Медианы треугольника как найти: Медиана треугольника | Формулы и расчеты онлайн

Содержание

Длина медианы треугольника

Пусть дан треугольник Подготовка к ГИА и ЕГЭ, длины сторон которого соответсвенно равны Подготовка к ГИА и ЕГЭ:

Докажем, что длину медианы  Подготовка к ГИА и ЕГЭ, проведенной из вершины  Подготовка к ГИА и ЕГЭ можно выразить через длины сторон треугольника с помощью такой формулы:

    Решение задач на сайте www.ege-ok.ru

медиана

 

1. Достроим данный треугольник до параллелограмма.

медиана

2. Из треугольника Подготовка к ГИА и ЕГЭ найдем косинус угла Подготовка к ГИА и ЕГЭ с помощью теоремы косинусов.

Подготовка к ГИА и ЕГЭ

Подготовка к ГИА и ЕГЭ

Отсюда Подготовка к ГИА и ЕГЭ

(1)

3. Так как Подготовка к ГИА и ЕГЭ (по свойству односторонних углов), Подготовка к ГИА и ЕГЭ

4. Из треугольника   Подготовка к ГИА и ЕГЭ выразим сторону Подготовка к ГИА и ЕГЭ:

Подготовка к ГИА и ЕГЭ

Подготовка к ГИА и ЕГЭ

(по свойству параллелограмма)

Подготовка к ГИА и ЕГЭ

Подставим выражение (1) для Подготовка к ГИА и ЕГЭ

Подготовка к ГИА и ЕГЭ

Подготовка к ГИА и ЕГЭ

Подготовка к ГИА и ЕГЭ

Утверждение доказано.

И. В. Фельдман, репетитор по математике.

Как найти длину медианы треугольника

Примечание. В данном уроке изложены задачи по геометрии о медиане треугольника. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. Почти наверняка курс будет дополнен.

Задача. Найти длину медианы треугольника через его стороны

Стороны треугольника равны 8, 9 и 13 сантиметров. К наибольшей стороне треугольника проведена медиана. Определите медиану треугольника исходя из размеров его сторон.

Решение.

Задача имеет два способа решения. Первый, который не нравится учителям средней школы, но является наиболее универсальным.

Способ 1.


Применим Теорему Стюарта, согласно которой квадрат медианы равен одной четвертой от суммы удвоенных квадратов сторон из которой вычли квадрат стороны, к которой проведена медиана.

mc2 = ( 2a2 + 2b2 - c2 ) / 4

Соответственно

mc2 = ( 2 * 82 + 2 * 92 - 132) / 4

mc2 = 30,25
mc = 5,5 см

Способ 2.

Второй способ решения, который преподаватели в школе любят - это дополнительные построения треугольника до параллелограмма и решение через теорему о диагоналях параллелограмма.

Продлим стороны треугольника и медиану достроив их до параллелограмма. В этом случае медиана BO треугольника ABC будет равна половине диагонали получившегося параллелограмма, а две стороны треугольника AB, BC - его боковым сторонам. Третья сторона треугольника AC, к которой была проведена медиана, является второй диагональю получившегося параллелограмма.

Согласно теореме, сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон.

2(a2+b2)=d12+d22

Обозначим диагональ параллелограмма, которая образована продолжением медианы исходного треугольника как х, получим:

2( 82 + 92 ) = 132 + x2
290 = 169 + x2
x2 = 290 - 169
x2 = 121
х = 11

Поскольку искомая медиана равна половине диагонали параллелограмма, то величина медианы треугольника составит 11 / 2 = 5,5 см

Ответ: 5,5 см

 Медиана треугольника | Описание курса | Нахождение площади через медианы 

   

Все формулы медианы прямоугольного треугольника


Медиана, отрезок |CO|, исходящий из вершины прямого угла BCA и делящий гипотенузу c, пополам.

Медиана в прямоугольном треугольнике (M), равна, радиусу описанной окружности (R).

