Метод гаусса как проверить: Как решить методом Гаусса СЛАУ (систему линейных уравнений). Правила, примеры

НОУ ИНТУИТ | Лекция | Умножение разреженных матриц

Аннотация: В лекции рассматриваются типовые алгоритмы, применяемые в работе с плотными и разреженными матрицами. Рассказывается о некоторых форматах хранения этих матриц. Рассматриваются основные свойства матриц, методы решения СЛАУ, прямые и итерационные методы.

Ключевые слова: матрица, система линейных уравнений, вектор, норма, параметр, итерация, точность, компонент, Главная диагональ, представление, сходимость, дискретизация, выражение, радиус, решение системы линейных уравнений, функция, градиент, анализ, модель вычислений, операции

Цель лекции: Основной целью лекции является применение полученные знания о разработке и отладке параллельных программ в реализации численных алгоритмов для работы с матрицами.

Презентация к лекции

Видеозапись лекции — (объем — 707 МБ).

Прямые методы решения СЛАУ

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относятся к численным методам алгебры. При формальном подходе решение подобных задач не встречает затруднений: решение системы можно найти, раскрыв определители в формуле Крамера. Однако при непосредственном раскрытии определителей решение системы с n неизвестными требует арифметических операций; уже при n порядка 20 такое число операций недоступно для современных компьютеров. При сколько-нибудь больших n применение методов с таким порядком числа операций будет невозможно и в обозримом будущем. Другой причиной, по которой этот классический способ неприменим даже при малых n, является сильное влияние на окончательный результат округлений при вычислениях.

Методы решения алгебраических задач можно разделить на точные и итерационные. Классы задач, для решения которых обычно применяют методы этих групп, можно условно назвать соответственно классами задач со средним и большим числом неизвестных. Изменение объема и структуры памяти вычислительных систем, увеличение их быстродействия и развитие численных методов приводят к смещению границ применения методов в сторону систем более высоких порядков.

Например, в 80-х годах прошлого века точные методы применялись для решения систем до порядка 10⁴, итерационные – до порядка 10⁷, в 90-х – до порядков 10⁵ и 10⁸ соответственно. Современные суперкомпьютеры способны использовать точные методы при решении еще больших систем.

Мы будем рассматривать систему из n линейных алгебраических уравнений вида

( 7.1)

В матричном виде система может быть представлена как

( 7. 2)

где есть вещественная матрица размера ; b и x — вектора из n элементов.

Под задачей решения системы линейных уравнений для заданных матрицы А и вектора b мы будем считать нахождение значения вектора неизвестных

x, при котором выполняются все уравнения системы.

Метод исключения Гаусса

В первую очередь рассмотрим алгоритмыы, предназначенные для решения системы

( 7.3)

с произвольной квадратной матрицей А. Основой для всех них служит широко известный метод последовательного исключения неизвестных, или же метод Гаусса.

Метод Гаусса основывается на возможности выполнения преобразований линейных уравнений, которые не меняют при этом решение рассматриваемой системы (такие преобразования носят наименование эквивалентных). К числу таких преобразований относятся:

• умножение любого из уравнений на ненулевую константу,
• перестановка уравнений,
• прибавление к уравнению любого другого уравнения системы.

Метод Гаусса включает последовательное выполнение двух этапов. На первом этапе, который называется прямой ход, исходная система линейных уравнений при помощи последовательного исключения неизвестных приводится к верхнему треугольному виду. При выполнении обратного хода (второй этап алгоритма) осуществляется определение значений неизвестных.

Последовательный алгоритм

intuit.ru/2010/edi»>Прямой ход состоит в последовательном исключении неизвестных в уравнениях решаемой системы линейных уравнений.

На итерации i, метода производится исключение неизвестной i для всех уравнений с номерами k, больших i(т.е.) Для этого из этих уравнений осуществляется вычитание строки i, умноженной на константу с тем, чтобы результирующий коэффициент при неизвестной в строках оказался нулевым – все необходимые вычисления могут быть определены при помощи соотношений:

( 7.4)

где — множители Гаусса.

В итоге приходим к системе с верхней треугольной матрицей

intuit.ru/2010/edi»>При выполнении прямого хода метода Гаусса строка, которая используется для исключения неизвестных, носит наименование ведущей, а диагональный элемент ведущей строки называется ведущим элементом. Как можно заметить, выполнение вычислений является возможным только, если ведущий элемент имеет ненулевое значение. Более того, если ведущий элемент

имеет малое значение, то деление и умножение строк на этот элемент может приводить к накоплению вычислительной погрешности и вычислительной неустойчивости алгоритма.

Избежать подобной проблемы можно, если при выполнении каждой очередной итерации прямого хода метода Гаусса определить коэффициент с максимальным значением по абсолютной величине в столбце, соответствующем исключаемой неизвестной, т.е.

и выбрать в качестве ведущей строку, в которой этот коэффициент располагается (данная схема выбора ведущего значения носит наименование метода главных элементов).

Обратный ход алгоритма состоит в следующем. После приведения матрицы коэффициентов к верхнему треугольному виду становится возможным определение значений неизвестных. Из последнего уравнения преобразованной системы может быть вычислено значение переменной

, после этого из предпоследнего уравнения становится возможным определение переменной

и т.д. В общем виде выполняемые вычисления при обратном ходе метода Гаусса могут быть представлены при помощи соотношений:

Оценим трудоемкость метода Гаусса. При выполнении прямого хода число операций составит

Для выполнения обратного хода потребуется

Таким образом, общее время выполнения метода Гаусса при больших n можно оценить как

где время выполнения одной операции.

Параллельный алгоритм

При внимательном рассмотрении метода Гаусса можно заметить, что все вычисления сводятся к однотипным вычислительным операциям над строками матрицы коэффициентов системы линейных уравнений. Как результат, в основу параллельной реализации алгоритма Гаусса может быть положен принцип распараллеливания по данным. В качестве базовой подзадачи можно принять тогда все вычисления, связанные с обработкой одной строки матрицы

A и соответствующего элемента вектора b. Рассмотрим общую схему параллельных вычислений и возникающие при этом информационные зависимости между базовыми подзадачами.

