Мода, медиана, Нахождение медианы, Определение медианы, Определение моды
Медиана — это такое значение признака, которое разделяет ранжированный ряд распределения на две равные части — со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы. Для нахождения медианы, нужно отыскать значение признака, которое находится на середине упорядоченного ряда.
Посмотреть решение задачи на нахождение моды и медианы Вы можете здесь
В ранжированных рядах несгруппированные данные для нахождения медианы сводятся к поиску порядкового номера медианы. Медиана может быть вычислена по следующей формуле:
где Хm — нижняя граница медианного интервала;
im — медианный интервал;
Sme— сумма наблюдений, которая была накоплена до начала медианного интервала;
fme — число наблюдений в медианном интервале.
Свойства медианы
- Медиана не зависит от тех значений признака, которые расположены по обе стороны от нее.
- Аналитические операции с медианой весьма ограничены, поэтому при объединении двух распределений с известными медианами невозможно заранее предсказать величину медианы нового распределения.
- Медиана обладает свойством минимальности. Его суть заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений х, от медианы представляет собой минимальную величину по сравнению с отклонением X от любой другой величины
Графическое определение медианы
Для определения медианы графическим методом используют накопленные частоты, по которым строится кумулятивная кривая. Вершины ординат, соответствующих накопленным частотам, соединяют отрезками прямой. Разделив поп олам последнюю ординату, которая соответствует общей сумме частот и проведя к ней перпендикуляр пересечения с кумулятивной кривой, находят ординату искомого значения медианы.
Определение моды в статистике
Мода — значение признака, имеющее наибольшую частоту в статистическом ряду распределения.
Определение моды производится разными способами, и это зависит от того, представлен ли варьирующий признак в виде дискретного или интервального ряда.
Нахождение моды и медианы в контрольных по статистике происходит путем обычного просматривания столбца частот. В этом столбце находят наибольшее число, характеризующее наибольшую частоту. Ей соответствует определенное значение признака, которое и является модой. В интервальном вариационном ряду модой приблизительно считают центральный вариант интервала с наибольшей частотой. В таком ряду распределения мода вычисляется по формуле:
где ХМо — нижняя граница модального интервала;
imo — модальный интервал;
fм0, fм0-1,, fм0+1 — частоты в модальном, предыдущем и следующем за модальным интервалах.
Модальный интервал определяется по наибольшей частоте.
Мода широко используется в статистической практике при анализе покупательного спроса, регистрации цен и т. д.
Соотношения между средней арифметической, медианой и модой
Для одномодального симметричного ряда распределения средняя арифметическая, медиана и мода совпадают.
Для асимметричных распределений они не совпадают.
К. Пирсон на основе выравнивания различных типов кривых определил, что для умеренно асимметричных распределений справедливы такие приближенные соотношения между средней арифметической, медианой и модой:
Источник: Балинова B.C. Статистика в вопросах и ответах: Учеб. пособие. — М.: ТК. Велби, Изд-во Проспект, 2004. — 344 с.
Медиана значение признака. Среднее или всё же медиана
Медиана (Me) – значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда, т.е. делящее ряд распределения на две равные части.
а) для ряда одиночных значений:
Если нечетное кол-во вариант, то серединное значение в ранжированном ряду
Если четное , то сред.арифмет. из 2х смежных серединных значений в ранжиров. ряду
б) В дискретном ряду распределения
Номер
медианы показывает то значение показателя,
которое и является медианой.
в) В интервальном ряду распределения медиана рассчитывается по следующей формуле:
x — нижняя граница медианного интервала;
i — величина интервала;
f — численность медианного интервала;
S — сумма накопленных частот интервалов, предшествующих медианному.
31. Мода и ее практическое значение
Мода (Mo) – величина признака, наиболее часто встречающаяся в совокупности, т.е. имеющая наибольшую численность в ряду распределения.
а) В дискретном ряду распределения мода определяется визуально.
б) В интервальном ряду распределения визуально можно определить только интервал, в котором заключена мода, который называется модальным интервалом(тот, который имеет наибольшую частоту).
Мода будет равна:
x — нижняя граница модального интервала;
i — величина интервала;
f — численность модального интервала;
Если
все значения вариационного ряда имеют
одинаковую частоту, то говорят, что этот
вариационный ряд не имеет моды.
Если
две не соседних варианты имеют одинаковую
доминирующую частоту, то такой вариационный
ряд называют бимодальным ;
если таких вариант больше двух, то ряд
– полимодальный .
