frac{\sqrt{3}}{2}\)

• Пример 2: Выразите сумму, разность, произведение и частное следующих комплексных чисел в виде комплексного числа.

  \[\begin{align} z_1&=-2+i\\[0.2cm]z_2&= 1-2i \end{align} \]

  Решение:

  Сумма:

  \[ \begin{ выровнять} z_1+z_2&= (-2+i)+(1-2i)\\[0,2 см] &=(-2+1)+ (i-2i)\\[0,2 см] &= -1-i \end{align}\]

  Разница:

  \[ \begin{align} z_1-z_2&= (-2+i)-(1-2i)\\[0,2 см] &=(-2-1) + (i+2i)\\[0,2 см] &= -3+3i \end{align}\]

  Продукт:

  \[ \begin{align} z_1\cdot z_2&= (-2+i)( 1-2i)\\[0,2см] &=-2+4i+i-2i^2\\[0,2см] &=-2+4i+i+2 \,\,\, [\потому что i^2 =-1]\\[0,2 см] &=5i \end{выравнивание}\] 92=-1]\\[0,2 см] &= \dfrac{-4-3i}{5}\\[0,2 см] &=- \dfrac{4}{5}- i \dfrac{3}{5 }\end{align}\]

  Следовательно, имеем:

  Сумма = -1 — i
  Разница = -3 + 3i
  Продукт = 5i
  Деление = -4/5 — 3i/5

перейти к слайдуперейти к слайду

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Записаться на бесплатный пробный урок

перейти к слайдуперейти к слайду

 

Часто задаваемые вопросы о комплексных числах

Что такое комплексные числа в математике?

Комплексное число представляет собой комбинацию действительных и мнимых значений. Обозначается z = a + ib, где a, b — действительные числа, а i — мнимое число. i = \(\sqrt{-1}\) и никакое действительное значение не удовлетворяет уравнению i ²  = -1, поэтому I называется мнимым числом.

Для чего используются комплексные числа?

Комплексное число используется для простого нахождения квадратного корня из отрицательного числа. Здесь мы используем значение i ²  = -1 для представления отрицательного знака числа, что помогает легко найти квадратный корень. Здесь мы имеем √-4 = √i ² 4 = + 2i. {-1}\frac{b}{a} \)).

Что такое действительные и комплексные числа?

Комплексные числа являются частью действительных чисел. Некоторые действительные числа с отрицательным знаком трудно вычислить, и мы представляем отрицательный знак с помощью йоты «i», и такое представление чисел вместе с «i» называется комплексным числом. Дополнительные комплексные числа полезны для нахождения квадратного корня из отрицательного числа, а также для нахождения отрицательных корней квадратного или полиномиального выражения.

Как делить комплексные числа? 92)}\).

Как строить графики комплексных чисел?

Комплексное число вида z = a + ib может быть представлено в плоскости арганда. Комплексное число z = a + ib может быть представлено в виде координат точки как (Re(z), Im(z)) = (a, ib). Здесь действительная часть представлена ​​относительно оси x, а мнимая часть представлена ​​относительно оси y.

Как преобразовать комплексные числа в полярную форму?

Комплексный номер можно легко преобразовать в полярную форму.

No related posts.