Метод гаусса mathprofi: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса

Системы линейных уравнений. Метод Гаусса

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Лекция 5
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
(продолжение)
МЕТОД ГАУССА
§ 1. МЕТОД ГАУССА
Решить систему линейных уравнений – значит получить
равносильную ей систему, которая уже является разрешенной
или несовместной. Это удобно сделать при помощи метода
Гаусса, который позволяет привести систему к более простому
виду, с помощью элементарных преобразований строк в
расширенной матрице системы
Пусть дана система линейных уравнений. Поставим на
первое место любое уравнение с ненулевым коэффициентом при
x1:
• Шаг 1: умножим каждое уравнение, кроме первого, на
множитель a11/ai1, где i -номер уравнения в системе (номер
строки системы).
• после этого все коэффициенты при переменной x1 во всех
уравнениях равны a11.

Шаг 2: Вычтем из каждого уравнения системы, начиная
со второго, первое уравнение. Получим систему, в которой
все коэффициенты при x1 во всех уравнениях, кроме
первого обратились в ноль.
Повторить шаги 1-2 для второго столбца, начиная с третьего
уравнения. И т.д.
• Рассмотрим частные случаи приведенных по методу Гаусса
систем в случае с тремя неизвестными.

Случай 1. Система методом Гаусса приведена к следующему
виду:
В данном случае система имеет единственное решение,
которое получается последовательным нахождением
переменных, начиная с последнего уравнения:
Замечание: в данном случае ранг основной матрицы равен
3, ранг расширенной матрицы также равен 3.
• Случай 2. Система методом Гаусса приведена к следующему
виду:
• В данном случае система из-за последнего уравнения
несовместна и, следовательно, не имеет решений.
• Ранг основной матрицы системы очевидно равен 2.
• Рассмотрим расширенную матрицу системы и минор из первого
столбца, второго столбца и столбца свободных членов. Порядок
полученного минора равен 3.
• Следовательно, ранг расширенной матрицы больше ранга
матрицы системы.
• В этом случае система решения не имеет.
• Случай 3. Система методом Гаусса приведена к следующему
виду:
• Последнее уравнение системы обратилось в ноль, и
система стала недоопределенной – два уравнения на три
неизвестных. Запишем решение системы следующим
образом:
• Задавая различные значения параметра k, мы получим
различные решения системы. Следовательно, решений
бесконечно много. Так как решение зависит от одного
параметра, то размерность решения равна 1.
Рассмотрим ранги основной матрицы системы и расширенной
матрицы.
Они, очевидно, совпадают (равны 2), но меньше размерности
системы (количества неизвестных).
Теорема Кронекера-Капелли: Для того чтобы линейная
система являлась совместной, необходимо и достаточно,
чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен
рангу ее основной матрицы.
Следствие: Если ранги основной и расширенной матриц
линейной системы совпадают с количеством переменных, то
система имеет единственное решение.
При применении метода Гаусса на практике следует производить
преобразования над строками расширенной матрицы системы.
Пример. Решить методом Гаусса систему
Решение. Расширенная матрица системы имеет вид
• Прибавив ко второй строке первую, умноженную на (-2), к
третьей – первую, умноженную на (-3), к четвертой – первую,
умноженную на (-1), получим
Разделим третью строку на 13 и поменяем местами вторую и
третью строки:
Прибавим к третьей строке вторую, умноженную на (-9), к
четвертой – вторую, умноженную на (-2):
Разделив вторую
строку на (-2), а
третью на (-7),
имеем
Этой матрице
соответствует
система
Осуществляя обратный ход, находим: x4 = −2, x3 = 2,
Полагая x2 = c, получаем общее решение:

English     Русский Правила

Как решить уравнение Гаусса онлайн с решением

Карл Фридрих Гаусс — немецкий математик, механик, физик, астроном и геодезист. Он считается одним из величайших математиков всех времён, «королём математиков». И даже избирался иностранным почетным членом Петербургской академии наук. Для творчества Гаусса характерна органическая связь между теоретической и прикладной математикой, широта проблематики. Труды Гаусса оказали большое влияние на развитие алгебры, теории чисел, дифференциальной геометрии, математической физики, теории электричества и магнетизма, геодезии и многих разделов астрономии. Метод Гаусса идеально подходит для решения систем линейных уравнений, поскольку он имеет большее количество преимуществ по сравнению с другими методами, а именно:

— универсальность;

— не требует проверки системы на совместимость;

— минимальное количество математических операций.