32. Показатели вариации и способы их расчета
Вариации – колеблемость, многообразие, изменяемость величины признака у единиц совокупности.
Показатели вариации делятся на абсолютные и относительные.
К абсолютным показателям относятся размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. К относительным – коэффициенты осцилляции, коэффициенты вариации и относительное линейное отклонение.
Размах
вариации – простейший показатель, разность между
максимальным и минимальным значениями
признака.
Недостатком является то, что он оценивает только границы варьирования признака и не отражает его колеблемость внутри этих границ.
Среднее
линейное отклонение отражает все колебания варьирующего
признака и представляет собой среднюю
арифметическую из абсолютных значений
отклонений вариант от средней величины,
т.
к. сумма отклонений значений признака
от средней равно 0, то все отклонения
берутся по модулю.
Простая
Взвешенная
Дисперсия – средний квадрат отклонений значений признака от их средней величины.
Простая:
Взвешенная:
Среднее квадратическое отклонение . Оно определяется как квадратный корень из дисперсии и имеет ту же размерность, что и изучаемый признак.
Простая:
Взвешенная:
Относительные показатели
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 4 .
Расчёт структурных характеристик вариационного ряда распределения.
Студент должен:
знать:
— область применения и методику расчёта структурных средних величин;
уметь:
— исчислять структурные средние величины;
— формулировать вывод по полученным результатам.
Методические указания
В
статистике исчисляются мода и медиана, которые относятся к структурным средним,
так каких величина зависит от строения статистической совокупности.
Расчёт моды
Модой называется значение признака (варианта), чаще всеговстречающееся в изучаемой совокупности. В дискретном ряду распределения модой будет варианта с наибольшей частотой.
Например
Размер обуви | ||||||||
Количество проданных пар |
В этом ряду распределениямодой является 37 размер, т.е. Мо=37 размер .
Для интервального ряда распределения мода определяется по формуле:
где Х Mo — нижняя граница модального интервала;
h Mo — величина модального интервала;
f Mo – частота модального интервала;
f Mo -1и f Mo +1 – частота интервала соответственно
предшествующего модальному
и следующего за ним.
Например : Распределение рабочих по стажу работы характеризуется следующими данными.
Стаж работы, лет | до 2 | 8-10 | 10 и более | |||
Число рабочих, чел. |
Определить моду интервального ряда распределения.
Мода интервального ряда составляет
Мода всегда бывает несколько неопределённой, т.к. она зависит от величины групп и точного положения границ групп. Мода широко применяется в коммерческой практике при изучении покупательского спроса, при регистрации цен и т.п.
Расчёт медианы
Медианой в статистике называется варианта,
расположенная в середине упорядоченного ряда данных, и которая делит
статистическую совокупность на две равные части так, что у одной половины
значения меньше медианы, а у другой половины – больше её.
В дискретном упорядоченном ряду с нечётным числом членов медианой будет варианта, расположенная в центре ряда.
Например : Стаж пяти рабочих составил 2, 4, 7, 9 и 10 лет. В таком ряду медиана-7 лет, т.е. Ме=7 лет
Если дискретный упорядоченный ряд состоит из чётного числа членов, то медианой будет средняя арифметическая из двух смежных вариант, стоящих в центре ряда.
Например : Стаж работы шести рабочих составил 1, 3, 4, 5, 10 и 11лет. В этом ряду имеются две варианты, стоящие в центре ряда. Это варианты 4 и 5. Средняя арифметическая из этих значений и будет медианой ряда
Чтобы определить медиану для сгруппированных данных, необходимо считать накопленные частоты.
Например: По имеющимся данным определим медиану размера обуви
Размер обуви | Количество проданных пар | Сумма накопленных частот |
8+19=27 | ||
27+34=61 | ||
61+108=169 | ||
Итого |
Для
определения медианы надо подсчитать сумму накопленных частот ряда.
Если же сумма накопленных частот против одной из вариант равна точно половине суммы частот ряда, то медиана определяется как средняя арифметическая этой варианты и последующей.