Для выполнения прямого хода метода Гаусса необходимо осуществить итерацию по исключению неизвестных для преобразования матрицы коэффициентов A к верхнему треугольному виду. Выполнение итерации i, , прямого хода метода Гаусса включает ряд последовательных действий. Прежде всего, в самом начале итерации необходимо выбрать ведущую строку, которая при использовании метода главных элементов определяется поиском строки с наибольшим по абсолютной величине значением среди элементов столбца i, соответствующего исключаемой переменной . Зная ведущую строку, подзадачи выполняют вычитание строк, обеспечивая тем самым исключение соответствующей неизвестной .

При выполнении обратного хода метода Гаусса подзадачи выполняют необходимые вычисления для нахождения значения неизвестных. Как только какая-либо подзадача i, , определяет значение своей переменной , это значение должно быть использовано всеми подзадачам с номерами k, : подзадачи подставляют полученное значение новой неизвестной и выполняют корректировку значений для элементов вектора b.

Выделенные базовые подзадачи характеризуются одинаковой вычислительной трудоемкостью. Однако размер матрицы, описывающей систему линейных уравнений, является существенно большим, чем число потоков в программе (т. е.,), и базовые подзадачи можно укрупнить, объединив в рамках одной подзадачи несколько строк матрицы. При этом применение последовательной схемы разделения данных для параллельного решения систем линейных уравнений приведет к неравномерной вычислительной нагрузке между потоками: по мере исключения (на прямом ходе) или определения (на обратном ходе) неизвестных в методе Гаусса для большей части потоков все необходимые вычисления будут завершены и они окажутся простаивающими. Возможное решение проблемы балансировки вычислений может состоять в использовании ленточной циклической схемы для распределения данных между укрупненными подзадачами. В этом случае матрица

A делится на наборы (полосы) строк вида (см. рис. 7.1).

Рис. 7.1. Ленточная схема

Сопоставив схему разделения данных и порядок выполнения вычислений в методе Гаусса, можно отметить, что использование циклического способа формирования полос позволяет обеспечить лучшую балансировку вычислительной нагрузки между подзадачами.

Итак, проведя анализ последовательного варианта алгоритма Гаусса, можно заключить, что распараллеливание возможно для следующих вычислительных процедур:

• поиск ведущей строки,
• вычитание ведущей строки из всех строк, подлежащих обработке,
• выполнение обратного хода.

Оценим трудоемкость рассмотренного параллельного варианта метода Гаусса. Пусть n есть порядок решаемой системы линейных уравнений, а p, , обозначает число потоков. При разработке параллельного алгоритма все вычислительные операции, выполняемые алгоритмом Гаусса, были распределены между потоками параллельной программы. Следовательно, время, необходимое для выполнения вычислений на этапе прямого хода, можно оценить как

Подставив выражение получим, что время выполнения вычислений для параллельного варианта метода Гаусса описывается выражением:

intuit.ru/2010/edi»>Теперь можно оценить величину накладных расходов, обусловленных организацией и закрытием параллельных секций. Пусть – время, необходимое на организацию и закрытие параллельной секции. Параллельная секция создается при каждом выборе ведущей строки, при выполнении вычитания ведущей строки из остальных строк линейной системы, подлежащих обработке, а также при выполнении каждой итерации обратного хода метода Гаусса. Таким образом, общее число параллельных секций составляет .

Сводя воедино все полученные оценки можно заключить, что время выполнения параллельного метода Гаусса описывается соотношением

( 7.5)

Связь метода Гаусса и LU-разложения

intuit.ru/2010/edi»>LU-разложение — представление матрицы A в виде

( 7.6)

где L — нижняя треугольная матрица с диагональными элементами, равными единице, а U — верхняя треугольная матрица с ненулевыми диагональными элементами. LU-разложение также называют LU-факторизацией. Известно [4], что LU-разложение существует и единственно, если главные миноры матрицы A отличны от нуля.

Алгоритм LU-разложения тесно связан с методом исключения Гаусса. В самом деле, пусть мы решаем систему уравнений вида (7.2). Непосредственно проверяется, что преобразования k-го шага метода Гаусса равносильны домножению системы (7. 2) слева на матрицу

где — множители Гаусса из (7.4). Как было рассмотрено в п. 7.1.1, прямой ход метода Гаусса преобразует исходную систему уравнений к виду

с верхней треугольной матрицей U. Зная матрицы , можно записать матрицу U и вектор c как

Обозначим Можно непосредственно проверить, что

Отсюда получаем .

Таким образом, матрицу L можно получить как нижнюю треугольную матрицу коэффициентов Гаусса, а матрицу U — как верхнюю треугольную матрицу, получаемую в результате работы метода Гаусса. При этом очевидно, что трудоемкость получения LU-факторизации будет такой же-.

Рассмотренный нами алгоритм LU-факторизации реализован с помощью исключения по столбцу. Следует отметить, что можно сформулировать аналогичный алгоритм, основанный на исключении по строке. В самом деле, основная идея алгоритма с помощью исключения по столбцу заключается в том, что на i-й итерации ведущая строка с подходящими множителями вычитается из строк, лежащих ниже, чтобы занулить все элементы матрицы, расположенные в i-м столбце ниже диагонали. Между тем возможно и другое: на каждой i-й итерации можно вычитать из i-й строки все строки, расположенные выше, умноженные на подходящие коэффициенты, так, чтобы занулить все элементы i-й строки левее диагонали. При этом элементы матрицы L ниже главной диагонали и элементы матрицы U на главной диагонали и выше нее можно вычислять на месте матрицы А. Как и в случае исключения по столбцу, приведенная схема требует проведения операций

Рассмотрим теперь еще один способ LU-факторизаци, называемый компактной схемой. Пусть матрица допускает LU-разложение (7.6), где

т.е. при а при . Из соотношения (7.6) следует, что

intuit.ru/2010/edi»>Преобразуем эту сумму двумя способами:

Отсюда находим

Оценка числа операций данного алгоритма LUфакторизаци также составляет

Если разложение (7.6) получено, то решение системы (7.2) сводится к последовательному решению двух систем уравнений с треугольными матрицами (обратный ход)

( 7.7)

Обратный ход требует операций.

Как следует из приведенных оценок, вычислительная сложность метода исключения Гаусса и метода LU-разложения одинакова. Однако если необходимо решить несколько систем с одинаковыми матрицами коэффициентов, но различными векторами свободных членов (правая часть СЛАУ), то метод LU-разложения окажется предпочтительным, так как в этом случае нет необходимости производить разложение матрицы коэффициентов многократно. Достаточно лишь сохранить полученные треугольные матрицы в памяти и, подставляя различные вектора свободных членов, получать решения методами прямой и обратной подстановки. Это позволит значительно сократить объем вычислений по сравнению с методом Гаусса.

