Как решать систему уравнений (СЛАУ) методом Крамера: примеры, описание метода
Методы Крамера и Гаусса – одни из самых популярных методов решения СЛАУ. К тому же, в ряде случаев целесообразно использовать именно конкретные методы. Сессия близка, и сейчас самое время повторить или освоить их с нуля. Сегодня разбираемся с решением методом Крамера. Ведь решение системы линейных уравнений методом Крамера — весьма полезный навык.
Системы линейных алгебраических уравнений
Система линейных алгебраических уравнений – система уравнений вида:
Набор значений x, при котором уравнения системы обращаются в тождества, называется решением системы, a и b – вещественные коэффициенты. Простенькую систему, состоящую из двух уравнений с двумя неизвестными, можно решить в уме либо выразив одну переменную через другую. Но переменных (иксов) в СЛАУ может быть гораздо больше двух, и здесь простыми школьными манипуляциями не обойтись.
Что же делать? Например, решать СЛАУ методом Крамера!
Итак, пусть система состоит из n уравнений с n неизвестными.
Такую систему можно переписать в матричном виде
Здесь A – основная матрица системы, X и B, соответственно, матрицы-столбцы неизвестных переменных и свободных членов.
Решение СЛАУ методом Крамера
Если определитель главной матрицы не равен нулю (матрица невырожденная), систему можно решать по методу Крамера.
Согласно методу Крамера, решение находится по формулам:
Здесь дельта – определитель главной матрицы, а дельта x n-ное – определитель, полученный из определителя главной матрицы путем заменой n-ного столбца на столбец свободных членов.
А теперь о том, как посчитать определитель. Например, определитель матрицы третьего порядка, который чаще всего встречается на практике, вычисляется по формуле:
В этом и заключается вся суть метода Крамера.
Подставляя найденные по вышеприведенным формулам значения x в искомую систему, убеждаемся в правильности (или наоборот) нашего решения. Чтобы Вы быстрее уловили суть, приведем ниже пример подробного решения СЛАУ методом Крамера:
Даже если у Вас не получится с первого раза, не расстраивайтесь! Немного практики, и Вы начнете щелкать СЛАУ как орешки. Более того, сейчас совершенно необязательно корпеть над тетрадью, решая громоздкие выкладки и исписывая стержень. Можно легко решить СЛАУ методом Крамера в режиме онлайн, лишь подставив в готовую форму коэффициенты. Испробовать онлайн калькулятор решения методом Крамера можно, к примеру, на этом сайте.
Практика — путь к успеху в решении СЛАУ
А если система оказалась упорной и не сдается, Вы всегда можете обратиться за помощью к нашим авторам, например, чтобы купить конспект. Будь в системе хоть 100 неизвестных, мы обязательно решим ее верно и точно в срок!
Автор: Иван
Иван Колобков, известный также как Джони.
Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.
Страница не найдена « Региональный центр развития образования
Общественные организацииВход и регистрация
Планы работы РЦРО
Полезные ссылкиСпутники сайта | Извините, но вы ищете то чего здесь нет. | ГлавноеВерсия для слабовидящих Архив |
Правило Крамера — Концепция — Предварительное исчисление Видео от Brightstorm
Иногда использование матричной алгебры или обратных матриц для поиска решения системы линейных уравнений может быть утомительным.
Иногда удобнее использовать правило Крамера и определители для решения системы уравнений. Нахождение определителей становится намного сложнее с большими измерениями, поэтому правило Крамера лучше подходит для небольших систем линейных уравнений.
системы линейных уравнений Правило Крамера определитель коэффициент матрица
Одна вещь, которую вы можете делать с определителями, это решать с ними системы линейных уравнений, и этот метод называется правилом Крамера, поэтому давайте начнем с системы 9x+3y=12, 10x-4y=50 два уравнения, два неизвестных. Правило Крамера говорит, что решение будет равно x, равному этому определителю 12,3 50,-4 над определителем 9,3 10,-4, теперь позвольте мне объяснить, откуда берутся эти определители. Этот определитель в знаменателе является определителем матрицы коэффициентов, верно? 9, 3, 10, -4 это из коэффициентов слева.
Давайте посчитаем их и посмотрим, каково будет решение, поэтому сначала мы выполним x. Давайте заметим, что вы все еще можете использовать правила упрощения для определителей всякий раз, когда это возможно, например, в знаменателе: я могу вытащить 3 из этой верхней строки и я могу вытащить 2 из нижней строки, и это дает мне 3 раза 2 раза больше определитель 3,1 верно? Я вытягиваю 3 из верхнего ряда Я вытягиваю 2 из нижнего, так что у меня есть 5 -2, а затем вверху я также могу вытащить 3 из верхнего ряда и 2 из нижнего ряда, видите, это хорошо потому что я на самом деле могу отменить эти множители 3 и 2, и останется 4 1 и 25 -2, так что, как я сказал, вы можете просто отменить 3 и 2, а затем давайте сначала посмотрим на дно, на самом деле мы получаем — 6-5, это -11 внизу и вверху, мы получаем -8-25, это -33, это 3, поэтому давайте снова посмотрим то же самое для y, всегда немного проще, если вы можете сначала разложить вещи, потому что они факторизованы out иногда отменяется, поэтому я вытаскиваю 3 и 2 снова, и я получаю 3,1 сверху 5,-2 внизу, и я могу вытащить 3 и 2 вверху, а также мог бы просто вытащить эти потому что я имею в виду, что я могу вытащить больше со дна, очевидно, но нет никакого смысла в том, что они собираются отменить, и ничего больше не будет, поэтому позвольте мне просто оставить это как 3,4, а затем у меня есть 5,25, а затем снова 6 отменяется в дно У меня по-прежнему будет -6-5-11, но в топе у меня будет 75-20 55, так что 55 больше -11 -5, так что x=3, y=-5.
матрицы — Решение системы линейных уравнений с использованием правила Крамера
Задавать вопрос
спросил
Изменено 2 года, 7 месяцев назад
Просмотрено 114 раз
$\begingroup$ 9{2}\end{vmatrix}$$ В итоге мы поменяем на на m .
Я пытался решать задачу снова и снова, но в итоге получаю одно и то же неверное решение, и мне нужна помощь…
$\endgroup$
5
$\begingroup$
Обратите внимание, что определитель
$$
d = \begin{vmatrix}1 & 1 & 1\\ 0 & b-a & c-a\\ 0 & b^{2}-a^{2} & c^{2}-a^{2}\end{vmatrix }
$$
можно легко найти разложением кофакторов по первому столбцу, вы быстро получите
$$
\начать{разделить}
d &= 1 \cdot \begin{vmatrix}b-a & c-a\\ b^2-a^2 & c^2-a^2\end{vmatrix} \\
&= (b-a)(c^2-a^2) — (b^2-a^2)(c-a) \\
&= (b-a)(c-a)[c+a — (b+a)] \\
&= (b-a)(c-a)(c-b).