Правило треугольников — Энциклопедия по экономике
При вычислении определителя 3-го порядка АЗ использовали правило треугольников, согласно которому соответствующие произведения трех элементов матрицы берутся со знаками + и — [c.262]Необходимо выделить следующие общие правила треугольников [c.59]
Нижний левый треугольник соответствует зоне убытков предприятия до достижения порога рентабельности, верхний правый треугольник — зоне прибылей (не окажет ли нам знание последнего обстоятельства дополнительную помощь при расчете авансовых платежей по налогу на прибыль и общей суммы налога ). [c.198]
На рис. 10.5 показан выделенный абзац. Обратите внимание на положение верхнего треугольника и левого нижнего треугольника на горизонтальной линейке они указывают на отступ в красной строке и левую границу абзаца. Правый треугольник мы сдвинули влево, но еще не отпустили кнопку мыши (поэтому на экране видна вертикальная пунктирная линия). Как только мы отпустим кнопку, правый край абзаца сместится влево.
На рис. 10.6 мы выделили и взяли три абзаца в рамку (толщиной 0,75 пункта), заполнив ее узором (градация серого 10%). Чтобы рамка была более аккуратной, мы сдвинули влево нижний правый треугольник на горизонтальной линейке (т. е. изменили правую границу абзацев). Обратите внимание, как все наши манипуляции воспроизводятся на панели Обрамление толщина границы рамки, градация серого, утопленные кнопки выбора типа рамки. [c.97]
Составлялись планы социального развития коллективов методом набора мероприятий (в том числе из прошлогодних планов), утверждались, как правило, «треугольником» и принимались на общих собраниях к действию. Органическая увязка этих планов с производственной деятельностью предприятий была довольно слабой, что обусловливало их второстепенный характер и соответственно второстепенную роль в жизни трудовых коллективов. [c.153]
Вообще-то, отличие между горизонтальными треугольниками и тройными тройками заключается только во внешней форме моделей и всего в одном пункте правил.
Если политики оценивают потребительский излишек более высоко, чем излишек производителя, данные полные убытки могут не иметь большого политического значения. Однако если кривая спроса очень неэластична, контроль над ценами может привести к чистой потере в потребительском излишке, как показано на рис. 9.4. На этом рисунке треугольник В, площадь которого равна убыткам потребителей, вытесненных с рынка нормированием товаров, больше прямоугольника А, измеряющего выигрыш потребителей, получивших преимущественное право приобрести товар.
Предприятия — риск со знаком — выпускают, как правило, небольшие объемы продукции по низкой цене. Продукция может пользоваться спросом у незначительного круга потребителей, или же единственным заказчиком может выступать государство. Примером подобного предприятия является ОАО Красный треугольник . [c.62]
Индикатор примечаний — маленький красный треугольник в верхнем правом углу ячейки. Примечание вводится в окно справа от ячейки при выполнении команды меню Вставка > Примечание и выводится после установки указателя на ячейку. Для редактирования примечаний или их удаления служит команда меню Вставка > Изменить примечание. [c.344]
Если у электродвигателей нет доски зажимов, а просто выведено шесть концов обмотки статора, то при соединении этих концов в звезду или треугольник необходимо придерживаться порядка соединения и маркировки проводов. При этом необходимо помнить, что электродвигатели, выпущенные на двойное напряжение 220/380 В, можно включать в сеть 220 В только при соединении обмоток статора в треугольник, а в сеть 380 В — при соединении обмотки статора в звезду.
Нарушение этого правила может привести к повреждению электродвигателя.
[c.18]
Остается добавить, что 75 процентов риска по любой конкретной акции составляют рынок и сектор. Проблема, с которой сталкиваются большинство инвесторов, состоит в том, что они концентрируют 75 процентов своих усилий на оценке конкретных фундаментальных показателей. Чрезвычайно важно покупать акции, когда вы являетесь хозяином положения (рынок имеет бычий настрой). Необходимые рыночные индикаторы мы раскроем в последующих главах. Еще раз, прежде чем предпринимать какие-либо действия в отношении акции, наберите как можно больше очков в свою пользу. Я не знаю, сколько раз знакомые подходили ко мне и просили совета насчет акции, о которой они узнавали от своих друзей. Как правило, они говорили, что это весьма солидный и надежный источник. Мой ответ на это всегда был один и тот же, и его же я повторю и для вас «Если это инсайдерская информация, то у вас ее уже нет. Потому что, как только вы ее получили, она тут же стала внешней, доступной всем, информацией, а те, кто знали о ней, давно уже что-то предприняли».