Метод Гаусса — ПриМат

Определение. Метод Гаусса — метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Он заключается в решении системы уравнений, приведением её к ступенчатому виду, путем исключения неизвестных. В отличии от метода Крамера и матричного метода, метод немецкого математика подходит для системы уравнений с бесконечным количеством решений.

Метод Гаусса построен на элементарных преобразованиях СЛАУ.

Определение. Элементарные преобразования системы линейных уравнений это операции, с помощью которых получаем линейно эквивалентную исходной систему уравнений. Такие как: умножение уравнений на отличное от нуля число, перестановку уравнений местами и прибавление к одному уравнению другое.

Определение. Две системы называются эквивалентными, если уравнения одной системы являются линейной комбинацией уравнений другой. Также они имеют одинаковые решения или обе решений не имеют.

Алгоритм решения методом Гаусса заключается в следующих действиях:

1. Прямой ход. Допустим, нам дана СЛАУ из $k$ уравнений с $n$ неизвестными $$\begin{equation}\left\{\begin{aligned}
   a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\ldots+a_{1n}x_{n}=b_1,\\
   a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+\ldots+a_{2n}x_{n}=b_2,\\
   a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3+\ldots+a_{3n}x_{n}=b_3,\\
   \cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\\
   a_{k1}x_1+a_{k2}x_2+a_{k3}x_3+\ldots+a_{kn}x_n=b_k.\\
   \end{aligned}\right.
   \end{equation}$$ Сначала исключим неизвестное $x_1$ из уравнений ниже первого. Предположим $a_{11} \ne 0$ (в обратном случае — можно записать первым уравнение с коэффициентом при $x_1$, отличным от нуля). Теперь умножим обе части первого уравнения системы на $\frac{a_{21}}{a_{11}}$ и вычтем его из второго уравнения, затем обе части первого уравнения умножим на $\frac{a_{31}}{a_{11}}$ и вычтем из третьего и так пока не исключим во всех уравнениях ниже первого переменную $x_1$ (то есть пока коэффициенты при $x_1$ не будут равны нулю). Получаем эквивалентную системе (1) систему: $$\begin{equation}\left\{\begin{aligned}
   a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\ldots+a_{1n}x_{n}=b_1,\\
   \bar a_{22}x_2+\bar a_{23}x_3+\ldots+\bar a_{2n}x_{n}=\bar b_2,\\
   \bar a_{32}x_2+\bar a_{33}x_3+\ldots+\bar a_{3n}x_{n}=\bar b_3,\\
   \cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\\
   \bar a_{k2}x_2+\bar a_{k3}x_3+\ldots+\bar a_{kn}x_n=\bar b_k.\\
   \end{aligned}\right.
   \end{equation}$$ Далее делаем аналогичные действия со СЛАУ (2) (исключаем неизвестное $x_2$), но с уравнениями ниже второго при $a_{22} \ne 0$. Получим следующую эквивалентную системе (2) (значит и системе (1)) систему: $$\begin{equation}\left\{\begin{aligned}
   a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\ldots+a_{1n}x_{n}=b_1,\\
   \bar a_{22}x_2+\bar a_{23}x_3+\ldots+\bar a_{2n}x_{n}=\bar b_2,\\
   \tilde a_{33}x_3+\ldots+\tilde a_{3n}x_{n}=\tilde b_3,\\
   \cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\\
   \tilde a_{k3}x_3+\ldots+\tilde a_{kn}x_n=\tilde b_k.\\
   \end{aligned}\right.
   \end{equation}$$ Все эти действия нужно сделать, пока не получим систему ступенчатого вида.
2. Обратный ход. Второй этап решения системы уравнений заключается в решении полученной нами системы ступенчатого вида. Количество уравнений в преобразованной системе может быть меньше, чем в изначальной. Получаем систему с $t (t\leqslant k)$ уравнениями и $n$ переменными. Выражаем через последнее уравнение неизвестную переменную $x_t$. И через неё выражаем остальные переменные. Получим решение, которое содержит зависимые (слева) и свободные (справа) переменные: $$\begin{equation}\left\{\begin{aligned}
   x_t=c_{tt+1}x_{t+1}+a_{tt+2}x_{t+2}+\ldots+c_{tn}x_{n,}\\
   \cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\\
   x_3=c_{3t+1}x_{t+1}+a_{3t+2}x_{t+2}+\ldots+c_{3n}x_{n},\\
   x_2=c_{2t+1}x_{t+1}+a_{2t+2}x_{t+2}+\ldots+c_{2n}x_{n},\\
   x_1=c_{1t+1}x_{t+1}+a_{1t+2}x_{t+2}+\ldots+c_{1n}x_{n}.\\
   \end{aligned}\right.
   \end{equation}$$ Для получения решения, в свободные переменные $x_{t+1} \ldots x_n$ мы подставляем произвольные значения в систему уравнений. Из чего находим зависимые переменные $x_1 \ldots x_t$.

Примеры решений

Пример 1. Решить систему уравнений методом Гаусса:$$\begin{equation}\left\{\begin{aligned}
3x_1-2x_2-5x_3+x_4=3,\\
2x_1-3x_2+x_3+5x_4=-3,\\
x_1+2x_2-4x_4=-3,\\
x_1-x_2-4x_3+9x_4=22.\end{aligned}\right.
\end{equation}$$