Так же читайте нашу статью «Решить неравенство онлайн решателем»

Если возникли сомнения касательно конечного результата, то всегда можно узнать онлайн решение уравнения методом Гаусса и сравнить ответы.

Решим следующее уравнение методом Гаусса:

\[\left\{\begin{matrix} x_1+2x_2+3x_3-2_x4=1\\ 2x_1-x2-2x_3-3x_4=2\\ 3×1+2x_2-x_3+2x_4=-5\\ 2x_1-3x_2+2x_3+x_4=11 \end{matrix}\right.\]

Составляем расширенную матрицу системы

\[\begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 2&-1&-2&-3\\ 3&2&-1&2\\ -2&-3&2&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&-5&-8&1\\ 0&-4&-10&8\\ 0&-7&-4&5 \end{pmatrix}\]

Далее необходимо с помощью второго уравнения исключить переменную \[x_2\] из:

\[\begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&1&-2&7\\ 0&-4&-10&8\\ 0&-7&-4&5 \end{pmatrix}\]

Сделаем собственно исключение переменной\[ x_2\] из 3 и 4 уравнений. Для этого к третьей строке прибавим вторую, умноженную на \[\frac{1}{4},\] а к четвёртой — вторую, умноженную на\[ \frac{7}{1}.\]

\[\begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&1&-2&7\\ 0&-4&-10&8\\ 0&-7&-4&5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&1&-2&7\\ 0&0&-18&36\\ 0&0&-18&54 \end{pmatrix}\]

Теперь с помощью третьего уравнения исключим переменную \[x_3\] из четвёртого уравнения. Для этого к четвёртой строке прибавим третью, умноженную на \[ -\frac{18}{18}=-1\]. Получаем расширенную матрицу трапециевидной формы.

\[\begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&1&-2&7\\ 0&0&-18&36\\ 0&0&0&18 \end{pmatrix}\]

Заданная система эквивалентна, таким образом, следующей:

\[ \left\{\begin{matrix} x_1+2x_2+3x_3-2x_4=1\\ x_2-2x_3+7x_4=-8\\ -18x_3+36x_4=-40\\ 18x_4-7 \end{matrix}\right.\]

Следовательно, полученная и данная системы являются совместными и определёнными. Искомое решение находим «с конца». Из четвёртого уравнения имеем

\[x_4=-\frac{7}{18}\]

Это значение подставляем в третье уравнение системы и получаем

\[-18x_3+36(-\frac{7}{18})=-40\]

откуда

\[x_3=\frac{13}{9}\]

Далее, подставляем значения\[ x_3\]и \[x_4\] во второе уравнение системы:

\[x_2=2\frac{13}{9}+7(-\frac{7}{18})-8\]

т.е.

\[x_2=-\frac{43}{18},\]

Наконец, подстановка значений

\[x_1+2(-\frac{43}{18})+3(\frac{13}{9})-2(-\frac{7}{18})=1\]

Получаем:

\[x_1=\frac {2}{3}\]

Итак, данная система уравнений имеет единственное решение \[(x_1=\frac {2}{3}, x_2=-\frac{43}{18}, x_3=\frac{13}{9}, x_4=-\frac{7}{18})\].

Решить систему матричных уравнений онлайн вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

статистика — Распределение очков в «среднем» турнире

Может быть, это слишком много для математики, но у нас есть Ноам 🙂

Если вы посмотрите итоговую таблицу очков любого турнира, вы, вероятно, увидите много игроков со средним количеством баллов, но мало с очень высоким или низким баллом. Для швейцарца это почти по построению, но для циклического перебора (более легкого для анализа) оно также напоминает распределение Гаусса.

Мой вопрос в том, действительно ли это один или что-то похожее, допуская некоторые упрощения:

• n игроков играют по круговой системе с n-1 раундами. n предполагается очень большим числом (в идеале бесконечным).
• Предполагается, что все игроки имеют одинаковую силу.
• Таким образом, результат каждой игры равен (независимо) 1, 1/2, 0 с вероятностью p,1-2*p,p, где p равно [0,1/2].