Эта фигура отличается от предыдущих тем, что треугольник обычно является фигурой продолжения. Его формирование сигнализирует, что тренд опередил себя (сленг — Прим. автора) и должен на некоторое время консолидироваться. После завершения этой консолидации тренд обычно возобновляет движение в том же направлении. Поэтому при верхнем тренде треугольник является обычно бычьей фигурой. При нижнем тренде треугольник обычно медвежий. Фигура треугольника может принимать разнообразные формы. Наиболее частой является симметричный треугольник (см. рис. 10). Эта фигура характеризуется горизонтальным движением на графике, где действие цены постепенно сужается.
Эта ступенька треугольника Б—И — управление правовыми вопросами — стала для меня самым тяжелым уроком, который я когда-либо получал. Мой богатый папа выявил серьезный изъян в моем бизнесе я не оформил юридические права на изделия на «липучках», которые я разработал до того, как начал их выпускать. А именно, я так и не запатентовал некоторые из моих изделий (я не сделал этого, потому что считал, что платить 10 тысяч долларов юристам-патентоведам за такую, как я полагал, мелочь, слишком дорого). Вскоре [c.385]
Треугольник Б—И и правило 90/10 идут рука об руку [c.394]
В следующей главе мы рассмотрим еще одну группу моделей — модели продолжения тенденции.
Тогда мы поговорим о треугольниках, флагах, вымпелах, клиньях и прямоугольниках. Эти модели, как правило, отражают паузы в существующей тенденции, а не перелом в ее динамике. Обычно они классифицируются как промежуточные и малые (или краткосрочные) по сравнению с основными моделями.
[c.97]
Обратите внимание на то, как часто мы употребляем слово «обычно». Это связано с тем, что интерпретация графических моделей подчинена, скорее, общим закономерностям, чем жестким правилам. В ней всегда существуют исключения. Даже элементарная классификация ценовых моделей становится подчас затруднительной. Обычно треугольники являются моделями продолжения тенденции, однако временами они показывают перелом тенденции. Хотя треугольники, как правило, считаются промежуточными моделями, они иногда появляются на долгосрочных графиках, отражающих развитие основной тенденции. Разновидность треугольника — перевернутый треугольник — обычно обозначает перелом основной восходящей тенденции. Временами даже «голова и плечи» — наиболее известная основная модель перелома -может свидетельствовать о фазе консолидации.
Симметричный треугольник или «спираль» — как правило, модель продолжения тенденции. Она знаменует паузу в уже существующей тенденции, после которой последняя возобновляется. Например, на рис. 6.1 а предшествующая тенденция была восходящей, и после консолидации цен в виде треугольника рост цен скорее всего продолжится. В случае нисходящей тенденции, симметричный треугольник означал бы, что после его завершения падение цен возобновится. [c.126]
На завершение модели треугольник требуется некоторое время, которое определяется точкой схождения двух линий, то есть вершиной модели. Как правило, прорыв цен должен быть в направлении предыдущей тенденции, на расстоянии от половины до 3/4 ширины треугольника по горизонтали. Под шириной треугольника понимается расстояние от вертикальной линии слева (основания модели) до ее вершины справа. Так как две линии должны соединиться в какой-то точке, отрезок, определяющий время, может быть получен только после проведения двух сходящихся линий.
Расширяющаяся формация» — относительно редкая модель, которая, если и возникает, то, как правило, в преддверии перелома основной восходящей тенденции, на вершине рынка. Она напоминает расширяющийся треугольник с тремя последовательно возрастающими верхними и двумя опускающимися нижними экстремумами. Расширение ценовых колебаний сопровождается постепенным увеличением торговой активности. Такая формация завершается при пересечении уровня второго спада, которое следует после достижения рынком третьего пика. [c.137]
Pu . 6.66 Пример модели алмаз на вершине рынка. Левая часть модели представляет собой расширяющийся треугольник, правая — симметричный. Прорыв восходящей линии тренда справа сигнализирует о переломе тенденции.