Например : По имеющимся данным определим медиану заработной платы рабочих
Месячная заработная плата, тыс.р уб. | Число рабочих, чел. | Сумма накопленных частот |
14,0 | ||
14,2 | 2+6=8 | |
16,0 | 8+12=20 | |
16,8 | ||
18,0 | ||
Итого: |
Медиана будет равна:
Медиана интервального вариационного ряда распределения определяется по формуле:
ГдеХ Ме – нижняя граница медианного интервала;
h Me – величина медианного интервала;
∑ f — сумма частот ряда;
f Ме – частота медианного интервала;
Например: По имеющимся данным о распределении предприятий по численности промышленно – производственного персонала рассчитать медиану в интервальном вариационном ряду
Число предприятий | Сумма накопленных частот | |
100-200 | ||
200-300 | 1+3=4 | |
300-400 | 4+7=11 | |
400-500 | 11+30=41 | |
500-600 | ||
600-700 | ||
700-800 | ||
Итого: |
Определим, прежде всего,
медианный интервал.
В данном примере сумма накопленных частот, превышающих половину
суммы всех значений ряда, соответствует интервалу 400-500.Это и есть медианный
интервал, т.е. интервал, в котором находится медиана ряда. Определим её
значение
Если же сумма накопленных частот против одного из интервалов равна точно половине суммы частот ряда, то медиана определяется по формуле:
где n – число единиц в совокупности.
Например: По имеющимся данным о распределении предприятий по численности промышленно – производственного персонала рассчитать медиану в интервальном вариационном ряду
Группы предприятий по численности ППП, чел. | Число предприятий | Сумма накопленных частот |
100-200 | ||
200-300 | 1+3=4 | |
300-400 | 4+6=10 | |
400-500 | 10+30=40 | |
500-600 | 40+20=60 | |
600-700 | ||
700-800 | ||
Итого: |
чел
Моду и медиану в интервальном ряду можно определить графически:
моду
в дискретных рядах — по полигону распределения, моду в интервальных рядах — по
гистограмме распределения, а медиану — по кумуляте
.
Мода интервального ряда распределения определяется по гистограмме распределения определяют следующим образом. Для этого выбирается самый высокий прямоугольник, который является в данном случае модальным. Затем правую вершину модального прямоугольника соединяем с правым верхним углом предыдущего прямоугольника. А левую вершину модального прямоугольника – с левым верхним углом последующего прямоугольника. Далее из точки их пересечения опускают перпендикуляр на ось абсцисс. Абсцисса точки пересечения этих прямых и будет модой распределения.
Медиана рассчитывается по кумуляте . Для её определения из точки на шкале накопленных частот (частостей ), соответствующей 50%, проводится прямая , параллельная оси абсцисс, до пересечения с кумулятой . Затем из точки пересечения указанной прямой с кумулятой опускается перпендикуляр на ось абсцисс. Абсцисса точки пересечения является медианой.
Кроме моды и медианы в вариантных рядах могут быть
определены и другие структурные характеристики – квантили.
Квантили
предназначены для более глубокого изучения структуры ряда распределения.
Квантиль – это значение признака, занимающее определенное место в упорядоченной по данному признаку совокупности. Различают следующие виды квантилей:
— квартили – значения признака, делящие упорядоченную совокупность на четыре равные части;
— децили – значения признака, делящие упорядоченную совокупность на десять равных частей;
— перцентели — значения признака, делящие упорядоченную совокупность на сто равных частей.
Таким образом, для характеристики положения центра ряда распределения можно использовать 3 показателя: среднее значение признака , мода, медиана . При выборе вида и формы конкретного показателя центра распределения необходимо исходить из следующих рекомендаций:
—
для устойчивых социально-экономических
процессов в качестве показателя центра используют среднюю
арифметическую.
Такие процессы характеризуются симметричными распределениями, в
которых ;
— для неустойчивых процессов положение центра распределения характеризуется с помощью Mo или Me . Для асимметричных процессов предпочтительной характеристикой центра распределения является медиана, поскольку занимает положение между средней арифметической и модой.
Медианой Ме называют такое значение признака, которое приходится на середину ранжированного ряда и делит его на две равные по числу единиц части. Таким образом, в ранжированном ряду распределения одна половина ряда имеет значения признака, превышающие медиану, другая – меньше медианы.
Медиану используют вместо средней арифметической, когда крайние варианты ранжированного ряда (наименьшая и наибольшая) по сравнению с остальными оказываются чрезмерно большими или чрезмерно малыми.
В дискретном вариационном ряду, содержащем нечетное число единиц, медиана равна варианте признака, имеющей номер :
,
где N – число единиц совокупности.
В дискретном ряду, состоящем из четного числа единиц совокупности, медиана определяется как средняя из вариант, имеющих номера и :
.