Это должно быть домашним заданием для студента, изучающего статистику… и я могу сразу же заявить, что среднее значение распределения баллов равно (n-1)/2 в любом случае.

• статистика
• круговой

6

Зависит от того, какое количество вас интересует; все распределение представляет собой сложную концепцию для описания.

Статистические данные, которые относятся к счету одного игрока (среднее значение, дисперсия и т. д.), легко вычислить, поскольку они представляют собой сумму независимых результатов игры. По существу (с точностью до масштабирования) это полиномиальное распределение с k=3. Таким образом, средние баллы, стандартные отклонения и т. д. легко вычислить. А центральная предельная теорема предсказывает, что пределом бесконечности n является распределение Гаусса со средним значением и дисперсией, которые легко вычислить.

Более сложная часть заключается в определении величин, которые включают совместное распределение очков 2 или более игроков, поскольку эти очки не являются независимыми: например, никакие два игрока не могут оба набрать 0 очков в круговом турнире. Таким образом, такие вероятности, как «вероятность того, что 5 разных игроков наберут не менее m очков», более сложны.

1

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

Теория вероятностей Теория вероятностей верна. История развития теории вероятностей. Примеры решения задач из ЕГЭ по математике на определение вероятности

Некоторые программисты, поработав над разработкой обычных коммерческих приложений, думают о том, чтобы освоить машинное обучение и стать аналитиком данных. Часто они не понимают, почему те или иные методы работают, и большинство методов машинного обучения кажутся магией. По сути, машинное обучение основано на математической статистике, а та, в свою очередь, на теории вероятностей. Поэтому в этой статье мы уделим внимание основным понятиям теории вероятностей: коснемся определений вероятности, распределения и разберем несколько простых примеров.

Возможно, вы знаете, что теория вероятностей условно делится на 2 части. Дискретная теория вероятностей изучает явления, которые могут быть описаны распределением с конечным (или счетным) числом возможных вариантов поведения (броски костей, монет). Непрерывная теория вероятностей изучает явления, распределенные на некотором плотном множестве, например, на отрезке или в окружности.

Можно рассмотреть предмет теории вероятностей на простом примере. Представьте себя разработчиком шутеров. Неотъемлемой частью разработки игр в этом жанре является механика стрельбы. Понятно, что шутер, в котором все оружие стреляет абсолютно точно, будет мало интересен игрокам. Поэтому необходимо добавить оружию разброс. Но простая рандомизация хитпойнтов оружия не позволит провести точную настройку, поэтому корректировка игрового баланса будет затруднена. При этом с помощью случайных величин и их распределений можно проанализировать, как будет работать оружие при заданном разбросе, и помочь внести необходимые коррективы.

Пространство элементарных исходов

Предположим, из некоторого случайного эксперимента, который мы можем многократно повторять (например, подбрасывание монеты), мы можем извлечь некоторую формализуемую информацию (орел или решка). Эта информация называется элементарным исходом, и целесообразно рассматривать множество всех элементарных исходов, часто обозначаемых буквой Ω (Омега).

Структура этого пространства полностью зависит от характера эксперимента. Например, если мы рассматриваем стрельбу по достаточно большой круглой мишени, то пространством элементарных исходов будет круг, для удобства помещенный с центром в нуле, а исходом будет точка в этом круге.

Кроме того, рассматривают множества элементарных исходов — событий (например, попадание в «десятку» — концентрический круг малого радиуса с мишенью). В дискретном случае все достаточно просто: мы можем получить любое событие, включая или исключая элементарные исходы, за конечное время. Однако в непрерывном случае все гораздо сложнее: нам нужно рассмотреть некоторое достаточно хорошее семейство множеств, называемое алгеброй, по аналогии с простыми вещественными числами, которые можно складывать, вычитать, делить и умножать. Множества в алгебре можно пересекать и объединять, и результат операции будет в алгебре. Это очень важное свойство для математики, лежащее в основе всех этих концепций. Минимальное семейство состоит всего из двух множеств — пустого множества и пространства элементарных исходов.

