Метод квадратных корней холецкого: Недопустимое название — Алговики

НОУ ИНТУИТ | Лекция | Численное решение систем линейных алгебраических уравнений

< Лекция 11 || Лекция 3: 1234567891011

Аннотация: Рассматриваются наиболее употребительные приближенные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Вводятся согласованные нормы векторов и матриц. Вычисляется число обусловленности в различных нормах. Анализируется влияние ошибок округления на погрешность результата. Дается понятие о спектральных задачах. Для самосопряженной матрицы рассматривается метод вращений поиска собственных значений

Ключевые слова: системы линейных алгебраических уравнений, алгебра, ПО, матрица, вектор, компонент, определитель матрицы, прямые методы, итерационные методы, обусловленность системы, норма вектора, пространство, норма, согласованные нормы вектора и матрицы, выражение, грани, максимум, собственный вектор, неравенство, равенство, число обусловленности матрицы, погрешность, параметр, место, прямой, обратный, вычисление, метод Гаусса, LU-разложение, метод Гаусса с выбором главного элемента, задача Штурма-Лиувилля, численное решение уравнений, метод прогонки, Метод простых итераций, метод итерации, методы Якоби, Зейделя, верхней релаксации, матрица перехода, метод градиентного спуска, метод наискорейшего спуска, градиентный метод, метод сопряженных градиентов, спектральные задачи, собственное число, действительный, алгоритм, значение, отношение, метод вращений, определение, барьер, расширенная матрица, разложение вектора

intuit.ru/2010/edi»>К численному решению систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) сводятся многие задачи математической физики. Математические модели, представляющие собой СЛАУ большой размерности, встречаются в математической экономике, биологии и т.п. Теория получения приближенных решений СЛАУ — часть вычислительной линейной алгебры. Сама вычислительная линейная алгебра, по-видимому, является наиболее обширной темой во всем курсе вычислительной математики. По прикладной линейной алгебре существует обширная литература (например, [2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5], а программы, реализующие наиболее популярные алгоритмы вычислительной линейной алгебры, являются неотъемлемой частью прикладного программного обеспечения, в частности, современных математических пакетов.

2.1. Постановка задачи

Рассмотрим СЛАУ вида

( 2. 1)

где — невырожденная ( ) квадратная матрица размером n x n

— вектор-столбец решения, — вектор-столбец правой части.

Так как матрица системы — невырожденная, , то решение системы (2.1) существует и единственно.

Из курса линейной алгебры [2.6] известно правило Крамера нахождения решения. Так, каждый компонент вектора неизвестных может быть вычислен как

где — определитель матрицы, получаемой из заменой i столбца столбцом правых частей. Однако несложные арифметические оценки позволяют понять, что использование этой формулы приводит к неоправданно большим затратам машинного времени [2.3]. Так, например, если одно слагаемое в вычисляется за 10 ^-6 с, то время расчета для n = 100 на существующих в момент написания книги компьютерах будет измеряться годами.

На самом деле в настоящее время с помощью компьютеров численно решаются СЛАУ намного более высокого порядка (примерно до ). Такие решения осуществляются при помощи прямых или итерационных численных методов. Прямые методы позволяют в предположении отсутствия ошибок округления (при проведении расчетов на идеальном, т.е. бесконечноразрядном компьютере) получить точное решение задачи за конечное число арифметических действий Итерационные методы, или методы последовательных приближений, позволяют вычислить последовательность , сходящуюся к решению задач при (на практике, разумеется, ограничиваются конечным k, в зависимости от требуемой точности).

Однако неточность в задании правых частей и элементов матрицы может приводить к значительным погрешностям при вычислении решения (2.1). В «Предмет вычислительной математики. Обусловленность задачи, устойчивость алгоритма, погрешности вычислений. Задача численного дифференцирования» на примере было показано, что такое явление наблюдается в случае плохо обусловленной системы. Остановимся подробнее на важном вопросе оценки погрешности решения СЛАУ.

