Определение моды и медианы в статистике
По данным таблицы рассчитаем моду и медиану
Интервалы | Диапазон по продолжительности жизни | Число стран (частота), f | Накопленная частота, f |
1 | 60,8 — 63,53 | 6 | 6 |
2 | 63,53 – 66,25 | 13 | 19 |
3 | 66,25 – 68,98 | 12 | 31 |
4 | 68,98 – 71,70 | 18 | 49 |
5 | 71,70 — 74,43 | 37 | 86 |
6 | 74,43 — 77,15 | 22 | 108 |
7 | 77,15 — 79,88 | 27 | 135 |
8 | 79,88 — 82,60 | 15 | 150 |
Определение моды
Интервал, имеющий наибольшую частоту, будет являться модальным, а конкретное (дискретное) значение моды будет находиться внутри него.
Рассчитать конкретное, значение моды в интервальном ряду можно по следующей формуле:
где: ХМо — нижняя граница модального интервала,
i — длина модального интервала,
fMo — частота модального интервала,
fMo-1 — частота, соответствующая предшествующему интервалу,
fMo+1 — частота, соответствующая последующему интервалу.
Самая большая частота, 37 стран, соответствует варианту 71,70 — 74,43. Этот интервал является модальным.
Определение медианы
Медиана применяется для количественной характеристики структуры и равна такому варианту, который делит ранжированную совокупность на две равные части. У одной половины совокупности признаки не больше медианы (меньше или равны), у второй — не меньше медианы (больше или равны).
Если рассматриваемый ряд интервальный, то накопленные частоты покажут нам медианный интервал. Конкретное значение медианы рассчитывается по формуле:
i — длина медианного интервала,
сумма f — сумма частот ряда (объем совокупности),
f’Me-1 — накопленная частота в интервале, предшествующем медианному,
fMe — частота медианного интервала.
Для нахождения медианного интервала нужно знать половину частот, то есть 150 : 2 = 75. В столбце «накопленные частоты» выбираем 5 интервал, так как в 4 интервале частот накопилось еще 49 стран — меньше половины. С помощью формулы найдем конкретное значение медианы, оно принадлежит медианному интервалу 71,70 — 74,43.
Разница между 74,14 и 73,61 говорит об умеренном асимметричном распределении
Заказать задачи по статистике Вы можете на странице http://univer-nn.ru/zadachi-po-statistike-primeri/
Мода и медиана в статистике
В статистике модой называется величина признака (варианта), которая чаще всего встречается в данной совокупности.
Медианой в статистике называется варианта, которая находится в середине вариационного ряда. Медиана делит ряд пополам. Обозначают медиану символом.
Распределительные средние – мода и медиана, их сущность и способы исчисления.
Данные показатели относятся к группе распределительных средних и используются для формирования обобщающей характеристики величины варьирующего признака.
Мода – это наиболее часто встречающееся значение варьирующего признака в вариационном ряду. Модой распределения называется такая величина изучаемого признака, которая в данной совокупности встречается наиболее часто, т.е. один из вариантов признака повторяется чаще, чем все другие. Для дискретного ряда (ряд, в котором значение варьирующего признака представлены отдельными числовыми показателями) модой является значение варьирующего признака обладающего наибольшей частотой. Для интервального ряда сначала определяется модальный интервал (т.е. содержащий моду), в случае интервального распределения с равными интервалами определяется по наибольшей частоте; с неравными интервалами – по наибольшей плотности, а определение моды требует проведения расчетов на основе следующих формул:
где: — нижняя граница модального интервала;
— величина модального интервала;
— частота модального интервала;
— частота интервала, предшествующего модальному;
— частота интервала, следующего за модальным;
Медиана — это значение варьирующего признака, приходящееся на середину ряда, расположенного в порядке возрастания или убывания числовых значений признака, т.
е. величина изучаемого признака, которая находится в середине упорядоченного вариационного ряда. Главное свойство медианы в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины:
Для определения медианы в дискретном ряду при наличии частот, сначала исчисляется полусумма частот, а затем определяется какое значение варьирующего признака ей соответствует. При исчислении медианы интервального ряда сначала определяются медианы интервалов, а затем определяется какое значение варьирующего признака соответствует данной частоте. Для определения величины медианы используется формула:
где: — нижняя граница медианного интервала;
— величина медианного интервала;
— накопленная частота интервала, предшествующего медианному;
— частота медианного интервала;
Медианный интервал не обязательно совпадает с модальным.
Моду и медиану в интервальном ряду распределения можно определить графически. Мода определяется по гистограмме распределения. Для этого выбирается самый высокий прямоугольник, который в данном случае является модальным. Затем правую вершину модального прямоугольника соединяют с правым верхним углом предыдущего прямоугольника. А левую вершину модального прямоугольника – с левым верхним углом последующего прямоугольника. Далее из точки их пересечения опускают перпендикуляр на ось абсцисс.
Примеры расчета моды и медианы мы уже рассматривали здесь.