Измерение и вероятность

Вероятность — это способ делать выводы о поведении очень сложных объектов без понимания того, как они работают. Таким образом, вероятность определяется как функция события (из того очень хорошего семейства множеств), которая возвращает число — некую характеристику того, как часто такое событие может происходить в реальности. Для определенности математики согласились, что это число должно лежать между нулем и единицей. Кроме того, к этой функции предъявляются требования: вероятность невозможного события равна нулю, вероятность всего множества исходов равна единице, а вероятность объединения двух независимых событий (непересекающихся множеств) равна сумме вероятностей . Другое название вероятности — вероятностная мера. Наиболее часто используемая мера Лебега, которая обобщает понятия длины, площади, объема на любые измерения (n-мерный объем), а значит, применима к широкому классу множеств.

Вместе множество набора элементарных исходов, семейства множеств и вероятностной меры называется вероятностным пространством . Давайте посмотрим, как мы можем построить вероятностное пространство для примера со стрельбой по мишеням.

Рассмотрите возможность стрельбы по большой круглой мишени радиусом R, которая не может быть пропущена. В качестве набора элементарных событий положим окружность с центром в начале координат радиуса R . Поскольку мы собираемся использовать площадь (меру Лебега для двумерных множеств) для описания вероятности события, мы будем использовать семейство измеримых (для которых эта мера существует) множеств.

Примечание На самом деле это технический момент и в простых задачах процесс определения меры и семейства множеств особой роли не играет. Но необходимо понимать, что эти два объекта существуют, потому что во многих книгах по теории вероятностей теоремы начинаются со слов: « Пусть (Ω,Σ,P) — вероятностное пространство… ».

Как было сказано выше, вероятность всего пространства элементарных исходов должна быть равна единице. Площадь (двумерная мера Лебега, которую мы будем обозначать через λ 2 (A), где A — событие) окружности, согласно известной из школы формуле, равна π * R 2 . Тогда мы можем ввести вероятность P(A) = λ 2 (A) / (π *R 2) , и это значение уже будет лежать между 0 и 1 для любого события A.

Если предположить, что поражение любой точки мишени равновероятно, то поиск вероятности поражения стрелком какой-либо площади мишени сводится к нахождению площади этого множества (отсюда можно сделать вывод, что вероятность попадания в конкретную точку равна нулю, потому что площадь точки равна нулю).

Например, мы хотим знать, какова вероятность того, что стрелок попадет в «десятку» (событие А — стрелок попал в правильный набор). В нашей модели «десятка» представлена ​​окружностью с центром в нуле и радиусом r. Тогда вероятность попасть в этот круг равна P(A) = λ 2 /(A)π *R 2 = π * r 2 /(π R 2)= (r/R) 2 .

Это одна из самых простых разновидностей задач «геометрической вероятности» — большинство этих задач требуют нахождения площади.

случайные величины

Случайная величина — это функция, которая преобразует элементарные результаты в действительные числа. Например, в рассматриваемой задаче можно ввести случайную величину ρ(ω) — расстояние от точки попадания до центра мишени. Простота нашей модели позволяет явно задать пространство элементарных исходов: Ω = (ω = (x,y) чисел, таких что x 2 +y 2 ≤ R 2 ) . Тогда случайная величина ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 .

Средства абстрагирования от вероятностного пространства. Функция распределения и плотность

Хорошо, когда хорошо известна структура пространства, но на деле это не всегда так. Даже если структура пространства известна, она может быть сложной. Для описания случайных величин, если их выражение неизвестно, существует понятие функции распределения, которую обозначают F ξ (x) = P(ξ

. Функция распределения имеет несколько свойств:

1. Во-первых, она находится между 0 и 1,
2. Во-вторых, оно не уменьшается при увеличении аргумента x.
3. В-третьих, когда число -x очень велико, функция распределения близка к 0, а когда сам x велик, функция распределения близка к 1.

Вероятно, смысл этой конструкции не очень ясен при первом чтении. Одно из полезных свойств — функция распределения позволяет искать вероятность того, что значение принимает значение из интервала. Итак, P (случайная величина ξ принимает значения из интервала ) = F ξ(b)-F ξ(a) . На основании этого равенства можно исследовать, как изменится это значение, если границы a и b интервала близки.

