Метод гаусса решения пример: Метод Гаусса (конкретный пример)

Содержание

Глава 11. Метод Гаусса

Метод Гаусса (или метод последовательного исключения неизвестных) состоит в том, что посредством последовательного исключения неизвестных данная система

(1.11.1)

Превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему

(1.11.2)

Последняя система равносильна данной, но решать ее намного проще. Переход системы (1.11.1) к равносильной ей системе (1.11.2) называется Прямым ходом метода Гаусса, а нахождение переменных из системы (1.11.2) – Обратным ходом.

Рассмотрим этот метод на конкретных примерах.

Пример

Решить систему методом Гаусса:

Решение

Исключим x1 из 2–го т 3–го уравнений. Для этого 1–е уравнение умножим на (–2) и прибавим его ко 2–му, а затем 1–е уравнение умножим на (–3) и прибавим его к 3–му уравнению:

Новая система равносильна данной. Исключим из 3–го уравнения x2 для чего 2–е уравнение вычтем из 3–го:

Из последней системы находим x3 = –1, x2 = (56 + x3)/11 = (56 – 1)/11 = 55/11 = 5, x1 = –22 +4×2 – 3×3 = –22 + 4×5 – 3×(–1) = 1.

Пример

Решить систему методом Гаусса:

Решение

Умножим 2–е уравнение на (–2), а 1–е – на 3 и сложим, а затем 2–е уравнение умножим на (–5), а 3–е – на 3 и тоже сложим. Получим Исключим x2 из 3–го уравнения, умножив 2–е уравнение на (–2) и прибавив его к 3–му уравнению:

Последнее уравнение превратилось в неверное равенство. Это говорит о том, что система несовместна, т. е. решений не имеет.

Пример

Решить систему методом Гаусса:

Решение

Исключим x1 из 2–го и 3–го уравнений. Для этого умножим 1–е уравнение на (–1) и прибавляем его ко 2–му, далее умножим 1–е же на (–4) и прибавляем к 3–му уравнению:

Так 2–е и 3–е уравнения одинаковы, одно из них отбрасываем:

Число уравнений – два – меньше числа неизвестных – три. Такая система имеет бесчисленное множество решений. Пусть x3 = 13k, где k – произвольное число. Тогда x2 = (16/13)x3 = 16k, x1 = 3×2 – 5×3 = –17k.

Преобразования Гаусса удобно проводить не с самой системой уравнений, а с матрицей ее коэффициентов. Введем матрицу

(1.11.3)

Называемую Расширенной матрицей системы (1.8.1) размера M´(N+1), так как матрица А дополнена столбцом свободных членов.

Пример

Найти решение системы уравнений методом Гаусса.

Решение

Составим расширенную матрицу этой системы, после чего выполним соответствующие шаги прямого хода Гаусса.

Шаг 1. Умножим первую строку матрицы AB

на –2 и прибавим ее ко второй и третьей строке. Затем умножим первую строку матрицы AB на –3 и прибавим ее к четвертой строке. Получим

Поскольку две последние строки являются линейно зависимыми, то одну из них можно отбросить.

Шаг 2. Умножим вторую строку полученной матрицы на –7/5 и прибавим ее к третьей строке. Получим

Заключительный вид расширенной матрицы соответствует совместной системе трех уравнений с четырьмя неизвестными, ранг которой меньше числа неизвестных. Полагая X4 свободной переменной, получаем

Из этой системы получаем обратным ходом метода Гаусса

Данная система уравнений имеет бесчисленное множество решений, так как X4 может принимать любые значения.

Отметим Достоинства метода Гаусса по сравнению с методом обратной матрицы и методом Крамера:

— метод является значительно

Менее трудоемким;

— метод дает возможность однозначно Установить, совместна система или нет, а в случае

Совместности, найти ее решения;

— метод дает возможность Найти максимальное число линейно независимых уравнений, т. е. определить ранг матрицы системы.