Для этого напомним некоторые сведения из функционального анализа, которые понадобятся в дальнейшем.

2.2. Согласованные нормы векторов и матриц

В векторном n -мерном линейном нормированном пространстве введем следующие нормы вектора:

кубическая:

( 2.2а)

октаэдрическая:

( 2. 2б)

евклидова (в комплексном случае — эрмитова):

( 2.2в)

Рассмотрим квадратную матрицу и связанное с ней линейное преобразование , где ( Lⁿ — n -мерное линейное нормированное пространство). Норма матрицы определяется как действительное неотрицательное число, характеризующее это преобразование и определяющееся как

( 2.3)

intuit.ru/2010/edi»>Укажем некоторые свойства нормы матрицы:

Заметим, что норму матрицы (2.3) называют подчиненной норме вектора. Говорят, что норма матрицы согласована с нормой вектора , если выполнено условие

Нетрудно видеть, что подчиненная норма согласована с соответствующей метрикой векторного пространства. В самом деле

Согласованные с введенными выше нормами векторов нормы матриц будут определяться следующим образом:

Покажем, как получается выражение для согласованной нормы матрицы , соответствующей норме вектора

Вычислим норму вектора :

откуда

По определению нормы матрицы как точной верхней грани отношения

если существует вектор, на котором точная верхняя грань достигается.

Покажем, что таким вектором является, например,

при этом допустим, что максимум в последнем неравенстве достигается при i = k.

Поскольку , то

Тогда, в соответствии с выражением для первой нормы вектора, получаем

Таким образом, точная верхняя грань в рассмотренном неравенстве достижима и действительно

Для третьей нормы (2.2в)

Заметим, что матрица — симметричная. Без ограничения общности предположим, что все собственные числа матрицы различны. Матрица обладает всеми действительными собственными значениями, и каждому собственному числу соответствует собственный вектор. Все собственные векторы взаимно ортогональны. Можно рассмотреть ортонормированную систему собственных векторов — соответствующие им собственные значения. Любой вектор можно представить в виде своего разложения по базису из собственных векторов: Кроме того, Поэтому

причем точная верхняя грань достигается при Действительно,

т.к. , откуда ,

В важном частном случае симметричной (самосопряженной) матрицы имеем , поэтому

Дальше >>

< Лекция 11 || Лекция 3: 1234567891011

8.3.2. Разложение Холецкого MathCAD 12 руководство

RADIOMASTER

Лучшие смартфоны на Android в 2022 году

Серия iPhone от Apple редко чем удивляет. Когда вы получаете новый iPhone, общее впечатление, скорее всего, будет очень похожим на ваше предыдущее устройство. Однако всё совсем не так в лагере владельцев устройств на Android. Существуют телефоны Android всех форм и размеров, не говоря уже о разных ценовых категориях. Другими словами, Android-телефон может подойти многим. Однако поиск лучших телефонов на Android может быть сложной задачей.

Документация Схемотехника CAD / CAM Статьи

MathCAD 12 MatLab OrCAD P CAD AutoCAD MathCAD 8 — 11

• Главная
/
• База знаний
/
• CAD / CAM
/
• MathCAD 12

• Системы линейных уравнений
• 8.1. Хорошо обусловленные системы с квадратной матрицей
  • 8.1.1. Вычислительный блок Given / Find
  • 8.1.2. Функция lsolve
• 8.2. Произвольные системы линейных уравнений
  • 8.2.1. Переопределенные системы
  • 8.2.2. Недоопределенные системы
  • 8.2.3. Вырожденные и плохо обусловленные системы
• 8. 3. Матричные разложения
  • 8.3.1. СЛАУ с треугольной матрицей
  • 8.3.2. Разложение Холецкого
  • 8.3.3. LU-разложение
  • 8.3.4. QR-разложение
  • 8.3.5. SVD-(сингулярное) разложение
• 8.4. Собственные векторы и собственные значения матриц

Разложением Холецкого симметричной (т. е. содержащей одинаковые элементы на местах, расположенных симметрично относительно главной диагонали) матрицы А является представление вида A=LL^T, где L — треугольная матрица. Алгоритм Холецкого реализован во встроенной функции choiesky:

•  choiesky (А) — разложение Холецкого:

•  А — квадратная, положительно определенная симметричная матрица.