Как рассчитать медиану сгруппированного частотного распределения
Как рассчитать медиану сгруппированного частотного распределения Медиану сгруппированного частотного распределения
Медиана = ℓ + \(\frac{{\frac{N}{2) } – C}}{f}\,\, \times \,\,h\)
где,
ℓ = нижний предел среднего интервала класса
C = кумулятивная частота, предшествующая средней частоте класса
f = частота интервал класса, которому принадлежит медиана
h = ширина интервала класса
N = f 1 + f 2 + f 3 + … + f n .
Рабочее правило для нахождения медианы
Шаг 1: Подготовьте таблицу, содержащую кумулятивную частоту меньше типа, с помощью заданных частот.
Шаг 2 : Узнайте суммарную частоту, к которой принадлежит \(\frac{N}{2}\). Классовый интервал этой кумулятивной частоты является медианным классовым интервалом.
Шаг 3 : Узнайте частоту f и нижний предел l этого медианного класса.
Шаг 4 : Найдите ширину h интервала медианного класса
Шаг 5 : Найдите кумулятивную частоту C класса, предшествующего среднему классу.
Шаг 6: Примените формулу
Медиана = ℓ + \(\frac{{\frac{N}{2} – C}}{f}\,\, \times \,\,h\) к найти медиану
Подробнее:
- Как связаны гистограммы и гистограммы
- Среднее значение, его преимущества и недостатки
- Гистограмма в статистике
- Mode in Statistics
- Pie Charts
- Frequency Polygon
Example 1: Find the median of the followng distribution :
| Wages ( в рупиях) | Число рабочих |
| 200 – 300 | 3 |
| 300 – 907 900 400 4 | |
| 400 – 500 | 20 |
| 500 – 600 | 10 |
| 600 – 700 | 6 |
Solution: We have,
| Wages ( в рупиях) | Компания Labors | Меньше, чем кумулятивная частота типа |
| 200 — 300 | 3 | 3 | 3 | 33 | 33 | 33 | 9007
| 300 – 400 | 5 | 8 = C |
| 400 – 500 | 20 = f | 28 |
| 500 – 600 | 10 | 38 |
| 600 – 700 | 6 | 44 |
Здесь средний класс равен 400 – 500 как \(\frac{44}{2}\) т.
е. 22 принадлежит кумулятивной частоте этого интервала класса.
Нижний предел медианного класса = ℓ = 400
Ширина интервала класса = h = 100
Суммарная частота, предшествующая средней частоте класса = C = 8
Частота среднего класса = f = 20
Медиана = ℓ + h \(\left( {\ frac {{\ frac {{\ frac {N} {2} — C}} {f }} \right)\) = 400 + 100 \(\left( {\frac {{\frac{{44}}{2} – 8}}{{20}}} \right)\,\)
= 400 + 100 \(\left( {\frac{{22 – 8}}{{20}}} \right)\) = 400 + 100 \(\left({\frac{{14}}{{20} }} \right)\)
= 400 + 70 = 470
Следовательно, медиана данного частотного распределения равна 470.
Пример 2: Найдите медиану для следующего:
| Class Interval | 0–8 | 8–16 | 16–24 | 24–32 | 32–40 | 40–48 |
| Frequency | 8 | 10 | 16 | 24 | 15 | 7 |
Solution:
| Class interval | Frequency | Less than type cumulative frequency | ||
| 0 – 8 | 8 | 8 | ||
| 8 – 16 | 10 | 18 | ||
| 16 – 24 | 16 | 34 = C | ||
| 24 – 32 | 24 = F | 58 | ||
| 32 — 40 | 15 | 73 | ||
| 40 — 48 | 7 | 80 | 7 | 80 |
) = 40 лежит в кумулятивной частоте интервала класса 24 – 32, поэтому 24 – 32 принадлежит среднему интервалу класса. | Weekly Wages (in Rs.) | 0–100 | 100–200 | 200– 300 | 300–400 |
| Компания рабочих | 40 | 39 | 34 | 30 |
Найдите доход по имени.
Решение:
| Еженедельная заработная плата (в рупиях) | № работников | Меньше, чем тип кумулятивная частота |
| 0–10079 | 4079 | |
| 0–10079 | 4079 | |
| . 200 | 39 | 79 = C |
| 200–300 | 34 = f | 113 |
| 300–400 | 30 | 143 |
| 400 – 500 | 45 | 188 |
Поскольку \(\frac{188}{2}\) = 94 относится к кумулятивной частоте среднего интервала класса (200–300), поэтому 200–300 является медианным классом.
Нижний предел среднего интервала класса = ℓ = 200.