В распределении рабочих по стажу работы медиана равна средней из вариант, имеющих в ранжированном ряду номера 10: 2 = 5 и 10: 2 + 1 = 6. Варианты пятого и шестого признака равны 4 годам, таким образом
года
При вычислении медианы в интервальном ряду сначала находят медианный интервал , (т. е. содержащий медиану), для чего используют накопленные частоты или частости. Медианным является интервал, накопленная частота которого равна или превышает половину всего объема совокупности. Затем значение медианы рассчитывается по формуле:
,
где – нижняя граница медианного интервала;
– ширина медианного интервала;
– накопленная частота интервала, предшествующего медианному;
– частота медианного интервала.
Рассчитаем медиану ряда распределения рабочих по размеру зарплаты (см. лекцию «Сводка и группировка статистических данных»).
Медианным является интервал заработной платы 800-900 грн., поскольку его кумулятивная частота равна 17, что превышает половину суммы всех частот (). Тогда
Ме=800+100грн.
Полученное значение говорит о том, половина рабочих имеют заработную плату ниже 875 грн., но это выше среднего ее размера.
Для определения медианы можно вместо кумулятивных частот использовать кумулятивные частости .
Медиана, как и мода, не зависит от крайних значений вариант, поэтому также применяется для характеристики центра в рядах распределения с неопределенными границами.
Свойство медианы :сумма абсолютных величин отклонений вариант от медианы меньше, чем от любой другой величины (в том числе и от средней арифметической):
Это свойство медианы используется на транспорте при проектировании расположения трамвайных и троллейбусных остановок, бензоколонок, сборочных пунктов и т..д.
Пример. На шоссе длиной 100 км расположено 10 гаражей. Для проектирования строительства бензоколонки были собраны данные о числе предполагаемых ездок на заправку по каждому гаражу.
Таблица 2 – Данные о количестве ездок на заправку по каждому гаражу.
Нужно поставить бензоколонку так, чтобы общий пробег автомашин на заправку был наименьшим.
Вариант 1. Если бензоколонку поставить в середине шоссе, т. е. на 50-ом километре (центр диапазона изменения признака), то пробеги с учетом числа ездок составят:
а) в одном направлении:
;
б) в противоположном:
;
в) общий пробег в оба направления: .
Вариант 2. Если бензоколонку поставить на среднем участке шоссе, определенном по формуле средней арифметической с учетом числа ездок:
Медиану можно определить графически, по кумуляте (см. лекцию «Сводка и группировка статистических данных»). Для этого последнюю ординату, равную сумме всех частот или частостей, делят пополам. Из полученной точки восстанавливают перпендикуляр до пересечения с кумулятой. Абсцисса точки пересечения и дает значение медианы.
Мода
и медиана –
особого рода средние, которые используются
для изучения структуры вариационного
ряда.
Их иногда называют структурными
средними, в отличие от рассмотренных
ранее степенных средних.
Мода – это величина признака (варианта), которая чаще всего встречается в данной совокупности, т.е. имеет наибольшую частоту.
Мода имеет большое практическое применение и в ряде случаев только мода может дать характеристику общественных явлений.
Медиана – это варианта, которая находится в середине упорядоченного вариационного ряда.
Медиана показывает количественную границу значения варьирующего признака, которой достигла половина единиц совокупности. Применение медианы наряду со средней или вместо нее целесообразно при наличии в вариационном ряду открытых интервалов, т.к. для вычисления медианы не требуется условное установление границ отрытых интервалов, и поэтому отсутствие сведений о них не влияет на точность вычисления медианы.
Медиану
применяют также тогда, когда показатели,
которые нужно использовать в качестве
весов, неизвестны. Медиану применяют
вместо средней арифметической при
статистических методах контроля качества
продукции.
Сумма абсолютных отклонений
варианты от медианы меньше, чем от любого
другого числа.
Рассмотрим расчет моды и медианы в дискретном вариационном ряду:
Определить моду и медиану.
Мода Мо = 4 года, так как этому значению соответствует наибольшая частота f = 5.
Т.е. наибольшее число рабочих имеют стаж 4 года.
Для того, чтобы вычислить медиану, найдем предварительно половину суммы частот. Если сумма частот является числом нечетным, то мы сначала прибавляем к этой сумме единицу, а затем делим пополам:
Медианой будет восьмая по счету варианта.
Для того, чтобы найти, какая варианта будет восьмой по номеру, будем накапливать частоты до тех пор, пока не получим сумму частот, равную или превышающую половину суммы всех частот. Соответствующая варианта и будет медианой.
