Матрица 3х3: Определитель матрицы 3х3 – онлайн калькулятор с подробным решением.

Содержание

Почему мы трансформируем трёхмерные векторы матрицами 4х4? / Хабр

Почему не матрица 3х3? Почему в матрице 4х4 всё уложено именно так? Зачем там последняя строка, заполненная нулями и одной единицей в конце? Этими вопросами я задался накануне, решил поисследовать вопрос и рассказываю что выяснил.

В статье нас будут интересовать только афинные преобразования, а в частности вращение, масштабирование и перемещение, которые активно используются в программировании графики и разработке игр в целом.

Афинное преобразование является композицией двух функций: линейной и нелинейной трансформаций. Через линейные реализуются вращение и масштабирование, а сама трансформация задается матрицей той же размерности, что и пространство, в котором она применяется (A⋅x). Через нелинейные реализуются перемещения, но из свойства таковы, что такие трансформации не могут быть выражены матрицей, зато легко могут быть выражены слагаемым вектором (+b).

Афинное преобразование T, примененное на вектор x можно записать как

Трансформации одномерного вектора

Благодаря одномерности для простоты мы можем представить одномерную матрицу А, вектор b и вектор x как числа на вещественной прямой. Так же трансформированное значение x предпочту записывать как x’, мне кажется так выглядит чуть более чисто:

Итого

Через манипуляции с а мы можем растягивать или сжимать вектор x (линейно трансформировать), а через манипуляции с b перемещать (нелинейно трансформировать).

Случаи, когда используются обе, линейная и нелинейная трансформации вместе довольно частые. Было бы удобно найти такое одно преобразование M, чтобы выразить в нём сразу оба:

Возьмём для примера трансформацию x’ = 3x + 4 (3x линейная трансформация и +4 нелинейная трансформация) и попробуем подобрать нужную матрицу.

Свойства линейных трансформаций таковы, что они могут быть выражены через матрицы (например преобразование 3x может быть выражено через одномерную матрицу [3]), однако нелинейные трансформации (x+4) таких свойств лишены, от чего не удается выразить M без зависимости от x.

Трюк: поднимается на размерность выше

Если представить +4 как +4y, введя дополнительную координату y, выразив её так же через x и саму себя, то получится система линейных уравнений

которую можно выразить через матрицу 2×2, которая в свою очередь может выразить x’ = 3x+4 и при этом не будет зависеть от x, т.е будет линейной трансформацией. Нижнюю строку я не заполнил конкретными числами, потому что на данный момент они не важны.

Так как матрица 2×2 умножается только на двумерный вектор, то необходимо предоставить не только х, но и вторую координату — y, а так как она участвует в выражении +4y и мы хотим, чтобы это превратилось просто в +4, то вместе с неизвестным x на умножение с матрицей передаем единицу:

Второе выражение в системе нам не интересно, оно введено только для того, чтобы иметь возможность получить матрицу, однако в результате вычислений будет возвращен двумерный вектор, с 3x+4 для x’ и чем-то для y’ и было бы сподручнее получить единицу в y’ вместо непонятно чего, ведь в таком случае мы получим удобный вектор

который будет удобно умножать на любую другую матрицу далее. Чтобы получить единицу заполняем выражение соответствующими коэффициентами: y’ = 1 = 0 ⋅ x + 1 ⋅ 1

Вот так у нас получается матрица, которая может быть выражена независимо от x и способна выполнять афинные трансформации над одномерными векторами, заключенными в двумерные.

Получается в матрице заключена линейная трансформация (a), нелинейная трансформация (b) и служебная строка (0 1) которая сохраняет для y‘ значение 1, чтобы вычисления x’ проходили так, как мы ожидаем.

На самом деле трансформация — это просто хитрое слово, обозначающее функцию, но предполагающая отображение некоторого движения. Вот как трансформация из примера выглядит визуально (ссылка):

Тот же трюк, но в двумерном пространстве

Имеем матрицу для вращения или масштабирования и вектор для перемещения

Чтобы иметь возможность задать матрицей оба преобразования поднимается на размерность выше и выполняет принципиально те же действия, что в одномерном случае, только теперь новая компонента — это z, потому что y уже существует и нужна.

Матрица линейной трансформации выросла до 2х2 по понятным причинам двумерности пространства. Вектор b тоже вырос до двумерного и способен перемещать по обеим осям.

Вычисляемые значения для x’ и y’ будут такими же, как если бы мы считали по отдельности каждую трансформацию, а z’ всегда будет равен 1 для удобства.

