В урне 4 белых и 2 черных шара из урны наудачу извлекают 2 шара: В урне 4 белых и 2 чёрных шара. Из этой урны наудачу извлечены 2 шара. Какова вероятность того, что эти шары разного цвета?

Несовместные исходы удобно расписать по пунктам:

По теореме умножения вероятностей зависимых событий:
 – вероятность того, что во 2-ю урну будет переложен белый шар и после этого из 2-й урны будет извлечён белый шар.

2) По классическому определению:  – вероятность того, что из 1-й урны во вторую будет переложен не белый шар. Пусть гипотеза  осуществилась, тогда во второй урне стало 7 шаров, среди которых по-прежнему 3 белых. Таким образом:  – вероятность того, что из второй урны будет извлечен белый шар при условии, что туда был переложен не белый шар.

По теореме умножения вероятностей зависимых событий:
 – вероятность того, что из 1-й урны во 2-ю будет переложен не белый шар и после этого из 2-й урны будет извлечён белый шар.

Подводим итог. По теореме сложения вероятностей несовместных событий:
 – вероятность того, что из 2-й урны будет извлечён белый шар.

Ответ:

Более интересная вариация по теме для самостоятельного разбора:

Задача 55
В первой урне находится 3 белых и 2 черных шара, во второй – 4 белых и 4 черных. Из первой урны во вторую наудачу перекладывают 2 шара. Найти вероятность того, что из второй урны будет извлечён белый шар.

Для решения задания нужно рассмотреть 3 несовместные гипотезы, привлечь на помощь комбинаторику и воспользоваться типовой задачей на классическое определение вероятности.

Иногда встречаются задачи повышенной комбинационной сложности – с двумя последовательными перемещениями шаров из 1-й во 2-ю урну, из 2-й в 3-ю и финальным извлечением шара из последней урны.

И в заключение этого параграфа разберём прелюбопытнейшую задачу, которой я вас заманивал в самом начале книги =) Даже не разберём, а проведём небольшое практическое исследование. Выкладки в общем виде будут громоздкие, поэтому рассмотрим конкретный пример:

Петя сдаёт экзамен по теории вероятностей, при этом 20 билетов он знает хорошо, а 10 плохо. Предположим, в первый день экзамен сдаёт часть группы, например, 16 человек, включая нашего героя. В общем, ситуация до боли знакома: студенты один за другим заходят в аудиторию и тянут билеты.

Очевидно, что последовательное извлечение билетов представляет собой цепь зависимых событий, и возникает насущный вопрос: в каком случае Пете с бОльшей вероятностью достанется «хороший» билет – если он пойдёт «в первых рядах», или зайдёт «посерединке», или если будет тянуть билет в числе последних? Когда лучше заходить?

Сначала рассмотрим «экспериментально чистую» ситуацию, в которой Петя сохраняет свои шансы постоянными – он не получает информацию о том, какие вопросы уже достались однокурсникам, ничего не учит в коридоре, ожидая своей очереди, и т.д.

Рассмотрим событие:  – Петя зайдёт в аудиторию самым первым и вытянет «хороший» билет. По классическому определению вероятности: .

Как изменится вероятность извлечения удачного билета, если пропустить вперёд отличницу Настю? В этом случае возможны две несовместные гипотезы:

 – Настя вытянет «хороший» (для Пети) билет;
 – Настя вытянет «плохой» билет (т. е. увеличит шансы Пети).

Событие же  (Петя зайдёт вторым и вытянет «хороший» билет) становится зависимым.

1) Предположим, что Настя с вероятностью  «увела» у Пети один удачный билет. Тогда на столе останутся 29 билетов, среди которых 19 «хороших». По классическому определению вероятности: 
 2) Теперь предположим, что Настя с вероятностью  «избавила» Петю от 1-го «плохого» билета. Тогда на столе останутся 29 билетов, среди которых по-прежнему 20 «хороших». По классическому определению: 

Используя теоремы сложения вероятностей несовместных и умножения вероятностей зависимых событий, вычислим вероятность того, что Петя вытянет «хороший» билет, будучи вторым в очереди:

 – вероятность… осталось той же!
Хорошо, рассмотрим событие:  – Петя пойдёт третьим, пропустив вперёд Настю и Лену, и вытащит «хороший» билет.