Измерьте алмаз по вертикали в самой широкой его части и отложите полученное расстояние вниз от точки прорыва.
[c.139]
Как правило, такая модель до прорыва успевает пройти две трети расстояния до своей вершины, а иногда даже достигает ее (способность проходить весь путь до вершины также отличает ее от симметричного треугольника). По мере образования клина объем должен уменьшаться, а затем, при прорыве, -увеличиваться. При нисходящей тенденции клин формируется быстрее, чем при восходящей. [c.146]
Как правило, графики цен на один и тот же товар демонстрируют одинаковую последовательность ценовых моделей, которая может отличаться от последовательности моделей на графиках цен на другие товары. Иными словами, графики определенного товара имеют набор особенностей, присущих только этому товару. Например, на графиках хлопка возникает много закругленных вершин и оснований, которые часто образуют целые последовательные серии, что редко наблюдается на графиках соевых бобов и пшеницы.
Изучение графиков соевых бобов за несколько лет показывает, что наиболее распространенными моделями на этом рынке являются треугольники. В свою очередь, конфигурации «голова и плечи» очень часто встречаются на графиках рынка пшеницы. Все товарные активы чаще всего следуют определенным моделям поведения, которые находят свое отражение на графиках.»
[c.153]
При рассмотрении ценовых моделей в главах 5 и б мы уже отмечали, что объем является важным индикатором подтверждения ценовых изменений. Одним из первых признаков образования модели «голова и плечи», свидетельствующей о достижении рынком вершины, служит то, что во время формирования «головы» цены росли при небольшом объеме, а последующее падение цен к линии «шеи» сопровождалось увеличением торговой активности. В процессе образования двойных или тройных вершин объем становился все меньше при достижении ценами каждого последующего пика, зато при снижении цен возрастал. Формирование моделей продолжения тенденции, например треугольников, должно проходить при постепенном снижении объема.
Как правило, завершение всех моделей (в точке прорыва) сопровождается увеличением активности рынка, если прорыв не ложный (см. рис. 7.5).
[c.162]
Графический анализ достаточно субъективен и с трудом поддается тестированию. Именно поэтому его не так просто переложить на язык компьютерных программ. Что же касается процедур и правил анализа средних скользящих, то они легко закладываются в компьютерную программу, которая потом может выдавать специальные сигналы, указывающие пользователю на наиболее благоприятные моменты для открытия длинных или коротких позиций. Если результаты графического анализа часто оказываются противоречивыми, у аналитиков могут возникнуть разногласия относительно того, к какому типу относится та или иная ценовая модель к треугольникам или, скажем, алмазам на преобладание каких настроений указывают изменения объема бычьих или медвежьих, то сигналы средних скользящих, наоборот, — точны и недвусмысленны. [c.208]
В самой общей форме это правило, или принцип, гласит обычно рынок не проявляет себя одинаково два раза подряд.
Например, если последний раз при переломе тенденции сформировалась определенная модель, то при следующем переломе в том же направлении она, скорее всего, не повторится. Правило чередования не может подсказать нам, что конкретно произойдет с рынком, но говорит, что именно произойти не должно. Более узкое применение этого правила на практике обычно сводится к определению того, какой тип коррекции следует ожидать. Корректирующие конфигурации имеют тенденцию к чередованию. Иными словами, если корректирующая волна 2 представляла собой простую модель а-Ь-с, то волна 4, скорее всего, образует сложную конфигурацию — например, треугольник. И наоборот, если волна 2 представляет собой сложную модель, волна 4 окажется простой. Примеры правила чередования — на рис. 13.31.
[c.346]
Треугольники, как правило, образуются на четвертых волнах (эта модель всегда предшествует последней волне). Треугольник может также быть корректирующей волной В. [c.353]
Рис. 13. 37 Еще один пример пятиволнового роста. Обратите внимание на линии канала и пятиволновое разбиение каждой импульсной восходящей волны. Волна 4 сформировала треугольник консолидации, который также состоит из пяти волн. Треугольники, как правило образуются волной 4. |
В 70-х годах, когда Стенфордский исследовательский институт образовал Силиконовую Долину, а Северная Каролина строила Исследовательский Треугольник, ни одно учреждение Техаса не имело политики, которая могла бы позволять передавать за деньги в частный сектор права владения или лицензию на интеллектуальную собственность, созданную в ходе финансированного государством исследования. Даже сегодня прибыль представляет собой спорный вопрос для большинства «некоммерческих» университетов, что способствует расширению запрещенной зоны на пути технологии к месту на рынке, где они могут стать прибыльными продуктами. Фундаментальная причина заключается в различии мотивации к новым знаниям.