В трёхмерном пространстве ничего нового

Два преобразования, одно (линейное) выражено через матрицу, а другое (нелинейное) через вектор:

Два преобразования выраженных через одну матрицу более высокой размерности:

Полезные материалы

Computing 2D affine transformations using only matrix multiplication
Brilliant. Linear Transformations
Explaining Homogeneous Coordinates & Projective Geometry
Nonlinear Transformation
Can non-linear transformations be represented as Transformation Matrices?
Linear transformations and matrices | Essence of linear algebra, chapter 3

Матрица преобразований

Матрица преобразований применяется для вычисления новых координат объекта при его трансформации. Изменяя значения элементов матрицы преобразования, к объектам можно применять любые трансформации (например: масштабирование, зеркальное отражение, поворот, перемещение и т. п.). При любой трансформации сохраняется параллельность линий объекта.

Координаты в PDF выражаются в терминах двумерного пространства. Точка (x, y) в пространстве может быть выражена в векторной форме [x y 1]. Постоянный третий элемент этого вектора (1) нужен для использования вектора с матрицами 3х3 в вычислениях, описанных ниже.

Преобразование между двумя системами координат представлено, как матрица 3х3 и записывается следующим образом:

Координатные преобразования выражаются в виде матричных умножений:

Так как последняя колонка не оказывает ни какого влияния на результаты расчета, то она в вычислениях не принимает участия. Координаты трансформации высчитываются по следующим формулам:

Единичная матрица

Единичной матрицей называется, та у которой значения матрицы a и d равны 1, а остальные равны 0. Такая матрица применяется по умолчанию, так как не приводит к трансформации. Поэтому единичную матрицу используют как основу.

Масштабирование

Для увеличения или уменьшения размера объекта по горизонтали/вертикали следует изменить значение a или d соответственно, а остальные применить из единичной матрицы.

Например: Для увеличения размера объекта в два раза по горизонтали, значение a необходимо принять равным 2, а остальные оставить такими как в единичной матрице.

Высчитываем новые координаты объекта:

Отражение

Чтобы получить зеркальное отображение объекта по горизонтали следует установить значение a = -1, по вертикали d = -1. Изменение обеих значений применяется для одновременного отображения по горизонтали и вертикали.

Наклон

Наклон объекта по вертикали/горизонтали обеспечивается изменением значений b и c соответственно.

Изменение значения b/-b — наклон вверх/вниз, c/-c – вправо/влево.

Например: Для наклона объекта по вертикали вверх установим значение b = 1

Высчитываем новые координаты объекта:

В итоге к наклону объекта приводит только координата y, которая увеличивается на значение x.

Поворот

Поворот — это комбинация масштабирования и наклона, но для сохранения начальных пропорций объекта, преобразования должны проводится с точными вычислениями при использовании синусов и косинусов.

Сам поворот происходит против часовой стрелки, α задаёт угол поворота в градусах.

Перемещение

Перемещение осуществляется изменением значений

e (по горизонтали) и f (по вертикали). Значения задаются в пикселях.

Например: Перемещение с использованием матрицы применяется редко из-за того, что эту операцию можно проделать другими методами, например, изменить положение объекта во вкладке Геометрия.

Поскольку матрица трансформации имеет только шесть элементов, которые могут быть изменены, визуально она отображается в PDF [a b c d e f]. Такая матрица может представлять любое линейное преобразование из одной координатной системы в другую. Матрицы преобразований образуются следующим образом:

Перемещения указываются как [1 0 0 1 t_x t_y], где t_x и t_y — расстояния от оси системы координат по горизонтали и вертикали, соответственно.

Масштабирование указывается как [s_x 0 0 s_y 0 0]. Это масштабирует координаты так, что 1 единица в горизонтальном и вертикальном измерениях в новой координатной системе такого же размера, как и s_x и s_y единиц в старой координатной системе соответственно.
Повороты производятся матрицей [cosθ sinθ −sinθ cosθ 0 0], что соответствует повороту осей координатной системы на θ градусов против часовой стрелки.
Наклон указывается как [1 tanα tanβ 1 0 0], что соответствует наклону оси x на угол α и оси y на угол β.

На рисунке ниже показаны примеры трансформации. Направления перемещения, угол поворота и наклона, показанные на рисунке, соответствуют положительным значениям элементов матрицы.

Умножения матрицы не коммутативны — порядок, в котором перемножаются матрицы, имеет значение.

В таблице ниже приведены допустимые преобразования и значения матрицы.