Пусть d = b-a , тогда b = a+d . И, следовательно, F ξ (b)-F ξ (a) = F ξ (a+d) — F ξ (a) . При малых значениях d указанная выше разница также невелика (если распределение непрерывное). Имеет смысл рассмотреть соотношение p ξ (a,d)= (F ξ (a+d) — F ξ (a))/d . Если при достаточно малых значениях d это отношение мало отличается от некоторой постоянной p ξ(a) , не зависящей от d, то в этой точке случайная величина имеет плотность, равную p ξ(a) .

Примечание. Читатели, ранее сталкивавшиеся с понятием производной, могут заметить, что p ξ (a) — это производная функции F ξ (x) в точке a . В любом случае вы можете изучить понятие производной в статье, посвященной этой теме, на сайте Mathprofi.

Теперь смысл функции распределения можно определить так: ее производная (плотность p ξ , которую мы определили выше) в точке a описывает, как часто случайная величина будет попадать в малый интервал с центром в точке a (окрестность точки а) по сравнению с окрестностями других точек . Другими словами, чем быстрее растет функция распределения, тем больше вероятность появления такого значения в случайном эксперименте.

Вернемся к примеру. Мы можем вычислить функцию распределения для случайной величины, ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 , которая обозначает расстояние от центра до точки случайного попадания в цель. По определению F ρ (t) = P(ρ(x,y)

Мы можем найти плотность p ρ этой случайной величины. Сразу отметим, что вне интервала она равна нулю, так как функция распределения на этом интервале неизменна. На концах этого интервала плотность не определяется. Внутри интервала его можно найти с помощью таблицы производных (например, с сайта Mathprofi) и элементарных правил дифференцирования. Производная от t 2 /R 2 равна 2t/R 2 . Это означает, что мы нашли плотность на всей оси действительных чисел.

Еще одним полезным свойством плотности является вероятность того, что функция принимает значение из интервала, вычисляемого с помощью интеграла плотности по этому интервалу (ознакомиться с тем, что это такое, можно в статьях о правильных, несобственных, неопределенных интегралах на сайт Матпрофи).

При первом чтении интеграл размаха функции f(x) можно представить как площадь криволинейной трапеции. Его стороны представляют собой фрагмент оси Ox, разрыв (горизонтальной оси координат), вертикальные отрезки, соединяющие точки (a,f(a)), (b,f(b)) на кривой с точками (a, 0), (б, 0) по оси x. Последняя сторона представляет собой фрагмент графика функции f от (a,f(a)) до (b,f(b)) . Об интеграле по интервалу (-∞; b] можно говорить, когда при достаточно больших отрицательных значениях а значение интеграла по интервалу изменится пренебрежимо мало по сравнению с изменением числа а. Интеграл по интервалу интервалов определяется аналогично Всего будет 2Ї2Ї2Ї2 = 16 исходов В соответствии с предположением о независимости результатов отдельных выстрелов формулу (3) и примечание к ней следует использовать для определения вероятностей этих исходы 8 = 0,1024, где 0,8 = 1-0,2 — вероятность того, что одиночный выстрел будет пропущен Событию «трижды попали в цель» исходы (y, y, y, n), y), (y, y, y, n), y), ( y, n, y, y), (n, y, y, y), вероятность каждого из них одинакова:

0,2Ї0,2Ї0,2Ї0,8 = …… = 0,8 0,2 0,2 ​​0,2 ​​= 0,0064;

, следовательно, искомая вероятность равна

4×0,0064 = 0,0256.

Обобщая рассуждения анализируемого примера, можно вывести одну из основных формул теории вероятностей: если события A1, A2,…, An независимы и каждое имеет вероятность p, то вероятность появления ровно m из них равно

Pn(m) = Cnmpm(1 — p)n-m; (четыре)

здесь Cnm обозначает количество комбинаций n элементов по m. При больших n расчеты по формуле (4) становятся затруднительными. Пусть количество выстрелов в предыдущем примере равно 100, и вопрос состоит в том, чтобы найти вероятность x того, что количество попаданий лежит в диапазоне от 8 до 32. Применение формулы (4) и теоремы сложения дает точное, но практически неподходящее выражение для искомой вероятности

Приближенное значение вероятности x можно найти по теореме Лапласа

и погрешность не превышает 0,0009. Найденный результат показывает, что событие 8 £ m £ 32 почти наверняка. Это самый простой, но характерный пример использования предельных теорем теории вероятностей.