Запишем матрицу из коэффициентов системы уравнений и преобразуем (если переменной нет в уравнении, то коэффициент равен нулю) $$\left(\left.\begin{array}{rrrr}3 & -2 & -5 & 1 \\
2 & -3 & 1 & 5 \\
1 & 2 & 0 & -4 \\
1 & -1 & -4 & 9\end{array}\right|\begin{array}{r}3 \\ -3 \\ -3 \\ 22 \end{array}\right).$$ Поменяем местами первое уравнение с последним для удобства вычислений: $$\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & -1 & -4 & 9\\
2 & -3 & 1 & 5 \\
1 & 2 & 0 & -4\\
3 & -2 & -5 & 1 \end{array}\right|\begin{array}{r}22 \\ -3 \\ -3 \\ 3 \end{array}\right). $$ Умножим теперь первое уравнение на 2 и вычтем из второго уравнения. Затем, умножив на 1, вычтем из третьего. И умножив на 3, вычтем из четвертого. Получаем: $$\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & -1 & -4 & 9 \\
0 & -1 & 9 & -13 \\
0 & 3 & 4 & -13 \\
0 & 1 & 7 & -26\end{array}\right|\begin{array}{r}22 \\ -47 \\ -25 \\ -63 \end{array}\right).$$ Далее умножаем второе уравнение на -3, затем вычтем из третьего. Теперь второе уравнение умножаем на -1 из четвертого: $$\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & -1 & -4 & 9 \\
0 & -1 & 9 & -13 \\
0 & 0 & 31 & -52 \\
0 & 0 & 16 & -39\end{array}\right|\begin{array}{r}22 \\ -47 \\ -166 \\ -110 \end{array}\right).$$ Итак, последние действия прямого хода. Умножаем третье уравнение на $-\frac{16}{31}$ и вычитаем из четвертого. Получаем:$$\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & -1 & -4 & 9 \\
0 & -1 & 9 & -13 \\
0 & 0 & 31 & -52 \\
0 & 0 & 0 & -\frac{377}{31}\end{array}\right|\begin{array}{r}22 \\ -47 \\ -166 \\ -\frac{754}{31} \end{array}\right). $$ Получаем систему уравнений с новыми коэффициентами, которую будем решать обратным ходом: $$\begin{equation}\left\{
\begin{aligned}
x_1-x_2-4x_3+9x_4=22,\\
-x_2+9x_3-13x_4=-47,\\
31x_3-52x_4=-166,\\
-\frac{377}{31}x_4=-\frac{754}{31}.
\end{aligned}\right.
\end{equation}$$ Решение получается одно. Находим его: $$x_4=2,\\
x_3=\frac{-166+104}{31}=-2,\\
x_2=-(-47+18+26)=3,\\
x_1=22+3-8-18=-1.$$

Пример 2. Решить систему уравнений методом Гаусса:$$\begin{equation}\left\{
\begin{aligned}
4x_1-3x_2+x_3+5x_4-7=0,\\
x_1-2x_2-2x_3-3x_4-3=0,\\
3x_1-x_2+2x_3+1=0,\\
2x_1+3x_2+2x_3-8x_4+7=0.
\end{aligned}\right.
\end{equation}$$

Решение

Сначала перенесем все свободные члены вправо и выпишем расширенную матрицу. Преобразуем её: $$\left(\left.\begin{array}{rrrr}4 & -3 & 1 & 5\\
1 & -2 &-2 & -3\\
3 & -1 & 2 & 0\\
2 & 3 & 2 & -8\end{array}\right|\begin{array}{r}7\\3\\-1\\-7\end{array}\right). $$ Поменяем местами первую строку со второй: $$\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & -2 &-2 & -3\\
4 & -3 & 1 & 5\\
3 & -1 & 2 & 0\\
2 & 3 & 2 & -8\end{array}\right|\begin{array}{r}3\\7\\-1\\-7\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & -2 &-2 & -3\\
0 & 5 & 9 & 17\\
0 & 5 & 8 & 9\\
0 & 7 & 6 & -2\end{array}\right|\begin{array}{r}3\\-5\\-10\\-13\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & -2 &-2 & -3\\
0 & 5 & 9 & 17\\
0 & 0 & -1 & -8\\
0 & 0 & -\frac{33}{5} & -\frac{129}{5}\end{array}\right|\begin{array}{r}3\\-5\\-5\\20\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & -2 &-2 & -3\\
0 & 5 & 9 & 17\\0
& 0 & -1 & -8\\
0 & 0 & 0 & 27\end{array}\right|\begin{array}{r}3\\-5\\-5\\27\end{array}\right). $$ Получаем ответ: $$x_4=1,$$ $$x_3=-3,$$ $$x_2=1,$$ $$x_1=2.$$

[свернуть]

Пример 3. Решить систему уравнений методом Гаусса: $$\begin{equation}\left\{
\begin{aligned}
3x_1-7x_2+4x_3+5x_4=-11,\\
2x_1+5x_2+x_3-2x_4=5,\\
x_1+2x_2-3x_3+4x_4=7,\\
7x_1+2x_2-x_3+11x_4=6.
\end{aligned}\right.
\end{equation}$$

Решение

Записываем матрицу системы и преобразуем её: $$\left(\left
.\begin{array}{rrrr}3 & -7 & 4 & 5\\
2 & 5 & 1 & -2\\
1 & 2 & -3 & 4\\
7 & 2 & -1 & 11\end{array}\right|\begin{array}{r}-11\\5\\7\\6\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -3 & 4\\
2 & 5 & 1 & -2\\
3 & -7 & 4 & 5\\
7 & 2 & -1 & 11\end{array}\right|\begin{array}{r}7\\5\\-11\\6\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -3 & 4\\
0 & 1 & 7 & -10\\
0 & -13 & 13 &-7\\
0 & -12 & 20 & -17\end{array}\right|\begin{array}{r}7\\-9\\-32\\-43\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left. \begin{array}{rrrr}1 & 2 & -3 & 4\\0 & 1 & 7 & -10\\
0 & 0 & 104 & -137\\
0 & 0 & 104 & -137\end{array}\right|\begin{array}{r}7\\-9\\-149\\-151\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -3 & 4\\
0 & 1 & 7 & -10\\
0 & 0 & 104 & -137\\
0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right|\begin{array}{r}7\\-9\\-149\\-2\end{array}\right).$$ Видим, что у нас получилось уравнение с нулевыми коэффициентами при ненулевом свободном члене, значит тут мы можем уже остановиться — система несовместна, то есть решений не имеет.

