Найти определитель матрицы методом Гаусса
Используй поиск, чтобы найти научные материалы и собрать список литературы
База статей справочника включает в себя статьи написанные экспертами Автор24, статьи из научных журналов и примеры студенческих работ из различных вузов страны
Содержание статьи
1. Свойства определителя квадратной матрицы
2. Алгоритм для подсчёта детерминанта методом Гаусса
Определитель матрицы – это число, являющееся её параметром-характеристикой. Через определитель выполняются многие действия, связанные с матрицами, например, поиск неизвестных из систем уравнений и не только.
В этой статье рассказано про получение определителя методом Гаусса, также иногда такой способ называют понижением порядка определителя. Помимо приведённого здесь способа также детерминант можно сосчитать через миноры или используя правила Саррюса и треугольников.
T| = |A|$
Алгоритм для подсчёта детерминанта методом Гаусса
Чтобы найти определитель матрицы методом Гаусса, необходимо:
- Привести матрицу к верхнетреугольной или нижнетреугольной форме используя разрешённые над матрицей преобразования, называемые также элементарными.
- Сосчитать произведение всех членов матрицы, принадлежащих главной матричной диагонали полученной треугольной матрицы (эта диагональ проходит слева-направо сверху-вниз). При осуществлении подсчётов для вычисления определителя матрицы методом Гаусса нужно помнить, что при перестановке строчек или столбцов необходимо поменять знак детерминанта в конце решения на противоположный.
Замечание 1
Важно: не следует умножать или делить отдельные строчки матрицы на какие-либо числа во время процесса вычисления, так как это изменит итоговое значение. В случае же если всё же домножили строчку матрицы на какой-либо коэффициент, не забудьте вынести его обратное значение как множитель перед матрицей и домножить на это число итоговый ответ.
Пример 1
Найти определитель матрицы методом Гаусса.
$A = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 &2 \\ 3 & 4 & 5 \\ 1 & 1 & 3 \\ \end{array} \right)$
Переставляем верхнюю и третью строчки и выносим знак минус после перестановки:
$A = — \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 &2 \\ 3 & 4 & 5 \\ 0 & 1 &2 \end{array} \right)$
Затем умножаем первую строчку на $3$ и вычитаю из второй:
$A = — \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 3 \\ 0& 1 & -4 \\ 0 & 1 &2 \\ \end{array} \right)$
Вычитаем из третьей строчки вторую:
$A = — \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 3 \\ 0& 1 & -4 \\ 0 & 0 &6 \\ \end{array} \right)$
Полученная матрица является нижнетреугольной, следовательно, теперь можно сосчитать её детерминант:
$det(A) = — ( 1 \cdot 1 \cdot 6) = -6$
Пример 2
Примените метод Гаусса для вычисления определителя матрицы 4 порядка:
$A = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 0 & 2 & 3 \\ 3 & 5 & 1 & 0 \\ 4 & 1 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)$
Сделаем перестановку крайнего столбца с последним и третьего столбец со вторым.
Это не изменит знак конечного значения определителя, так как смена позиций применяется дважды:
$A = \left( \begin{array}{cccc} 4 & 3 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{array} \right)$
Вычитаю из первой строчки вторую:
$A = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 2 & -1 \\ 3 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{array} \right)$
Складываю умноженную на $3$ верхнюю строчку со второй:
$A = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & -6 & 5 \\ 0 & 1 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{array} \right)$
Прибавляю к предпоследней строке вторую:
$A = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & -6 & 5 \\ 0 & 0 & -1 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{array} \right)$
Прибавляю к нижней строчке предпоследнюю:
$A = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & -6 & 5 \\ 0 & 0 & -1 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 12 \\ \end{array} \right)$
Матрица стала треугольной, теперь найдём её детерминант:
$det(A) = 1 \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot 12 = 12$.
Сообщество экспертов Автор24
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 16.12.2021
Выполнение любых типов работ по математике
Решение задач по комбинаторике на заказ Решение задачи Коши онлайн Математика для заочников Контрольная работа на тему числовые неравенства и их свойства Контрольная работа на тему умножение и деление рациональных чисел Контрольная работа на тему действия с рациональными числами Дипломная работа на тему числа Курсовая работа на тему дифференциальные уравнения Контрольная работа на тему приближенные вычисления Решение задач с инвариантами
Подбор готовых материалов по теме
Дипломные работы Курсовые работы Выпускные квалификационные работы Рефераты Сочинения Доклады Эссе Отчеты по практике Решения задач Контрольные работы
описание алгоритма решения системы линейных уравнений, примеры, решения.