К основным формулам элементарной теории вероятностей относится и так называемая формула полной вероятности: если события A1, A2,…, Ar попарно несовместны и их совокупность есть определенное событие, то для любого события B его вероятность равно сумме

Теорема умножения вероятностей особенно полезна при рассмотрении составных тестов. Говорят, что испытание T состоит из испытаний T1, T2,. .., Tn-1, Tn, если каждый исход испытания T является комбинацией некоторых исходов Ai, Bj,…, Xk, Yl соответствующих испытания Т1, Т2,… , Тн-1, Тн. По той или иной причине вероятности часто известны.

Теория вероятностей — это математическая наука, изучающая закономерности массовых случайных явлений.

До возникновения теории вероятностей как общепризнанной теории в науке господствовал детерминизм, согласно которому выполнение определенного набора условий однозначно определяет результат. Классический пример — механика. Например, на основе законов небесной механики можно очень точно предсказывать солнечные и лунные затмения по известному в какой-то момент положению планет Солнечной системы. Такие законы называются детерминистскими законами.

Однако практика показала, что такой подход не всегда применим. Не все явления макромира можно точно предсказать, несмотря на то, что наши знания о нем непрерывно уточняются и углубляются. Еще менее определены законы и закономерности микромира.

Математические законы теории вероятностей отражают реальные статистические закономерности, объективно существующие в массовых случайных явлениях.

Теория вероятностей изначально развивалась как прикладная дисциплина. В связи с этим ее концепции и выводы были окрашены областями знаний, в которых они были получены.

В работах Б.В. Гнеденко, Л.Е. Майстрова, А.Н. Колмогоров представляет основные этапы развития теории вероятностей. Для краткости приведем их в виде таблицы.

Таблица 1

Этапы развития теории вероятностей

Сценическое имя	Основные понятия	Источники формирования и развития
Предыстория теории вероятностей, до конца XVI века	Равновероятные (равновероятные) исходы, принцип — «не более так, чем иначе», вероятностные знания, вероятностные рассуждения	Решение элементарных задач, философия, азартные игры
Возникновение теории вероятностей как науки с 17 по начало 18 века.	Количественная оценка возможности случайного события, представления о частоте события, математическом ожидании и о теоремах сложения и умножения, комбинаторных формулах	Демография, страховое дело, оценка ошибок наблюдения.
Период формирования основ теории вероятностей с 1713 г. до середины XIX века	Классические и статистические определения вероятности, геометрические вероятности, теоремы сложения и умножения вероятностей, закон больших чисел, математическое ожидание, формула Бернулли, теорема Байеса, случайная величина	Демография, страховое дело, оценка ошибок наблюдения, естествознание
Русско-петербургская школа, вторая половина 19 века — 20 век	Предельные теоремы, теория случайных процессов, обобщение закона больших чисел, метод моментов	Контроль качества продукции, естественные науки и т. д.
Современный этап развития теории вероятностей, XX — XXI век	Аксиоматическое построение теории вероятностей, частотная интерпретация вероятности, стационарные случайные процессы и др.	Внутренние нужды самой математики, статистической физики, теории информации, теории случайных процессов, астрономии, биологии, генетики и др.

Источники формирования, представленные в таблице, отражают потребности практики, ставшие толчком к развитию теории вероятностей.

Философия к XVII веку накопила достаточно богатый материал, повлиявший на зарождение и первый период развития теории вероятностей. Основным источником возникновения теории вероятностей является практика. Необходимость создания математического аппарата для анализа случайных явлений вытекала из потребностей обработки и обобщения статистического материала. Однако теория вероятностей формировалась не только на материале практических задач: эти задачи слишком сложны. Азартные игры оказались более простым и удобным материалом для изучения закономерностей случайных явлений. На основе азартных игр, наряду с основными понятиями, развивались и методы теории вероятностей.