Здесь гипотез будет больше: дамы могут «обокрасть» джентльмена на 2 удачных билета, либо наоборот – избавить его от 2 неудачных, либо извлечь 1 «хороший» и 1 «плохой» билет. Если провести аналогичные рассуждения, воспользоваться теми же теоремами, то… получится такое же значение вероятности !
И так далее.

Таким образом, чисто с математической точки зрения, без разницы, когда идти – первоначальные вероятности останутся неименными. НО. Это только усреднённая теоретическая оценка, так, например, если Петя пойдёт последним, то это вовсе не значит, что ему останутся на выбор 10 «хороших» и 5 «плохих» билетов в соответствии с его изначальными шансами. Данное соотношение может варьироваться в лучшую или худшую сторону, однако всё же маловероятно, что среди билетов останется «одна халява», или наоборот – «сплошной ужас». Хотя «уникальные» случаи не исключены – всё-таки тут не 3 миллиона лотерейных билетов с практически нулевой вероятностью крупного выигрыша. Поэтому «невероятное везение» или «злой рок» – это слишком уж преувеличенные высказывания. Даже если Петя знает всего лишь три билета, то его шансы составляют 10%, что заметно выше нуля.

Математика и «чистый эксперимент» – это хорошо, но какой стратегии и тактики выгоднее придерживаться в реальных условиях? Безусловно, следует принять во внимание субъективные факторы, например, «скидку» преподавателя для «храбрецов» или его усталость к концу экзамена. Зачастую эти факторы могут быть и решающими, но в заключительных рассуждениях мы всё же остановимся на вероятностных аспектах:

Если Вы готовы к экзамену хорошо, то лучше идти «в первых рядах». Пока билетов полный комплект, постулат «маловозможные события не происходят» работает на Вас гораздо в бОльшей степени. Согласитесь, что намного приятнее иметь соотношение «30 билетов, среди которых 2 плохих», чем «15 билетов, среди которых 2 плохих». А то, что два неудачных билета на отдельно взятом экзамене (а не по средней теоретической оценке!) так и останутся на столе – вполне и вполне возможно.

Теперь рассмотрим «ситуацию Пети» – когда студент готов достаточно хорошо, но с другой стороны, и «плавает» тоже неплохо. В этом случае целесообразно пропустить вперёд 5-6 человек, и ожидать подходящего момента вне аудитории. Дальше по ситуации. Довольно скоро начнёт поступать информация, какие билеты вытянули однокурсники (снова зависимые события!), и на «заигранные» вопросы можно больше не тратить силы – учите и повторяйте другие билеты, повышая тем самым первоначальную вероятность своего успеха.
Если «первая партия» экзаменующихся «избавила» вас сразу от 3-4 трудных (лично для Вас) билетов, то выгоднее как можно быстрее попасть на экзамен – именно сейчас шансы значительно возросли. Постарайтесь не упускать момент – всего несколько пропущенных вперёд человек, и преимущество, скорее всего, растает. Если же наоборот, «плохих» билетов вытянули мало – ждите. Через несколько человек эта «аномалия» опять же с большой вероятностью, если не исчезнет, то сгладится в лучшую сторону.
В «обычном» и самом распространённом случае выгода тоже есть, ибо расклад
«24 билета / 8 плохих» лучше соотношения «30 билетов / 10 плохих». Почему? Трудных билетов теперь не десять, а восемь! С удвоенной энергией штудируем материал!

Если Вы готовы неважно или плохо, то само собой, лучше идти в «последних рядах» (хотя возможны и оригинальные решения, особенно, если нечего терять). Существует небольшая, но всё же ненулевая вероятность, что на столе останутся относительно простые вопросы + дополнительная зубрёжка + шпоры, которые отдадут отстрелявшиеся сокурсники =) И, да – в совсем критической ситуации есть ещё следующий день, когда экзамен сдаёт вторая часть группы 😉

Какой можно сделать вывод? Субъективный оценочный принцип «кто идёт раньше, тот готов лучше» находит внятное вероятностное обоснование!

Ни пуха Вам, ни пера, ни холлофайбера!