В университетском сообществе знание является венцом всему, целью, а не средством. Чтобы еще усложнить проблему, государственные университеты заявляют об их ответственности перед налогоплательщиками. Те. дескать, уже оплатили их труд и. следовательно, имеют право на долю в результатах. Проблема такого подхода заключается в том, что при этом не учитываются финансовые и управленческие инвестиции, обязательные для превращения идеи в продукт. Готовность безвозмездной передачи идеи обществу исключает дополнительные инвестиции, необходимые для превращения добротной технологии в рыночный продукт. Если какая-либо фирма, университет, сообщество, государство или нация реально хочет, чтобы их граждане извлекли выгоду из исследований, поддержанных на бюджетные деньги, то надо, чтобы это «чреждение нашло партнера из частного сектора, который понимает разницу между изумительной технологией и ходовым продуктом. Этот партнер должен также понимать правила трансфера технологии и роль, которую в этом может сыграть сотрудничество разных секторов.
[c.236]
Как только мощная волна 3 заканчивается, на рисунок рынка начинает оказывать воздействие взятие прибыли. Большинство опытных трейдеров, стоявших ранее в трен-де, начинают снимать обильную прибыль, закрывая свои позиции. Характер волны 4 совершенно отличается от той, какая присуще волне 2. Эллиот отмечал это различие, как правило, чередования если волна 2 является простой, то волна 4 будет сложной, и наоборот. Простой коррекцией обычно обоснованно является движение типа «зигзаг». Если оно происходит в волне 2, волна 4 будет сложной боковой коррекцией (плоская, неправильная, треугольник, удвоенные или утроенные тройки5). [c.91]
INTU] INTUIT прорвала двойную вершину на 45. Это — пробитие модели треугольника. Такие модели, как правило, приводят именно к таким быстрым взрывным движениям. Основной тренд — восходящий, с ценой, торгуемой над линией медвежьего сопротивления. Тест прорыва максимум графика на 50. Если все «ОК», то покупайте INTU здесь, с защитной остановкой на 38, так как тут уровень прорыва линии восходящего тренда.
[c.56]
Неограничивающие Треугольники (специфика) 5-30 Посттреугольный выброс 5-31 Расширяющиеся Треугольники (общие правила) 5-31 [c.121]
Определители — презентация онлайн
Похожие презентации:
Определители. Свойства определителей
Определители. Свойства определителей
Определители и их применения
Матрицы, определители. Обратная матрица. Ранг матрицы. Системы линейных уравнений элементы векторной алгебры
Матрицы и определители
Матрицы. Действия над матрицами. Определители и их свойства
Матрицы и определители
Матрицы и определители
Матрицы, определители, Формулы Крамера
Алгебра: Матрицы. Действия с матрицами. Определитель. Его вычисление и основные свойства
1. Содержание
1. Определители2. Элементы теории матриц
3. Системы линейных уравнений
4. Элементы векторной алгебры
5. Прямая на плоскости и плоскости
2. Определители
• Рассмотрим таблицуa11
a
21
a12
a 22
Числа
a11 , a12 , a21 , a22
– это
элементы таблицы.
aij
i номер строки;
j номер столбца
• Число строк – порядок таблицы.
• Главная диагональ – диагональ
идущая с левого верхнего угла в
правый нижний.
• Побочная диагональ – диагональ
идущая с верхнего правого угла в
левый нижний.
a11
a
21
побочная
a12
a 22
главная
• Число
a11 a22 a21 a12
называется определителем 2-го
порядка .
a11
a12
a21
a22
a11 a22 a21 a12
9. Определители третьего порядка
• Рассмотрим таблицуa11
a21
a
31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
• Число
a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32
a13a22 a31 a11a23a32 a12 a21a33
называется определителем третьего
порядка
a11 a12
a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
13. Методы вычисления определителей третьего порядка
14. Правило треугольника
Три произведения элементов, стоящих наглавной диагонали и в вершинах двух
треугольников:
берутся со знаком » «, а три произведения
элементов, стоящих на побочной диагонали и
в вершинах двух других треугольников:
берутся со знаком » «.