Метод Гаусса прекрасно подходит для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Он обладает рядом преимуществ по сравнению с другими методами:
во-первых, нет необходимости предварительно исследовать систему уравнений на совместность;
во-вторых, методом Гаусса можно решать не только СЛАУ, в которых число уравнений совпадает с количеством неизвестных переменных и основная матрица системы невырожденная, но и системы уравнений, в которых число уравнений не совпадает с количеством неизвестных переменных или определитель основной матрицы равен нулю;
в-третьих, метод Гаусса приводит к результату при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.
Краткий обзор статьи.
Сначала дадим необходимые определения и введем обозначения.
Далее
опишем алгоритм метода Гаусса для
простейшего случая, то есть, для систем
линейных алгебраических уравнений,
количество уравнений в которых совпадает
с количеством неизвестных переменных
и определитель основной матрицы системы
не равен нулю.
При решении таких систем
уравнений наиболее отчетливо видна
суть метода Гаусса, которая заключается
в последовательном исключении неизвестных
переменных. Поэтому метод Гаусса также
называют методом последовательного
исключения неизвестных. Покажем подробные
решения нескольких примеров.
В заключении рассмотрим решение методом Гаусса систем линейных алгебраических уравнений, основная матрица которых либо прямоугольная, либо вырожденная. Решение таких систем имеет некоторые особенности, которые мы подробно разберем на примерах.
Навигация по странице.
Основные определения и обозначения.
Решение систем линейных алгебраических уравнений, в которых число уравнений равно числу неизвестных и основная матрица системы невырожденная, методом Гаусса.
Решение систем линейных алгебраических уравнений, в которых число уравнений не совпадает с числом неизвестных или основная матрица системы вырожденная, методом Гаусса.
Основные определения и обозначения.
Рассмотрим систему из p линейных уравнений с n неизвестными (p может быть равно n): где — неизвестные переменные, — числа (действительные или комплексные), — свободные члены.
Если , то система линейных алгебраических уравнений называетсяоднородной, в противном случае – неоднородной.
Совокупность значения неизвестных переменных , при которых все уравнения системы обращаются в тождества, называется решением СЛАУ.
Если существует хотя бы одно решение системы линейных алгебраических уравнений, то она называется совместной, в противном случае – несовместной.
Если СЛАУ имеет единственное решение, то она называется определенной. Если решений больше одного, то система называется неопределенной.
Говорят, что система записана в координатной форме, если она имеет вид .
Эта
система в матричной
форме записи
имеет вид ,
где —
основная матрица СЛАУ, —
матрица столбец неизвестных переменных, —
матрица свободных членов.
Если к матрице А добавить в качестве (n+1)-ого столбца матрицу-столбец свободных членов, то получим так называемую расширенную матрицу системы линейных уравнений. Обычно расширенную матрицу обозначают буквой Т, а столбец свободных членов отделяют вертикальной линией от остальных столбцов, то есть,
Квадратная матрица А называется вырожденной, если ее определитель равен нулю. Если , то матрица А называется невырожденной.
Следует оговорить следующий момент.
Если с системой линейных алгебраических уравнений произвести следующие действия
поменять местами два уравнения,
умножить обе части какого-либо уравнения на произвольное и отличное от нуля действительное (или комплексное) число k,
к обеим частям какого-либо уравнения прибавить соответствующие части другого уравнения, умноженные на произвольное число k,
то
получится эквивалентная система, которая
имеет такие же решения (или также как и
исходная не имеет решений).
Для расширенной матрицы системы линейных алгебраических уравнений эти действия будут означать проведение элементарных преобразований со строками:
перестановку двух строк местами,
умножение всех элементов какой-либо строки матрицы T на отличное от нуля число k,
прибавление к элементам какой-либо строки матрицы соответствующих элементов другой строки, умноженных на произвольное число k.
Теперь можно переходить к описанию метода Гаусса.
линейная алгебра — Как решить матричную систему с помощью исключения Гаусса
спросил
Изменено 4 года, 10 месяцев назад
Просмотрено 617 раз
$\begingroup$
$$\left(\begin{массив}{ccc|c} -1 и 2 и 1 и 3\\ 3 & \альфа & -2 & \бета\\ -1 и 5 и 2 и 9\end{array}\right)$$
Я пытаюсь решить эту систему $Ax=b$.
Я понимаю основы исключения Гаусса, но не знаю, как справиться с этим с помощью альфы и беты. Ее нужно решить, задав условия для альфы и беты для отсутствия решений, одного решения и бесконечного множества решений.
Мне также нужно вычислить определитель A и указать условие на $\alpha$, при котором $A$ обратимо.
