Метод феррари – Решение уравнений 4-ой степени. Метод Феррари

Содержание

📌 ФЕРРАРИ МЕТОД — это… 🎓 Что такое ФЕРРАРИ МЕТОД? ✅


  • ФЕРМИ — ДИРАКА СТАТИСТИКА
  • ФИБОНАЧЧИ МЕТОД

Смотреть что такое «ФЕРРАРИ МЕТОД» в других словарях:

  • Метод Феррари — аналитический метод решения алгебраического уравнения четвёртой степени. Содержание 1 Описание метода 2 Вывод 3 История …   Википедия

  • АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ — уравнение вида где многочлен n й степени от одного или нескольких переменных . А. у. с одним неизвестным наз. уравнение вида: Здесь п целое неотрицательное число, наз. коэффициентами уравнения и являются данными, хназ. неизвестным и является… …   Математическая энциклопедия

  • АЛГЕБРА — часть математики, посвященная изучению алгебраических операций. Исторический очерк. Простейшие алгебраич. операции арифметич. действия над натуральными и положительными рациональными числами встречаются в самых ранних математич. текстах,… …   Математическая энциклопедия

  • ГАЛУА ТЕОРИЯ — в наиболее общем смысле теория, изучающая те или иные математич. объекты на основе их групп автоморфизмов. Так, напр., возможны Г. т. полей, колец, топологич. пространств и т. п. В более узком смысле под Г. т. понимается Г. т. полей. Возникла эта …   Математическая энциклопедия

  • ЕСТЕСТВЕННАЯ ТЕОЛОГИЯ — [лат. theologia naturalis], термин, очерчивающий особую область философско богословских размышлений и исследований, общей характерной чертой к рых является признание в качестве отправного факта того, что всякий человек естественным образом… …   Православная энциклопедия

  • Автомобиль — (Cars) Содержание Содержание 1. История создания первого авто 2. История марок Aston Martin Bentley Bugatti Cadillac Chevrolet Dodge Division Ferrari Ford Jaguar 3. Классификация По назначению По размеру По типу кузова По рабочему объему… …   Энциклопедия инвестора

  • Уравнения Максвелла

    —     Классическая электродинамика …   Википедия

  • Уравнение четвёртой степени — График многочлена 4 ой степени с четырьмя корнями и тремя критическими точками. Уравнение четвёртой степени  в математике алгебраическое уравнение вида: Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой… …   Википедия

  • Ювентус — У этого термина существуют и другие значения, см. Ювентус. Ювентус …   Википедия

  • Ювентус Турин — Ювентус Полное название Juventus Football Club S.p.A. Прозвища Vecchia Signora (Старая Сеньёра), Bianconeri (Чёрно белые), Zebre (зебры). Основан …   Википедия

Книги

  • Решение алгебраических уравнений 2-й,3-й,4-й и 5-й степени в радикалах, Белкин Л.П., Книга содержит несколько способов решений алгебраических уравнений третьей и четвертой степени с действительными коэффициентами. Материал книги разбит на отдельные главы, по всем видам… Категория: Разное Издатель: Нобель Пресс, Производитель: Нобель Пресс, Подробнее  Купить за 559 грн (только Украина)
  • Решение алгебраических уравнений 2-й,3-й,4-й и 5-й степени в радикалах, Белкин Л.П., Книга содержит несколько способов решений алгебраических уравнений третьей и четвертой степени с действительными коэффициентами. Материал книги разбит на отдельные главы, по всем видам… Категория: Научная литература Подробнее  Купить за 443 руб
  • Решение алгебраических уравнений 2-й,3-й,4-й и 5-й степени в радикалах, Белкин Л.П., Книга содержит несколько способов решений алгебраических уравнений третьей и четвертой степени с действительными коэффициентами. Материал книги разбит на отдельные главы, по всем видам… Категория: Математика и естественные науки Серия: — Издатель: Нобель Пресс, Подробнее  Купить за 432 руб

dic.academic.ru

📌 Метод Феррари — это… 🎓 Что такое Метод Феррари? ✅

Метод Феррари — аналитический метод решения алгебраического уравнения четвёртой степени.

Описание метода

Пусть уравнение 4-й степени имеет вид

. (1)

Если — произвольный корень кубического уравнения

(2)

(резольвенты основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений

где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом. Отметим, что дискриминанты исходного уравнения (1) четвёртой степени и уравнения (2) совпадают.

Представим уравнение четвёртой степени в виде:

Его решение может быть найдено из следующих выражений:

если , тогда, решив и, сделав подстановку , найдём корни:
.
, (любой знак квадратного корня подойдёт)
, (три комплексных корня, один из которых подойдёт)
Два ±s должны иметь одинаковый знак, ±t — независимы. Для того, чтобы найти все корни, надо найти x для знаковых комбинаций ±st = +,+ для +,− для −,+ для −,−. Двойные корни появятся два раза, тройные корни — три раза и корни четвёртого порядка — четыре раза. Порядок корней зависит от того, какой из кубических корней U выбран.

