Матрица a: Обратная матрица онлайн — Таловская средняя школа

Линейная алгебра

Линейная алгебра

1.3. Матрицы. Операции над матрицами

назад | оглавление | вперёд

Две матрицы A и B называются равными ,если они имеют

один и тот же порядок и если элементы стоящие на соответствующих местах равны.

К линейным операциям относятся :

Умножение матрицы на число

Для того чтобы умножить матрицу на число нужно каждый элемент

матрицы умножить на это число:

Сложение матриц.

Складывать можно только матрицы одинаковых размеров:
Свойства линейных операций
Если матрица в качестве элементов имеет нули , то такая матрица называется нулевой.
Произведение матриц .

Пример:
.==
.=
.
Если для матриц А и В выполняется равенство А* В=В*А ,то
матрицы называются перестановочными.
Если для матриц А , В , С имеет смысл операция произведения,
то выполняются равенства
A(B*C)=(A*B)*C
A(B+C)=AB+AC
(B+C)A=BA+CA
Транспонирование матриц

Рассмотрим матрицы
A^T называется транспонированной по отношению к A
Если A_T получена из матрицы А заменой строк на столбцы то

назавают главной диагональю
Очевидно:
Если А является квадратной матрицей(n*n), то элементы матрицы
Если для квадратной матрицы выполняется условие
то матрица А называется симметричной и в этом случае достаточно указать элементы, стоящие на главной диагонали и элементы, стоящие над главной диагональю.
Понятие обратной матрицы.
Обратные матрицы существуют только для квадратных матриц. Квадратная матрица ,у которой на главной диагонали стоят
единицы, а вне главной диагонали — нули, называется единичной матрицей.
Например, единичная матрица второго порядка:
Теорема.
Если А и В – квадратные матрицы одного и того же порядка n, то определитель их произведения равен произведению определителей матриц-сомножителей:

Определение обратной матрицы:
Матрица В называется обратной для матрицы А , если А и В перестановочны и А*В=В*А=Е
Обозначение обратной матрицы:
Теорема.
Если матрица А имеет обратную ,то ее определитель отличен от
нуля.
Доказательство.
Так как А имеет обратную матрицу, то
Воспользуемся теоремой о том ,что определитель произведения
равен произведению определителей.
что и требовалось доказать.
Нахождение обратной матрицы методом Крамера
Теорема.
Если квадратная матрица А имеет определитель отличный от нуля, то данная матрица имеет обратную.
Доказательство.
Пусть матрица А такова, что её определитель отличен от нуля.

Докажем, что существует матрица В, такая что:
*=

Отсюда, в частности, следует:
Система (3) –из трех уравнений с тремя неизвестными, и т.к. определитель системы (3) по условию отличен от нуля , то эту систему можно решить методом Крамера причем решение (3) — единственно.
Аналогично можно доказать существование и единственность всех остальных элементов матрицы В.
Алгоритм нахождения обратной матрицы методом Крамера.
Первоначально находим определитель матрицы А и если он
равен нулю , то обратной матрицы не существует.
Если определитель отличен от нуля , то находим союзную
матрицу
состоящую из алгебраических дополнений элементов матрицы А.
Элементарные преобразования матриц.

Эквивалентные матрицы.
К элементарным преобразованиям относятся:
умножение любой строки матрицы на число , отличное от нуля;

пример
=
к любой строке можно добавить любую другую строку , умноженую на любое число;
перестановка двух строк.
Матрицы, полученные с помощью элементарных преобразований
называются эквивалентными
А~ В , В~ С , А~ С
Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.
Расмотрим квадратную матрицу А и предположим , что
тогда используя элементарные преобразования эту матрицу
можно привести к единичной матрице .Таким образом единичная
матрица эквивалентна любой невырожденой матрице того же
порядка.

Теорема
Если элементарные преобразования:
переводят невырожденую матрицу А в единичную , то
те же самые преобразования, взятые в том же порядке, переводят
единичную матрицу в обратную для A.
Доказательство:
отсюда

назад | оглавление | вперёд

Основные сведения о матрицах
В этом разделе мы даем основные сведения о матрицах, необходимые для понимания статистики и анализа данных.
Матрицей размера m x n (читается m на n) называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.
Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.
Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита, например, A, B, C,….
Для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойным индексом, например:

a_ij_,где i — номер строки, j — номер столбца.
Например, матрица:
В сокращенной записи обозначаем A=(a_ij); i=1,2,…m; j=1,2,…,n
Приведем пример матрицы 2 на 2:
Вы видите, что a₁₁ = 1, a₁₂ = 0, a₂₁ = 2, a₂₂=5
Наряду с круглыми скобками используются и другие обозначения матрицы:
Две матрицы A и B одного размера называются равными, если они совпадают поэлементно, a_ij_{= b_ij}_{для любых i=1,2,…m; j=1,2,…n}
Виды матриц