< Предыдущая		Следующая >

Лекция 8.

МЕТОД ГАУССА РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ — Студопедия

Поделись

Матричное представление метода Гаусса
Метод Гаусса с частичным выбором главного элемента
Метод Гаусса с полным выбором главного элемента

Матричное представление метода Гаусса

Для получения матричного представления метода Гаусса рассмотрим пример. Пусть необходимо решить СЛАУ вида :

где . На первом шаге метода Гаусса производятся исключения в первом столбце матрицы СЛАУ при помощи первого уравнения, т.е. путем элементарных эквивалентных преобразований системы в первом столбце матрицы ниже элемента главной диагонали (ниже 10) делаются нули, а это означает, что переменная исключается из всех уравнений системы, кроме первого. Это достигается следующим образом: для получения 0 на месте (2,1) нужно первое уравнение (первую строку матрицы и элемент ) умножить на 0.3 и сложить со вторым уравнением; для получения 0 на месте (3,1) нужно первое уравнение умножить на -0.

5 и сложить с третьим уравнением. В итоге получена эквивалентная СЛАУ . Величины 0.3 и -0.5 называются множителями. Запишем их рядом с уравнениями СЛАУ , для которых они использовались:

где . Элемент, стоящий на месте (2,2) в полученной матрице , имеет значение, малое по сравнению с другими элементами второго столбца матрицы . Ниже мы остановимся подробно на отрицательных последствиях такого явления для решения СЛАУ, а сейчас просто поменяем местами второе и третье уравнения последней системы, что выведет на место (2,2) элемент 2.5. Получим СЛАУ :

Здесь .

На втором шаге метода Гаусса исключим при помощи второго уравнения из третьего, обнулив элемент (3,2) второго столбца. Это достигается путем умножения второго уравнения на 0.04 и сложения с третьим. В итоге получаем эквивалентную СЛАУ :

где . Заметим, что проводить исключение во втором столбце (обнуление элемента (3,2)) при помощи первого уравнения было нецелесообразно, т. к. это могло сделать ненулевым элемент (3,1) и «испортить» результат, полученный на предыдущем шаге метода Гаусса (обнуление элементов первого столбца матрицы СЛАУ).

Система — это результат прямого хода метода Гаусса, результат проведенных исключений. В итоге прямого хода получается СЛАУ с верхней треугольной матрицей. Теперь решение треугольной системы осуществляется путем обратной подстановки (снизу вверх). Так последнее уравнение СЛАУ имеет вид: , откуда . Это полученное значение может быть подставлено в предпоследнее уравнение:

Подставляя полученные и в первое уравнение , получим .

Решение рассмотренного примера может быть записано в матричном виде. Обозначим

Заметим, что матрица отличается от единичной только первым столбцом, куда записаны множители, использованные при проведении исключений в первом столбце в прямом ходе метода Гаусса.

Непосредственно проверяем, что

Обозначим

, тогда .

Матрица отличается от единичной только вторым столбцом, куда записан множитель, использованный при проведении исключения во втором столбце в прямом ходе метода Гаусса.

С использованием получаем:

Таким образом, из исходной СЛАУ мы пришли к эквивалентной СЛАУ:

матрица которой является верхней треугольной, а вектор правой части .

Аналогичные соотношения справедливы и в общем случае для СЛАУ с матрицей размера . Обозначим , матрицу, полученную из единичной матрицы той же перестановкой строк, какая применялась к строкам матрицы СЛАУ на ом шаге исключения (исключения в ом столбце). Таким образом, , — это матрицы перестановок (матрица называется матрицей перестановок, если в каждом ее столбце и в каждой ее строке в точности один элемент равен 1, а все остальные равны 0). Умножение произвольной матрицы на матрицу перестановок слева поменяет местами в матрице строки с соответствующими номерами, а умножение на матрицу перестановок справа поменяет в столбцы с теми же номерами.