Вывод

Пусть имеется уравнение вида:

Обозначим корни уравнения как . В канонической форме будет выполняться соотношение

Учитывая мнимость по меньшей мере двух корней можно представить корни как:

Причём W,V –действительные числа. Выразим a через корни уравнения

Выразим К через остальные коэффициенты:

или

Итого

Или

Отсюда

Заменяя получаем резольвенту, решив которую , находим W

История

С 15 лет Луиджи Феррари был учеником у миланского математика Джероламо Кардано и быстро обнаружил выдающиеся способности. К этому времени Кардано уже был известен алгоритм решения кубических уравнений; Феррари сумел найти аналогичный способ для решения уравнений четвёртой степени. Оба алгоритма Кардано опубликовал в своей книге «Высокое искусство».

См. также

Ссылки

dic.academic.ru

Метод Феррари — Википедия. Что такое Метод Феррари

Метод Феррари — аналитический метод решения алгебраического уравнения четвёртой степени, предложенный итальянским математиком Лодовико Феррари.

Описание метода

Пусть уравнение 4-й степени имеет вид

x4+ax3+bx2+cx+d=0{\displaystyle x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}. (1)

Если y1{\displaystyle y_{1}} — произвольный корень кубического уравнения

y3−by2+(ac−4d)y−a2d+4bd−c2=0{\displaystyle y^{3}-by^{2}+(ac-4d)y-a^{2}d+4bd-c^{2}=0} (2)

(резольвенты основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений

x2+a2x+y12=±(a24−b+y1)x2+(a2y1−c)x+y124−d,{\displaystyle x^{2}+{\frac {a}{2}}x+{\frac {y_{1}}{2}}=\pm {\sqrt {\left({\frac {a^{2}}{4}}-b+y_{1}\right)x^{2}+\left({\frac {a}{2}}y_{1}-c\right)x+{\frac {y_{1}^{2}}{4}}-d}},}

где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом. Отметим, что дискриминанты исходного уравнения (1) четвёртой степени и уравнения (2) совпадают.

Представим уравнение четвёртой степени в виде:

Ax4+Bx3+Cx2+Dx+E=0,{\displaystyle Ax^{4}+Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E=0,}

Его решение может быть найдено из следующих выражений:

α=−3B28A2+CA,{\displaystyle \alpha =-{3B^{2} \over 8A^{2}}+{C \over A},}
β=B38A3−BC2A2+DA,{\displaystyle \beta ={B^{3} \over 8A^{3}}-{BC \over 2A^{2}}+{D \over A},}
γ=−3B4256A4+B2C16A3−BD4A2+EA,{\displaystyle \gamma =-{3B^{4} \over 256A^{4}}+{B^{2}C \over 16A^{3}}-{BD \over 4A^{2}}+{E \over A},}
если β=0{\displaystyle \beta =0}, тогда, решив u4+αu2+γ=0{\displaystyle u^{4}+\alpha u^{2}+\gamma =0} и, сделав подстановку x=u−B4A{\displaystyle x=u-{B \over 4A}}, найдём корни:
x=−B4A±s−α±tα2−4γ2,β=0{\displaystyle x=-{B \over 4A}\pm _{s}{\sqrt {-\alpha \pm _{t}{\sqrt {\alpha ^{2}-4\gamma }} \over 2}},\qquad \beta =0}.
P=−α212−γ,{\displaystyle P=-{\alpha ^{2} \over 12}-\gamma ,}
Q=−α3108+αγ3−β28,{\displaystyle Q=-{\alpha ^{3} \over 108}+{\alpha \gamma \over 3}-{\beta ^{2} \over 8},}
R=−Q2±Q24+P327{\displaystyle R=-{Q \over 2}\pm {\sqrt {{Q^{2} \over 4}+{P^{3} \over 27}}}}, (любой знак квадратного корня подойдёт)
U=R3{\displaystyle U={\sqrt[{3}]{R}}}, (три комплексных корня, один из которых подойдёт)
y=−56α+U+{U=0→−Q3U≠0→−P3U,{\displaystyle y=-{5 \over 6}\alpha +U+{\begin{cases}U=0&\to -{\sqrt[{3}]{Q}}\\U\neq 0&\to {-P \over 3U}\end{cases}},}
W=α+2y{\displaystyle W={\sqrt {\alpha +2y}}}
x=−B4A+±sW±t−(3α+2y±s2βW)2.{\displaystyle x=-{B \over 4A}+{\pm _{s}W\pm _{t}{\sqrt {-\left(3\alpha +2y\pm _{s}{2\beta \over W}\right)}} \over 2}.}
Два ±s — один и тот же знак при нахождении конкретного x, при этом ±t будет другим или тем же. Все корни x можно найти при всех четырёх комбинациях знаков ±s и ±t: «+,+»; «+,−»; «−,+» и «−,−». Двойные корни появятся два раза, тройные корни — три раза и корни четвёртого порядка — четыре раза. Порядок корней зависит от того, какой из кубических корней U выбран.