Ме = 4 года.
Т.е. половина рабочих имеет стаж меньше четырех лет, половина больше.
Если
сумма накопленных частот против одной
варианты равна половине сумме частот,
то медиана определяется как средняя
арифметическая этой варианты и
последующей.
Вычисление моды и медианы в интервальном вариационном ряду
Мода в интервальном вариационном ряду вычисляется по формуле
где Х М0 — начальная граница модального интервала,
h м 0 – величина модального интервала,
f м 0 , f м 0-1 , f м 0+1 – частота соответственно модального интервала, предшествующего модальному и последующего.
Модальным называется такой интервал, которому соответствует наибольшая частота.
Пример 1
Группы по стажу | Число рабочих, чел | Накопленные частоты |
Определить
моду и медиану.
Модальный интервал , т.к. ему соответствует наибольшая частота f = 35. Тогда:
Хм 0 =6, fм 0 =35
Для вычисления медианы в MS EXCEL существует специальная функция МЕДИАНА() . В этой статье дадим определение медианы и научимся вычислять ее для выборки и для заданного закона распределения случайной величины.
Начнем с медианы для выборок (т.е. для фиксированного набора значений).
Медиана выборки
Медиана (median) – это число, которое является серединой множества чисел: половина чисел множества больше, чем медиана , а половина чисел меньше, чем медиана .
Для вычисления медианы необходимо сначала (значения в выборке ). Например, медианой для выборки (2; 3; 3; 4 ; 5; 7; 10) будет 4. Т.к. всего в выборке 7 значений, три из них меньше, чем 4 (т.е. 2; 3; 3), а три значения больше (т.е. 5; 7; 10).
Если множество содержит четное количество чисел, то вычисляется для двух чисел, находящихся в середине множества.
Например, медианой для выборки (2; 3; 3 ; 6 ; 7; 10) будет 4,5, т.к. (3+6)/2=4,5.
Для определения медианы в MS EXCEL существует одноименная функция МЕДИАНА() , английский вариант MEDIAN().
Медиана не обязательно совпадает со . Совпадение имеет место только в том случае, если значения в выборке распределены симметрично относительно среднего . Например, для выборки (1; 2; 3 ; 4 ; 5; 6) медиана и среднее равны 3,5.
Если известна Функция распределения F(х) или функция плотности вероятности p (х) , то медиану можно найти из уравнения:
Например, решив аналитическим способом это уравнение для Логнормального распределения lnN(μ; σ 2), получим, что медиана вычисляется по формуле =EXP(μ). При μ=0, медиана равна 1.
Обратите внимание на точку Функции распределения , для которой F (х)=0,5 (см. картинку выше).
Абсцисса этой точкиравна1. Это и есть значение медианы, что естественно совпадает с ранее вычисленным значением по формуле em.
В MS EXCEL медиану для логнормального распределения LnN(0;1) можно вычислить по формуле =ЛОГНОРМ.ОБР(0,5;0;1) .
Примечание : Напомним, что интеграл от по всей области задания случайной величины равен единице.
Поэтому, линия медианы (х=Медиана) делит площадь под графиком функции плотности вероятности на две равные части.
Как рассчитать медиану в двух разных сериях? – Объяснил!
Статью поделился
ОБЪЯВЛЕНИЯ:
Медиана — это значение, которое делит ряд на две равные части.
Это позиция, которая находится точно в центре, по обе стороны от нее лежит равное количество терминов, когда термины расположены в порядке возрастания или убывания.
Определение:
«Медиана — это такое значение переменной, которое делит группу на две равные части, одна часть включает все значения больше, а другая — все значения меньше медианы».
«Медиана ряда — это фактическое или расчетное значение элемента, если ряд расположен в порядке величины, который делит распределение на две части». —Гораций Секрист
ОБЪЯВЛЕНИЯ:
Расчет медианы :
A. Индивидуальная серия :
Чтобы найти значение медианы, в этом случае члены сначала располагаются в порядке возрастания или убывания; и тогда взятый средний член называется медианой.
В отдельных типах серий возникают два случая:
ОБЪЯВЛЕНИЯ:
(a) При нечетном числе членов :
Термины располагаются в порядке возрастания или убывания, а затем принимаются за медиану.