Исходный рисунок	Трансформированный рисунок	Матрица	Описание
		1 0 0 2 0 0	Масштаб по вертикали. Если значение матрицы больше 1, объект расширяется, меньше 1 — сжимается.
		2 0 0 1 0 0	Масштаб по горизонтали. Если значение матрицы больше 1, объект расширяется, меньше 1 — сжимается.
		-1 0 0 1 0 0	Отражение по горизонтали.
		1 0 0 -1 0 0	Отражение по вертикали.
		1 1 0 1 0 0	Наклон по вертикали вверх.
		1 -1 0 1 0 0	Наклон по вертикали вниз.
		1 0 1 1 0 0	Наклон по горизонтали вправо.
		1 0 -1 1 0 0	Наклон по горизонтали влево.
		1 0 0 1 0 1	Смещение по вертикали вверх в пикселях.
		1 0 0 1 0 -1	Смещение по вертикали вниз в пикселях.
		1 0 0 1 1 0	Смещение по горизонтали вправо в пикселях.
		1 0 0 1 -1 0	Смещение по горизонтали влево в пикселях.

Несмотря на все выше сказанное, матрица преобразований очень простой и эффективный инструмент для трансформации. Конечно, применять ее, например, для поворота нецелесообразно, так как во вкладке Геометрия имеется функция Поворот, но для отражения объекта она просто необходима.

Определитель 3×3 | Superprof

Введение

Мы можем вычислить специальное число из квадратной матрицы , известной как определитель . Квадратная матрица — это матрица, имеющая одинаковое количество строк и столбцов. Она может быть любого порядка, например, квадратная матрица порядка 2×2 означает, что в ней две строки и два столбца. Точно так же квадратная матрица 3×3 означает, что в ней три строки и три столбца. У нас также есть квадратные матрицы более высоких порядков, например 4×4, 5×5 и так далее. Мы используем символ вертикальных линий || для обозначения матрицы.

Если дана матрица B, то ее определитель обозначается как |B|. Определитель матрицы с неравным количеством строк и столбцов невозможен. Определители матриц полезны при нахождении обратной матрицы и решении системы линейных уравнений. В этой статье мы обсудим, как найти определитель матрицы 3×3.

Лучшие репетиторы по математике

Поехали

Определитель матрицы 3×3

Чтобы найти определитель матрицы 3×3, мы разбиваем его на более мелкие составляющие, например определители матриц 2×2, чтобы их было легче вычислять. Рассмотрим следующую матрицу 3×3:

Определитель матрицы B будет рассчитываться как:

Вы можете заметить, что:

Элементы в первой строке; a, b и c умножаются на соответствующую матрицу 2×2.
Элементы a умножаются на матрицу 2×2, полученную после удаления строки и столбца, в которых присутствует элемент a.
То же самое касается других элементов b и c.

Теперь мы решим несколько примеров, в которых будем вручную вычислять определитель матрицы 3×3.

Пример 1

Вычислите определитель следующей матрицы.

Решение

Мы будем использовать следующую формулу для вычисления определителя приведенной выше матрицы:

Матрица 2х2.

Мы знаем, что формула для нахождения определителя следующей матрицы 2×2:

Мы будем использовать эту формулу для вычисления определителей меньших матриц 2×2.

Следовательно, определитель матрицы A равен -67.

Пример 2

Вычислите определитель следующей матрицы.

Раствор

Следующая формула будет использоваться для вычисления определителя матрицы 3×3.

Чтобы разбить эту матрицу на более мелкие матрицы 2×2, нам нужно посмотреть на первую строку и умножить каждый элемент на определитель матрицы 2×2. Матрица 2×2 будет получена после исключения строки и столбца, в которых присутствует элемент.

Мы знаем, что формула для нахождения определителя следующей матрицы 2×2:

Мы будем использовать эту формулу для вычисления определителей меньших матриц 2×2.

Следовательно, определитель матрицы B равен 57.

Пример 3

терминант следующей матрицы.

Решение

Следующая формула будет использоваться для вычисления определителя приведенной выше матрицы 3×3.

Мы разобьем эту матрицу на более мелкие матрицы 2×2, взглянув на первую строку и умножив каждый элемент на определитель матрицы 2×2. Матрица 2х2 получится после исключения строки и столбца, в которых элементы 9, 4 и 7 присутствуют,

Мы знаем, что формула для нахождения определителя следующей матрицы 2×2:

Мы будем использовать эту формулу для вычисления определителей меньших матриц 2×2.

Следовательно, определитель матрицы C равен -151.

Пример 4

Вычислите определитель следующей матрицы.