Зарождение теории вероятностей началось с того, что придворный французского короля шевалье (кавалер) де Мере (1607-1648), сам игрок, обратился к французскому физику, математику и философу Блезу Паскалю ( 1623-1662) с вопросами о проблеме очков. До нас дошли два знаменитых вопроса де Мере к Паскалю: 1) сколько раз надо бросить две кости, чтобы было больше половины от общего числа выбрасываемых сразу двух шестерок; 2) как справедливо разделить поставленные деньги, если игроки досрочно остановили игру? Паскаль обратился к математику Пьеру де Ферма (1601-1665) и переписывался с ним по этим вопросам. Вместе они установили некоторые исходные положения теории вероятностей, в частности пришли к понятию математического ожидания и теоремам сложения и умножения вероятностей.

Вероятностные методы нашли непосредственное практическое применение прежде всего в задачах страхования. С тех пор теория вероятностей все шире используется в различных областях.

Первооткрывателями теории вероятностей считаются французские ученые Б. Паскаль и П. Ферма и голландский ученый Г. Гюйгенс (1629-1695). Начала зарождаться новая наука, стали вырисовываться ее специфика и методология: определения, теоремы, методы.

Крупный шаг в развитии теории вероятностей связан с работами Якоба Бернулли (1654-1705). Ему принадлежит первое доказательство одного из важнейших положений теории вероятностей? закон больших чисел. Еще до Якоба Бернулли многие отмечали как эмпирический факт ту особенность случайных явлений, которую называют «свойством стабильности частоты при большом числе опытов». Неоднократно отмечалось, что при большом количестве экспериментов, исход каждого из которых является случайным, относительная частота появления данного исхода имеет тенденцию к стабилизации, приближаясь к определенному числу ? вероятности этого исхода. Якоб Бернулли первым дал теоретическое обоснование этому эмпирическому факту. Теорема Якоба Бернулли? простейшая форма закона больших чисел? устанавливает зависимость между вероятностью события и частотой его появления; при достаточно большом числе опытов можно с практической уверенностью ожидать сколь угодно близкого совпадения частоты с вероятностью.

Другой важный этап в развитии теории вероятностей связан с именем Моавра (1667-1754). Этот ученый впервые ввел в рассмотрение и в простейшем случае обосновал закон, очень часто наблюдаемый в случайных явлениях, — так называемый нормальный закон (закон Гаусса).

Нормальный закон играет исключительно важную роль в случайных явлениях. Теоремы, обосновывающие этот закон при определенных условиях, носят общее название «центральной предельной теоремы» в теории вероятностей.

Знаменитый математик Лаплас (1749–1827) первым стройно и систематически изложил основы теории вероятностей. Он доказал одну из форм центральной предельной теоремы (теорему Моавра — Лапласа) и разработал ряд замечательных приложений теории вероятностей к практическим вопросам, в частности к анализу погрешностей наблюдений и измерений.

Существенный шаг вперед в развитии теории вероятностей связан с именем Гаусса (1777–1855), давшего еще более общее обоснование нормального закона и разработавшего метод обработки экспериментальных данных, известный как «метод наименьших квадратов».

Следует отметить работы Пуассона (1781–1840), доказавшего более общую форму закона больших чисел, чем у Якоба Бернулли, а также впервые применившего теорию вероятностей к задачам стрельбы. С именем Пуассона связан один из законов распределения, играющий важную роль в теории вероятностей и ее приложениях.

Весь XVIII и начало XIX века характеризуются бурным развитием теории вероятностей и повсеместным увлечением ею. Теория вероятностей становится «модной» наукой. Он используется не только там, где применение законно, но и там, где оно никак не оправдано.

Этот период характеризуется многочисленными попытками применить теорию вероятностей к изучению общественных явлений, к так называемым «моральным» или «моральным» наукам. Появилось много работ по вопросам судопроизводства, истории, политики, даже богословия, в которых использовался аппарат теории вероятностей. Для всех этих околонаучных исследований характерен предельно упрощенный, механический подход к рассматриваемым в них общественным явлениям. Рассуждение основывается на некоторых произвольно заданных вероятностях (например, при рассмотрении вопросов судопроизводства склонность каждого человека быть истинным или ложным оценивается некоторой постоянной вероятностью, одинаковой для всех людей), и тогда социальная задача решается как простая арифметическая задача.