- линейная алгебра
- матрицы
- системы уравнений
- определитель
- исключение Гаусса
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Позвольте мне начать с нескольких шагов. Возможно, вы сможете закончить.
$$\left(\begin{массив}{ccc|c} -1 и 2 и 1 и 3\\ 3 & \альфа & -2 & \бета\\ -1 и 5 и 2 и 9 \конец{массив}\справа)\sim \left(\begin{массив}{ccc|c} 1 &-2 &-1 &-3\\ -1 и 5 и 2 и 9\\ 3 & \ альфа & -2 & \ бета \конец{массив}\справа)\sim \left(\begin{массив}{ccc|c} 1 &-2 &-1 &-3\\ 0 и 3 и 1 и 6\\ 0 и \альфа+6 и 1 и \бета+9 \конец{массив}\справа)\sim \left(\begin{массив}{ccc|c} 1 &-2 &-1 &-3\\ 0 и 3 и 1 и 6\\ 0 и \альфа+3 и 0 и \бета+3 \конец{массив}\справа) $$
Примечание: Некоторые комментарии к стратегии для этого: По возможности следует избегать вычислений с использованием параметров.
Именно поэтому я поставил строку с параметрами на последнее место. Точно так же по этой причине на последнем шаге я использовал третий столбец, а не второй. (Гораздо проще вычесть вторую строку из третьей, чем вычесть $(\alpha+6)/3$, кратное второй строке. По крайней мере, когда мы делаем что-то вручную, это может помочь, если мы попытаемся получить более простые выражения. )
Если вы посмотрите на приведенную выше матрицу, последняя строка соответствует уравнениям $(\alpha+3)x_2=\beta+3$. Что вы можете сказать о решениях этого уравнения, зависящих от $\alpha$ и $\beta$. (Что произойдет, если $\alpha=-3$? Что произойдет, если $\alpha\ne-3$? Подумайте о подобных возможностях для $\beta$.)
Мы могли бы также ввести новые параметры $c=\alpha+ 3$ и $d=\beta+3$, чтобы немного упростить запись. (Таким образом, у нас есть уравнение $cx_2=d$, и мы рассматриваем, что происходит в зависимости от того, равны ли $c$, $d$ нулю или отличны от нуля.)
Если $c\ne0$, то система будет иметь единственное решение.
Обозначим $t=d/c$ для упрощения записи:
$$\left(\begin{массив}{ccc|c}
1 &-2 &-1 &-3\\
0 и 3 и 1 и 6\\
0 и с и 0 и г
\конец{массив}\справа)\sim
\left(\begin{массив}{ccc|c}
1 &-2 &-1 &-3\\
0 и 3 и 1 и 6\\
0 и 1 и 0 и т
\конец{массив}\справа)\sim
\left(\begin{массив}{ccc|c}
1 & 0 &-1 &-3+2t\\
0 и 1 и 0 и т\\
0 и 0 и 1 и 6-3t
\конец{массив}\справа)\sim
\left(\begin{массив}{ccc|c}
1 и 0 и 0 и 3-t\\
0 и 1 и 0 и т\\
0 и 0 и 1 и 6-3t
\конец{массив}\справа)
$$
где $t=\frac dc = \frac{\beta+3}{\alpha+3}$. (Вы можете проверить прямым вычислением, что это действительно решение.)
Если $c=0$, то имеем $$\left(\begin{массив}{ccc|c} 1 &-2 &-1 &-3\\ 0 и 3 и 1 и 6\\ 0 и 0 и 0 и д \end{array}\right).$$
Что произойдет, если $d\ne0$? Что произойдет, если $d=0$?
Вы упомянули, что также хотите вычислить определитель $A$. Это можно сделать, используя в основном те же операции со строками, что и выше, — вам просто нужно знать, как операции со строками влияют на определитель.
$\endgroup$
2
$\begingroup$
$$\det\слева( \начать{массив}{ррр} -1 и 2 и 1 \\ 3&а&-2\ -1 и 5 и 2 \\ \конец{массив} \справа)=-3-\альфа$$ если $-3-\alpha\ne 0$, то есть $\alpha\ne -3$, существует одно и только одно решение
$$\left\{\frac{3 a-b+6}{a +3},\frac{b+3}{a+3},\frac{3 (2 a-b+3)}{a+3}\right\}$$
, если $\alpha=-3 $ определитель матрицы коэффициентов $A$ равен нулю $\text{rank}(A)=2$, поэтому мы должны рассматривать расширенную матрицу $A|B$ $$\слева( \начать{массив}{ррр|р} -1 и 2 и 1 и 3 \\ 3&-3&-2&б\ -1 и 5 и 2 и 9\\ \конец{массив} \right)$$
если $\text{rank}(A|B)\ne \text{rank}(A)$ система не имеет решений, значит, чтобы иметь бесконечные решения, мы должны иметь $\text{rank} (A|B)=2$, поэтому все определители $3-$го порядка, извлеченные из $A|B$, должны быть равны нулю
$$ \det \left( \начать{массив}{ррр} 2 и 1 и 3 \\ -3 и -2 и \бета\\ 5 и 2 и 9 \\ \конец{массив} \справа) =\бета+3 $$
если $\beta\ne -3$ система невозможна
если $\beta+3=0\to \beta=-3$ определитель равен нулю ранг расширенной матрицы равен рангу $A$, и у нас есть бесконечные решения
$\{т,\;т,\;3-т\}$
$\endgroup$
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.