Решение

Мы подставим значения из приведенной выше матрицы в следующую формулу для вычисления определителя.

Мы разобьем эту матрицу на более мелкие матрицы 2×2, взглянув на первую строку и умножив каждый элемент на определитель матрицы 2×2. Матрица 2×2 будет получена после исключения строки и столбца, в которых присутствуют элементы 3, 4 и 0,

Мы знаем, что формула для нахождения определителя следующей матрицы 2×2:

Мы будем использовать эту формулу для вычисления определителей меньших матриц 2×2.

Следовательно, определитель матрицы D равен 144.

Правило Сарруса

Сарруса Правило также известно как метод плетения корзин . Это еще один метод вычисления определителя матрицы 3×3.

Термы со знаком + образованы элементами главной диагонали и параллельных диагоналей с соответствующей противоположной вершиной .

Термы со знаком − образованы элементами побочной диагонали и параллельных диагоналей с соответствующей противоположной вершиной .

Пример
Вычислите определитель следующей матрицы 3×3, используя правило Сарруса.
Решение
Запишите первые два столбца вне определителя матрицы и проведите диагональные линии следующим образом:
Теперь мы перемножим все элементы по диагоналям друг с другом. Вы можете видеть, что мы построили линии, чтобы сделать его более четким. Числа, полученные путем умножения диагоналей оранжевых линий, будут добавлены, а числа, полученные путем умножения диагоналей, представленных синими линиями, будут вычтены вместе.
Шаблон и пример метода приоритизации 3×3 для команд
Связаться с отделом продаж
← Все шаблоны
Помогите своей команде расставить приоритеты для функций и бизнес-идей на основе влияния клиентов и усилий. Групповые инициативы для работы в следующем и в будущем.

О шаблоне метода расстановки приоритетов 3×3
Шаблон метода расстановки приоритетов 3×3 или матрица приоритетов действий помогает командам расставлять приоритеты функций и инициатив на основе их влияния на пользователей и уровня усилий, необходимых для достижения успеха. Он предлагает новый уровень детализации, которого может не хватать в матрице расстановки приоритетов 2×2 (или методе бережливой расстановки приоритетов).
Имея девять «сегментов» или областей интересов, ваша команда может быстро решить, требует ли идея или функция низких, средних или значительных усилий. Соответственно, команда может решить, будет ли идея или функция иметь низкое, среднее или сильное влияние.
В качестве визуального инструмента расстановка приоритетов 3×3 помогает командам быстро достичь соглашения о быстрых победах, крупных проектах, дополнительных задачах или о чем-либо, что может привести к пустой трате времени.
Продолжайте читать, чтобы узнать больше о методе расстановки приоритетов 3×3.
Что такое метод определения приоритетов 3×3?
Метод расстановки приоритетов 3×3 — это визуальное представление того, на что команды должны распределять свое время и ресурсы. Обычно в матрице метода расстановки приоритетов 3×3 есть 4 квадранта:
Быстрые победы: действий, необходимых для успеха команды, которые приводят к максимальной отдаче от усилий и должны быть приоритетными перед чем-либо еще.
Крупные проекты: комплексных действий с долгосрочной окупаемостью, лучше всего, если они выбраны выборочно и эффективно выполнены.
Вспомогательные действия: повседневных задач, которые можно легко убрать из приоритета.