Естественно, что все подобные попытки были обречены на провал и не могли сыграть положительную роль в развитии науки. Наоборот, их косвенный результат был, что примерно в двадцатые годы? В 30-х годах XIX века в Западной Европе повсеместное увлечение теорией вероятностей сменилось разочарованием и скептицизмом. Теория вероятностей стала рассматриваться как наука сомнительная, второсортная, своего рода математическая забава, вряд ли заслуживающая серьезного изучения.

Примечательно, что именно в это время в России создается знаменитая петербургская математическая школа, трудами которой теория вероятностей была поставлена ​​на прочный логико-математический фундамент и сделана надежным, точным и действенным методом познания . С момента появления этой школы развитие теории вероятностей уже было тесно связано с работами русских, а в дальнейшем? советских ученых.

Среди ученых петербургской математической школы следует отметить В.Я. Буняковский (1804?1889))? автор первого курса теории вероятностей на русском языке, создатель современной российской терминологии по теории вероятностей, автор оригинальных исследований в области статистики и демографии.

Великий русский математик П.Л. Чебышев (1821-1894) был учеником В.Я. Буняковский. Далее он расширил и обобщил закон больших чисел. Кроме того, П. Л. Чебышев ввел в теорию вероятностей очень мощный и плодотворный метод моментов.

Учеником П. Л. Чебышева был А. А. Марков (1856?1922), который значительно расширил область применения закона больших чисел и центральной предельной теоремы, распространив их не только на независимые, но и на зависимые эксперименты. Важнейшей заслугой А. А. Маркова было то, что он заложил основы совершенно нового раздела теории вероятностей? теории случайных или «стохастических» процессов. Развитие этой теории составляет основное содержание новейшей современной теории вероятностей.

А. М. Ляпунов (1857–1918), с именем которого связано первое доказательство центральной предельной теоремы при весьма общих условиях, также был учеником П. Л. Чебышева. Для доказательства своей теоремы А. М. Ляпунов разработал специальный метод характеристических функций, который широко используется в современной теории вероятностей.

Характерной чертой работы Петербургской математической школы была исключительная ясность постановки задач, полная математическая строгость применяемых методов и, наряду с этим, тесная связь теории с непосредственными требованиями практики. Благодаря трудам ученых Санкт-Петербургской математической школы теория вероятностей была выведена за пределы науки и вошла в число полноправных членов ряда точных математических наук. Условия применения его методов были строго определены, а сами методы доведены до высокой степени совершенства.

Советская школа теории вероятностей, унаследовавшая традиции петербургской математической школы, занимает ведущее место в мировой науке. Назовем лишь некоторых ведущих советских ученых, работы которых сыграли решающую роль в развитии современной теории вероятностей и ее практических приложений.

С. Н. Бернштейн разработал первую полную аксиоматику теории вероятностей, а также значительно расширил область применения предельных теорем.

А.Я. Хинчин (1894–1959) известен своими исследованиями в области дальнейшего обобщения и усиления закона больших чисел, но главным образом своими исследованиями в области стационарных случайных процессов.

Ряд важнейших фундаментальных работ в различных областях теории вероятностей и математической статистики принадлежит А. Н. Колмогорову. Он дал наиболее совершенное аксиоматическое построение теории вероятностей, связав ее с одним из важнейших разделов современной математики? метрическая теория функций. Особое значение в области теории случайных функций (случайных процессов) имеют работы А. Н. Колмогорова, которые в настоящее время составляют основу всех исследований в этой области. Работы А. Н. Колмогорова, связанные с оценкой эффективности, легли в основу целого нового научного направления в теории стрельбы, переросшего затем в более широкую науку об эффективности военных действий.

В. И. Романовский и Н. В. Смирнов известны своими работами в области математической статистики, Е. Е. Слуцкий? в теории случайных процессов Б.В. Гнеденко? в области теории массового обслуживания Е. Б. Дынкин? в области марковских случайных процессов В. С. Пугачева? в области случайных процессов применительно к задачам автоматического управления.

Развитие зарубежной теории вероятностей в настоящее время также идет ускоренными темпами в связи с насущными требованиями практики. Преимущественное внимание, как и в нашем случае, уделяется вопросам, относящимся к случайным процессам. Значительные работы в этой области принадлежат Н.