Вывод

Пусть имеется уравнение канонического вида:

 x4+ax2+bx+c=0{\displaystyle \ x^{4}+ax^{2}+bx+c=0}

Обозначим корни уравнения как x1,x2,x3,x4{\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}. Для корней уравнения в канонической форме будет выполняться соотношение

 x1+x2+x3+x4=0:{\displaystyle \ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0:}

Это уравнение будет иметь по меньшей мере два недействительных корня, которые будут сопряженными друг другу. Будем считать, что это

 x3=−W+iV{\displaystyle \ x_{3}=-W+iV}
 x4=−W−iV{\displaystyle \ x_{4}=-W-iV}

Причём W{\displaystyle W}, V{\displaystyle V} — действительные числа. Тогда два других корня можно записать как

 x1=W+iK{\displaystyle \ x_{1}=W+iK}
 x2=W−iK{\displaystyle \ x_{2}=W-iK}

Здесь K{\displaystyle K} может быть либо действительным, либо чисто мнимым числом. Выразим a через корни уравнения

 a=x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4=x1x2+(x1+x2)(x3+x4)+x3x4={\displaystyle \ a=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4}=x_{1}x_{2}+(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})+x_{3}x_{4}=}
 =(W2+K2)+(W2+V2)−4W2=V2+K2−2W2{\displaystyle \ =(W^{2}+K^{2})+(W^{2}+V^{2})-4W^{2}=V^{2}+K^{2}-2W^{2}}

Выразим К через остальные коэффициенты:

 K2=a+2W2−V2{\displaystyle \ K^{2}=a+2W^{2}-V^{2}}
 c=x1x2x3x4=W4+(V2+K2)W2+K2V2=W4+2W4+aV2+2W2V2−V4+aW2{\displaystyle \ c=x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}=W^{4}+(V^{2}+K^{2})W^{2}+K^{2}V^{2}=W^{4}+2W^{4}+aV^{2}+2W^{2}V^{2}-V^{4}+aW^{2}}

или

 V4−(a+2W2)V2+c−3W4−aW2=0{\displaystyle \ V^{4}-(a+2W^{2})V^{2}+c-3W^{4}-aW^{2}=0}

Итого

 V2=1/2((a+2W2)±a2−4c+8aW2+16W4){\displaystyle \ V^{2}=1/2((a+2W^{2})\pm {\sqrt {a^{2}-4c+8aW^{2}+16W^{4}}})}
 b=x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4=(W2+K2)⋅(−2W)+(W2+V2)⋅(2W)=2W(V2−K2)={\displaystyle \ b=x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4}=(W^{2}+K^{2})\cdot (-2W)+(W^{2}+V^{2})\cdot (2W)=2W(V^{2}-K^{2})=}
 =2W(2V2−a−2W2)=2W⋅a2−4c+8aW2+16W4{\displaystyle \ =2W(2V^{2}-a-2W^{2})=2W\cdot {\sqrt {a^{2}-4c+8aW^{2}+16W^{4}}}}

Или  b2=2W2⋅(a2−4c+8aW2+16W4){\displaystyle \ b^{2}=2W^{2}\cdot (a^{2}-4c+8aW^{2}+16W^{4})}

Отсюда  32W6+16aW4+2(a2−4c)W2−b2=0{\displaystyle \ 32W^{6}+16aW^{4}+2(a^{2}-4c)W^{2}-b^{2}=0}

Заменяя  y=W2{\displaystyle \ y=W^{2}} получаем резольвенту, решив которую, находим W

История

С 15 лет Луиджи Феррари был учеником у миланского математика Джероламо Кардано, который быстро обнаружил его выдающиеся способности. К этому времени Кардано уже был известен алгоритм решения кубических уравнений; Феррари сумел найти аналогичный способ для решения уравнений четвёртой степени. Оба алгоритма Кардано опубликовал в своей книге «Высокое искусство».

См. также

Ссылки

wiki.sc

Метод Феррари — Howling Pixel

Метод Феррари — аналитический метод решения алгебраического уравнения четвёртой степени, предложенный итальянским математиком Лодовико Феррари.

Описание метода

Пусть уравнение 4-й степени имеет вид

x4+ax3+bx2+cx+d=0{\displaystyle x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}. (1)

Если y1{\displaystyle y_{1}} — произвольный корень кубического уравнения

y3−by2+(ac−4d)y−a2d+4bd−c2=0{\displaystyle y^{3}-by^{2}+(ac-4d)y-a^{2}d+4bd-c^{2}=0} (2)

(резольвенты основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений

x2+a2x+y12=±(a24−b+y1)x2+(a2y1−c)x+y124−d,{\displaystyle x^{2}+{\frac {a}{2}}x+{\frac {y_{1}}{2}}=\pm {\sqrt {\left({\frac {a^{2}}{4}}-b+y_{1}\right)x^{2}+\left({\frac {a}{2}}y_{1}-c\right)x+{\frac {y_{1}^{2}}{4}}-d}},}

где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом. Отметим, что дискриминанты исходного уравнения (1) четвёртой степени и уравнения (2) совпадают.

