Матпрофи теория вероятности: Теория вероятностей – научись решать за 3-4 дня!

Теория вероятностей – научись решать за 3-4 дня!



Настоящая книга позволит вам в самые короткие сроки (3 дня — неделя) освоить азы комбинаторики и теории вероятностей и научиться решать наиболее распространённые задачи по теме. Материал предназначен для студентов-заочников и других читателей, которые хотят максимально быстро освоить практику.

Оглавление

1. Случайные события

1.1. Понятие теории вероятностей

1.2. События и их вероятности

– Виды событий
– Совместные и несовместные события. Противоположные события. Полная группа
– Сложение и умножение событий
– Вероятность события
– Принцип практической невозможности маловероятных событий
– Сумма вероятностей событий, которые образуют полную группу
– Мама мыла раму

1.3. Основы комбинаторики

– Перестановки, сочетания и размещения без повторений
– Перестановки
– Сочетания
– Размещения
– Правило сложения и правило умножения комбинаций
– Перестановки с повторениями

– Сочетания с повторениями
– Размещения с повторениями

1. 4. Классическое определение вероятности

1.5. Геометрическое определение вероятности

1.6. Теоремы сложения и умножения вероятностей

– Теорема сложения вероятностей несовместных событий
– Зависимые и независимые события
– Теорема умножения вероятностей независимых событий
– Задачи на теоремы сложения и умножения
– Условная вероятность
– Теорема умножения  вероятностей зависимых событий

1.7. Формула полной вероятности

1.8. Формулы Байеса

1.9. Независимые испытания и формула Бернулли

1.10. Формула Пуассона

1.11. Локальная теорема Лапласа

1.12. Интегральная теорема Лапласа

1.13. Относительная частота события и статистическая вероятность

2. Случайные величины

– Закон распределения дискретной случайной величины
– Математическое ожидание дискретной случайной величины

– Дисперсия дискретной случайной величины
– Среднее квадратическое отклонение
– Формула для нахождения дисперсии
– Многоугольник распределения
– Функция распределения случайной величины
– Вероятность попадания в промежуток
– Контрольное задание

2.

3. Наиболее распространённые дискретные распределения

– Геометрическое распределение вероятностей
– Биномиальное распределение вероятностей
– Распределение Пуассона
– Гипергеометрическое распределение вероятностей

2.4. Непрерывная случайная величина

– Функция распределения непрерывной случайной величины
– Вероятность попадания в промежуток
– функция ПЛОТНОСТИ распределения вероятностей
– Как вычислить математическое ожидание и дисперсию НСВ?

2.5. Распространённые виды непрерывных распределений

– Равномерное распределение вероятностей
– Показательное распределение вероятностей
– Нормальный закон распределения вероятностей

3. Решения и ответы , а также Приложения доступны в полной версии.



Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

Формула Пуассона примеры | matematicus.

{–\lambda}$

тогда формула Пуассона примет вид

---

Пример 1
Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятности того, что магазин получит разбитых бутылок:
а) ровно две;
б)  менее двух;
в) более двух;
г) хотя бы одну.
Решение

а) λ равно:

λ=n·p=1000·0.003=3

  Найдём вероятность того, что магазин получит ровно две разбитых бутылки минеральной воды k=2:

P₁₀₀₀(2)=3²·e^-3/2!= 9/2·e^-3≈0.224

б) Найдем вероятность, что будет разбито менее двух бутылок минеральной воды. Для этого вычислим сумму при k=0 и k=1:

  P₁₀₀₀(0)+P₁₀₀₀(1)=

=3⁰·e^-3/0!+3¹·e^-3/1!=4·e^-3≈0.1992

 

в) Здесь событие «разбито более двух бутылок минеральной воды» противоположно событию «разбито не более двух бутылок минеральной воды», следовательно

  p=1-q=1-[P₁₀₀₀(0)+P₁₀₀₀(1)+P₁₀₀₀(2)]=

=1-[3⁰·e^-3/0!+3¹·e^-3/1!+3²·e^-3/2!]≈0. 5768

 

 г) Событие «разбита хотя бы одна бутылка минеральной воды»

противоположно событию «разбито ни одной бутылки минеральной воды», тогда 

   р=1-q=1-P₁₀₀₀(0)=1-3⁰·e^-3/0!≈0.95021

---

Пример 2
Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету р=0,01. Сколько нужно купить билетов, чтобы выиграть хотя бы по одному из них с вероятностью Р, не меньшей, чем 0,95?
Решение
В этой задачи имеем два противоположных события «ни один из лотерейных билетов не выигрышный» и «хотя бы один лотерейный билет выигрышный», отсюда

P=1–P(0)

Так как

P(0)=λ⁰·e^–λ/0!=e^–λ

P=1–e^–λ

По условию задачи

1–e^–λ≥0.95

e^–λ≤0.05

По таблице  при e^-x=0.

05 находим λ=3, так как e^–x убывающая функция, следовательно должно выполняться неравенство λ≥np, тогда подставляя значения в выражения, имеем

 3≥n·0.01

n≥300

Нужно купить не менее 300 билетов, чтобы выиграть хотя бы по одному из лотерейных билетов.

---

Пример 3

Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,01. Найти вероятность того, что среди 200 деталей окажется ровно четыре бракованных.

Решение
Здесь, р=0,01, n=200, для вычисления вероятности применим формулу Пуассона, тогда:

   λ=n⋅p=200⋅0.01=2

P₂₀₀(4)=λ⁴⋅e^-λ/4!

   P₂₀₀(4)=2⁴⋅e

-2/4! ≈ 2⋅0.13534≈0.09

---

Пример 4

Вероятность наступления события в каждом из одинаковых независимых испытаний равна 0,02.