16. Разложение по элементам какой-либо строки(столбца)
Опр. Минором элемента определителя3-го порядка называется определитель
2-го порядка, получающийся из данного
определителя вычёркиванием строки и
столбца, в которых расположен элемент.
19. Обозначение минора
Минор элемента , стоящего напересечении i-й строки и j-го
столбца определителя,
обозначают
M ij
20. Алгебраическое дополнение
Опр. Алгебраическим дополнениемэлемента определителя
3-го
порядка называется минор
этого элемента, умноженный на
(-1) в степени k , где
k i j.
Aij 1 M ij
k
Aij 1 M ij
i j
23. Теорема разложения
Определитель 3-го порядка равенсумме произведений элементов
какой-либо строки (столбца)
определителя на их
алгебраические дополнения.
Таким образом,
разложений:
имеет
место
шесть
a11 A11 a12 A12 a13 A13 ,
a 21 A21 a 22 A22 a 23 A23 ,
a 31 A31 a 32 A32 a 33 A33 ,
a11 A11 a 21 A21 a 31 A31 ,
a12 A12 a 22 A22 a 32 A32 ,
a13 A13 a 23 A23 a33 A33 .
25. Свойства определителей
1.Определитель не меняет своегозначения при замене каждой строки
соответствующим столбцом.
2.Определитель изменит знак ,если
поменять местами любые две
строки или столбца.
3.Общий множитель элементов
какого-либо строки (столбца) определителя
можно выносить за знак определителя.
4.Определитель равен нулю, если он
имеет два одинаковых столбца или две
одинаковые строки.
5.Определитель равен нулю, если элементы
какой-либо строки (столбца) все равны нулю.
6. Значение определителя
не
изменится, если к элементам строки
или столбца прибавить соответствующие
элементы другой строки или столбца,
умноженные на одно число.
28. Определители высших порядков
a11 a12 a13 a14a 21 a 22 a 23 a 24
a 31 a 32 a 33 a 34
a 41 a 42 a 43 a 44
a 21 a 22 a 24
a 22 a 23 a 24
a11 a 32 a 33 a 34 a12 a 31 a 33 a 34
a 42 a 43 a 44
a 21 a 22 a 23
a13 a 31 a 32 a 34 a14 a 31 a 32 a 33
a 41 a 42 a 44
a 21 a 23 a 24
a 41 a 42 a 43
a 41 a 43 a 44
• С помощью свойства 6 добиваются
того, чтобы в некоторой строке или в
некотором столбце все элементы,
кроме одного, были равны нулю.
• Затем раскладывают определитель
по элементам этой строки или столбца.
2
1 0 2
3
2 1 0
1 0 1 3
1 2 1 3
2
1 0 2
3
2 1 0
1 0 1 3 (-1)
1 2 1 3
+
2
1 0 2
3
2 1 0
1 0 1 3
0
2 0 0
2 1
4 2
2
0 2
3
1 0
1 1 3
2
2 3
0 2
1 0 (-1)
+
1 1 3
2
2 3
0 2
1 0 2 1 1
4 0 3
2 6 8 28
2 2
2
2
4 3
3 1
2
1 1
2
1
2
9 1
1
3
4
3
0
6
1 3
5
2
3
2 1
5
1
+
+
3 1
2
1 1
2
1
2
9 1
1
3
4
3
0
6
1 3
5
2
3
2 1
5
1
+
+
(-2)
(-3)
0
0
0
1
1 3 6
3
2
3 3 7
7
4
0
2
3
1
1 1
6 3
2
3
0
1 1
1 5
1 3 6
3
3 3 7
7
6 3
0
2
1
1
2
3
1 1 6
3
3 1 7
3 (-1)
+
7
6 1
0
2
1
1
2
1
+
+
3
1 1 6
3
2 0
1
4
5 0
6
1
7
4
3
0
2 1
3 1 1 5
1 2
3
4
(-5) 3
6
1
+
7
4
2
+
2
2 1
1
3 0
4
0
4
17 22 3 2 1
1 1
11
4
1
1860
6 68 242
465
4
4
1 17 22
4 11 4
43.