Представим уравнение четвёртой степени в виде:

Ax4+Bx3+Cx2+Dx+E=0,{\displaystyle Ax^{4}+Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E=0,}

Его решение может быть найдено из следующих выражений:

α=−3B28A2+CA,{\displaystyle \alpha =-{3B^{2} \over 8A^{2}}+{C \over A},}
β=B38A3−BC2A2+DA,{\displaystyle \beta ={B^{3} \over 8A^{3}}-{BC \over 2A^{2}}+{D \over A},}
γ=−3B4256A4+B2C16A3−BD4A2+EA,{\displaystyle \gamma =-{3B^{4} \over 256A^{4}}+{B^{2}C \over 16A^{3}}-{BD \over 4A^{2}}+{E \over A},}
если β=0{\displaystyle \beta =0}, тогда, решив u4+αu2+γ=0{\displaystyle u^{4}+\alpha u^{2}+\gamma =0} и, сделав подстановку x=u−B4A{\displaystyle x=u-{B \over 4A}}, найдём корни:
x=−B4A±s−α±tα2−4γ2,β=0{\displaystyle x=-{B \over 4A}\pm _{s}{\sqrt {-\alpha \pm _{t}{\sqrt {\alpha ^{2}-4\gamma }} \over 2}},\qquad \beta =0}.
P=−α212−γ,{\displaystyle P=-{\alpha ^{2} \over 12}-\gamma ,}
Q=−α3108+αγ3−β28,{\displaystyle Q=-{\alpha ^{3} \over 108}+{\alpha \gamma \over 3}-{\beta ^{2} \over 8},}
R=−Q2±Q24+P327{\displaystyle R=-{Q \over 2}\pm {\sqrt {{Q^{2} \over 4}+{P^{3} \over 27}}}}, (любой знак квадратного корня подойдёт)
U=R3{\displaystyle U={\sqrt[{3}]{R}}}, (три комплексных корня, один из которых подойдёт)
y=−56α+U+{U=0→−Q3U≠0→−P3U,{\displaystyle y=-{5 \over 6}\alpha +U+{\begin{cases}U=0&\to -{\sqrt[{3}]{Q}}\\U\neq 0&\to {-P \over 3U}\end{cases}},}
W=α+2y{\displaystyle W={\sqrt {\alpha +2y}}}
x=−B4A+±sW±t−(3α+2y±s2βW)2.{\displaystyle x=-{B \over 4A}+{\pm _{s}W\pm _{t}{\sqrt {-\left(3\alpha +2y\pm _{s}{2\beta \over W}\right)}} \over 2}.}
Два ±s — один и тот же знак при нахождении конкретного x, при этом ±t будет другим или тем же. Все корни x можно найти при всех четырёх комбинациях знаков ±s и ±t: «+,+»; «+,−»; «−,+» и «−,−». Двойные корни появятся два раза, тройные корни — три раза и корни четвёртого порядка — четыре раза. Порядок корней зависит от того, какой из кубических корней U выбран.

Вывод

Пусть имеется уравнение канонического вида:

 x4+ax2+bx+c=0{\displaystyle \ x^{4}+ax^{2}+bx+c=0}

Обозначим корни уравнения как x1,x2,x3,x4{\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}. Для корней уравнения в канонической форме будет выполняться соотношение

 x1+x2+x3+x4=0:{\displaystyle \ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0:}

Это уравнение будет иметь по меньшей мере два недействительных корня, которые будут сопряженными друг другу. Будем считать, что это

 x3=−W+iV{\displaystyle \ x_{3}=-W+iV}
 x4=−W−iV{\displaystyle \ x_{4}=-W-iV}

Причём W{\displaystyle W}, V{\displaystyle V} — действительные числа. Тогда два других корня можно записать как

 x1=W+iK{\displaystyle \ x_{1}=W+iK}
 x2=W−iK{\displaystyle \ x_{2}=W-iK}

Здесь K{\displaystyle K} может быть либо действительным, либо чисто мнимым числом. Выразим a через корни уравнения

 a=x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4=x1x2+(x1+x2)(x3+x4)+x3x4={\displaystyle \ a=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4}=x_{1}x_{2}+(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})+x_{3}x_{4}=}
 =(W2+K2)+(W2+V2)−4W2=V2+K2−2W2{\displaystyle \ =(W^{2}+K^{2})+(W^{2}+V^{2})-4W^{2}=V^{2}+K^{2}-2W^{2}}

Выразим К через остальные коэффициенты:

 K2=a+2W2−V2{\displaystyle \ K^{2}=a+2W^{2}-V^{2}}
 c=x1x2x3x4=W4+(V2+K2)W2+K2V2=W4+2W4+aV2+2W2V2−V4+aW2{\displaystyle \ c=x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}=W^{4}+(V^{2}+K^{2})W^{2}+K^{2}V^{2}=W^{4}+2W^{4}+aV^{2}+2W^{2}V^{2}-V^{4}+aW^{2}}

или

 V4−(a+2W2)V2+c−3W4−aW2=0{\displaystyle \ V^{4}-(a+2W^{2})V^{2}+c-3W^{4}-aW^{2}=0}

Итого

 V2=1/2((a+2W2)±a2−4c+8aW2+16W4){\displaystyle \ V^{2}=1/2((a+2W^{2})\pm {\sqrt {a^{2}-4c+8aW^{2}+16W^{4}}})}
 b=x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4=(W2+K2)⋅(−2W)+(W2+V2)⋅(2W)=2W(V2−K2)={\displaystyle \ b=x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4}=(W^{2}+K^{2})\cdot (-2W)+(W^{2}+V^{2})\cdot (2W)=2W(V^{2}-K^{2})=}
 =2W(2V2−a−2W2)=2W⋅a2−4c+8aW2+16W4{\displaystyle \ =2W(2V^{2}-a-2W^{2})=2W\cdot {\sqrt {a^{2}-4c+8aW^{2}+16W^{4}}}}