[свернуть]

Пример 4. Решите систему уравнений методом Гаусса: $$\begin{equation}\left\{\begin{aligned}7x_1+3x_2-2x_3+4x_4=0,\\
-6x_1-x_2-x_3+x_4=1,\\
9x_1+7x_2-8x_3+14x_4=2,\\
x_1+2x_2-3x_3+5x_4=1.\end{aligned}\right.\end{equation}$$

Решение

Записываем матрицу системы уравнений и преобразуем: $$\left(\left.\begin{array}{rrrr}7 & 3 & -2 & 4\\
-6 & -1 & -1 &1 \\
9 & 7 & 8 & 14 \\
1 & 2 & -3 & 5\end{array}\right|\begin{array}{r}0\\1\\2\\1\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left. \begin{array}{rrrr}1 & 2 & -3 & 5\\
-6 & -1 & -1 &1 \\
9 & 7 & 8 & 14 \\
7 & 3 & -2 & 4\end{array}\right|\begin{array}{r}1\\1\\2\\0\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -3 & 5\\
0 & 11 & -19 & 31\\
0 & -11 & 35 & -31\\
0 & -11 & 19 &-31\end{array}\right|\begin{array}{r}1\\7\\-7\\-7\end{array}\right)\sim~$$$$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -3 & 5\\
0 & 11 & -19 & 31\\
0 & 0 & 16 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right|\begin{array}{r}1\\7\\0\\0\end{array}\right)$$ Видим, что у нас появилась нулевая строка. Это значит, что это уравнение можно убрать. Так как мы получили систему, в которой количество уравнений меньше, чем количество переменных, значит система неопределённая, то есть имеет бесконечное множество решений. Количество зависимых переменных определяем по рангу матрицы. У нас получается 3 зависимых переменных. Возьмем $x_4$ за свободную переменную. Выражаем остальные 3 переменные через свободную и получаем общее решение: $$x_3=0$$ $$x_2=\frac{7-31x_4}{11}$$ $$x_1=1-2\times\frac{7-31x_4}{11}-5x_4.$$ Теперь можем подставить любое значение в переменную $x_4$ и получить один из бесконечного множества ответов, например: $$x_4=0,$$ $$x_3=0,$$ $$x_2=\frac{7}{11},$$ $$x_1=-\frac{3}{11}.$$

[свернуть]

Пример 5. Решить систему уравнений методом Гаусса: $$\begin{equation}\left\{
\begin{aligned}
2x_1-x_2+2x_4=0,\\
x_1+2x_2-x_3=0,\\
5x_1+x_2-x_3+2x_4=0,\\
x_1+x_2+x_3+x_4=1.
\end{aligned}\right.
\end{equation}$$

Решение

Запишем матрицу системы: $$\left(\left.\begin{array}{rrrr}2 & -1 &0 &2\\
1 & 2 &-1 & 0\\
5 & 1 &-1 & 2\\
1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right|\begin{array}{r}0\\0\\0\\1\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 2 & -1 & 0\\
5 & 1 & -1 & 2\\
2 & -1 & 0 & 2\end{array}\right|\begin{array}{r}1\\0\\0\\0\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left. \begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 &1\\
0 & 1 & -2 & -1\\
0 & -4 & -6 & -3\\
0 & -3 & -2 & 0\end{array}\right|\begin{array}{r}1\\-1\\-5\\-2\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1\\
0 & 1 & -2 & -1\\
0 & 0 & -14 & -7\\
0 & 0 & -8 & -3\end{array}\right|\begin{array}{r}1\\-1\\-9\\-5\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1\\
0 & 1 & -2 & -1\\
0 & 0 & -14 & -7\\
0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right|\begin{array}{r}1\\-1\\-9\\\frac{1}{7}\end{array}\right).$$ Получаем ответ: $$x_4=\frac{1}{7},$$ $$x_3=\frac{4}{7},$$ $$x_2=\frac{2}{7},$$ $$x_1=0.$$

[свернуть]

Смотрите также

• Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968 стр. 15-23
• Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1984 примеры №567, 568
• Баландина Н. Н. Матричное вычисление: метод. указания для студ. первого курса направления подготовки “Психология” / Н. Н. Баландина, С. В. Федоровский. – Одесса: Одесский нац. ун-т, 2015. стр. 31-33
• Фадеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984 стр. 119-121

Метод Гаусса

Пройдите тест, чтобы проверить насколько точно вы поняли материал.

Суммирование по Гауссу | Поговорим о науке

Суммарность Гаусса названа в честь Иоганна Карла Фридриха Гаусса. Он был немецким математиком. Гаусс — один из самых влиятельных математических мыслителей в истории. Легенда гласит, что Гаусс придумал новый метод суммирования последовательностей в очень молодом возрасте. Легенда гласит, что его учитель математики попросил класс сложить числа от 1 до 100. Другими словами, учитель хотел, чтобы они сложили 1 + 2 + 3 + 4 + 5… вплоть до 100!

Учитель предполагал, что это займет у учеников очень много времени. Подумайте, сколько времени вам понадобится, чтобы сложить все числа от 1 до 100 одно за другим. Однако Гаусс ответил 5050  почти сразу.

Эта история может быть не совсем правдой. Но это напоминает нам, что самые младшие ученики иногда открывают новые математические закономерности. Теперь давайте подумаем о шаблоне, который Гаусс использовал для быстрого решения этой проблемы.

Уловка, которую использовал Гаусс для решения этой задачи, заключается в том, что не имеет значения, в каком порядке мы складываем числа. В каком бы порядке мы ни следовали, мы получим один и тот же результат.

Например:

2 + 3 имеет тот же ответ, что и 3 + 2.

Мы можем переставить числа от 1 до 100 хитрым способом. Это может помочь нам добавить их быстрее. Вот простой пример, который покажет вам, как работает эта стратегия группировки.

Допустим, вы хотите сложить числа от 1 до 10.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = ?

 

Шаблон, показывающий сложение пар от одного до десяти (© Let’s Talk Science, 2021).

Возможно, вы заметили кое-что странное. Каждая из этих пар в сумме дает 11. Итак, мы можем думать о нашей задаче так:

(1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = ?

(11) + (11) + (11) + (11) + (11) = ?

Поскольку у нас 5 пар, наш ответ:

11 + 11 + 11 + 11 + 11 = 11 x 5 = 55

Что ж, это куда-то идет!

Давайте посмотрим на это по-другому. Вместо того, чтобы выстраивать числа в один ряд. Расставь цифры в два ряда. В первом ряду числа увеличиваются. Во втором ряду числа уменьшаются. От 1 до 10 это будет выглядеть так.

Image — Text Version

Числа от 1 до 10 выстроены в порядке возрастания в верхнем ряду. Числа от 10 до 1 выстраиваются в порядке убывания в нижнем ряду.

 

Теперь просуммируйте каждый столбец.

Изображение — Версия текста

Сумма каждого столбца равна 11.

 

Сумма всех приведенных выше чисел равна количеству пар , умноженному на сумму каждой пары . Но нам нужна сумма только одной строки, а не обеих строк. Итак, нам нужно разделить наш ответ на 2.