Метод приведения к треугольному виду Метод приведения к треугольномувиду заключается в таком
преобразовании данного определителя,
когда все элементы его, лежащие над
(под) главной диагональю, становятся
равными нулю.
a11
0
0
0
a21
a22
0
0
a31
a32
a33
0
a41
a42
a43
a44
a11 a22 a33 a44
а11
а12
а13
а14
0
а 22
а 23
а 24
0
0
а 33
а34
0
0
0
а 44
а11 а 22 а 33 а 44
English Русский Правила
линейная алгебра — обратная обратимая треугольная матрица (верхняя или нижняя) является треугольной того же вида
Пусть $$
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1,n-1} & a_{1,n}\\
& a_{22} & \cdots & a_{2,n-1} & a_{2,n}\\
& & \ddots & \vdots & \vdots\\
& & & a_{n-1,n-1} & a_{n-1,n}\\
& & & & Анна}
\end{pматрица}.
$$
Пусть $i,j$ — два целых числа, такие что $i,j\in\{1,\dots,n\}
$ и $i
Пусть $A_{i,j}$ — матрица размером $n-1\times n-1$, полученная вычеркиванием строки $i$ и столбца $j$ матрицы $A$.
Тогда $A_{i,j}$ равно
$$
\begin{pматрица}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1,i-1} & a_{1,i} &a_{1,i+1}&a_{1,i+2}&\cdots&a_{1, j-1}&a_{1,j+1}&a_{1,j+2}&\cdots&a_{1n}\\
& a_{22} & \cdots & a_{2,i-1} & a_{2,i} &a_{2,i+1}&a_{2,i+2}&\cdots&a_{2,j-1} &a_{2,j+1}&a_{2,j+2}&\cdots&a_{2n}\\
& & \ddots & \vdots & \vdots &\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\
& & & a_{i-1,i-1} & a_{i-1,i} &a_{i-1,i+1}&a_{i-1,i+2}&\cdots&a_{i-1, j-1}&a_{i-1,j+1}&a_{i-1,j+2}&\cdots&a_{i-1,n}\\
& & & & 0 & a_{i+1,i+1}&a_{i+1,i+2}&\cdots&a_{i+1,j-1}&a_{i+1,j+1}&a_{ i+1,j+2}&\cdots&a_{i+1,n}\\
& & & & & 0&a_{i+2,i+2}&\cdots&a_{i+2,j-1}&a_{i+2,j+1}&a_{i+2,j+2}&\cdots&a_ {я+2,п}\\
& & & & & & &0&\cdots&\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\
& & & & & &&\ddots&a_{j-1,j-1}&a_{j-1,j+1}&a_{j-1,j+2}&\cdots&a_{j-1,n}\\
& & & & & &&&0&a_{j,j+1}&a_{j,j+2}&\cdots&a_{j,n}\\
& & & & & &&&&a_{j+1,j+1}&a_{j+1,j+2}&\cdots&a_{j+1,n}\\
& & & & & &&&&&a_{j+2,j+2}&\cdots&a_{j+2,n}\\
& & & & & &&&&&&\ddots&\vdots\\
& & & & & &&&&&&&Анна}\\
\end{pматрица}.
$$ 9{-1}=\frac{1}{\det A}\begin{pmatrix}C_{11}&C_{21}&\cdots&C_{n,1}\\
C_{12}&C_{22}&\cdots&C_{n,2}\\
\вдоц&\вдоц&&\вдоц\\
C_{1n}&C_{2n}&\cdots&C_{n,n}\\
\end{pmatrix}=\frac{1}{\det A}\begin{pmatrix}C_{11}&C_{21}&\cdots&C_{n,1}\\
0&C_{22}&\cdots&C_{n,2}\\
\вдоц&\вдоц&&\вдоц\\
0&0&\cdots&C_{n,n}\\
\end{pmatrix}.$$
Обратные треугольные матрицы — Notesformsc
Треугольные матрицы представляют собой диагональную матрицу плюс некоторые элементы на верхней или нижней стороне главной диагонали. Здесь мы обсуждаем типы, интересные свойства треугольной матрицы. Позже мы найдем способы определить обратимость и как найти обратную треугольную матрицу с примерами.
Содержание
Что такое треугольные матрицы?
Если квадратная матрица имеет все нули ниже элементов главной диагонали, то она называется верхней треугольной матрицей , а если квадратная матрица имеет все нули выше элементов главной диагонали, то она называется нижней треугольной матрицей.