1. 7. Формула полной вероятности

1.6.5. Условная вероятность – что это такое?

| Оглавление |

Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

Более трудные задачи на сложение и умножение вероятностей

В уроке «Действия над вероятностями» мы познакомились со сложением и умножением вероятностей и простейшими примерами этих действий. В контрольных работах и на экзамене попадаются и задачи поинтересней (посложнее), в которых необходимо применять сразу и сложение и умножение вероятностей. На этой странице — решения таких задач. Как это часто бывает с задачами на нахождение вероятностей, рассматривается урна, в которой находится сколько-то шаров и из урны вынимается сколько-то шаров, а требуется найти вероятность того, что выбранный шар — такого-то или иного цвета.

Пример 1. В урне 9 белых и 7 чёрных шаров. Из урны вынимают (одновременно или последовательно) два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

Решение. Обозначим через a количество белых шаров, а через b — количество чёрных шаров. По теореме умножения вероятностей

Подставляем в полученную формулу значения количества белых и чёрных шаров и получаем:

Ответ: вероятность того, что оба шара будут белыми, равна 0,3.

Пример 2. В урне 9 белых и 7 чёрных шаров. Из урны вынимаются сразу два шара. Найти вероятность того, что эти шары будут разных цветов.

Решение. Событие может появиться в двух несовместных вариантах: бч и чб. По теремам сложения и умножения вероятностей

Подставляем в полученную формулу значения количества белых и чёрных шаров и получаем:

Ответ: вероятность того, что шары будут разных цветов, равна 0,525.

Пример 3. В урне 9 белых, 7 чёрных и 6 красных шаров. Три из них вынимаются наугад. Найти вероятность того, что по крайней мере два из них будут одноцветными.

Решение. Чтобы найти вероятность события A — по крайней мере два шара будут одноцветными, — перейдём к противоположному — все шары разных цветов:

Отсюда

Подставляем в полученную формулу значения количества шаров и получаем требуемую вероятность:

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Пройти тест по теме Теория вероятностей и математическая статистика

Попадаются и задачи на умножение вероятностей для нескольких событий. Поэтому следует привести формулы для вычисления вероятностей нескольких событий. Для зависимых событий она имеет вид

,

Для независимых событий:

.

Пример 4. Имеется коробка с девятью новыми теннисными мячами. Для игры берут три мяча. После игры их кладут обратно. При выборе мячей игранные от неигранных не отличают. Найти вероятность того, что после трёх игр в коробке не останется неигранных мячей.

Решение. Событие A может произойти единственным способом: первый раз, второй и третий из коробки будут вынуты неигранные мячи. Первый раз это обеспечено. Поэтому

.

Пример 5. Из полной колоды карт (52 карты) вынимают одновременно четыре карты. Рассматриваются события:

A — среди вынутых карт будет хотя бы одна бубновая;

B — среди вынутых карт будет хотя бы одна червонная.

Найти вероятность события C = A + B.

Решение. Переходим к противоположному событию — нет ни бубновой, ни червонной карты:

,

откуда получаем требуемую вероятность суммы событий:

.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Пройти тест по теме Теория вероятностей и математическая статистика

К началу страницы

Основные понятия теории вероятностей, непосредственное вычисление вероятностей

Действия над вероятностями

Формула полной вероятности

Формула Байеса

Независимые испытания и формула Бернулли

Распределение вероятностей дискретной случайной величины

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины

Биномиальное распределение дискретной случайной величины

Распределение Пуассона дискретной случайной величины

Равномерное распределение непрерывной случайной величины

Нормальное распределение непрерывной случайной величины

— В урне 2 белых, 3 красных и 5 черных шаров.

$\begingroup$

В урне 2 белых, 3 красных и 5 черных шаров. Случайным образом вынимаются 3 шара, по одному и без замены.

Рассчитайте вероятность извлечения последовательности цветов (белый, черный, красный), зная, что вы извлекли черный шар.