Пример разложения Холецкого приведен в листинге 8.18. Обратите внимание, что в результате получается верхняя треугольная матрица (нули сверху от диагонали), а транспонированная матрица является нижней треугольной. В последней строке листинга приведена проверка правильности найденного разложения.

ПРИМЕЧАНИЕ

Исходя из математического вида разложения Холецкого, матрицу L иногда называют квадратным корнем матрицы А.

Листинг 8.18. Разложение Холецкого

Решение СЛАУ, если разложение Холецкого для него известно, основано на замене исходной системы Аx=b другой системой b-у=b (где у=L^Tх), что иллюстрируется листингом 8.19. В первой строке листинга задается вектор правой части b и вычисляется стандартным методом Гаусса решение системы. В оставшейся части листинга СЛАУ решается при помощи разложения Холецкого, проведенного в листинге 8.18. После нахождения (простой подстановкой, т. к. матрица L — треугольная) вектора у, опять-таки подстановкой в уравнение у=L^Tх (т. к. L^T — тоже треугольная матрица) отыскивается вектор х.

ВНИМАНИЕ!

В листинге 8.19 использованы пользовательские функции решения треугольных СЛАУ, описанные в предыдущем разделе. Если вы набираете листинг «от руки», их можно заменить универсальной встроенной функцией isolve.

Листинг 8.19. Решение СЛАУ при помощи разложения Холецкого (продолжение листингов 8.18 и 8.17)

Нравится

Твитнуть

Теги MathCad САПР

Сюжеты MathCad

Глава 1 Основы работы с системой Mathcad 11

9867 0

Глава 10 Работа с информационными ресурсами Mathcad 11

6909 0

Глава 2 Работа с файлами Mathcad 11

12323 0

Комментарии (0)

Вы должны авторизоваться, чтобы оставлять комментарии.

Вход

О проекте Использование материалов Контакты

Новости Статьи База знаний

Радиомастер
© 2005–2022 radiomaster.ru

При использовании материалов данного сайта прямая и явная ссылка на сайт radiomaster.ru обязательна. 0.2265 s

линейная алгебра — Почему квадратный корень из разложения Холецкого равен нижней треугольной матрице?

Задавать вопрос

спросил 4 года, 6 месяцев назад

Изменено 2 месяца назад

Просмотрено 3к раз 9TY$ равно $X$.

• линейная алгебра
• матрицы
• числовая линейная алгебра
• матричная декомпозиция
• холецкого разложение

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Источник, который вы цитируете, можно найти в — https://www.hindawi.com/journals/ijno/2011/416828/ уравнение 18 и формулировка сразу после него.
То же самое со страницы в Википедии, https://en.wikipedia.org/wiki/Cholesky_decomposition#Kalman_filters, которая фактически говорит о том же.

Самый близкий ответ, который я нашел, находится на — http://ais.informatik.uni-freiburg.de/teaching/ws12/mapping/pdf/slam05-ukf.pdf, стр. 14. Квадратный корень — это альтернативное определение квадратного корня матрицы.

Редактировать:

Итак, если вы придерживаетесь альтернативного определения (со страницы 14 pdf-файла), то $L$ является квадратным корнем из $P$, когда $P = LL^T$ вместо нормального (или скалярным способом) определение квадратного корня матрицы из $P=LL$. T$, вы получаете нижнюю треугольную матрицу $L$.

$\endgroup$

1

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.