Следовательно, треугольная матрица имеет все нулевые элементы выше или ниже главной диагонали.
Примеры верхней треугольной матрицы
Примеры нижней треугольной матрицы
Правила, касающиеся треугольных матриц
Вот некоторые основные правила, касающиеся верхних и нижних треугольных матриц.
- Если квадратная матрица является верхней треугольной матрицей, то и .
- Если квадратная матрица ниже треугольной, то и .
- Если квадратная матрица является верхней треугольной матрицей, то строка имеет и начинается с нулей.
- Если квадратная матрица является нижней треугольной матрицей, то строка имеет и начинается с нулей.
Строгая треугольная матрица
Строгая треугольная матрица — это квадратная матрица, в которой все нулевые элементы находятся ниже или выше главной диагонали, включая главную диагональ.
Строгая верхняя треугольная матрица
Если строгая треугольная матрица имеет все нулевые элементы ниже главной диагонали, включая главную диагональ, то она называется строгой верхней треугольной матрицей.
Пример строгой верхнетреугольной матрицы
Примеры строгой нижней треугольной матрицы
Основные правила построения строгой верхней или строгой нижней треугольной матрицы:
Свойства треугольной матрицы
Есть некоторые интересные свойства треугольных матриц, которые мы рассмотрим на примерах каждого типа треугольных матриц.
Свойства верхних треугольных матриц
Верхняя треугольная матрица имеет форму строки-эшелона. Вот свойства верхних треугольных матриц.
- Сложение двух верхних треугольных матриц одного порядка приведет к верхней треугольной матрице того же порядка.
- Произведение двух определенных (подходящих для умножения) верхних треугольных матриц является верхней треугольной матрицей.
- Транспонирование верхней треугольной матрицы в нижнюю треугольную матрицу.
- Обратная верхняя треугольная матрица также является верхней треугольной матрицей.
Проверим каждое утверждение примерами.
Сложение двух верхних треугольных матриц
Пусть и две верхние треугольные матрицы порядка .
Следовательно, сумма двух верхних треугольных матриц является верхнетреугольной матрицей.
Произведение двух верхних треугольных матриц
Пусть и две матрицы порядка . Пусть произведение
Произведение двух определенных верхних треугольных матриц является верхней треугольной матрицей.
Транспонирование верхней треугольной матрицы
Транспонирование матрицы можно получить, заменив все строки столбцами или все столбцы строками.
Тогда транспонирование матрицы равно
Обратная верхняя треугольная матрица
Как и диагональная матрица, если главная диагональ верхней треугольной матрицы отлична от нуля, то она обратима. Чтобы быть обратимой, квадратная матрица должна иметь определитель, не равный 0. Поскольку определитель верхней треугольной матрицы является произведением диагоналей, если он отличен от нуля, то матрица обратима.
Позвольте быть верхняя треугольная матрица порядка . Определитель отличен от нуля, следовательно, матрица обратима.
Свойства нижних треугольных матриц
Свойства нижних треугольных матриц аналогичны свойствам верхних треугольных матриц, но мы решили обсудить это отдельно. Вот основные свойства
- Добавление двух нижних треугольных матриц одного порядка приведет к нижней треугольной матрице того же порядка.
- Произведение двух определенных (подходящих для умножения) нижних треугольных матриц есть нижняя треугольная матрица.
- Транспонирование нижней треугольной матрицы в верхнюю треугольную матрицу.
- Обратная нижняя треугольная матрица также является нижней треугольной матрицей.
Проверим каждое утверждение примерами.
Добавление нижней треугольной матрицы
Пусть и две нижние треугольные матрицы порядка . Добавление матрицы сохраняется в матрице
Таким образом, приведенные выше результаты показывают, что сумма двух нижних треугольных матриц является нижней треугольной матрицей того же порядка.
Произведение двух нижних треугольных матриц
Подобно верхней треугольной матрице, произведение двух определенных нижних треугольных матриц является нижней треугольной матрицей.
Пусть и две нижние треугольные матрицы порядка и матрица произведения того же порядка.
Транспонирование нижней треугольной матрицы
Транспонирование нижней треугольной матрицы изменит все строки на столбцы или столбцы на строки, что приведет к верхней треугольной матрице.