Пример 1. Найдите медиану из следующих данных:
N = общее количество терминов = 9
ОБЪЯВЛЕНИЯ:
Теперь = N+1/2 = 9+1/2 = 2
Медиана = 5-й член = 19,
(b) Когда число терминов четное:
В этом случае термины также располагаются по порядку, а затем среднее значение двух средних терминов принимается за медиану.
Пример 2. Из следующих цифр возраста некоторых учащихся вычислить медианный возраст:
Другие позиционные показатели (квартиль) :
Позиционные меры также известны как значения разделов. Медиана также является такой величиной, которая делит данный ряд на две равные части. Точно так же квартили делят ряд на четыре равные части. Децили в десяти равных частях и процентили в 100 равных частях. Эти меры известны как меры, зависящие от медианы.
ОБЪЯВЛЕНИЯ:
Квартили :
Квартили делят ряд на четыре равные части. Для любого ряда есть три квартили.
Первый или нижний квартиль:
ОБЪЯВЛЕНИЯ:
Q 1 делит распределение таким образом, что одна четвертая (25%) всех членов лежит под ним, а три четверти — над ним.
Метод расчета :
Метод расчета любого квартиля, дециля или процентиля такой же, как и у медианы; Но единственное различие, которое есть, принадлежит делителю.
Чтобы найти требуемое значение, в медиане делитель равен 2, поскольку медиана делит распределение на две равные части. Таким образом, делитель равен 10 и 100 в случае децилей и процентилей, поскольку они делят распределение на 10 и 100 равных частей соответственно.
ОБЪЯВЛЕНИЯ:
Точно так же делитель равен 4 в случае квартилей; и во всех этих случаях мы умножаем такой результат на цифру; значение которого мы должны найти в соответствии с данной задачей, что будет продемонстрировано в следующих формулах и примерах.
Индивидуальная серия :
Расположим члены в порядке возрастания и затем возьмем общее количество членов за N. Затем найдем из него искомый результат, как это было в случае с медианой.
Шаги для расчета :
1. Расположите термины в порядке возрастания.
2. Возьмем общее количество терминов = N.
ОБЪЯВЛЕНИЯ:
3. Затем
При дециле n = 1, 2, 3— 9; а в случае процентиля n = 1, 2, 3, — 99.
Пример 1. Определить медиану Q 1 , Q 3 из следующего:
Оценки в статистике: 31, 29, 27, 33, 35, 41, 39, 41, 43, 45, 47.
Решение :
ОБЪЯВЛЕНИЯ:
Вот в данном случае мы не можем стоять в пользу Среднего, потому что только одно или два крайних значения могут повлиять на баланс. Здесь мы идем в пользу медианы, поскольку это позиционная мера и среднее значение. Таким образом, 1-е предпочтение — это Make I, а последнее предпочтение — make (IV). Но Make II и III имеют одинаковую медиану, и поэтому здесь использование среднего будет быть сделанным, и Make III предпочтительнее, чем Make II. Таким образом, окончательный порядок предпочтения будет следующим: Модель I, Модель III, Модель II, Модель (IV).
(B) Дискретная серия :
Здесь также данные располагаются в порядке возрастания или убывания; И член (N + 1/2) берется после нахождения кумулятивных частот.
Значение переменной, соответствующей этому термину, является значением медианы.
Расчет медианы в дискретном ряду :
Расставив члены, взяв кумулятивные частоты, мы берем (N+1/2) и затем вычисляем.
Шаги для расчета :
ОБЪЯВЛЕНИЯ:
(1) Расположите данные в порядке возрастания или убывания.
(2) Найти суммарные частоты.
(3) Найдите значение среднего элемента по формуле
Медиана = размер (N+1/2)-го элемента
(4) Найдите тот итог в столбце кумулятивной частоты, который равен (N + 1/2)-й или ближе к этому значению.
(5) Найдите значение переменной, соответствующей этой кумулятивной частоте. Это значение медианы.
Другие позиционные показатели (квартили) :
A. Отдельные и дискретные серии :
Расположим члены в порядке возрастания и затем возьмем общее количество членов за N. Затем найдем из него искомый результат, как это было в случае с медианой.
Непрерывная серия:
В этом случае берется кумулятивная частота, а затем берется значение из класса-интервала, в котором лежит (N/2)-й член. Используя формулу.
M= L+ N 1 -C f /f × i
Где N1 = N/2, L — нижняя граница интервала классов, в котором находится частота.
C f — кумулятивная частота, f — частота этого интервала, а i — длина интервала класса.