Мы можем записать это как: 

Изображение – Текстовая версия

Сумма – это количество пар, умноженное на сумму каждой пары, и эта сумма делится на 2. В нашем случае десять умножается на одиннадцать, а затем делится на два. . Это дает окончательную сумму 55.

 

Мы можем использовать алгебру , чтобы представить этот шаблон. Алгебра использует буквы и другие символы для представления чисел в уравнениях. Мы можем использовать букву n , чтобы представить, сколько чисел в нашем списке. Это самое большое число. В нашем примере n будет равно 10. Количество пар будет равно этому числу, деленному на 2. Вы заметите, что размер пары равен количеству пар плюс 1. Таким образом, мы могли бы написать использовать n для записи

(количество пар) x (сумма каждой пары) = n/2 x (n +1)

Но помните, как и раньше, нам нужна сумма только одной строки, а не обеих. Таким образом, мы делим приведенную выше формулу на 2 и получаем:

Изображение — Версия текста

n вне скобки, за которой следует n плюс один внутри скобки. Это делится на 2.

 

Можем ли мы сделать то же самое для суммы, которая является нечетным числом, скажем, 67? Попробуйте сами, прежде чем смотреть ответ ниже.

Вопрос:

1 + 2 + 3 + 4 ….. 66 + 67 =?

(Ответ внизу страницы)

Шаблон, показывающий сложение пар от одного до десяти (© Let’s Talk Science, 2021).

Реальные приложения

Эта задача является примером нахождения суммы арифметической последовательности . Последовательность   – это набор упорядоченных чисел. В арифметической последовательности расстояние между любыми двумя последовательными числами одинаково. Мы можем использовать метод Гаусса, чтобы найти сумму любой арифметической прогрессии.

Последовательность извлечения кусочков пиццы (Источник: Lebazele через iStockphoto).

 

Нахождение суммы последовательности может помочь людям решить множество реальных задач. Компании находят сумму последовательностей, чтобы оценить затраты или доход. Даже расчет стоимости проезда на такси представляет собой сумму арифметической последовательности. Вы начинаете с базового тарифа. Ваша общая стоимость увеличивается на ту же сумму каждую минуту.

Нахождение суммы последовательности также является распространенным вопросом информатики. Компьютерщики используют для этого метод Гаусса. Вопрос «Отсутствующий номер» — это распространенный вопрос технического собеседования. Для ее решения нужен метод Гаусса. Многие из этих приложений используют сложные на вид формулы. Однако на самом деле они просто используют метод Гаусса для нахождения суммы последовательности.

 

ОТВЕТ

1 + 2 + 3 + 4……66 + 67 = ?

n = 67, n + 1 = 68

n(n + 1)/2

67 x 68/2

= 2 278

 

Уловка Гаусса. Семинар для сотрудников

Начало работы

Можете ли вы сложить в уме первые 10 чисел? Как насчет первых 100 или первой тысячи? В вашей голове!

Карл Фридрих Гаусс был специальным математиком. История гласит, что в школе, в возрасте 8 лет, он очень быстро смог сложить первые 100 чисел. Мне нравится думать об учителе, который использовал этот трюк много раз, чтобы занять класс в течение длительного времени, пока он вздремнул. Он знал, что его ждет долгий период тишины, пока класс работает в поте лица. Даже если один из них получил ответ, учитель мог попросить его проверить его, чтобы занять больше времени. Но он не стал торговаться с этим не по годам развитым 8-летним ребенком.

В мгновение ока Гаусс выдал 5050. Но он не только мог так быстро вычислить сумму первых 100 чисел, но и обосновал правильность своего ответа. И то же самое вы сделаете перед тем, как провести этот семинар для персонала.

Вы можете прочитать о Карле Фридрихе на одном из многих веб-сайтов. Было бы неплохо написать кое-что о Гауссе. Например, где он жил, когда жил, какие у него были бытовые проблемы и тому подобное. Стоило бы достать карту современной Германии и показать, где находится Брауншвейг (Брауншвейг). Насколько я помню, это недалеко от Ганновера и старой восточно-западной границы Германии.

Так в чем же хитрость и как с ее помощью произвести впечатление на друзей и коллег?

 Пример 1

Сначала я сложу целые числа от 1 до 10 с большим трудом, чтобы вы могли увидеть, как все работает. Предположим, что сумма первых 10 чисел равна S. Тогда

 S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10.

 Интересно, что если сложить числа в другую сторону получаем тот же ответ. Ну очевидно же! Но давайте все же.

S = 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1.

И что? Что ж, я облегчу понимание «ну и что», поместив эти два способа написания S друг под другом.

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10.

S = 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 +   1.

Теперь просто добавьте S к S. Я знаю, что мы, кажется, уходим все дальше от значения S, которое мы так стремимся получить, но потерпите меня. Что ты видишь? Какие закономерности начинают проявляться?

 К счастью для Гаусса и нас,

 1 + 10 = 2 + 9 = 3 + 8 = 4 + 7 = 5 + 6 = 6 + 5 = 7 + 4 = 8 + 3 = 9 + 2 = 10 + 1 = 11.

 Все эти пары числа в сумме дают 11! Это означает, что

 2S = 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11. 2S = 10 × 11 = 110 .

 Таким образом, S = 5 × 11 = 55.

 Но этот трюк нельзя проделывать снова, и снова, и снова. Так что мы будем доить его изо всех сил.

 Пример 2

Давайте сложим числа Гаусса, все целые числа от 1 до 100. Снова пусть S будет этой суммой. Итак, S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 98 + 99 + 100.

Теперь вы видите, что я поленился и опустил все числа от 6 до 97. Но мы с вами знаем, что они действительно там. Многоточие (…) говорит нам именно об этом.

О очереди!

S = 100 + 99 + 98 + … + 5 + 4 + 3 + 2 + 1.

Теперь давайте сложим эти две величины вместе и посмотрим, что получится.

S =     1 +   2 +   3 + 4 + 5 +       …       + 98 + 99 + 100.   1.

Здесь волшебная сумма равно 101. Каждая пара чисел, расположенная одна над другой, дает в сумме 101. Таким образом, 2S = 101 + 101 + 101 + … + 101 + 101 + 101.

101 есть. Но это не должно быть проблемой. В конце концов, мы начали со 100 чисел, поэтому у нас должно быть 100 сумм, которые в сумме дают 101. Итак, 2S = 100 × 101,

 Это означает, что S = 50 × 101 = 5050.