Пусть , обозначает матрицу, полученную из единичной матрицы записью в поддиагональные позиции го столбца множителей, используемых на ом шаге исключения.

Матрицы , называются матрицами исключения, являются нижними треугольными. Элементы го столбца вычисляются в соответствии с формулой

где — соответствующие элементы матрицы СЛАУ после 1 шага метода Гаусса (после исключения, проведенного в 1 столбце).

В принятых обозначениях матричный вид прямого хода метода Гаусса следующий:

Матрица итоговой СЛАУ — верхняя треугольная. Полученная СЛАУ легко решается путем обратной подстановки. Если предположить, что перестановки в ходе исключений не делались, то

Матрица как произведение нижних треугольных матриц является нижней треугольной. Исключения, проводимые на каждом шаге метода Гаусса, требуют пересчета элементов матрицы СЛАУ и вектора правой части. Для го шага исключения пересчет происходит в соответствии с формулой:

Здесь — элементы матрицы СЛАУ после 1 го шага исключения, — элементы матрицы СЛАУ после го шага исключения. В матричном виде эти действия просто эквивалентны умножению на матрицу исключения.

Поскольку , при этом матрица невырожденная, а значит, обратимая, обратная к ней – нижняя треугольная, то , а это есть ничто иное, как треугольное разложение матрицы .

Диагональные элементы матрицы называются ведущими, или главными; ый ведущий элемент – это коэффициент при ом неизвестном в ом уравнении на ом шаге исключения Гаусса (исключений в ом столбце матрицы). В предыдущем примере ведущими элементами были 10, 2.5 и 6.2.

При вычислении множителей, а также в ходе обратной подстановки происходит деление на ведущие элементы, поэтому ведущие элементы обязательно должны быть отличны от 0. Более того, как показывает следующий пример, ведущие элементы не должны быть малыми

по сравнению с другими элементами матрицы.

Пример. Решить СЛАУ :

Точное решение этой системы: . Здесь , вектор . Первый шаг метода Гаусса – исключения в первом столбце матрицы СЛАУ за счет матрицы исключения, имеющей вид: . Тогда исходна система за счет исключений преобразуется к эквивалентному виду:

. (10)

Для решения полученной СЛАУ с верхней треугольной матрицей применяем обратный ход метода Гаусса. Второе уравнение СЛАУ имеет вид: , откуда . Предположим, что в нашей вычислительной системе количество разрядов в мантиссе равно , тогда . Если полученное значение сравнить с точным значением решения данной СЛАУ, то качественно очевидно, что хорошо приближает . Продолжим обратный ход метода Гаусса подставляя в первое уравнение СЛАУ : , откуда , что «абсольтно не похоже» на точное значение решения данной СЛАУ.

Что произошло, где была допущена катастрофическая ошибка? Здесь не было накопления ошибок округления, вызываемого выполнением большого количества аоифметических операций. Матрица исходной СЛАУ далека от вырожденной: . Полученный результат имеет только одно объяснение: при проводимом исключение ведущий элемент 0.0001 имел значение, малое по сравнению с другими элементами матрицы, что привело в процессе исключения к колосальному росту коэффициентов второго уравнения: . Эти коэффициенты в 10⁴ раз стали превосходить коэффициенты исходной задачи. Ошибка округления, произошедшая при вычислении и равная , является малой и приемлемой по отношению к большим коэффициентам уравнения , но совершенно неприемлемой с точки зрения уровня элементов исходной матрицы (ведь там есть элемент 0.0001, который меньше, чем абсолютная погрешность ). Таким образом необходимо при проведении процесса исключения обеспечивать следующее условие: модули значений ведущих элементов не должны быть малыми по сравнению с модулями других элементов матрицы СЛАУ.

Метод Гаусса с частичным выбором главного элемента

Для обеспечения устойчивости процесса исключения Гаусса необходимо позаботиться о том, чтобы ведущие элементы имели значения, сравнимые со значениями остальных элементов матрицы СЛАУ. Это можно обеспечить различными способами. Рассмотрим один из них, который называется частичным выбором главного элемента.