Медиану также можно рассчитать по приведенной ниже формуле:
M= L – Cf-N1/f × i: где L – верхний предел среднего класса.
Важная работа Подсказки:
1. Возьмите N 1 =N/2
2. Глядя снизу вверх в столбце C f , мы получаем значение, которое сначала численно меньше, чем N 1 . Это значение C f .
3. Спускаемся на одну ступеньку вниз; сделайте термины в столбце «f», а также интервал класса, чтобы получить f и L.
L берется из нижнего предела интервала класса.
Примечание:
Мы часто используем первую формулу; хотя вторая формула также применялась в приведенном ниже примере:
(ii) Нахождение медианы с использованием обоих о дает одновременно:
В этом методе обе кривые наносятся на график одновременно. Соответствующие значения получаются путем проведения перпендикуляра к осям y и x из точек, где обе кривые пересекают друг друга, как показано ниже.
Расчет медианы с использованием «Меньше чем и больше чем» o дает за один раз
Как рассчитать среднее арифметическое (AM) в непрерывном ряду?
Достоинства и недостатки режима
Медиана: значение, формула, достоинства, недостатки и примеры
Что такое медиана? Медиана — это центральное значение, которое делит распределение на две равные части, одна из которых включает все значения, большие или равные медиане, а другая — все значения, меньшие или равные ей.
Медиана — это «средний» элемент, когда набор данных организован по порядку величины. Поскольку медиана определяется положением нескольких значений, на нее не влияет увеличение размера наибольшего значения. Данные или наблюдения могут располагаться либо в возрастающем, либо в убывающем порядке. В статистике медиана обозначается М.
Расчет медианыСогласно Юле и Кендаллу, «Медиана может быть определена как самое среднее значение переменной, когда элементы расположены в порядке величины, или как значение, при котором большее и меньшее значения встречаются с одинаковой частотой».
Медиана — это число, которое делит данные или совокупность пополам. В зависимости от типа распределения (индивидуальное, дискретное и непрерывное) медиана различается. Сортируя данные от наименьшего к наибольшему и определяя среднее значение, можно просто оценить медиану.
1. Отдельный ряд:Шаги, необходимые для определения медианы отдельного ряда, следующие:
Шаг 1: Во-первых, расположите данные в порядке возрастания или убывания.
Шаг 2: Примените следующую формулу медианы:
Где, N — количество элементов
Медиана в случае нечетного и четного числа элементов Медиана – средний срок наблюдения. Однако в случае
четное количество элементов, Медиана представляет собой среднее двух средних значений и определяется по следующей формуле: Пример (нечетные числа):Определить медиану для следующих наблюдений в наборе данных: 15 , 17, 26, 11, 8, 20, 22, 14 и 23.
Решение:
Расположим данный набор данных в порядке возрастания: 8, 11, 14, 15, 17, 20, 22, 23, 26
N = 9
Медиана = 17
Здесь среднее значение равно 17, поэтому половина наблюдений больше или равна 17, а другая половина меньше или равна.
Пример (четные числа): Следующие данные содержат оценки для 10 учащихся: 25, 27, 36, 21, 18, 30, 22, 24, 13 и 28.
Подсчитайте медианные оценки.
Решение:
Расположим данный набор данных в порядке возрастания: 13, 18, 21, 22, 24, 25, 27, 28, 30, 36.
N = 10
Медиана = 24,5
Альтернативно, мы также можем определить медиану с помощью формулы, используемой в случае нечетного количества элементов.
Теперь, чтобы получить медиана, сумма 5 TH и 6 TH Элемент разделен на 2.
Медиан = 24,5
2. Дискретная серия или частота.
Шаги, необходимые для определения медианы дискретного ряда, следующие:
Шаг 1: Расположите данное распределение в порядке возрастания или убывания.
Шаг 2: Обозначим переменные как X и частоту как f .
Шаг 3: Определите суммарную частоту; т.
е. ср.
Шаг 4: Рассчитайте медианное значение по следующей формуле:
Где, N = сумма частот
Шаг 5: Узнайте значение равно больше, чем , а затем найти значение, соответствующее этому ср. Это значение будет медианным значением ряда.
Пример:Вычислите медиану по заданным данным.