Ширина интервала класса = h = 100
Общая частота = N = 188
Частота среднего класса = f = 34
Кумулятивная частота, предшествующая среднему классу
= C = 79
Медиана = ℓ + \(\ влево ( {\ frac {{\ frac {N} {2} — C}} {f}} \right) \,\,\,h\) = 200 + \(\ слева ( {\ гидроразрыва {{\ гидроразрыва {{188}} {2} — 79}}{{34}}} \right)\) 100
= 200 + \(\left( {\frac{{94 – 79}}{{34}}} \right)\) 100 = 200 + 44,117
= 244,117
Следовательно, медиана данного частотного распределения = 244,12.
Пример 4: Следующее частотное распределение дает ежемесячное потребление электроэнергии 68 потребителями населенного пункта. Найдите медиану и моду данных и сравните их.
| Ежемесячное потребление | Количество потребителей |
| 65 – 85 | 4 |
| 85 – 105 | 5 |
| 105 – 125 | 13 |
| 125 – 145 | 20 |
| 145 – 165 | 14 |
| 165 — 185 | 8 |
| 185 — 205 | 4 |
Решение:
| 966966.0079 | Number of consumers | Less than type cumulative frequency |
| 65 – 85 | 4 | 4 |
| 85 – 105 | 5 | 9 |
| 105 – 125 | 13 | 22 =C |
| 125 – 145 | 20 = f | 42 |
| 145 – 165 | 14 | 56 |
| 165 – 185 | 8 | 64 |
| 185 – 205 | 4 | 68 |
.
поэтому 125 – 145 – средний интервал классов
Нижний предел среднего интервала классов = ℓ = 125.
Ширина интервала классов = h = 20
Общая частота = N = 68
Кумулятивная частота, предшествующая средней частоте классов = C = 22
Частота среднего класса = f = 20
Медиана = ℓ + \(\ влево ( {\ frac {{\ frac {N} {2} — C}} {f}} \right) \,\,\,h\) = 125 + \(\ влево ( {\frac{{\frac{{68}}{2} – 22}}{{20}}} \right)\) 20
= 125 + \(\frac{{12 \times 20}}{{ 20}}\) = 125 + 12 = 137
Частота класса 125 – 145 максимальна, т.е. 20, это модальный класс,
x k = 125, f k = 20, f k- 1 = 13, f k+1 = 14, h = 20
Мода = x k + \(\frac{{f – {f_{k – 1}}}}{{2f – {f_{ k – 1}} – {f_{k + 1}}}}\)
= 125 + \(\frac{{20 – 13}}{{40 – 13 – 14}}\) × 20
= 125 + \(\frac{7}{{40 – 27}}\) × 20 = 125 + \(\frac{7}{{13}}\) × 20
= 125 + 10,77 = 135,77
Example 5: Compute the median from the marks obtained by the students of class X.
| Marks | Number of Students |
| 40 – 49 | 5 |
| 50 – 59 | 10 |
| 60 – 69 | 20 |
| 70 – 79 | 30 |
| 80 — 89 | 20 |
| 90 — 99 | 15 |
Распределение: . Сначала мы сформируем менее чем типизирующую частоту. вычитая 0,5 из нижних пределов и добавляя 0,5 к верхним пределам.
| Баллы | Количество учащихся | Меньше типа Суммарная частота | ||
| 39.5 – 49.5 | 5 | 5 | ||
| 49.5 – 59.5 | 10 | 15 | ||
| 59.5 – 69.5 | 20 | 35 = C | ||
| 69.5 – 79.5 | 30 = F | 65 | ||
| 79,5 — 89,5 | 20 | 85 | ||
| 89,5 — 99,5 | 15 | 99 | 15 | 99999 | 15 | . ) принадлежит кумулятивной частоте (65) интервала класса 690,5 – 79,5, следовательно, 69,5 – 79,5 – средний класс. Нижний предел среднего класса = ℓ = 69,5. Ширина интервала класса = h = 10 Общая частота = N = 100 Суммарная частота, предшествующая средней частоте класса = C = 35 Частота среднего класса = f = 30 Медиана = ℓ + \(\left( {\ frac {{\ frac {N} {2} — C}} {f}} \right) \, \, \, h \) = 69,5 + \ (\ left ( {\ frac {{\ frac {{100}} {2} – 35}}{{30}}} \right)\) 10 = 69,5 + \(\left( {\frac {{50 – 35}}{{30}}} \right)\) 10 = 69,5 + \(\frac{{10 \times 15}}{{30}}\) = 69,5 + 5 = 74,5 Следовательно, медиана данного частотного распределения равна 74,50. Example 6: An incomplete frequency distribution is given as follows :
Solution:
|
\ FRAC6. к кумулятивной частоте (465) интервала классов 10 – 15, поэтому 10 – 15 является медианным классом. 
.. 9000 4) 0 4)
д.), также называемые интервалами классов, имеют ширину 5
Другими словами, мы представьте себе данные выглядят так:
.. 
данные:
. 44. 44. 44. 44. 44. 4. 4.. 4. 4. 4. 4. . 4. . . . . . 4. 4. . . . . . . . . 4. . . × w 
5 
6 mm 
Таким образом, средняя точка для этой группы равна 5 , а не
4.5