решение

Пусть E будет событием, относящимся к указанной последовательности цветов. Требуемая вероятность есть $P(E|X= 1)$, откуда следует $P(E|X= 1) = \frac{P(E⋂(X=1))}{P(X=1)} = \ frac {P (E)} {P (X = 1)} \ overset {(question1)} {=} \ frac {\ frac {2} {10} \ frac {5} {9}} \ гидроразрыва {3} {8}} {\ гидроразрыва {5} {12}} = \ гидроразрыва {1} {24}} {\ гидроразрыва {5} {12}} = \ гидроразрыва {1} { 10}$

вопрос 1 Если последовательность (белое, черное, красное) в числителе, у нас не должно быть: $\frac{3}{10}\frac{5}{9}\frac{2}{8}$ в конце результата то же самое, но, конечно, рассуждения для его получения разные. Какие рассуждения могут быть сделаны в решении?

А в знаменателе почему $\frac{5}{12}$. $P(X=1)$ указывает вероятность извлечения черного шара. Это не должно быть $\frac{5}{10}$

• вероятность

$\endgroup$

10

$\begingroup$

Начните с вычисления вероятности извлечения черного шара. Вероятность того, что ни один из черных шаров не будет извлечен, равна $\frac{1}{2} \frac{4}{9} \frac{3}{8} = \frac{1}{12}$. Следовательно, вероятность того, что будет извлечен черный шар, равна $1 — \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$.

Теперь вычислите вероятность появления последовательности (белое, черное, красное). Это просто: $\frac{1}{5} \frac{5}{9} \frac{3}{8} = \frac{1}{24}$.

Таким образом, искомая условная вероятность равна $\frac{\frac{1}{24}}{\frac{11}{12}} = \boxed{\frac{1}{22}}$.

Редактировать: предположим, что вместо «черный шар» нас интересует условие, что «вытягивается ровно один черный шар». Для этого учтите, что количество перестановок трех выбранных шаров (независимо от цвета и при условии, что они различимы) равно $(10) (9) (8) = 720$. Чтобы извлечь ровно один черный шар, мы должны выбрать его из $5$ вариантов и выбрать одну позицию из $3$ возможных. Затем для первой невыбранной позиции мы выбираем один из $5$ нечерных шаров, а для последней позиции мы выбираем один из оставшихся $4$ нечерных шаров. Количество способов $(5) (3) (5) (4) = 300$. Вероятность извлечения ровно один черный шар равен $\frac{300}{720} = \frac{5}{12}$. И желаемая условная вероятность будет $\frac{\frac{1}{24}}{\frac{5}{24}} = \boxed{\frac{1}{10}}$.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Суммарная Вселенная равна 10$ \х9\х8 =720$

Часть Вселенной исключена: мы знаем, что по крайней мере один шар черный. Таким образом, все комбинации, основанные только на красном+белом, исключаются: комбинации $5\times 4\times 3 =60$ исключаются.

Таким образом, Вселенная уменьшается до $720-60=660$

Количество комбинаций, совпадающих с последовательностью (белое, черное, красное), равно $2 \times 5 \times 3= 30$

Таким образом, вероятность равна $\frac { 30}{660}=\frac{1}{22}$

Условная вероятность означает, что вы разделите одну дробь на другую. Это слишком сложно. Легче разделить целое число (количество успехов) на другое целое число (размер ограниченной вселенной).

$\endgroup$

В урне A 7 белых и 3 черных шара, в урне B 4 белых и 6 черных шаров, в урне C 2 белых и 8 черных шаров. Одна из этих урн выбирается случайным образом с вероятностью 0,2, 0,6 и 0,2 соответственно. Из выбранной урны наугад извлекают два шара без замены. Оба шара оказались белыми. Найти вероятность того, что вынутые шары из урны C.

Вопрос

Обновлено: 26/04/2023

RS ТЕОРЕМА АГГАРВАЛА-БАЙЕСА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ-Упражнение 30

РЕКЛАМА

Текстовое решение

Ответ

Правильный ответ 140

Решение

Р(А)=0,2, Р(В)=0,6 и Р(С)=0,2.
Пусть E — событие, когда извлекаются 2 белых шара. Тогда
P(E/A)=.7C2.10C2,P(E/B)=.4C2.10C2,P(E/C)=.2C2.10C2
∴ требуемая вероятность
=P(C/E) =P(E/C).P(C)P(E/A).P(A)+P(E/B).P(B)+P(E/C).P(C).