Или  b2=2W2⋅(a2−4c+8aW2+16W4){\displaystyle \ b^{2}=2W^{2}\cdot (a^{2}-4c+8aW^{2}+16W^{4})}

Отсюда  32W6+16aW4+2(a2−4c)W2−b2=0{\displaystyle \ 32W^{6}+16aW^{4}+2(a^{2}-4c)W^{2}-b^{2}=0}

Заменяя  y=W2{\displaystyle \ y=W^{2}} получаем резольвенту, решив которую, находим W

История

С 15 лет Луиджи Феррари был учеником у миланского математика Джероламо Кардано, который быстро обнаружил его выдающиеся способности. К этому времени Кардано уже был известен алгоритм решения кубических уравнений; Феррари сумел найти аналогичный способ для решения уравнений четвёртой степени. Оба алгоритма Кардано опубликовал в своей книге «Высокое искусство».

См. также

Ссылки

Тринадцатая проблема Гильберта

Трина́дцатая пробле́ма Ги́льберта — одна из 23 задач, которые Давид Гильберт предложил 8 августа 1900 года на II Международном конгрессе математиков. Она была мотивирована применением методов номографии к вычислению корней уравнений высоких степеней, и касалась представимости функций нескольких переменных, в частности, решения уравнения седьмой степени как функции от коэффициентов, в виде суперпозиции нескольких непрерывных функций двух переменных.

Проблема была решена В. И. Арнольдом совместно с А. Н. Колмогоровым, доказавшими, что любая непрерывная функция любого количества переменных представляется в виде суперпозиции непрерывных функций одной и двух переменных (и, более того, что в таком представлении можно обойтись, в дополнение к непрерывным функциям одной переменной, единственной функцией двух переменных — сложением):

f(x1,…,xn)=∑q=02nΦq(∑p=1nψq,p(xp)).{\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{q=0}^{2n}\Phi _{q}\left(\sum _{p=1}^{n}\psi _{q,p}(x_{p})\right).}

Функций Φq{\displaystyle \Phi _{q}} и ψq,p{\displaystyle \psi _{q,p}}, не считая нулевых, требуется не более (n+1)(2n+1){\displaystyle (n+1)(2n+1)} штук, в частности, для двух переменных — не более 15, для трех — не более 28.

Уравнение четвёртой степени

Уравнение четвёртой степени — в математике алгебраическое уравнение вида:

f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e=0,a≠0.{\displaystyle f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,\quad a\neq 0.}

Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой существует аналитическое решение в радикалах в общем виде (то есть при любом значении коэффициентов).

Так как f(x){\displaystyle f(x)} является многочленом чётной степени, она имеет один и тот же предел при стремлении к плюс и к минус бесконечности. Если a>0{\displaystyle a>0}, то функция возрастает до плюс бесконечности с обеих сторон, таким образом, функция имеет глобальный минимум. Аналогично, если a<0{\displaystyle a<0}, то функция убывает до минус бесконечности с обеих сторон, таким образом, функция имеет глобальный максимум

Формула Кардано

Фо́рмула Карда́но — формула для нахождения корней канонической формы кубического уравнения

y3+py+q=0{\displaystyle y^{3}+py+q=0}

над полем комплексных чисел. Названа в честь итальянского математика Джероламо Кардано.

Любое кубическое уравнение общего вида

ax3+bx2+cx+d=0{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}

при помощи замены переменной

x=y−b3a{\displaystyle x=y-{\frac {b}{3a}}}

может быть приведено к указанной выше канонической форме с коэффициентами

p=ca−b23a2=3ac−b23a2,{\displaystyle p={\frac {c}{a}}-{\frac {b^{2}}{3a^{2}}}={\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}},}
q=2b327a3−bc3a2+da=2b3−9abc+27a2d27a3.{\displaystyle q={\frac {2b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {bc}{3a^{2}}}+{\frac {d}{a}}={\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}.}

На других языках

This page is based on a Wikipedia article written by authors (here).
Text is available under the CC BY-SA 3.0 license; additional terms may apply.
Images, videos and audio are available under their respective licenses.

howlingpixel.com

Метод Феррари — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Метод Феррари — аналитический метод решения алгебраического уравнения четвёртой степени, предложенный итальянским математиком Лодовико Феррари.

Описание метода

Пусть уравнение 4-й степени имеет вид

x4+ax3+bx2+cx+d=0{\displaystyle x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}. (1)

Если y1{\displaystyle y_{1}} — произвольный корень кубического уравнения

y3−by2+(ac−4d)y−a2d+4bd−c2=0{\displaystyle y^{3}-by^{2}+(ac-4d)y-a^{2}d+4bd-c^{2}=0} (2)

(резольвенты основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений

x2+a2x+y12=±(a24−b+y1)x2+(a2y1−c)x+y124−d,{\displaystyle x^{2}+{\frac {a}{2}}x+{\frac {y_{1}}{2}}=\pm {\sqrt {\left({\frac {a^{2}}{4}}-b+y_{1}\right)x^{2}+\left({\frac {a}{2}}y_{1}-c\right)x+{\frac {y_{1}^{2}}{4}}-d}},}

где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом. Отметим, что дискриминанты исходного уравнения (1) четвёртой степени и уравнения (2) совпадают.