Частичный выбор главного элемента может осуществляться по столбцу или по строке. Начнем с выбора по столбцу.

Рассматривается СЛАУ :

. (20)

Перед проведением исключений в первом столбце выберем в этом столбце максимальный по модулю элемент. Пусть этот элемент . Выведем этот элемент на место ведущего (на место (1,1)) для первого шага метода Гаусса. Для этого в СЛАУ (20) поменяем местами первое и ое уравнения. Получим СЛАУ:

(30)

Теперь проведем исключение в первом столбце матрицы СЛАУ (30). В результате исключения СЛАУ (30) примет вид:

(40)

В (40) выделены те коэффициенты, которые изменяются (подвергаются пересчету в соответствии с формулой (5)) в процессе исключения. Обозначим полученную систему :

Перед проведением исключений второго шага метода Гаусса выберем максимальный по модулю элемент второго столбца матрицы СЛАУ (40), исключая при выборе элемент стоящий в первой строке (область выбора обозначена в предыдущей формуле). Пусть этот элемент . Выводим его на место ведущего элемента для второго шага исключений – на место (2,2) путем перестановки второго и го уравнений (элемент не участвовал при выборе максимального по модулю элемента в силу того, что перестановка первой строки на место второй, в том случае, если бы оказался максимальным по модулю, привела бы к порче структуры матрицы, полученной на первом шаге исключения: нулевой элемент первого столбца, стоящий во второй строке, стал бы ненулевым за счет того, что на место (2,1) попал бы элемент ). В результате получим СЛАУ:

(50)

Теперь проведем исключение во втором столбце матрицы СЛАУ (50). В результате исключения СЛАУ (50) примет вид:

Перед проведением третьего шага исключения Гаусса (обнуления элементов третьего столбца матрицы СЛАУ ниже главной диагонали) выберем максимальный по модулю элемент третьего столбца среди элементов, исключающих элементы первой и второй строк. Выведем этот элемент на позицию (3,3) – позицию ведущего элемента для третьего шага. И т.д.

Частичный выбор главного элемента можно проводить по строке. В этом случае перед проведением исключений в ом столбце матрицы СЛАУ, которую обозначим , надо выбрать максимальный по модулю элемент ой строки среди элементов (пусть это элемент ), вывести его на главную диагональ путем перестановки го и го столбцов, и произвести исключение, как описано выше. Необходимо учитывать и помнить, что перестановка столбцов в матрице СЛАУ повлечет за собой соответствующее изменение порядка неизвестных в векторе .

Частичный выбор главного элемента обеспечит сравнимость ведущих элементов на всех шагах исключения Гаусса с остальными элементами соответствующих столбцов (строк) матрицы СЛАУ, т.е. обеспечит устойчивость исключений Гаусса.

Метод Гаусса с полным выбором главного элемента

Выбор главного элемента, предваряющий исключение на очередном шаге метода Гаусса, можно проводить, учитывая большее количество элементов матрицы СЛАУ. Так перед исключением в первом столбце выберем максимальный по модулю элемент во всей матрице системы . Пусть этот элемент — . Для того, чтобы вывести этот элемент на место (1,1), переставим в первую и ую строки (соответственно в векторе — первый и ый элементы), первый и ый столбец, после чего проведем исключения в первом столбце.

Перед исключением в ом столбце выберем максимальный по модулю элемент в матрице СЛАУ среди ее элементов , где . И т.д.

Очевидно, что полный выбор главного элемента обеспечит сравнимость ведущих элементов на всех шагах исключения Гаусса с остальными элементами всей матрицы СЛАУ, т. е. обеспечит устойчивость исключений Гаусса, причем, как вытекает из стратегии поиска главного элемента, погрешность метода Гаусса с полным выбором главного элемента будет меньше, чем при частичном выборе.