Ответить

Пошаговое решение от экспертов, которое поможет вам в разрешении сомнений и получении отличных оценок на экзаменах.

Ab Padhai каро бина объявления ке

Khareedo DN Pro и дехо сари видео бина киси объявление ки rukaavat ке!

Похожие видео

Урна A содержит 2 белых, 1 черный и 3 красных шара, урна B содержит 3 белых, 2 черных и 4 красных шара, а в урне C 4 белых, 3 черных и 2 красных мячи. Наугад выбирают одну урну и из нее наугад вынимают 2 шара. Если выбранные шары оказались красными и черными, какова вероятность того, что оба шара из урны B?

Есть три урны, содержащие 2 белых и 3 черных шара, 3 белых и 2 черных шара и 4 белых и 1 черный шар соответственно. Существует равная вероятность того, что каждая урна будет выбрана. Из выбранной урны случайным образом извлекают шар, и он оказывается белым. Найти вероятность того, что вынутый шар был из второй урны.

32530615

Три урны содержат 2 белых и 3 черных шара, 3 белых и 2 черных шара, 4 белых и 1 черный шар соответственно. Из случайно выбранной урны извлекли один шар, и он оказался белым. Найти вероятность того, что он был извлечен из первой урны.

51237386

Три одинаковые урны содержат белые и черные шары. В первой урне 2 белых и 3 черных шара, во второй урне 3 белых и 2 черных шара, а в третьей урне 1 черный и 4 белых шара. Наугад выбирают урну и извлекают из нее шар. Если вынутый шар белый, какова вероятность того, что будет выбрана первая урна?

234812974

В урне A 2 белых и 4 черных шара, в урне B 5 белых и 7 черных шаров. Если случайным образом заменить по одному шару из A и B и извлечь шар из B, то вероятность того, что шар окажется белым, равна 9.0003

308714505

В одной урне 8 белых и 5 черных шаров, а в другой урне 5 белых и 6 черных шаров. Наугад выбирается одна урна и из нее вынимаются два шара. Найдите вероятность того, что шары белые.

320218559

Текст Решение

В урне 8 белых и 6 черных шаров. Два шара извлекаются из урны один за другим без возврата. Какова вероятность того, что оба вынутых шара белые?

425868197

Предположим, что есть 3 урны, содержащие 2 белых, 3 черных шара, 4 белых 1 черных и 3 белых, 2 черных шара соответственно. Существует равный шанс для выбора урны. Из случайно выбранной урны вынимают один шар, и он оказывается белым. Проблема. То, что он был взят из первой урны, равно

630437056

. В урне A 2 белых, 1 черный и 3 красных шара, в урне B 3 белых, 2 черных и 4 красных шара, а в урне C 4 белых, 3 черных и 2 красных мячи. Наугад выбирают одну урну и из нее наугад вынимают 2 шара. Если выбранные шары оказались красными и черными, какова вероятность того, что оба шара из урны B?

642566704

В урне 2 белых и 2 черных шара. Наугад извлекается шар. Если он белый, он не возвращается в урну. В противном случае он заменяется другим шаром того же цвета. Процесс повторяется. Найти вероятность того, что третий извлеченный шар окажется черным.

643823834

В урне 2 белых и 2 черных шара. Наугад извлекается шар. Если он белый, то в урну его не возвращают. В противном случае он заменяется другим шаром того же цвета. Процесс повторяется. Найти вероятность того, что третий извлеченный шар окажется черным.

644961989

В урне 2 белых и 2 черных шара. Наугад извлекается шар. Если он белый, он не помещается в урну, в противном случае он заменяется вместе с другим шаром того же цвета. Процесс повторяется, найти вероятность того, что третий вытащенный шар будет черным.

646282299

Калаш I содержит 2 белых и 3 черных шара, Калаш II содержит 4 белых и 1 черный и Калаш III содержит 3 белых и 4 черных шара. Случайным образом выбирается урна и извлекается шар. Если вытащенный шар белый, то какова вероятность того, что его вытащат из урны I?

646611223

Три урны содержат 2 белых и 3 черных шара, 3 белых и 2 черных шара и 4 белых и 1 черный шар соответственно.