Метод исключения Гаусса | Superprof
Сложно решить линейную систему из трех уравнений с тремя переменными. Это связано с тем, что, в отличие от систем с двумя переменными, арифметические вычисления в линейных системах с тремя уравнениями более сложны. Решение сложной системы линейных уравнений с тремя переменными требует много времени и усилий. К счастью, у нас есть метод исключения Гаусса, который помогает нам решить сложную систему линейных уравнений, записав систему уравнений в виде матрицы и применив ряд операций к матрице, чтобы преобразовать ее в сокращенную ступенчатую форму строк. . Помимо решения линейных уравнений, этот метод также можно использовать для вычисления ранга, определителя и обратной обратимой квадратной матрицы.
«Метод исключения Гаусса заключается в преобразовании системы уравнений в эквивалентную систему, имеющую треугольную форму»
операции по изменению матрицы таким образом, чтобы новая матрица имела нули в левом нижнем углу.
Следующие три типа операций с элементарными строками выполняются над матрицей методом исключения Гаусса:
- Тип 1 : два ряда поменяются
- Тип 2 : ряд умножается на ненулевой номер
- Тип 3 : множественная одна строка добавляется в другую строку
С помощью приведенной выше последовательности операций матрица преобразуется в верхнюю треугольную матрицу, имеющую форму сокращенного эшелона строк. Верхняя треугольная матрица — это квадратная матрица, в которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю. Квадратная матрица имеет равное количество строк и столбцов. Пример верхней треугольной матрицы приведен ниже:
Вы можете видеть, что приведенная выше квадратная матрица формы 3×3 является верхней треугольной матрицей, потому что все значения ниже главной диагонали равны нулю.
В этой матрице все старшие коэффициенты равны 1, а каждый столбец со старшим коэффициентом содержит нули в других местах.
Узнайте интересные факты о хорошем репетиторе по математике.
Что такое форма эшелонирования строк?
В этой статье мы использовали слово «сокращенная ступенчатая форма строки». Но что на самом деле означает этот термин? Ответ на этот вопрос будет подробно рассмотрен в этом разделе.
Старший коэффициент — это самая левая ненулевая запись в матрице, в которой все элементы в строке не равны нулю. Старший коэффициент также известен как центр матрицы. Следовательно, если два старших коэффициента присутствуют в одном и том же столбце, то мы применяем операцию над строками типа 3 к матрице, чтобы сделать один из коэффициентов равным нулю. После этого мы используем операцию замены строк, чтобы строки можно было упорядочить таким образом, чтобы для каждой строки, отличной от нуля, старший коэффициент был справа от старшего коэффициента в строке выше.
Матрица в этой форме, как известно, находится в строка эшелон формы .
Проверьте Superprof для различных портфолио репетиторов по математике.
Лучшие репетиторы по математике
Поехали
Пример 1
Решите следующую систему линейных уравнений:
Решение
Сначала запишем приведенную выше систему линейных уравнений в виде следующей матрицы :
Мы применим следующие операции со строками к приведенной выше матрице:
Теперь применим к приведенной выше матрице следующие операции со строками типа 3: в пять раз больше значения строки 1, т. е.
Теперь мы вычтем строку 3 на удвоенное значение строки 2, чтобы преобразовать матрицу в форму сокращенного эшелона строк:
We will write the above matrix in the form of the following system of linear equations:
Substitute
Hence, , and
Example 2
Solution
Сначала запишем приведенную выше систему линейных уравнений в матричной форме:
Применим операцию типа 1, поменяв местами строки 2 и 1, т.
е.
Теперь вычтем из строки 2 число, кратное строке 1, умноженное на 2, т.е. и вычтем строку 1 из строки 3, т.е. чтобы получить уменьшенный ступенчатый вид строки:
Теперь запишем вышеуказанную матрицу в виде редуцированную ступенчатую форму в виде следующей системы уравнений:
Это непротиворечивая зависимая система. Предположим и
Пример 3
Решение
Приведенную выше систему линейных уравнений запишем в виде следующей матрицы:
- Из строки 2 вычтем число, кратное первой строке в 3 раза, т.е.
- Из строки 3 вычтем число, кратное первой строке в 5 раз, т.е. строка 4, т. е.
. Теперь мы применим следующие операции над строками к приведенной выше матрице:
- Вычтем из строки 4 число, умноженное на 7, кратное строке 3, т. е. преобразуем матрицу в сокращенную эшелонированную форму строк:
Поскольку вся четвертая строка равна нулю, следовательно, это противоречивая система.