 

Длина медианы прямоугольного треугольника

M - медиана

R - радиус описанной окружности

O - центр описанной окружности

с - гипотенуза

a, b - катеты

α - острый угол CAB

 

Медиана равна радиусу и половине гипотенузы, (

M):

Медиана равна радиусу и половине гипотенузы

 

 

Формула длины через катеты, (M):

Формула медианы через катеты

 

Формула длины через катет и острый угол, (M):

Формула медианы через катет и острый угол

 

 



Подробности
Автор: Administrator logo

по сторонам треугольника найти медиану

Чтобы по сторонам треугольника найти медиану, не обязательно запоминать дополнительную формулу. Достаточно знать алгоритм решения.

Для начала рассмотрим задачу в общем виде.

Дан треугольник со сторонами a, b, c. Найти длину медианы, проведенной к стороне b.

 

AB=a, AC=b, BC=c.

Решение.

На луче BF отложим отрезок FD, FD=BF.

Соединим точку D с точками A и C.

Четырехугольник ABCD — параллелограмм (по признаку), так как у него диагонали в точке пересечения делятся пополам.

Свойство диагоналей параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Отсюда: AC²+BD²=2(AB²+BC²), значит, b²+BD²=2(a²+c²),

BD²=2(a²+c²)-b². По построению, BF — половина BD, следовательно,

   

Это — формула нахождения медианы треугольника по его сторонам. Обычно ее записывают так:

   

Переходим к рассмотрению конкретной задачи.

Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Найти медиану треугольника, проведенную к его средней по длине стороне.

Решение:

 

Применяя аналогичные рассуждения, получаем:

AC²+BD²=2(AB²+BC²).

Отсюда

14²+BD²=2(13²+15²)

BD²=2(169+225)-196=592

   

   

Ответ:

   

Длина медианы треугольника

Длина медианы треугольника

Очень часто в ЕГЭ, ОГЭ и других экзаменах по математике встречаются задачи, в которых требуется найти длину медианы треугольника, если известны его стороны. Это действительно возможно, ведь длины трёх сторон треугольника полностью его определяют. В данной статье профессиональный репетитор по математике и физике объясняет, как это можно сделать.

Вопрос о том, как найти длину медианы треугольника, если известны все стороны треугольника, действительно имеет смысл. Ведь треугольник определяется длинами его сторон. То есть нет двух разных треугольников с одинаковыми сторонами. По третьему признаку равенства треугольников это должны быть два равных треугольника. Это означает, что если мы знаем все стороны в треугольнике, то мы можем найти в нём все основные элементы. В том числе и длины всех медиан. Разберёмся, как находится длина медианы треугольника.

Изобразим треугольник ABC. Обозначим его стороны маленькими буквами a, b и c

, причём сторона a пусть лежит напротив угла A, сторона b — напротив угла B и сторона c — напротив угла C. Это стандартное обозначение, которое часть используется в учебниках по геометрии. Проведём также медиану AM, которая разделит сторону BC на два равных отрезка, длины которых составляют по \dfrac{1}{2}a. Обозначим длину этой медианы m_a, имея в виду, что эта медиана проведена именно к стороне a:

Медиана AM в треугольнике ABC

То есть m_a — это длина медианы треугольника, которую нам нужно найти. Наша задача состоит в том, чтобы выразить её через длины сторон треугольника a, b и c.

Ну и идея состоит в том, чтобы использовать стандартное в таких случаях дополнительное построение, которое условно называют «удвоением медианы». Продлим медиану AM за точку M на отрезок MD, равный по длине медиане AM. То есть длина отрезка MD тоже равна m_a. Как это нам поможет? Дело в том, что, соединив точку D c точками B и C, мы получаем четырёхугольник ABDC, который в действительности является параллелограммом:

Удвоение медианы в треугольнике ABC, которое приводит к достраиванию его до параллелограмма

Естественно! Ведь есть такой признак. Если в четырёхугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Здесь у нас получается ровно эта ситуация. M — середина AD, и одновременно — середина BC. Значит, ABDC — параллелограмм. Это означает, в частности, что BD = b, а DC = c, так как противоположные стороны параллелограмма равны.

Ну а дальше действовать можно по-разному. Но поскольку у всех всегда разный уровень знаний по геометрии, то я постараюсь обойтись в дальнейшем самыми известными фактами из геометрии. Я имею в виду теорему Пифагора. Я думаю, что вы все прекрасно её знаете. Ну или хотя бы про неё слышали.