MathOnWeb.com — Исключение Гаусса

Что такое система линейных уравнений?
Некоторые уроки, которые можно извлечь из построения графика двух уравнений с двумя неизвестными
Расширенная матрица
Элементарные операции со строками
Исключение Гаусса
Резервный корпус
Противоречивый случай

Что такое система линейных уравнений?

Линейное уравнение на n неизвестных x ₁ , x ₂ , …, x _N — это уравнение формы:

A ₁ x ₁ + A ₂ X ₂ + + + … + a _n x _n = b

где a ₁ , a _{6 ₆₂ ,
… , a _n и b — константы.}

Название линейный происходит от того факта, что такое уравнение с двумя неизвестными или переменными представляет собой прямую линию. Набор таких уравнений называется системой . Пример системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными х , у и z это:

Некоторые уроки, которые можно извлечь из построения графика 2 уравнений с 2 неизвестными
Графический метод не очень полезен в качестве вычислительного инструмента, но полезен для визуализации такие понятия, как уникальность решения или значение противоречивых или избыточных систем. Рассмотрим следующую систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
В этом методе мы просто рисуем графики уравнений, как мы делали справа. Обратите внимание, что график каждого уравнения представляет собой прямую линию. (Это отличительная черта линейной системы. Здесь нет кривых, только прямые линии.)
Любая точка на одной прямой является решением одного уравнения, а любая точка на другой прямой является решением другого уравнения. Точка пересечения линий { x =3,6, y =0,4} является решением которая удовлетворяет обоим уравнениям одновременно. Заметим, что решение единственное. Это потому что линии прямые и есть только одна точка, где они могут пересекаться.

Система линейных уравнений с единственным решением является «нормальной» ситуацией. Однако это можно иметь систему уравнений без решения. Такая система уравнений называется противоречивый . Часто это результат неточного или неправильного анализа физического состояния. система описывается системой уравнений.
Рассмотрим следующую систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
Эта система уравнений несовместима, так как x + y никак не могут равняться 2 и 4 одновременно. На рисунке справа показано, что граф этой системы состоит двух параллельных прямых, которые никогда не пересекаются. Таким образом, решения нет.

Также возможна система уравнений с бесконечным числом решений. Такая система уравнений называется избыточной . Часто это результат неполного анализ физической системы.
Рассмотрим следующую систему уравнений:
Эта система является избыточной, поскольку второе уравнение эквивалентно первому. График состоит из двух линий, лежащих одна над другой. Они «пересекаются» в бесконечном числе точек, поэтому существует бесконечное количество решений.

Подводя итог, линейная система с двумя неизвестными должна иметь как минимум два уравнения, чтобы получить единственное решение. Иметь 1 уравнение недостаточно, потому что 1 уравнение с 2 неизвестными представлено целой строкой. Достаточно двух уравнений, если они не избыточны и не противоречат друг другу. Наличие 3 (или более) уравнений — это слишком много. Третье уравнение должно быть либо избыточным, либо противоречивым.
Эти идеи можно обобщить на линейные системы уравнений с большим количеством неизвестных:
Линейное уравнение в n переменных представляет собой «гиперплоскость» в пространстве n измерений. Линейная система уравнений с n неизвестными должна иметь по крайней мере n уравнений, чтобы получить уникальное решение. Иметь меньшее количество недостаточно; решение не будет единственным. Достаточно иметь n уравнений, если они не являются избыточными или противоречивыми. Имея более n уравнений слишком много; система будет либо избыточной, либо непоследовательной.