Представим уравнение четвёртой степени в виде:

Ax4+Bx3+Cx2+Dx+E=0,{\displaystyle Ax^{4}+Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E=0,}

Его решение может быть найдено из следующих выражений:

α=−3B28A2+CA,{\displaystyle \alpha =-{3B^{2} \over 8A^{2}}+{C \over A},}
β=B38A3−BC2A2+DA,{\displaystyle \beta ={B^{3} \over 8A^{3}}-{BC \over 2A^{2}}+{D \over A},}
γ=−3B4256A4+B2C16A3−BD4A2+EA,{\displaystyle \gamma =-{3B^{4} \over 256A^{4}}+{B^{2}C \over 16A^{3}}-{BD \over 4A^{2}}+{E \over A},}
если β=0{\displaystyle \beta =0}, тогда, решив u4+αu2+γ=0{\displaystyle u^{4}+\alpha u^{2}+\gamma =0} и, сделав подстановку x=u−B4A{\displaystyle x=u-{B \over 4A}}, найдём корни:
x=−B4A±s−α±tα2−4γ2,β=0{\displaystyle x=-{B \over 4A}\pm _{s}{\sqrt {-\alpha \pm _{t}{\sqrt {\alpha ^{2}-4\gamma }} \over 2}},\qquad \beta =0}.
P=−α212−γ,{\displaystyle P=-{\alpha ^{2} \over 12}-\gamma ,}
Q=−α3108+αγ3−β28,{\displaystyle Q=-{\alpha ^{3} \over 108}+{\alpha \gamma \over 3}-{\beta ^{2} \over 8},}
R=−Q2±Q24+P327{\displaystyle R=-{Q \over 2}\pm {\sqrt {{Q^{2} \over 4}+{P^{3} \over 27}}}}, (любой знак квадратного корня подойдёт)
U=R3{\displaystyle U={\sqrt[{3}]{R}}}, (три комплексных корня, один из которых подойдёт)
y=−56α+U+{U=0→−Q3U≠0→−P3U,{\displaystyle y=-{5 \over 6}\alpha +U+{\begin{cases}U=0&\to -{\sqrt[{3}]{Q}}\\U\neq 0&\to {-P \over 3U}\end{cases}},}
W=α+2y{\displaystyle W={\sqrt {\alpha +2y}}}
x=−B4A+±sW±t−(3α+2y±s2βW)2.{\displaystyle x=-{B \over 4A}+{\pm _{s}W\pm _{t}{\sqrt {-\left(3\alpha +2y\pm _{s}{2\beta \over W}\right)}} \over 2}.}
Два ±s — один и тот же знак при нахождении конкретного x, при этом ±t будет другим или тем же. Все корни x можно найти при всех четырёх комбинациях знаков ±s и ±t: «+,+»; «+,−»; «−,+» и «−,−». Двойные корни появятся два раза, тройные корни — три раза и корни четвёртого порядка — четыре раза. Порядок корней зависит от того, какой из кубических корней U выбран.

Видео по теме

Вывод

Пусть имеется уравнение канонического вида:

 x4+ax2+bx+c=0{\displaystyle \ x^{4}+ax^{2}+bx+c=0}

Обозначим корни уравнения как x1,x2,x3,x4{\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}. Для корней уравнения в канонической форме будет выполняться соотношение

 x1+x2+x3+x4=0:{\displaystyle \ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0:}

Это уравнение будет иметь по меньшей мере два недействительных корня, которые будут сопряженными друг другу. Будем считать, что это

 x3=−W+iV{\displaystyle \ x_{3}=-W+iV}
 x4=−W−iV{\displaystyle \ x_{4}=-W-iV}

Причём W{\displaystyle W}, V{\displaystyle V} — действительные числа. Тогда два других корня можно записать как

 x1=W+iK{\displaystyle \ x_{1}=W+iK}
 x2=W−iK{\displaystyle \ x_{2}=W-iK}

Здесь K{\displaystyle K} может быть либо действительным, либо чисто мнимым числом. Выразим a через корни уравнения

 a=x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4=x1x2+(x1+x2)(x3+x4)+x3x4={\displaystyle \ a=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4}=x_{1}x_{2}+(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})+x_{3}x_{4}=}
 =(W2+K2)+(W2+V2)−4W2=V2+K2−2W2{\displaystyle \ =(W^{2}+K^{2})+(W^{2}+V^{2})-4W^{2}=V^{2}+K^{2}-2W^{2}}

Выразим К через остальные коэффициенты:

 K2=a+2W2−V2{\displaystyle \ K^{2}=a+2W^{2}-V^{2}}
 c=x1x2x3x4=W4+(V2+K2)W2+K2V2=W4+2W4+aV2+2W2V2−V4+aW2{\displaystyle \ c=x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}=W^{4}+(V^{2}+K^{2})W^{2}+K^{2}V^{2}=W^{4}+2W^{4}+aV^{2}+2W^{2}V^{2}-V^{4}+aW^{2}}