Итак, проведём высоты нашего параллелограмма BF и DH. Обозначим длины этих высот буквой h. А вот отрезочки AF и CH обозначим за x. Они будут одинаковые по длине, потому что равны прямоугольные треугольники ABF и CDH. Они, конечно же, равны, ведь у них равны гипотенузы AB и CD, а также катеты BF и DH:

Нахождение длины медианы треугольника по известным длинам его сторон

Ну а теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BFC. Запишем для него теорему Пифагора:

(1)   \begin{equation*} BC^2 = BF^2+FC^2 = a^2 = h^2+(b-x)^2 \end{equation*}

Аналогично для прямоугольного треугольника ADH получаем по теореме Пифагора:

(2)   \begin{equation*}  AD^2 = DH^2+AH^2 = 4m_a^2=h^2+(b+x)^2  \end{equation*}

Ну и для прямоугольного треугольника ABF по теореме Пифагора получаем:

(3)   \begin{equation*} AB^2 = BF^2+AF^2 = c^2=h^2+x^2 \end{equation*}

То есть получается три уравнения. Нужно их использовать, чтобы найти m_a. Как же это сделать? Во-первых, сложим вместе уравнения (1) и (2), раскроем скобки и приведём подобные слагаемые. В результате получаем следующее выражение:

    \[ a^2+4m_a^2=2h^2+(b-x)^2+(b+x)^2= \]

    \[ = 2b^2+2h^2+2x^2 \]

Ну и теперь осталось использовать уравнение (3), только сперва нужно умножить обе части этого уравнения на 2. Тогда получим, что 2h^2+2x^2 = 2c^2. Ну и тогда мы получаем выражение a^2+4m_a^2=2b^2+2c^2, из которого получаем окончательно:

    \[ m_a = \dfrac{1}{2}\sqrt{2c^2+2b^2-a^2} \]

Вот искомая формула, которую мы не просто записали, но ещё и доказали. Но ирония заключается в том, что запоминать её совсем не обязательно. Лучше просто знать, как её вывести, и получать её каждый раз при решении каждой конкретной задачи.

Задавайте свои вопросы по математике и физике в комментариях. Здесь на сайте и на моём Youtube-канале. На самые часто задаваемые вопросы я отвечу в следующих видео и статьях. Всего доброго!

Репетитор по математике и физике Сергей Валерьевич

Уравнение медианы | Треугольники

Как составить уравнение медианы треугольника по координатам его вершин?

Медиана соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Следовательно, при решении задачи составления уравнения медианы нужно:

  1. Найти координаты середины отрезка по координатам его концов.
  2. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки: найденную середину отрезка и противолежащую вершину.

Пример.

Дано: ΔABC, A(3;1), B(6;-3), C(-3;-7).

Найти уравнения медиан треугольника.

Решение:

Обозначим середины сторон BC, AC, AB через A1, B1, C1.

1) По формулам координат середины отрезка

   

   

Уравнение медианы AA1 будем искать в виде y=kx+b.

Найдём уравнение прямой, проходящей через точки A(3;1) и A1(1,5;-5). Составляем и решаем систему уравнений:

   

Отсюда k= 4; b= -11.

Уравнение медианы AA1: y=4x-11.

2) Аналогично, координаты точки B1 — середины отрезка AC

   

   

Можно в уравнение y=kx+b подставить координаты точек B(6;-3) и B1(0;-3) и найти k и b. Но так как ординаты обеих точек равны, уравнение медианы  BB1 можно найти ещё быстрее: y= -3.

3) Координаты точки C1 — середины отрезка BC:

   

   

C(-3;-7), C(4,5;-1), y=kx+b:

   

Отсюда уравнение медианы CC1 : y=0,8x-4,6.

Медиана к гипотенузе прямоугольного треугольника: свойства, задача

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

Определение медианы прямоугольного треугольника

Медиана – это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Медиана к гипотенузе в прямоугольном треугольнике

Прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором один из углов является прямым (90°), а два остальных – острыми (<90°).