Расширенная матрица
Мы представим систему уравнений прямоугольным массивом чисел, называемым дополненная матрица . Вот расширенная матрица для приведенного выше примера:

Немного терминологии:
Элементы расширенной матрицы называются элементами .
Строки проходят через всю матрицу.
Столбцы идут вниз по матрице.
Диагональ матрицы представляет собой набор элементов, который начинается в верхнем, левом углу и идет по диагонали вниз и вправо. Диагональ вышеуказанной матрицы состоит из чисел 4, 1 и 2.
Любые элементы в позиции a считаются лежащими на выше диагонали , а любой в позиции B на ниже диагонального :
Имейте в виду следующее:

I -THTH -ряд -ТИТ.
j -й столбец (слева от вертикальной черты) представляет собой (коэффициенты) j -я переменная или неизвестная
вертикальная линия представляет знаки равенства

Элементарные операции с строками
Напомним, что такое уравнение, как:
7( x −4)=14,
можно решить для разрешения x , применив следующие операции:
Разделив обе части уравнения на одно и то же значение, а именно на 7, получим x -4=2,
, затем прибавив одинаковое количество к обеим сторонам, а именно 4, чтобы получить х = 6.
Решение x = 6, в чем можно убедиться, подставив его обратно в исходное значение. уравнение и нахождение тождества 14=14.
Аналогично, решением системы уравнений является любой набор значений всех переменных, удовлетворяющих всем уравнениям одновременно. Например, система:
имеет решение:
{ x = 7, y = 5, z = 3}.
Это можно проверить, подставив эти значения во все три уравнения и создание трех тождеств.
Система уравнений может быть решена путем обобщения двух операций, описанных выше, и заметив, что решение системы уравнений не меняется при:
делении обеих частей уравнения на константу, или
вычитание кратного одного уравнения из другого уравнения.
Эти же операции можно применить к строкам расширенной матрицы, поскольку каждая строка просто представляет уравнение. Затем они называются Elementary Row Operations .

Элементарные операции со строками (E.R.O.):
E.R.O.#1: Выберите строку расширенной матрицы и разделите (каждый элемент) строку константой.
Пример:
Обозначение означает разделить первую строку расширенной матрицы на 2, чтобы получить новую расширенную матрицу.
E.R.O.#2: Выберите любую строку расширенной матрицы и вычтите кратное любой другую строку из него (поэлементно).
Пример:
Обозначение означает взять строку 2 и вычесть из нее 3 раза строку 1, чтобы получить новую расширенную матрицу.

Мы будем применять E.R.O. в определенной последовательности (метод исключения Гаусса, описанный ниже) преобразовать расширенную матрицу в треугольную эшелонированную форму . В этой форме расширенная матрица имеет 1 по диагонали, 0 по диагонали и любые числа по диагонали. Например, расширенная матрица:
в виде треугольного эшелона:
Эта новая расширенная матрица представляет собой систему уравнений:
Она решается обратной подстановкой. Подставляя z = 3 из третьего уравнения в второе уравнение дает y = 5, а подстановка z = 3 и y = 5 в первое уравнение дает x = 7 . Таким образом, полное решение:
{ x = 7, y = 5, z = 3}.

Исключение по Гауссу
В методе исключения по Гауссу элементарные операции со строками (E.R.O.) применяются в определенном чтобы максимально эффективно преобразовать расширенную матрицу в треугольную эшелонированную форму.
В этом суть метода: Дана система m уравнений в n переменных или неизвестных, выберите первое уравнение и вычтите подходящие множители его из оставшиеся м -1 уравнения. В каждом случае выберите кратное так, чтобы вычитание отменяет или исключает ту же самую переменную, скажем, x ₁ . В результате оставшиеся m -1 уравнения содержат только n -1 неизвестных ( x ₁ больше не появляется).
Теперь отложите первое уравнение и повторите вышеуказанный процесс с оставшимися м -1 уравнения в n -1 неизвестных.
Продолжайте повторять процесс. Каждый цикл уменьшает количество переменных и количество уравнений. Процесс останавливается, когда:
Остается одно уравнение с одной переменной. В этом случае существует единственное решение а обратная замена используется для поиска значений других переменных.
Остались переменные, но нет уравнений. В этом случае нет единственного решения.
Остались уравнения, но нет переменных (т. е. самые нижние строки расширенной матрицы содержат только нули слева от вертикальной линии). Это свидетельствует о том, что либо система уравнения противоречивы или избыточны. В случае несоответствия информации, содержащейся в уравнениях противоречиво. В случае избыточности все еще может быть уникальное решение и обратная замена может использоваться для поиска значений других переменных.
Примеры всех этих возможностей приведены ниже.