 И Гаусс опередил нас всего на столетие или два.

 Теперь вы видите быстрый способ сложить первые 1000 целых чисел? Как насчет первых 10 000, первых 100 000 или первого миллиона?

 Пример 3

Я сделаю еще один последний пример, прежде чем мы сделаем то, что делает каждый хороший математик, а именно попытаюсь обобщить то, что мы делали. Другими словами, мы попытаемся найти закономерность. А пока давайте сложим первые первые 67 целых чисел.

S =   1 +   2 +   3 + … + 65 + 66 + 67.

S = 67 + 66 + 65 + … +   3 +   2 +   1.

На этот раз ключ 68. В конце концов, 1 + 67 = 68 = 2 + 66 = 3 + 65 = …

Итак, 2S = 68 + 68 + 68 + … + 68 + 68 + 68. являются. Но мы начали с шестидесяти семи номеров, поэтому у нас должно быть шестьдесят семь 68-х. Таким образом, 2S = 67 × 68, или S = 67 × 34 = 2278.

Есть предположения относительно общей закономерности?

Обобщение

Думаю, у нас должно быть достаточно информации, чтобы найти сумму первых n целых чисел, где n — любое значение, которое нам нравится. Давайте посмотрим, что у нас есть, чтобы увидеть, можем ли мы сделать предположение, догадку о том, что происходит на самом деле.

 Мы начали с                  n = 10 и получили S = ​​10 × 11 ÷ 2;

затем                                  n = 100 дало нам S = 100 × 101 ÷ 2;

затем                                  n = 67 дало нам S = 67 × 68 ÷ 2,

 Похоже, нам нужно взять число, которое мы хотим суммировать, умножить на это число плюс 1, а затем разделить на 2. Итак, мы имеем

  Гипотеза 1: Сумма S первых n чисел равно S = (n x (n +1)) / 2. 

 Можем ли мы обосновать, доказать это?

 Пусть S будет суммой чисел от 1 до n, каким бы ни было n.

 Если ваша алгебра немного заржавела, измените n ниже на «любое число», измените n – 1 на «любое число минус один», измените n + 1 на «любое число плюс один» и так далее.

 Проверенным методом получаем 

 S = 1 +      2     +     3     + … + (n – 2) + (n – 1) + n. 1. 1) + (n + 1) + … + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1).

Поскольку изначально было n чисел, теперь должно быть n партий (n + 1). Итак,

2S = n × (n + 1).

Таким образом, S = (n x (n+1))/2, 

Похоже, мы догадались. Прежде чем продолжить, вы можете подумать над следующими вопросами.

 (i)      Дает ли эта формула правильный ответ, если n = 15?

(ii)     Конечно, S должно быть целым числом, так как мы складываем первые n целых чисел. Но мы делим на 2 в правой части уравнения. Может ли n × (n + 1) иногда быть нечетным и все испортить?

(iii)    Что эта формула говорит словами?

 Ещё немного

Но вам не обязательно добавлять только первые несколько цифр. Предположим, мы хотим сложить все числа от 8 до 93. Как мы можем это сделать?

Мне кажется, что мы могли бы сделать это как минимум тремя способами, но я не буду возиться с тем, где вы складываете числа вместе по одному.

Метод 1: Мы могли бы записать числа от 8 до 93 в обычном порядке, а затем записать их в обратном порядке, как мы делали в других примерах. Я оставлю вас сделать это, чтобы посмотреть, что вы получите.

Метод 2: С другой стороны, мы могли бы сначала добавить 1 к 7, а затем 1 к 93, используя нашу формулу. Тогда мы могли бы вычесть меньшее из большего. Вот так:

В 1 + 2 + … + 6 + 7, «любое число», n равно 7, поэтому сумма этих чисел равна (7 x 8) / 2 = 28.  

В 1 + 2 + … + 92 + 93, «любое число», n равно 93, поэтому сумма этих чисел равна (93 x 94)/2 = 4371.

Таким образом, сумма, которую мы ищем, равна 4371 – 28 = 4343.

 Вы можете хотелось бы подумать над следующими вопросами, прежде чем продолжить.

(iv)    Существует ли формула для суммы чисел от любого выбранного вами числа (например, 8) до любого другого выбранного вами числа (например, 93)? Другими словами, можете ли вы обобщить гипотезу?

(v)     Видите, как мы постепенно усложняем ситуацию? Это путь, по которому математика всегда пытается расширить наши знания о мире.

(vi)    В свете мысли в (v), куда нам следует двигаться дальше? Каков следующий способ расширить то, что мы делаем? Мы пытались перейти от 1 к чему-то, а затем от чего-то к чему-то еще, но шаги от числа к числу всегда были одним. Можем ли мы добиться какого-либо прогресса, если шаги больше, чем один?

(vii)   В конце концов, существует ли только одна формула для ряда сложений, которые не просто складываются из нескольких первых чисел? Какой может быть эта формула на словах?

Семинар

Вам снова придется подумать о том, как лучше представить этот материал для ваших сотрудников, но как насчет следующего?

 Настройте их, задав им вопрос, который задал ему учитель Гаусса. Пусть они поработают над этим некоторое время. Затем дайте им понять, что 8-летний ребенок может сделать это в уме. Это должно привести к поиску закономерностей в числах от 1 до 100, которые могли бы облегчить быстрое суммирование. Например, некоторые группы видят, что 1 + 100 = 2 + 9. 9 и так далее. Обычно они не задумываются о том, чтобы сложить вместе два лота по S сумм. Но вы можете быстро складывать числа от 1 до 100 и другим способом.

 Попробуйте их с другими примерами. Если вы вооружитесь калькулятором, вы можете предложить им прибавить числа от 1 ко всему, что они выберут, быстрее, чем вы.

 Тогда они должны думать, что вы знаете, чего они не знают? Предложите им сделать несколько примеров и попросите их предположить, что это за закономерность.

 В зависимости от того, насколько хорошо идут дела, вы можете перейти к некоторым арифметическим прогрессиям, где общая разность не равна 1 (см. раздел 8). С заинтересованной группой вы могли бы даже сделать доказательство.

 Но вы должны сказать кое-что о Гауссе и его важности на математической сцене. Вы также должны найти несколько интересных историй о нем в ссылке, которую я дал выше. Немного истории никогда не сбивается с пути.