Свойства медианы прямоугольного треугольника

Свойство 1

Медиана (AD) в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла (∠BAC) к гипотенузе (BC), равна половине гипотенузы.

Следствие: Если медиана равняется половине стороны, к которой она проведена, то данная сторона является гипотенузой, а треугольник – прямоугольным.

Свойство 2

Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равняется половине квадратного корня из суммы квадратов катетов.

Для нашего треугольника (см. рисунок выше):

Медиана к гипотенузе через длины катетов (формула)

Это следует из теоремы Пифагора и Свойства 1.

Свойство 3

Медиана, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, равна радиусу описанной вокруг треугольника окружности.

Т.е. BO – это одновременно и медиана, и радиус.

Равенство медианы к гипотенузе и описанной вокруг треугольника окружности

Примечание: К прямоугольному треугольнику также применимы общие свойства медианы, независимо от вида треугольника.

Пример задачи

Длина медианы, проведенной в гипотенузе прямоугольного треугольника, составляет 10 см. А один из катетов равен 12 см. Найдите периметр треугольника.

Решение
Гипотенуза треугольника, как следует из Свойства 1, в два раза больше медианы. Т.е. она равняется: 10 см ⋅ 2 = 20 см.

Воспользовавшись теоремой Пифагора находим длину второго катета (примем его за “b”, известный катет – за “a”, гипотенузу – за “с”):
b2 = с2 – a2 = 202 – 122 = 256.
Следовательно, b = 16 см.

Теперь мы знаем длины всех сторон и можем посчитать периметр фигуры:
P = 12 см + 16 см + 20 см = 48 см.

Как найти центр тяжести треугольника (формула, определение и видео)

Центроид треугольника
(Как найти, определение, формула и примеры)


видео Определение Медиана Как найти Средняя длина Местоположение Центроида

Центроиды

могут звучать как большие камни из космоса, но на самом деле они являются важными элементами треугольников. Они также применяются в аэронавтике, поскольку относятся к центру тяжести (ЦТ) форм.

Что вы узнаете:

Проработав этот урок и видео, вы сможете:

  • Напомним определение центра тяжести треугольника и медиан треугольников
  • Объясните, как найти центр тяжести треугольника
  • Отнесите центроид к центру тяжести
  • Вычислить длину медианы с помощью центроида треугольника
  • Отметьте положение центроида, используя только одну срединную величину

Центроид треугольника

Каждый треугольник имеет одну точку где-то около его «середины», которая позволяет треугольнику идеально сбалансироваться, если треугольник сделан из жесткого материала.Центроид треугольника - это точка уравновешивания, созданная пересечением трех медиан.

Если бы треугольник был вырезан из некоего однородно плотного материала, такого как прочный картон, листовой металл или фанера, центроид был бы точкой, в которой треугольник будет балансировать на кончике вашего пальца.

Медиана треугольника

Медиана треугольника - это отрезок прямой, созданный путем соединения одной вершины с серединой противоположной стороны, например:

[вставить △ CAT с отрезком AW, созданным от вершины A до средней точки W CT]

Поскольку каждый треугольник имеет три стороны и три угла, у него есть три медианы:

[вставить тот же чертеж △ CAT со всеми тремя средними значениями: AW, TM и CE; средние точки означают "MEW" для △ написания "CAT"]

Как найти центроид

Чтобы найти центр тяжести любого треугольника, постройте отрезки прямых от вершин внутренних углов треугольника к серединам их противоположных сторон.Эти отрезки являются медианами. Их пересечение - центроид.

Центроид имеет интересное свойство помимо того, что он является точкой равновесия треугольника. Это всегда 23 расстояния от вершины по средине, что означает, что это также 13 расстояния от середины стороны. Это верно для любого треугольника.

Другой способ подумать об этом разбиении медианы - это заметить, что это отношение 2: 1, где 2 всегда является частью от внутреннего угла до центроида, а 1 всегда является расстоянием от центра тяжести до средней точки сторона.

Расчет средней длины

Вот △ CAT с медианами AW, TM и CE. Мы знаем, что центроид, точка O, находится именно в этом месте:

.
  • 23 расстояния вдоль каждой медианы от внутренних углов C, A и T
  • 13 расстояния по медиане от середины сторон CA, AT и CT

[вставить чертеж тот же △ CAT со всеми тремя средними значениями: AW, TM и CE]

Если мы знаем, что центр тяжести находится на расстоянии 6 см от внутреннего угла C, какова длина медианы CE?