Алгоритм исключения Гаусса:
Преобразование столбцов расширенной матрицы по одному в треугольную ступенчатую форму. Столбец, который в настоящее время преобразуется, называется сводным столбцом . Продолжайте слева направо, пусть основной столбец будет первым столбцом, затем вторым столбцом, и т. д. и, наконец, последний столбец перед вертикальной чертой. Для каждого сводного столбца выполните следующие два шага, прежде чем перейти к следующему сводному столбцу:
Найдите диагональный элемент в опорном столбце. Этот элемент называется стержнем . Строка, содержащая сводную строку, называется сводной строкой . Разделите каждый элемент в своде ряд по оси (т. е. используйте E.R.O. #1), чтобы получить новую строку оси с 1 в позиции оси.
Получите 0 в каждой позиции ниже точки поворота, вычитая подходящее кратное значение точки поворота. строку из каждой из строк под ней (т. е. с помощью E.R.O. #2).
По завершении этой процедуры расширенная матрица будет иметь форму треугольного эшелона и можно решить обратной заменой.

Пример: Используйте исключение Гаусса для решения системы уравнений:
Решение: Выполните эту последовательность E. R.O. на расширенной матрице. Установите сводной столбец в столбец 1. Получите 1 в диагональной позиции (подчеркнуто):
Затем установите 0 под опорной точкой (подчеркнуто):
Теперь пусть опорная колонка = вторая колонка. Сначала получите 1 в диагональной позиции:
Затем получите 0 в позиции ниже опорной:
Теперь пусть опорная колонка = третья колонка. Получите 1 в диагональной позиции:
Эта матрица, которая теперь имеет форму треугольного эшелона, представляет:
Она решается обратной подстановкой. Замена z = 3 из третьего уравнения в второе уравнение дает y = 5, а подстановка z = 3 и y = 5 в первое уравнение дает x = 7 . Таким образом, полное решение:
{ x = 7, y = 5, z = 3}.

Пример применения исключения Гаусса к избыточной системе линейных уравнений решите, если возможно:
Решение: Выполните эту последовательность E.R.O. на расширенной матрице. Установить сводную колонку в столбец 1. 1 уже находится в опорной позиции, поэтому продолжайте получать 0 под опорной точкой:
Теперь установите опорную колонку на вторую колонку. Сначала получите 1 в диагональной позиции:
Затем получите 0 в позиции ниже опорной:
Теперь установите опорную колонку в третью колонку. Первое, что нужно сделать, это получить 1 в диагональное положение, но нет возможности сделать это. На самом деле эта матрица уже в виде треугольного эшелона и представляет собой:
Эта система уравнений не может быть решена обратной подстановкой, потому что у нас нет значения для z . Последнее уравнение просто утверждает, что 0=0. Единого решения не существует, потому что z могут принимать на любом значении.
Обычно одна или несколько строк нулей внизу расширенной матрицы, которая была помещена в треугольную эшелонированную форму указывает на избыточную систему уравнений.

