Метод Жордана-Гаусса — 📙 Математика
1. Общие понятия
2. История появления метода Жордана-Гаусса
3. Использование метода Жордана-Гаусса на практике
4. Суть метода Жордана-Гаусса
5. Получение обратных матриц с применением метода Жордана-Гаусса
Методом Жордана-Гаусса является такой метод решения линейных уравнений, при котором полностью исключаются неизвестные. Этот метод есть производным от метода Гаусса, но в данной модификации элементарные преобразования производят дальше.
Возникновение метода Гаусса своими корнями уходит в далекие годя до нашей эры. Он описан еще в древней китайской книге, которая называется «Математика в девяти книгах», написанной примерно в 150 году до нашей эры. В этом трактате собраны различные математические задачи и методы их решения.
В Европе первым, кто занялся исследованием данного метода, стал Исаак Ньютон. Он изучал множество древних математических книг, но при этом не обнаружил ни одного способа решения систем уравнений с большим числом переменных, и предложил способ такого решения в своей работе, которая была обнародована в 1707 году.
Немецким ученым К.Ф. Гауссом в 1810 году был усовершенствован данный метод и опубликован на ряду с другими его работами, после чего метод преобразования в треугольную матрицу нашел массовое распространение и был назван его именем.
Затем во второй половине ХІХ столетия ученый Жордан доработал метод Гаусса, трансформировав его в более совершенный метод приведения к диагональной матрице. Интересно, что на ряду с ним точно то же совершил еще один ученый, но все же название метода на сегодняшний день получило имена Гаусса и Жордана.
Метод Жордана-Гаусса имеет широкое применение для расчета систем линейных уравнений, создания обратных матриц, изучения рангов матриц. Зачастую именно с его помощью решаются инженерные задачи с большим количеством неизвестных.
При расчете полученных из инженерно-технических задач систем уравнений, сначала выбирают самые большие за модулем переменные для минимизации погрешности, далее поочередно удаляют не нужные переменные из матрицы.
Также при расчетах инженерно-технологических задач этим методом, пользуются различными алгоритмами программирования, что дает возможность получения результатов с меньшей погрешностью.
Применяя метода Жордана-Гаусса, мы получаем матрицу, диагональ которой состоит из единиц, а все остальные коэффициенты – нули, к примеру:
\(A = \begin{array}{ccc|c} 1& 0 &0 &a_1 \\ 0& 1 &0 &a_2 \\ 0 & 0 & 1 &a_3 \end{array}\)
Отличается данный метод от метода Гаусса тем, что в последнем к нулям приводится лишь нижняя часть матрицы, в то время, как при использовании метода Жордана-Гаусса к нулям приводится также и верхняя часть матрицы.
Оба метода применяют для определения базисного и общего решений системы уравнений.
Базисное решение являет собой такое решение системы уравнений, когда все свободные переменные равняются нулю.
Общее решение системы уравнений являет собой такое решение, когда основные переменные выражают через свободные.
Еще одним вариантом применения метода Жордана-Гаусса есть получение обратных матриц.
Обратной называют такую матрицу, результатом перемножения которой с заданной матрицей будет единичная матрица. Данная матрица может существовать исключительно для квадратных и невырожденных матриц.
Суть метода определения обратной матрицы состоит вот в чем: заданную и единичную матрицы одновременно преобразовывают элементарными действиями с использованием метода Жордана-Гаусса. В итоге получают две матрицы – единичную диагональную и обратную.
Рассмотрим последовательность действий для получения обратной матрицы с применением метода Жордана-
Гаусса на примере заданной квадратной матрицы:
\(\begin{array}{cc} 1& 2 \\ 3 & 4 \\ \end{array}\)
1) Записываем заданную и единичную матрицы:
\(\begin{array}{cc|cc} 1& 2 & 1& 0\\ 3 & 4& 0 & 1 \\ \end{array}\)
2) К последней строке плюсуем первую, перемноженную на -3:
\(\begin{array}{cc|cc} 1& 2 & 1 & 0\\ 0 & -2 & -3 & 1 \\ \end{array}\)
3) После этого к первой строчке добавляем последнюю:
\(\begin{array}{cc|cc} 1& 0 & -2 & 1\\ 0 & -2 & -3 & 1 \\ \end{array}\)
4) Поделим вторую строчку на -2:
\(\begin{array}{cc|cc} 1& 0 & -2 & 1\\ 0 & 1& 3/2 & -1/2 \\ \end{array}\)
5) В итоге обратная матрица преобразуется в следующий вид:
\(\begin{array}{cc} -2& 1 \\ 3/2 & -1/2 \\ \end{array}\)
Для расчета систем линейных уравнений методом Жордана-Гаусса матрицу преобразуют при помощи тех же элементарных преобразований, как и при методе Гаусса, таких как:
- перемножение любой строчки на число, не равное нулю;
- прибавление или отнимание любых строк;
- перестановка строк местами;
- удаление строк, что состоят из одних нулей;
- удаление пропорциональных строчек, которые можно считать лишними.
