Квадратичные формы. приведение квадратичных форм к каноническому виду. критерий сильвестра
Задание 1. Составить матрицу квадратичной формы .
Решение. В общем виде квадратичная форма аргументов и задаётся следующим образом:
,
Где являются элементами матрицы квадратичной формы. Сравнивая заданную квадратичную форму с общим её видом, получим, что , , , , , , т. е. .
Ответ: .
Задание 2. Восстановить квадратичную форму по заданной матрице . Каждая ли из заданных матриц может соответствовать некоторой квадратичной форме? Почему?
А) ; б) .
Решение. Матрица квадратичной формы должна быть симметрической, т. е. .
а) Матрица не может быть матрицей квадратичной формы, так как , т. е. она не является симметрической.
Б) Матрице соответствует некоторая квадратичная форма, так как она является симметрической. Очевидно, , , , , , . Следовательно, квадратичная форма примет вид
.
Ответ: .
Задание 3. Задана квадратичная форма . Найти квадратичную форму , полученную из данной линейным преобразованием: , .
Решение. При невырожденном линейном преобразовании матрица квадратичной формы преобразуется в матрицу .
Выпишем матрицу заданной квадратичной формы: . Матрица заданного линейного преобразования , тогда . Следовательно,
,
т. е. .
Можно сделать проверку полученного результата непосредственной подстановкой в заданную квадратичную форму формулы преобразования координат:
.
Ответ: .
Задание 4. Привести к каноническому виду квадратичную форму .
Решение. Выпишем матрицу квадратичной формы: . Диагонализация матрицы квадратичной формы происходит в ОНБ из собственных векторов. Если – матрица перехода к такому базису, то координаты вектора в разных базисах связаны между собой соотношением:
,
Где в столбцах матрицы находятся координаты векторов ОНБ из собственных векторов, соответствующих собственным значениям.
Составим характеристическое уравнение:
,
Значит, собственные значения , , .
Найдём собственные векторы, соответствующие найденным собственным значениям.
При : , откуда получаем однородную систему уравнений тогда .
При : , т. е. тогда .
При : , откуда получаем однородную систему уравнений
Из системы следует, что – свободная переменная. Примем , тогда
.
Векторы , , попарно ортогональны (в этом легко убедиться непосредственно!), тогда ОНБ составят векторы
, , .
Матрица перехода от ОНБ к ОНБ примет вид:
.
Замечание. О том чтобы матрица оказалась симметрической, следует помнить при построении собственных векторов , И .
Формулы перехода от координат к координатам :
, , .
Канонический вид заданной квадратичной формы:
.
Подстановкой приведенных формул преобразования координат в заданную квадратичную форму можно убедиться в правильности проведенных вычислений.
Ответ: .
Задание 5. Установить знакоопределённость квадратичной формы .
Решение.
Метод 1. Если все собственные значения , то квадратичная форма положительно определённая; если все – отрицательно определённая. Найдём собственные значения квадратичной формы. Для этого составим её матрицу:
И характеристическое уравнение:
Его корни , , т. е. все , а следовательно, квадратичная форма положительно определённая.
Метод 2. Знакоопределённость квадратичной формы можно установить и с помощью критерия Сильвестра, в соответствии с которым квадратичная форма положительно определённая, если все главные диагональные миноры матрицы положительны, т. е. , , …, , а если знаки этих миноров чередуются, т. е. , , , …, то квадратичная форма – отрицательно определённая.
Для данной квадратичной формы имеем:
, , , т. е. заданная квадратичная форма положительно определённая.
Ответ: квадратичная форма положительно определённая.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Квадратичные формы
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
Определение. Квадратичной формой переменных ,принимающих числовые значения , называется числовая функция вида
,
где — числа, называемые коэффициентами квадратичной формы.
Определение. Матрицей квадратичной формы переменных , называется симметрическая матрица порядка , элементы главной диагонали которой совпадают с коэффициентами при квадратах переменных, а каждый недиагональный элемент, расположенный в ой строке ом столбце, равен половине коэфициента при в квадратичной форме.
Определение. Рангом квадратичной формы называется ранг её матри-цы. Квадратичная форма может быть записана в матричном виде где матрица квадратичной формы и .
Определение.
Квадратичная форма называется канонической
(имеет канонический вид),
если коэфициенты
при
,
то есть,
если матрица квадратичной формы
диагональная и следовательно
.,
где не все коэффициенты равны нулю.
Теорема (Лагранжа). Для всякой квадратичной формы существует такой базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид.
Определение. Нормальным видом квадратичной формы называется такой канонический вид, в котором коэффициенты при квадратах неизвестных (не считая нулевых) равны .
Определение. Квадратичная форма называется положительно
(отрицательно) определённой, если при всех
108
и положительно (отрицательно) полуопределённой,если при всех .