Решение:
25,5 Т. ■ Ряды распределения частот или непрерывные ряды: Невозможно прямо определить медиану в непрерывном ряду, поскольку значение медианы лежит между нижним и верхним пределом интервала класса. Чтобы определить точное значение медианы, необходимо оценить или интерполировать медиану с помощью формулы. Однако следует иметь в виду, что когда медианный класс ряда является первым классом, то ср. в формуле будем считать равным нулю. Шаги, необходимые для определения медианы непрерывного ряда, следующие: Шаг 1: Расположите данные в порядке убывания или возрастания. Шаг 2: Определите суммарную частоту; т. е. ср. Шаг 3: Рассчитайте медианное значение по следующей формуле: Где N = Сумма частот Шаг 4: или просто больше, чем значение, определенное на предыдущем шаге. Шаг 5: Теперь найдите класс, соответствующий совокупной частоте, равной или чуть превышающей значение, определенное на третьем шаге. Этот класс известен как средний класс . Шаг 6: Теперь применим следующую формулу медианы: = кумулятивная частота класса, предшествующего среднему классу f = простая частота среднего класса i = размер класса медианной группы или класса Примечание: При вычислении медианы данного распределения мы должны предположить, что каждый класс распределения равномерно распределен в интервале классов. В следующей таблице содержится информация об оценках, выставленных учащимися в классе. Следовательно, медиана лежит в классе 40-60. л 1 = 40, ср. = 15, F = 20, I = 20 = 40 + 12,5 Медиана = 52,5 1. Сумма отклонений из элементов из Median (пожигает в загоретельстве. ) является минимальным. Например, медиана ряда 2, 4, 6, 9, 10 равна 6. Теперь отклонения от 6 после игнорирования знаков равны 4, 2, 0, 3, 4. Сумма этих отклонений равна 13 . Эта сумма является минимальной из суммы, полученной из отклонений, взятых от любого другого числа. Если отклонения принять от 4, то отклонения после игнорирования знаков будут 2, 0, 2, 5, 6 и сумма этих отклонений равна 15. Следовательно, можно сказать, что медиана расположена в центре. 2. Медиана не зависит от экстремальных значений, так как это среднее позиционное значение. Это один из самых простых и широко используемых показателей центральной тенденции. Вот некоторые из достоинств медианы: 1. Простота: Это одна из простейших мер центральной тенденции . Это довольно легко вычислить и просто понять. Его можно легко вычислить путем проверки в случае некоторых статистических рядов. 2. Не подвержен влиянию экстремальных значений: Экстремальные значения не влияют на медиану ряда. Например, медиана 20, 25, 30, 35 и 120 равна 30; однако его среднее значение равно 46. Таким образом, мы видим, что на медиану не влияет экстремальное значение; т. е. 120, и, таким образом, это лучшее среднее значение. 3. Графическое представление: Медиана может быть представлена графически через оживальные кривые, что делает данные более презентабельными и понятными. 4. Подходит для качественных данных: При работе с качественными данными оптимальным средним значением является медиана. 5. Полезно в случае неполных или типичных данных: Медиана используется даже в случае неполных данных, поскольку медиану можно рассчитать, даже если известно количество элементов и средний элемент/элементы ряда. Медиана часто используется для выражения типичного наблюдения. На него влияет в основном количество наблюдений, а не их величина. 6. Идеальное среднее: Медиана имеет определенное и определенное значение, что означает, что она определена жестко. Недостатки медианы следующие: 1. Расположение данных: Данные должны быть расположены в порядке возрастания или убывания, чтобы вычислить медиану, что может занять много времени. задача, если количество элементов велико. 2. Недостаток репрезентативности: Медиана не является мерой такого ряда, в котором значения сильно различаются. 3. Непредсказуемость: Когда количество элементов минимально, медиана непредсказуема, что не отражает истинной картины данных. 4. Под влиянием колебаний: Колебания выборки оказывают значительное влияние на медиану. Это означает, что если интервалы классов ряда неодинаковы, то значение медианы становится неуместным. 5. Отсутствие дальнейшей алгебраической обработки: Медиана не может быть подвергнута дальнейшей алгебраической обработке. Например, , как и в случае среднего, невозможно определить объединенную медиану двух или более групп. 6. Не основано на всех наблюдениях: Поскольку медиана является позиционным средним, она не основана на каждом элементе распределения. Например, медиана 10, 20, 30, 40 и 50 равна 30.
Пример:
Вычислить медиану оценок. Решение:
Достоинства медианы
Например, измерить честность количественно невозможно. Однако человека со средней честностью можно легко найти среди группы лиц, расположенных в порядке возрастания или убывания честности. Недостатки медианы