Время отстой: слишком трудоемких действий, которые можно делегировать или избежать.
Эту матрицу можно адаптировать для использования во время ежедневных встреч команды, для стратегических планов действий или планирования спринтов Agile.
Когда использовать метод расстановки приоритетов 3×3
Этот подход расстановки приоритетов может помочь менеджерам по продуктам и межфункциональным группам:
Быстро определить, на каких действиях или идеях следует сосредоточиться
Максимально использовать ограниченные ресурсы
Обдумывать стратегии и цели, не теряя времени и усилий
9000 4 Выровняйте приоритеты и синхронизируйте решения для любых Обсуждаемые проблемы
Структура может быть запущена руководителем группы, который затем приглашает других членов команды высказать свое мнение и добавить идеи в четыре квадранта по мере необходимости.
Создайте собственную матрицу приоритетов 3×3
Создать собственную матрицу приоритетов 3×3 очень просто. Инструмент «белая доска» Миро — идеальный холст для создания и публикации. Начните с выбора шаблона метода расстановки приоритетов 3×3, а затем выполните следующие шаги, чтобы создать свой собственный.
Определите четкую цель для вашего анализа воздействия . Спросите свою команду, должна ли эта цель быть стратегической, тактической, связанной с проектом, продуктом или услугой или личной (с точки зрения развития или роста команды). Имейте в виду также четкие рамки или временные рамки — вы планируете на дни, недели, месяцы или более года?
Придумайте, что вам нужно для достижения этих целей . Примеры потребностей, определяемых этой структурой, могут включать определение приоритетов действий на сеансе планирования, определение приоритетов для проектной группы, установление контрольных точек для плана производительности сотрудника или определение приоритетов функций, на которых следует сосредоточиться, из списка невыполненных работ по продукту.
Соберите и доработайте идеи вашей команды . Каждый может набросать свои идеи или предложения на стикерах. Затем уточните их с помощью живого звонка или обратной связи в видеочате по мере необходимости.
Располагайте свои идеи в соответствии с воздействием и усилием . Поощряйте всех оценивать, какое место занимает их идея в квадранте, и перемещать ее соответствующим образом: это быстрая победа, крупный проект, идея-наполнитель или отстой времени?
Создайте план действий с последующими шагами. Нужно ли конкретным членам команды проверять правильность идеи? Назначить повторную встречу? Уточнить воздействие и усилие? Помните, ценность может быть определена как качественная (от низкой к высокой) или количественная (по числовой шкале, валюте, затраченному времени или объему выпуска).
Поделитесь результатами со всеми, кто не смог присутствовать на сеансе. Приглашайте членов команды, клиентов или заинтересованных лиц через Slack, электронную почту, общедоступную или частную гиперссылку по мере необходимости, чтобы каждый мог узнать подробности.
Стратегия и планирование
Планирование
Приоритизация
Операции
Шаблон метода приоритезации 3×3
Начните работу с этим шаблоном прямо сейчас.
Связанные шаблоны
Предварительный просмотр
Шаблон временной шкалы
Лучше всего подходит для:
Управление проектами, блок-схемы, планирование проекта
На временной шкале отображаются важные даты и запланированные события в хронологическом порядке. Временные шкалы помогают менеджерам по продуктам, руководителям проектов и членам команд рассказывать визуальные истории о прогрессе и препятствиях. Временные шкалы позволяют командам сразу увидеть, что произошло раньше, какой прогресс происходит сейчас и что нужно решить в будущем. Проекты или продукты с конкретной целью или результатами должны быть основаны на графике, чтобы быть успешными. Используйте временную шкалу в качестве общей ссылки для дат начала, окончания и вех.
Шаблон временной шкалы
Предварительный просмотр
Шаблон диаграммы Fishbone
Лучше всего подходит для:
Операции, диаграммы, рабочие процессы
Каков наилучший способ решения любой проблемы, с которой сталкивается ваша команда? Идите прямо к корню. Это означает выявление основных причин проблемы, а диаграммы «рыбий скелет» призваны помочь вам сделать это наилучшим образом. Также известная как диаграмма Исикавы (названная в честь японского эксперта по контролю качества Каору Исикава), диаграммы «рыбий скелет» позволяют командам визуализировать все возможные причины проблемы, изучить и понять, как они целостно сочетаются друг с другом. Команды также могут использовать диаграммы «рыбий скелет» в качестве отправной точки для размышлений о том, что может быть первопричиной будущей проблемы.
Шаблон диаграммы «рыбий скелет»
Предварительный просмотр
Шаблон конкурентного анализа
Лучше всего подходит для:
Маркетинг, принятие решений
несколько вопросов: кто ваши конкуренты? Чем отличается ваш продукт или услуга? Что выделяет вас? Конкурентный анализ поможет найти ответы, которые в конечном итоге могут сформировать ваш продукт, ценностную поддержку, маркетинг и стратегии продаж. Это отличное упражнение, когда должно произойти большое деловое событие — например, выпуск нового продукта или сессия стратегического планирования.
Шаблон конкурентного анализа
Предварительный просмотр
Шаблон матрицы парковок
Лучше всего подходит для:
Управление проектами, формирование идей, встречи не все по теме или в настоящее время возможно. Сверните их прямо в матрицу парковки — простой и эффективный инструмент для отделения лучших идей от тех, которые многообещающи, но нуждаются в дополнительных исследованиях или обсуждениях. Этот шаблон позволит вам легко создать собственную матрицу парковок, которая будет особенно полезна во время длительных встреч (и когда у вас есть товарищи по команде, которые склонны отходить от темы).
Шаблон матрицы парковок
Предварительный просмотр
Шаблон обратного мозгового штурма
Лучше всего подходит для:
Идеи, мозгового штурма, групповых собраний
решения.
No related posts.