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором) — строкой, а из одного столбца — матрицей (вектором)- столбцом:
A=(a₁₁,a₁₂,…,a_1n) — матрица — строка
B=
Матрица называется квадратной n-го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n.
Например,
Элементы матрицы a_ij, у которых номер столбца равен номеру строки образуют главную диагональ матрицы. Для квадратной матрицы главную диагональ образуют элементы a₁₁, a₂₂,…,a_nn.
Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной.
Операции над матрицами
Над матрицами, как и над числами, можно производить ряд операций, причем некоторые из них аналогичны операциями над числами, а некоторые — специфические.
1. Умножение матрицы на число. Произведение матрицы А на число  называется матрица B=A, элементы которой b_ij=a_ij для i=1,2,…m; j=1,2,…n
Следствие: Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.
В частности, произведение матрицы А на число 0 есть нулевая матрица.
2. Сложение матриц. Суммой двух матриц А и В одинакового размера m называется матрица С=А+В, элементы которой c_ij=a_ij+b_ij_{для i=1,2,…m; j=1,2,…n (т.е. матрицы складываются поэлементно).}
3. Вычитание матриц. Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции: A-B=A+(-1)∙B.
4. Умножение матриц. Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матриц A_m∙B _kназывается такая матрица C_m, каждый элемент которой cij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В:

i=1,2,…,m; j=1,2,…,n
Многие свойства, присущие операциям над числами, справедливы и для операций над матрицами (что следует из этих операций):
A+B=B+A
(A+B)+C=A+(B+C)
λ (A+B)= λA+ λB
A(B+C)=AB+AC
(A+B)C=AC+BC
λ (AB)=( λA)B=A(λB)
A(BC)=(AB)C
Однако имеются и специфические свойства матриц. Так, операция умножения матриц имеет некоторые отличия от умножения чисел:
a)      Если АВ существует, то после перестановки сомножителей местами произведение матриц ВА может и не существовать.
b)      Если АВ и ВА существуют, то они могут быть матрицами разных размеров.
5. Транспонирование матрицы — переход от матрицы А к матрице А’, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица А’ называется транспонированной относительно матрицы А:
Из определения следует, что если матрица А имеет размер m, то транспонированная матрица А’ имеет размер n
В литературе встречаются и другие обозначения транспонированной матрицы, например, А^Т
Связанные определения:
Вырожденная матрица
Обобщенная обратная матрица
Обратная матрица
Плохо обусловленная матрица
Псевдообратная матрица
Эрмитова матрица
Эрмитово-сопряженная матрица
В начало
Содержание портала
2.1 Определения и матричная алгебра
Определение 2.1
An m ✕ n матрица представляет собой прямоугольную сетку чисел с 9 m строками и n столбцов.
Вектор-столбец представляет собой матрицу м ✕1.
Вектор-строка из представляет собой матрицу 1✕ n .
Квадратная матрица размером равна м ✕ м для некоторых м .
Набираем матрицы так: \[A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & \pi \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 1\2\3 \end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \конец{pmatrix}\] это матрица 2✕3, вектор-столбец 3✕1 и 3✕3 квадратная матрица соответственно.
Определение 2.2 Элемент матрицы i , j представляет собой число в строке i и столбец j .
Например, запись 1, 2 матрицы A выше равна 2, запись 2, 1 равна 0, а запись 2, 3 — это \(\pi\). Очень часто мы пишем \(A=(x_{ij})\), чтобы обозначить, что A является матрица, запись i , j которой равна \(x_{ij}\).
Если две матрицы
A и B имеют одинаковый размер (то есть обе м ✕ n для тех же м и n ) потом их складываем и вычитаем добавляя и вычитая каждую запись отдельно:
\[\begin{align*} \begin{pmatrix} 1 и 2 \\ 3 и 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 и 1 \\-1 и -1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 и 3 \\ 2 и 3 \end{pматрица} \\ \begin{pматрица} 1&0 \end{pmatrix} — \begin{pmatrix} 9 и 9 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -8 и -9 \end{pматрица} \end{align*}\]
Мы также умножаем матрицы на числа по одной записи за раз («по входу»): \[2 \begin{pmatrix} 1&2&3 \\0 & 1 & 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2&4&6\\0&2&0 \end{pmatrix}\]
Это называется скалярным умножением на . Он удовлетворяет некоторым простые тождества: для любых матриц A и B одинакового размера и любой номер л и м , \[\начать{выравнивать*} (l + m) A &= lA + m A \\ л(А+В) &= л А + л В \\ l(m A) &= (lm)A.
\end{align*}\]
Определение 2.3 m ✕ n нулевая матрица , записанная \(\mathbf{0}_{m\times n}\), равна ✕ 9Т = А\).
Векторы и матрицы
Марко Табога, доктор философии
Эта лекция представляет собой неформальное введение в матрицы и векторы.
Содержание
Матрица
Размерность матрицы
Элементы матрицы 9000 Векторы
9003
Скаляры
Равные матрицы
Нулевые матрицы
Квадратные матрицы
Диагональные и недиагональные элементы
Идентичная матрица
Транспонирование матрицы 6
Транспонирование матрицы 6
матрицы
Решенные упражнения
Упражнение 1
Упражнение 2
Упражнение 3
Матрица
Матрица — это двумерный массив с фиксированным числом строк и столбцов и содержит число на пересечении каждой строки и столбца.
Матрица обычно ограничивается квадратными скобками.
Пример Вот пример матрицы с двумя строками и двумя столбцы:
Размерность матрицы
Если матрица имеет ряды и столбцы, мы говорим, что он имеет размерность , или что это матрица.
Пример матрица имеет ряды и столбцы. Итак, мы говорим, что это матрица.
Элементы матрицы
Числа, содержащиеся в матрице, называются элементами матрица (или элементы, или компоненты).
Если является матрицей, запись на пересечении строки и колонка обычно обозначается (или ). Мы говорим, что это -й запись .
Пример Позволять быть матрица определяется как следует: элемент на пересечении третьей строки и первого столбца, т. е. его -й вход
Векторы
Если матрица имеет только одну строку или только один столбец, она называется вектором.
Матрица, имеющая только одну строку, называется вектором-строкой .
Пример матрикс вектор-строку, потому что он имеет только одну строку.
Матрица, имеющая только один столбец, называется вектором-столбцом .
Пример матрикс вектор-столбец, потому что он имеет только один столбец.
Скаляры
Матрица, имеющая только одну строку и один столбец, называется скалярной.
Пример матрикс скаляр. Другими словами, скаляр — это одно число.
Равные матрицы
Равенство между матрицами определяется очевидным образом.
Два матрицы и имеют одинаковую размерность, называются равно тогда и только тогда, когда все их соответствующие элементы равны каждому другое:
Нулевые матрицы
Матрица является нулевой матрицей , если все ее элементы равны нулю, и мы пишем
Пример Если это матрица и , затем
Квадратные матрицы
А матрица называется квадратной матрицей , если количество его строк равно столько же, сколько и количество его столбцов, т. е. .
Пример матрикс квадратная матрица.
Пример матрикс квадратная матрица.
Диагональные и недиагональные элементы
Позволять быть квадратной матрицей.
Диагональ (или главная диагональ ) это набор всех записей такой, что .
Элементы, принадлежащие диагонали, называются диагональными элементами, и все остальные элементы называются недиагональными.
Пример Позволять быть матрица определена всем внедиагональные записи равны , а три диагональных элемента равны , , и , соответственно.
Идентификационная матрица
Квадратная матрица называется единичной матрицей , если все ее диагональные элементы равны и все его недиагональные элементы равны . Обычно обозначается буквой .
Пример матрикс в единичная матрица.
Транспонирование матрицы
Если это матрица, это транспонировать , обозначается , это матрица такая, что -й элемент равно -й элемент для любой и удовлетворяющий и .
Другими словами, столбцы равны строкам (равнозначно ряды равны столбцам ).
Пример Позволять быть матрица определяется Его транспонировать следующее матрица:
Пример Позволять быть матрица определяется Его транспонировать следующее матрица:
Симметричные матрицы
Говорят, что квадратная матрица равна 9.0004 симметричный , если он равен его транспонировать.
Пример Позволять быть матрица определяется Его транспонировать следующее матрица: какая равно . Поэтому, симметричен.
Решенные упражнения
Ниже вы можете найти несколько упражнений с поясненными решениями.
Упражнение 1
Позволять быть матрица определена по
Найдите его транспонирование.
Решение
Транспонирование матрица такая, что ее столбцы равны строкам :
Упражнение 2
Позволять быть вектор-столбец определен по
Покажите, что его транспонирование является вектором-строкой.
Решение
Транспонирование матрица такая, что ее строки равны столбцам . Но имеет только один столбец, что означает, что имеет только одну строку. Следовательно, это ряд вектор:
Упражнение 3
Позволять быть матрица определена по
Является ли он симметричным?
Раствор
симметричен, если он равен своему транспонированному.
No related posts.