или

 V4−(a+2W2)V2+c−3W4−aW2=0{\displaystyle \ V^{4}-(a+2W^{2})V^{2}+c-3W^{4}-aW^{2}=0}

Итого

 V2=1/2((a+2W2)±a2−4c+8aW2+16W4){\displaystyle \ V^{2}=1/2((a+2W^{2})\pm {\sqrt {a^{2}-4c+8aW^{2}+16W^{4}}})}
 b=x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4=(W2+K2)⋅(−2W)+(W2+V2)⋅(2W)=2W(V2−K2)={\displaystyle \ b=x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4}=(W^{2}+K^{2})\cdot (-2W)+(W^{2}+V^{2})\cdot (2W)=2W(V^{2}-K^{2})=}
 =2W(2V2−a−2W2)=2W⋅a2−4c+8aW2+16W4{\displaystyle \ =2W(2V^{2}-a-2W^{2})=2W\cdot {\sqrt {a^{2}-4c+8aW^{2}+16W^{4}}}}

Или  b2=2W2⋅(a2−4c+8aW2+16W4){\displaystyle \ b^{2}=2W^{2}\cdot (a^{2}-4c+8aW^{2}+16W^{4})}

Отсюда  32W6+16aW4+2(a2−4c)W2−b2=0{\displaystyle \ 32W^{6}+16aW^{4}+2(a^{2}-4c)W^{2}-b^{2}=0}

Заменяя  y=W2{\displaystyle \ y=W^{2}} получаем резольвенту, решив которую, находим W

История

С 15 лет Луиджи Феррари был учеником у миланского математика Джероламо Кардано, который быстро обнаружил его выдающиеся способности. К этому времени Кардано уже был известен алгоритм решения кубических уравнений; Феррари сумел найти аналогичный способ для решения уравнений четвёртой степени. Оба алгоритма Кардано опубликовал в своей книге «Высокое искусство».

См. также

Ссылки

wiki2.red

Метод Феррари

TR | UK | KK | BE | EN |
метод феррари 250, метод феррари фото
Метод Феррари — аналитический метод решения алгебраического уравнения четвёртой степени, предложенный итальянским математиком Лодовико Феррари

Содержание

  • 1 Описание метода
  • 2 Вывод
  • 3 История
  • 4 См также
  • 5 Ссылки

Описание методаправить

Пусть уравнение 4-й степени имеет вид

x 4 + a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 +ax^+bx^+cx+d=0 1

Если y 1  — произвольный корень кубического уравнения

y 3 − b y 2 + a c − 4 d y − a 2 d + 4 b d − c 2 = 0 -by^+ac-4dy-a^d+4bd-c^=0 2

резольвенты основного уравнения, то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений

x 2 + a 2 x + y 1 2 = ± a 2 4 − b + y 1 x 2 + a 2 y 1 − c x + y 1 2 4 − d , +x+=\pm -b+y_\rightx^+\lefty_-c\rightx+^-d,

где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом Отметим, что дискриминанты исходного уравнения 1 четвёртой степени и уравнения 2 совпадают

Представим уравнение четвёртой степени в виде:

A x 4 + B x 3 + C x 2 + D x + E = 0 , +Bx^+Cx^+Dx+E=0,

Его решение может быть найдено из следующих выражений:

α = − 3 B 2 8 A 2 + C A , \over 8A^+, β = B 3 8 A 3 − B C 2 A 2 + D A , \over 8A^-+, γ = − 3 B 4 256 A 4 + B 2 C 16 A 3 − B D 4 A 2 + E A , \over 256A^+C \over 16A^-+, если β = 0 , тогда, решив u 4 + α u 2 + γ = 0 +\alpha u^+\gamma =0 и, сделав подстановку x = u − B 4 A , найдём корни: x = − B 4 A ± s − α ± t α 2 − 4 γ 2 , β = 0 \pm _-4\gamma \over 2,\qquad \beta =0 P = − α 2 12 − γ , \over 12-\gamma , Q = − α 3 108 + α γ 3 − β 2 8 , \over 108+- \over 8, R = − Q 2 ± Q 2 4 + P 3 27 \pm \over 4+ \over 27 , любой знак квадратного корня подойдёт U = R 3 , три комплексных корня, один из которых подойдёт y = − 5 6 α + U + \alpha +U+U=0&\to -\\U\neq 0&\to \end, W = α + 2 y x = − B 4 A + ± s W ± t − 3 α + 2 y ± s 2 β W 2 +W\pm _\right \over 2 Два ±s — один и тот же знак при нахождении конкретного x, при этом ±t будет другим или тем же Все корни x можно найти при всех четырёх комбинациях знаков ±s и ±t: «+,+»; «+,−»; «−,+» и «−,−» Двойные корни появятся два раза, тройные корни — три раза и корни четвёртого порядка — четыре раза Порядок корней зависит от того, какой из кубических корней U выбран

Выводправить

Пусть имеется уравнение вида:

  x 4 + a x 2 + b x + c = 0 +ax^+bx+c=0

Обозначим корни уравнения как x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ,x_,x_,x_ В канонической форме будет выполняться соотношение

  x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 : +x_+x_+x_=0:

Учитывая мнимость по меньшей мере двух корней можно представить корни как:

  x 1 = W + i K =W+iK   x 2 = W − i K =W-iK   x 3 = − W + i V =-W+iV   x 4 = − W − i V =-W-iV

Причём W,V -действительные числа Выразим a через корни уравнения

  a = x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 1 x 4 + x 2 x 3 + x 2 x 4 + x 3 x 4 = x 1 x 2 + x 1 + x 2 x 3 + x 4 + x 3 x 4 = x_+x_x_+x_x_+x_x_+x_x_+x_x_=x_x_+x_+x_x_+x_+x_x_=   = W 2 + K 2 + W 2 + V 2 − 4 W 2 = V 2 + K 2 − 2 W 2 +K^+W^+V^-4W^=V^+K^-2W^

Выразим К через остальные коэффициенты:

  K 2 = a + 2 W 2 − V 2 =a+2W^-V^   c = x 1 x 2 x 3 x 4 = W 4 + V 2 + K 2 W 2 + K 2 V 2 = W 4 + 2 W 4 + a V 2 + 2 W 2 V 2 − V 4 + a W 2 x_x_x_=W^+V^+K^W^+K^V^=W^+2W^+aV^+2W^V^-V^+aW^

или

  V 4 − a + 2 W 2 V 2 + c − 3 W 4 − a W 2 = 0 -a+2W^V^+c-3W^-aW^=0

Итого

  V 2 = 1 / 2 a + 2 W 2 ± a 2 − 4 c + 8 a W 2 + 16 W 4 =1/2a+2W^\pm -4c+8aW^+16W^   b = x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 + x 1 x 3 x 4 + x 2 x 3 x 4 = W 2 + K 2 ⋅ − 2 W + W 2 + V 2 ⋅ 2 W = 2 W V 2 − K 2 = x_x_+x_x_x_+x_x_x_+x_x_x_=W^+K^\cdot -2W+W^+V^\cdot 2W=2WV^-K^=   = 2 W 2 V 2 − a − 2 W 2 = 2 W ⋅ a 2 − 4 c + 8 a W 2 + 16 W 4 -a-2W^=2W\cdot -4c+8aW^+16W^

Или   b 2 = 2 W 2 ⋅ a 2 − 4 c + 8 a W 2 + 16 W 4 =2W^\cdot a^-4c+8aW^+16W^

Отсюда   32 W 6 + 16 a W 4 + 2 a 2 − 4 c W 2 − b 2 = 0 +16aW^+2a^-4cW^-b^=0

Заменяя   y = W 2 получаем резольвенту, решив которую, находим W

Историяправить

С 15 лет Луиджи Феррари был учеником у миланского математика Джероламо Кардано, который быстро обнаружил его выдающиеся способности К этому времени Кардано уже был известен алгоритм решения кубических уравнений; Феррари сумел найти аналогичный способ для решения уравнений четвёртой степени Оба алгоритма Кардано опубликовал в своей книге «Высокое искусство»

См такжеправить

  • Теорема Абеля — Руффини
  • Формула Кардано

Ссылкиправить

  • Метод Феррари и разбор на примере
  • Поэтапный разбор решения Феррари на примере англ

метод феррари 250, метод феррари калифорния, метод феррари парк, метод феррари фото


Метод Феррари Информацию О




Метод Феррари Комментарии

Метод Феррари
Метод Феррари
Метод Феррари Вы просматриваете субъект

Метод Феррари что, Метод Феррари кто, Метод Феррари описание

There are excerpts from wikipedia on this article and video

www.turkaramamotoru.com

Метод Феррари Википедия

Метод Феррари — аналитический метод решения алгебраического уравнения четвёртой степени, предложенный итальянским математиком Лодовико Феррари.

Описание метода[ | ]

Пусть уравнение 4-й степени имеет вид

x4+ax3+bx2+cx+d=0{\displaystyle x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}. (1)

Если y1{\displaystyle y_{1}} — произвольный корень кубического уравнения

y3−by2+(ac−4d)y−a2d+4bd−c2=0{\displaystyle y^{3}-by^{2}+(ac-4d)y-a^{2}d+4bd-c^{2}=0} (2)

(резольвенты основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений

x2+a2x+y12=±(a24−b+y1)x2+(a2y1−c)x+y124−d,{\displaystyle x^{2}+{\frac {a}{2}}x+{\frac {y_{1}}{2}}=\pm {\sqrt {\left({\frac {a^{2}}{4}}-b+y_{1}\right)x^{2}+\left({\frac {a}{2}}y_{1}-c\right)x+{\frac {y_{1}^{2}}{4}}-d}},}

где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом. Отметим, что дискриминанты исходного уравнения (1) четвёртой степени и уравнения (2) совпадают.

Представим уравнение четвёртой степени в виде:

Ax4+Bx3+Cx2+Dx+E=0,{\displaystyle Ax^{4}+Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E=0,}

Его решение может быть найдено из следующих выражений:

α=−3B28A2+CA,{\displaystyle \alpha =-{3B^{2} \over 8A^{2}}+{C \over A},}
β=B38A3−BC2A2

ru-wiki.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.