Таким образом, для расчета системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса, требуется провести череду элементарных преобразований матрицы, полученной после использования метода Гаусса.
Порядок действий во время расчета системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса:
- Находят строку, у которой первый коэффициент не равняется нулю и максимально приближается по значению к единице. Эту строчку ставят в верхний ряд. Этот элемент имеет название «разрешающий».
- Разрешающий элемент преобразуют до единицы делением или умножением всей первой строчки.
- Из всех остальных строчек отнимают первую, перемноженную на коэффициент, что стоит вначале строки, которую изменяют.
- Все то же проделывают до получения треугольной матрицы, иными словами, до тех пор, пока все элементы слева от главной диагонали станут равняться нулю. Эти все действия называют прямым ходом преобразования матрицы.
- Затем отнимают нижнюю строчку от предпоследней, умножив нижнюю на последний коэффициент предпоследней строчки. Все то же повторяют снизу-вверх, получая диагональную матрицу. Эти действия называются обратным ходом преобразования матрицы.
Все то же повторяют снизу-вверх, получая диагональную матрицу. Эти действия называются обратным ходом преобразования матрицы.Рассмотрим несколько задач по расчету системы линейных уравнений.
Задача 1. Задана система линейных уравнений:
\(\begin{cases} 3x_1 + 2x_2 – 5x_3 = -1 \\ 2x_1 – x_2 + 3x_3 = 13 \\ x_1 + 2x_2 – x_3 = 9 \end{cases}\)
Найти переменные.
Преобразуем систему в расширенную матрицу:
\(\begin{array}{ccc|c} 3& 2 & -5 & -1\\ 2 & -1& 3 & 13 \\ 1 & 2 & -1 & 9 \\ \end{array}\)
Применяя метод Гаусса, получаем матрицу следующего вида:
\(\begin{array}{ccc|c} 1& 2 & -1 & 9\\ 0 & 1& -1 & 1 \\ 0 & 0& 1 & 4 \\ \end{array}\)
Далее применяем обратный ход преобразования матрицы и получаем диагональную матрицу. Сперва к первой и средней строкам прибавим нижнюю:
\(\begin{array}{ccc|c} 1& 2 & 0 & 13\\ 0 & 1& 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{array}\)
Затем среднюю строку перемножим на -2 и приплюсуем ее к верхней:
\(\begin{array}{ccc|c} 1& 0 & 0 & 3\\ 0 & 1& 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{array}\)
В итоге получим такую систему:
\(\begin{cases} x_1 = 3 \\ x_2 = 5 \\ x_3 = 4 \end{cases}\)
Эта система и будет являться решением.
Задача 2. Задана система линейных уравнений:
\(\begin{cases} x_1 – 8x_2 + x_3 — 9x_4 = 6 \\ x_1 – 4x_2 – x_3 — 5x_4 = 2 \\ -3x_1 + 2x_2 + 8x_3 + 5x_4 = 4 \\ 5x_1 + 2x_2 + 2x_3 + 3x_4 = 12 \end{cases}\)
Найти ее решение.
Записываем систему в форме матрицы:
\(\begin{array}{cccc|c} 1& -8 & 1 & -9 & 6 \\ -1 & -4& -1 & -5 & 2 \\ -3 & 2 & 8 & 5 & 4 \\ 5& 2 & 2 & 3 & 12 \\ \end{array}\)
Преобразовываем матрицу прямым ходом до треугольной:
Ко второй строке добавляем первую, перемноженную на -1. К третьей строке добавляем первую, перемноженную на 3, а к нижней строке добавляем верхнюю, перемноженную на -5:
\(\begin{array}{cccc|c} 1& -8 & 1 & -9 & 6 \\ 0 & 4& -2 & 4 & -4 \\ 0 & -22 & 11 & -22 & 22 \\ 0& 42 & -3 & 48 & -18 \\ \end{array}\)
Разделим вторую строку на 2, третью – на 11, четвертую – на 3. Получаем следующее:
\(\begin{array}{cccc|c} 1& -8 & 1 & -9 & 6 \\ 0 & 2& -1 & 2 & -2 \\ 0 & -2 & 1 & -2 & 2 \\ 0& 14 & -1 & 16 & -6 \\ \end{array}\)
Убираем третью строку, так как она является пропорциональной ко второй, к нижней строке добавляем вторую, умноженную на -7:
\(\begin{array}{cccc|c} 1& -8 & 1 & -9 & 6 \\ 0 & 2& -1 & 2 & -2 \\ 0& 0 & 6 & 2 & 8 \\ \end{array}\)
Разделим на два нижнюю строку:
\(\begin{array}{cccc|c} 1& -8 & 1 & -9 & 6 \\ 0 & 2& -1 & 2 & -2 \\ 0& 0 & 3 & 1 & 4 \\ \end{array}\)
В преобразованной матрице не равное число строк и переменных, это означает, что для нее существует бесконечное множество решений.