Пример применения исключения Гаусса к противоречивой системе линейных уравнений решите, если возможно:
Решение: Выполните эту последовательность E.R.O. на расширенной матрице. Установить точку опоры от столбца к столбцу 1. В опорной позиции уже есть 1, поэтому продолжайте получать 0 ниже опорной точки:
Теперь установите опорный столбец на второй столбец. В позиции поворота уже есть 1, поэтому продолжайте, чтобы получить 0 ниже опорной:
Теперь установите опорную колонку на третью колонку. Первое, что нужно сделать, это получить 1 в диагональное положение, но нет возможности сделать это. На самом деле эта матрица уже находится в имеет форму треугольного эшелона и представляет собой:
Эта система уравнений противоречива и не имеет решения. Последнее уравнение утверждает противоречие, а именно 0 = −50.
В общем, расширенная матрица, которая представлена в виде треугольного эшелона и которая содержит одну или несколько нижних строк, состоящих из всех нулей слева от вертикальной линии и ненулевое число справа указывает на противоречивую систему уравнений, не имеющую решения.
Исключение Гаусса с примерами кода
Исключение Гаусса с примерами кода
Добрый день, ребята. В этом посте мы рассмотрим, как решить программную головоломку исключения Гаусса.
ч := 1 /* Инициализация сводной строки */ k := 1 /* Инициализация сводного столбца */ при этом h ≤ m и k ≤ n /* Находим k-ю опорную точку: */ i_max := argmax (i = h . .. m, abs(A[i, k])) если A[i_max, k] = 0 /* В этом столбце нет точки поворота, переходим к следующему столбцу */ к := к + 1 еще поменять местами строки (h, i_max) /* Сделать для всех строк ниже точки поворота: */ для i = h + 1...m: f := A[i, k] / A[h, k] /* Заполняем нулями нижнюю часть сводного столбца: */ А[я, к] := 0 /* Делаем для всех оставшихся элементов в текущей строке: */ для j = k + 1 ... n: А[i, j] := A[i, j] - A[h, j] * f /* Увеличение сводной строки и столбца */ ч := ч + 1 к := к + 1
Как мы видели, проблема с переменной исключения Гаусса была решена путем использования множества различных экземпляров.
Что такое формула метода исключения Гаусса?
Что такое метод исключения Гаусса? В математике метод исключения Гаусса известен как алгоритм сокращения строк для решения систем линейных уравнений. Он состоит из последовательности операций, выполняемых над соответствующей матрицей коэффициентов.
Как работает исключение Гаусса?
Грубо говоря, метод исключения Гаусса работает сверху вниз, чтобы создать матрицу в форме эшелона, в то время как метод исключения Гаусса-Жордана продолжается с того места, где остановился метод Гаусса, а затем работает снизу вверх, чтобы создать матрицу в форме сокращенного эшелона. Техника будет проиллюстрирована на следующем примере.
Каковы этапы метода исключения Гаусса?
Примечание. Фаза прямого исключения метода исключения Гаусса приводит к «ступенчатой форме строк» матрицы, которую можно определить следующим образом: говорят, что матрица находится в форме ступенчатых строк (или является матрицей ступенчатых строк). ), если он имеет ступенчатый узор, характеризующийся следующими свойствами: (a) Все нули
Когда можно использовать исключение Гаусса?
Чтобы получить матрицу в форме эшелона строк для поиска решений, мы используем метод исключения Гаусса, который использует операции со строками для получения 1 в качестве первой записи, чтобы строка 1 могла использоваться для преобразования оставшихся строк. 01-май -2022
Почему важно исключение Гаусса?
Исключение Гаусса обеспечивает относительно эффективный способ построения обратной матрицы. 2. Точно такие же результаты верны для любого количества переменных и уравнений. Исключение Гаусса практично в большинстве случаев для нахождения обратных матриц, содержащих тысячи уравнений и переменных.
В чем разница между методом исключения Гаусса и методом Гаусса-Зейделя?
Исключение Гаусса является прямым методом. Метод Гаусса-Зейделя является итерационным методом.
Для чего в реальной жизни используется метод исключения Гаусса?
Другим важным применением исключения Гаусса является улучшение качества изображения отпечатков пальцев. Фильтр Гаусса используется для улучшения изображения. Метод SGE также подходит для решения линейных уравнений на ячеистых процессорах. Метод Гаусса также используется в алгоритмах планирования.
Что такое метод исключения?
Метод исключения — это процесс исключения одной из переменных в системе линейных уравнений с использованием методов сложения или вычитания в сочетании с умножением или делением коэффициентов переменных.
No related posts.