Ответы на некоторые вопросы

В этом разделе мы завершаем работу, проделанную в разделах со 2 по 6. Конечно, насколько далеко вы продвинетесь с этой задачей, будет зависеть от алгебраической уверенности вашего персонала, хотя вы можете полностью обойти алгебру, если вы думаете, что он лопнет, как свинцовый шар. В любом случае, постарайтесь немного вытолкнуть их из зоны комфорта, но бросьте им спасательный круг, когда они тонут. Мы оставляем это решение за вами, но здесь должно быть достаточно материала для вашего семинара.

 Сейчас я попытаюсь найти формулу для суммы строки чисел, в которой шаг от одного числа к другому всегда одинаков. Я сделаю два примера, а затем решу задачу в целом.

  Первый пример: Сложите числа 2 + 4 + 6 + … + 64 + 66 + 68.

 Это можно сделать несколькими способами. Прямое сложение — это единица, как и деление всех чисел в сумме на 2 по известной нам формуле. Тем не менее, я возвращаюсь к проверенному методу «сначала вперед, потом назад». Итак, пусть S будет суммой, которую мы ищем. Итак, вперед, затем назад у нас есть

 S =   2 +   4 +   6 + … + 64 + 66 + 68.

S = 68 + 66 + 64 + … +   6 +   4 +   2.

 Значит, что 2S = 70 + 70 + 70 + … + 70 + 70 + 70.

Единственная проблема сейчас в том, сколько терминов есть? Что ж, если бы мы разделили все исходные числа на 2, у нас было бы 1 + 2 + 3 + … + 32 + 33 + 34. Поскольку здесь 34 члена, в S должно быть 34 члена. Таким образом, 2S = 34. × 70 и S = ​​(34 x 70)/2 = 1190.

Вы можете проверить это одним из других способов, но это немного похоже на формулу, которую мы нашли в разделе 5.

Второй пример: Сложите числа 9 + 12 + 15 + … + 54 + 57 + 60.

Это можно сделать несколькими способами. Прямое сложение — это одно, как и деление всех чисел в сумме на 3 по известной нам формуле. Тем не менее, я возвращаюсь к проверенному методу «сначала вперед, потом назад». Итак, пусть S будет суммой, которую мы ищем. Таким образом, вперед и назад имеем

S = 9 + 12 + 15 + … + 54 + 57 + 60.

S = 60 + 57 + 54 + … + 15 + 12 + 9, 9.0003

Это означает, что 2S = 69 + 69 + 69 + … + 69 + 69 + 69.

 Единственная проблема заключается в том, сколько здесь терминов? Что ж, если бы мы разделили все исходные числа на 3, то получили бы 3 + 4 + 5 + … + 18 + 19 + 20. Поскольку здесь 20 – 2 = 18 терминов, в S должно быть 18 терминов. Таким образом, 2S = 18 × 69 и S = ​​(18 x 69) / 2 = 621.

 Возможно, вы захотите проверить это одним из других способов. Есть ли здесь закономерность? Эти слова кажутся знакомыми?

  Общий пример: Прежде всего, можем ли мы угадать, что мы надеемся найти? Мы хотели бы найти формулу для суммы набора чисел, которые где-то начинаются и где-то заканчиваются, но где шаг между числами всегда одинаков. Из имеющейся у нас информации можем ли мы догадаться, какой может быть формула, прежде чем мы продираемся через алгебраическую путаницу, с которой нам предстоит столкнуться, чтобы получить ответ? В каждом случае, какие два числа мы перемножаем вместе, чтобы получить S?

 Ну, мы знаем, что когда мы прибавляли от 1 к n, числа были n и n + 1. Когда мы прибавляли от 2 к 68, они были 34 и 70; когда мы добавили из 9до 60 они были 18 и 69.

 Ясно, что в каждом случае большее число является общей суммой, которую мы получаем, складывая большие числа с меньшими числами. Эти большие числа являются просто суммой наименьшего и наибольшего чисел.

 А как насчет 34 и 18? И как они связаны с n, которое мы получили при сложении первых n чисел. Что у них общего? Разве они не просто количество чисел, которые мы добавляем? Значит ли это, что формула, которую мы должны получить, содержится в следующей гипотезе?

  Гипотеза 2: Если S является суммой любой из этих строк, где есть общее различие, S = ( (количество членов)(сумма первого и последнего чисел))/2

 Проверьте формулу для некоторые другие наборы чисел, которые где-то начинаются и увеличиваются на постоянную величину. Другими словами, наборы чисел, в которых есть общая разница между последовательными числами.

 На данном этапе у нас есть предположение, каким может быть ответ. Это довольно сильная гипотеза, потому что она работает для множества примеров. Но можем ли мы доказать, что это работает для любого набора чисел с общим свойством разности? Ну конечно можем. И мы сначала покажем это методом слов, а потом посмотрим, насколько проще выразить то же самое с помощью алгебры.

 Предположим, что набор чисел представляет собой некоторое число, первое число; некоторое число плюс общая разность, второе число; некоторое число плюс общее различие плюс общее различие, третье число; до самого большого числа, последнего числа.

 Тогда сумму S можно записать двумя обычными способами:

 S = первое число +    второе число     + … + предпоследнее число + последнее число

S = последнее число  + предпоследнее число + … +    второе  число    + первое число.

 Теперь первое число + последнее число = второе число + предпоследнее число. Это потому, что мы идем вверх по общей разности, идущей от первого числа ко второму числу, и вниз по общей разнице, идущей от последнего числа к предпоследнему числу. Итак, как обычно, все отдельные суммы одинаковы. Итак,

 2S = (первое число + последнее число) + (первое число + последнее число) + … + (первое число + последнее число) + (первое число + последнее число).

 Но в скобках есть одна из сумм для каждого члена исходной суммы. Таким образом, 2S = (количество терминов)(первое число + последнее число), и, следовательно, S = (количество терминов)(первое число + последнее число) ÷ 2,9.0003

 Это то, о чем мы догадывались выше. И теперь мы доказали гипотезу, и она верна для любого набора чисел, которые растут одинаковыми шагами. Эти наборы называются Арифметические прогрессии .

 Между прочим, математики работали так же, как и мы, до изобретения алгебры. Даже в работах Ньютона вы найдете уравнения со словами. Здесь это не так уж плохо, но может стать очень громоздким. Появление алгебры значительно улучшило математическую жизнь.

 Если вам нужна полная алгебраическая версия, вот она. Пусть первый член равен а, общая разность равна d, а количество членов равно n.