Теорема (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма была положительно определённой, необходимо и достаточно чтобы все угловые миноры матрицы квадратичной формы были положительны,то есть, чтобы
Здесь
-угловые
миноры матрицы квадратичной
формы.
Следствие. Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определённой, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров матрицы квадратичной формы чередовались следующим образом:
1. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа и записать соответствующее преобразование
.
Решение. Следуя алгоритму метода Лагранжа, выделим вначале в квад-ратичной форме все члены, содержащие , и дополним их до полного квадрата:
.
Сделаем в этом выражении замену и подставим его в квадратичную форму. Получим:
.
Далее выделим в члены, содержащие и проделаем с ними анало-гичную процедуру:
Если положить , то квадратичная форма уже не будет содержать смешанных произведений. Примем также , тогда
109
канонический вид квадратичной формы есть
.
Соответствующее преобразование от переменных к переменным имеет вид:
.
2. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду, и записать соответствующий канонический вид этой формы:
.
Решение. В исходном базисе матрица оператора, соответствующая данной квадратичной форме, есть
.
Эта матрица будет определять квадратичную форму канонического вида в ортонормированном базисе , составленном из собственных векторов матрицы . Найдем их.
Характеристическое уравнение для матрицы имеет вид
.
Откуда следует
и .
Как известно собственные векторы матрицы находятся из уравнений
.
Для случая имеем:
.
110
Ранг матрицы этой системы уравнений (относительно ) равен 1. Следовательно, ФСР системы состоит из двух линейно независимых решений.
Как видно из данной системы, величина принимает произвольные значения, а величины связаны соотношением . В качестве собственных можно выбрать, например, векторы
Эти векторы ортогональны: (если бы они оказались не ортогональными, то их нужно было бы ортогонализировать с помощью стандартной процедуры). Вектор к тому же и нормирован. Откуда следует — . Нормируем теперь вектор:
.
Для случая уравнение, определяющее собственный вектор есть
.
Ранг
матрицы этой системы уравнений равен
2. Следовательно она имеет одно линейно
независимое решение, например, Отнормируем этот вектор:
.
Теперь можно составить искомую матрицу ортогонального преобразования:
.
111
Исходная квадратичная форма будет иметь следующий канонический вид
.
При этом переменные связаны с переменными соотношением
или
3. Построить в прямоугольной системе координат фигуру, определяемую следующим уравнением, предварительно приведя его к каноническому виду
.
Решение. Выделим в этом выражении квадратичную форму . Это три первых слагаемых уравнения .
Матрица
квадратичной формы равна
.
Проведём процедуру приведения квадратичной
формы к каноническому виду с помощью
ортогонального преобразования.
Характеристическое уравнение матрицы
имеет вид
.
Его корни таковы: .
Найдём теперь собственные векторы, соответствующие этим корням и отнормрируем их. Для вектора , соответствующего
, имеем
112
В итоге собственный вектор, соответствующий , можно выбрать в виде
.
Анологичная процедура для собственного вектора даёт:
Откуда:
.
После нормировки полученных векторов имеем:
.
Эти векторы представляют собой ортонормированный базис новой системы координат. Матрица ортогонального оператора, приводящего квадратичную форму к каноническому виду , есть
Связь
старых и новых координат определяется соотношением
.
Учитывая приведенные выражения, приведём заданную квадратичную форму к каноническому виду
113
Это есть каноническое уравнение эллипса в системе координат ,которая получается из исходной её поворотом на угол и переносом начала координат в точку .
Записать матрицу квадратичной формы:
5.1. ;
5.2. ;
5.3. ;
5.4. ;
5.5. ;
5.6. ;
5.7. ;
5.8. ;
5.9. ;
5.10. ;
5.11. .
Найти ранг квадратичной формы:
5.12. ;
5.13. ;
5.14. ;
114
5.15. ;
5.16. ;
5.17. ;
5.18. ;
5.19. ;
5.20. .
Записать квадратичную форму в матричном виде:
5.21. ;
5.22. ;
5.23. ;
5.24. ;
5.25. ;
5.26. ;
5.27. ;
5.28. ;
5.29. ;
5.30. .
Записать квадратичную форму в виде по заданной
матрице :
5.
31.
;
5.32.
;
5.33. ; 5.34. ;
115
5.35. ; 5.36. ;
5.37. ; 5.38. ;
5.39. ; 5.40. .
Привести квадратичную форму к каноническому виду методом
Лагранжа и записать соответствующее преобразование:
5.41. ;
5.42. ;
5.43. ;
5.44. ;
5.45. ;
5.46. ;
5.47.
5.48.
5.49.
5.50.
5.51. ;
116
5.52. .
Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную
форму к каноническому виду и записать соответствующий кано-
нический вид квадратичной формы:
5.53. ;
5.54. ;
5.55. ;
5.56. ;
5.57. ;
5.58. ;
5.59. ;
5.60. ;
5.61. ;
5.62. .
Записать данное уравнение второго порядка в матричном виде и
определить, фигуру какого типа (эллиптического, гиперболическо-
го, параболического) оно определяет:
5.
63.
5.64.
5.65.
5.66.
5.67.
5.68.
5.69.
5.70.
5.71.
5.72.
117
5.73.
5.74. .
Построить в прямоугольной системе координат Оху (O;i,j) фигуру,
определяемую данным уравне-нием, предварительно приведя его
к каноническому виду:
5.75.
5.76.
5.77.
5.78.
5.79.
5.80.
5.81.
5.82.
5.83.
5.84. .
Каждую из квадратичных форм исследовать на знакоопределённость
5.85.
5.86.
5.87.
5.88.
5.89.
5.90.
5.91.
5.92.
5.93. ;
5.94.
118
5.95. ;
5.96. .
119
Глава 17 Квадратичная форма матрицы
🚧 🚧 🚧 🚧 🚧 🚧 🚧 🚧 🚧
В РАЗРАБОТКЕ
🚧 🚧 🚧 🚧 🚧 🚧 🚧 🚧 🚧
В этой главе вы узнаете о квадратичных формах матрицы.
Квадратичные формы матрицы часто встречаются в статистических приложениях. Например, сумма квадратов может быть выражена в квадратичной форме. Точно так же SSCP, ковариационная матрица и корреляционная матрица также являются примерами квадратичной формы матрицы. Прежде чем мы введем квадратичную форму матрицы, мы сначала исследуем линейную и билинейную формы матрицы. 9\intercal = \begin{bmatrix}
a_1 & a_2 & a_3 & \ldots & a_n
\end{bmatrix} \qquad \mathrm{and} \qquad \mathbf{x}=\begin{bmatrix}
х_1\х_2\х_3\\вдоц\х_н
\end{bmatrix}
\]
17.2 Билинейная форма
Билинейная форма матрицы расширяет линейную форму за счет включения двух переменных, x и y . Например, если бы у нас было:
\[ \mathbf{x}=\begin{bmatrix} х_1\х_2\х_3 \end{bmatrix} \qquad \mathbf{y}=\begin{bmatrix} у_1\у_2 \end{bmatrix} \] Тогда билинейная форма, записанная в скалярной алгебре, имеет вид: 9\intercal\mathbf{A}\mathbf{y} \]
где
\[ \mathbf{A} = \begin{bmatrix} а_{11} и а_{12} \\ а_{21} и а_{22} \\ а_{31} и а_{32} \end{bmatrix} \]
Мы ссылаемся на билинейную форму матрицы A .
Обратите внимание, что существует более одной билинейной формы для A ; изменяя значения в векторах x и y , мы можем получить множество различных билинейных отображений.
17.3 Квадратичная форма
Квадратичная форма является частным случаем билинейной формы, в которой \(\mathbf{x}=\mathbf{y}\). В этом случае мы заменяем 9\intercal\mathbf{Ax} \]
, где A — это \(k \times k\) матрица, а x — \(k \times 1\) вектор. Это преобразование называется квадратичным преобразованием или квадратичной формой из A .
17.4 Пример: Квадратичная форма
Рассмотрим следующую квадратную матрицу A :
\[ \mathbf{A} = \begin{bmatrix} -3 и 5\ 4 & -2 \\ \end{bmatrix} \]
Мы можем вычислить квадратичную форму, используя вектор 92 \конец{разделить} \]
Глядя на показатели степени в конечном выражении, вы можете понять, почему это называется квадратичной формой или преобразованием A .
17.5 Положительно определенные матрицы
Положительно определенные матрицы часто используются в статистических приложениях. Например, несингулярные корреляционные матрицы и ковариационные матрицы являются положительно определенными матрицами. Симметричная матрица называется положительно определенной , если все ее собственные значения положительны. Альтернативное определение состоит в том, что симметричная матрица является положительно определенной, если ее предварительное и постумножение на один и тот же вектор всегда дает в результате положительное число, независимо от того, как мы выбираем вектор. Математически 9n(A_{ik}x_k+A_{ki})x_i] + A_{kk}x_k(1-x_k)$
Верен ли этот результат? Есть ли альтернативная форма?
Я пытаюсь получить $\mu_0$ дискриминантного анализа Гаусса, максимизируя логарифмическую вероятность, и мне нужно взять производную квадратичной формы. Либо результат, который я упомянул выше, неверен (не должен быть, потому что я несколько раз повторял свою арифметику), либо форма, к которой я пришел выше, не очень полезна для моей проблемы (потому что я не могу продолжить).