Подумайте: центроид O находится на 23-м расстоянии вдоль медианы CE, а 23 медианы на 6 см.Значит, длина СЕ должна быть 9 см.

Если мы знаем, что центроид O находится на 23-м расстоянии вдоль медианы AW и на 7,5 см от внутреннего угла A, какова длина медианы AW?

Подумайте: 7,5 - это 23 из какого числа?

Вы сказали 11,25 см? Мы надеемся на это, потому что это правильный ответ!

Определение местоположения центроида

Теперь, когда вы знаете, что центроид должен составлять 23 части медианного расстояния от внутреннего угла, вы можете найти центроид любого треугольника, используя только и одну медиану !

Вот △ СОБАКА, только с одной средней, OF, построенная путем расположения точки F точно на полпути вдоль DG.Длина медианы ОФ составляет 36 см.

Поскольку вы знаете, что центроид равен 23 расстоянию вдоль OF, вы можете измерить 23 из 36 см или 24 см вдоль

.

Как найти недостающий угол треугольника (видео и примеры)

Углы в треугольнике

Треугольник - это простейший многоугольник. Это двухмерная (плоская) форма с тремя прямыми сторонами, образующими внутреннее замкнутое пространство. Он имеет трех внутренних углов . Одна из первых концепций, которую нужно изучить в геометрии, - это то, что треугольники имеют внутренние углы в сумме до 180 °. Но как узнать? Как вы можете доказать, что это правда? Давайте разберемся!

Triangle Angle Formula

  1. Углы в треугольнике
  2. Как найти угол треугольника
  • Формула угла треугольника
  • Углы в треугольнике суммируются с доказательством 180 °
  • Как найти угол треугольника

    У вас может быть треугольник, на котором помечены и измерены только два угла.Теперь, когда вы уверены, что все треугольники имеют внутренние углы в сумме 180 °, вы можете быстро вычислить недостающее измерение. Вы можете сделать это одним из двух способов:

    1. Вычтите два известных угла из 180 °.
    2. Подставьте два угла в формулу и используйте алгебру: a + b + c = 180 °

    Как найти недостающий угол треугольника

    Два известных угла треугольника: 37 ° и 24 °. Какой недостающий угол?

    Мы можем использовать два разных метода, чтобы найти недостающий угол:

    How To Find The Angle Of A Triangle

    1. Вычесть два известных угла из 180 °:
    2. 180 ° - 37 ° = 143 °

      143 ° - 24 ° = 119 °

      с = 119 °

    3. Подставьте два угла в формулу и используйте алгебру: a + b + c = 180 °
    4. 37 ° + 24 ° + c = 180 °

      61 ° + с = 180 °

      с = 119 °

    Формула угла треугольника

    Нарисуем треугольник и обозначим его внутренние углы тремя буквами a, b и c.У нашего образца сторона ac будет горизонтальной внизу и b вверху.

    Теперь, когда мы обозначили наши углы, у нас есть формула, на которую мы можем ссылаться для углов. Это a + b + c = 180 °, что говорит нам, что если мы сложим все наши углы, они всегда будут равны 180.

    Теперь давайте проведем линию, параллельную стороне ac, которая проходит через точку b (в которой также находится точка ∠b).

    Alternate Interior Angles Theorem To Find the Missing Angle In a Triangle

    Эта новая параллельная линия создала два новых угла по обе стороны от ∠b.Обозначим эти два угла ∠z и ∠w слева направо. Сторона ab нашего треугольника теперь может рассматриваться как поперечная, линия, пересекающая две параллельные линии.

    Теорема об альтернативных внутренних углах

    По теореме об альтернативных внутренних углах мы знаем, что a конгруэнтно (равно) ∠z, а ∠c конгруэнтно w.

    Мы тебя потеряли? Не отчаивайся! Теорема об альтернативных внутренних углах говорит нам, что поперечный разрез по двум параллельным линиям создает co

    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *