Метод Зейделя
Метод Зейделя представляет собой некоторую модификацию метода итераций. Основная его идея заключается в том, что при вычислении (k + 1)-го приближения неизвестной xi учитываются уже вычисленные ранее (k + 1)-е приближения неизвестных x1, x2, …, xi — 1.
Пусть получена эквивалентная система (4.2). Выберем произвольно начальные приближения корней . Далее, предполагая, чтоk-ые приближения корней известны, согласно Зейделю будем строить (k + 1)-е приближения корней по формулам:
(4.5)
Заметим, что указанные выше условия сходимости для простой итерации остается верной для итерации по методу Зейделя. Обычно метод Зейделя дает лучшую сходимость, чем метод простой итерации, но приводит к более громоздким вычислениям.
Пример
4.
Решение.
Приведем эту систему к виду, удобному для итерации:
В качестве нулевых приближений корней возьмем:
Применяя процесс Зейделя, последовательно получим:
Результаты вычислений с точностью до четырех знаков приведены в таблице.
Таблица
Нахождение корней линейной системы методом Зейделя
i | |||
0 | 1,2000 | 0,0000 | 0,000 |
1 | 1,2000 | 1,0600 | 0,9480 |
2 | 0,9992 | 1,0054 | 0,9991 |
3 | 0,9996 | 1,0001 | 1,0001 |
4 | 1,000 | 1,000 | 1,000 |
5 | 1,000 | 1,000 | 1,000 |
Точные
значения корней: х1 = 1; х2 =
1; х3 = 1.
Ответ: х1 = 1; х2 = 1; х3 = 1.
Индивидуальные задания
Задание 1. Методом итераций решить систему линейных уравнений с точностью до 0,001, предварительно оценив число необходимых для этого шагов.
№ 1.
№ 2.
№ 3.
№ 4.
№ 5.
№ 6.
№ 7.
№ 8.
№ 9.
№ 10.
№ 11.
№ 12.
№ 13.
№ 14.
№ 15.
№ 16.
№ 17.
№ 18.
№ 19.
№ 20.
№ 21.
№ 22.
№ 23.
№ 24.
№ 25.
№ 26.
№ 27.
№ 28.
№ 29.
№ 30.
Задание 2. Методом Зейделя решить с точностью
0,001 систему линейных уравнений, приведя
ее к виду, удобному для итераций.
№ 1. № 2.
№ 3. № 4.
№ 5. № 6.
№ 7. № 8.
№ 9. № 10.
№ 11. № 12.
№ 13. № 14.
№ 15. № 16.
№ 17. № 18.
№ 19. № 20.
№ 21. № 22.
№ 23. № 24.
№ 25. № 26.
№ 27. № 28.
№ 29. № 30.
Решение слау средствами MathCad Решение систем линейных и нелинейных уравнений и неравенств
Системы линейных и нелинейных уравнений и неравенств позволяет решать на
Внимание! В блоке given записывается система уравнений и/или неравенств, подлежащих решению.
Система уравнений
и/или неравенств должна быть записана
после или правее слова given.
При записи уравнений вместо знака = следует набирать Ctrl+=
Перед словом given необходимо указывать начальные приближения для всех переменных.
Блок given не пригоден для поиска индексированных переменных.
Если мы хотим найти комплексный корень, следует задавать комплексное начальное приближение.
Признаком окончания системы служит функция Find, если мы хотим найти точное решение системы, либо функция Minerr, если система не может быть решена точно, и мы хотим найти наилучшее приближение, обеспечивающее минимальную погрешность.
Функции Minerr и Find должны иметь столько же или меньше
аргументов, сколько уравнений и неравенств
содержит блок given. Если
окажется, что блок содержит слишком
мало уравнений или неравенств, то его
можно дополнить тождествами или
повторяющимися выражениями.
В том случае, если решение не может быть найдено при заданном выборе начального приближения, появится сообщение в красной рамке Did not find solution – решение не найдено.
Зададим начальные приближения и решим систему нелинейных уравнений.
Если необходимо найти решение при различных начальных приближениях, имеет смысл определить новую функцию
Обратите внимание! В этом случае не нужно задавать начальные приближения перед началом блока given – Find. Начальные приближения задаются в качестве аргументов функции f(x,y)
Подобным же образом можно решать системы, зависящие от параметра.
Метод Зейделя Решение Примера | Упражнения и задачи Численные методы
Скачай Метод Зейделя Решение Примера и еще Упражнения и задачи в формате PDF Численные методы только на Docsity! Теория №2: Решение систем линейных алгебраических уравнений Метод Зейделя Метод простой итерации для решения системы уравнений базируется на простой идее вычисления вектора {[к+1′-й итерации с использованием компонент вектора предыдущей к-й итерации: (к+1) ® х“=Сх“+[,К=0,1,2.
.. или (К+1) _ (® (® (®) Жо Нсих: +Срх + +стх, + (+0 (® (® (®) Жо сам + ++, +Ь (ен) п ЭС (® (и (® ЖЕ +2 + СтХ, Гы Метод Зейделя является модификацией метода простых итераций и несколько усложняет эту процедуру, а именно: при вычислении вектора [К+1|-й итерации используются не только компоненты вектора к-й итерации, но и уже вычисленные к данному моменту компоненты вектора текущей |к+1—й итерации: (+) (® (® (® (®) Жо Нсих: +С12х. +Сзхз + +Сих, + (к) (+1) (®) ) (® Жо НСых +Сохо + вх СХ, +, [+ (в) (к) +) (® Хз Нсых: +Срх +6вхз + +Сих, +,» (0 (кн) (к) (1) (к) о СХ +Сх + вж о + Стхи +, Здесь в первой строке приходится использовать только компоненты прежнего, к-го, вектора, во второй строке уже применяется первая только что вычисленная компонента х!**») нового вектора, в третьей строке — две компоненты х,**1 и х,**’ нового вектора ит. д., в последней строке только последняя п-я компонента берется от старого вектора, а все предыдущие — новые. Но в сходящемся итерационном процессе каждое следующее приближение становится все точнее, поэтому метод Зейделя обычно дает более быструю сходимость, чем метод простой итерации.
Условия сходимости для метода Зейделя те же, что и для метода простой итерации. Во времена ЭВМ первых поколений, в которых оперативная память в лучшем случае измерялась килобайтами, как важное достоинство метода Зейделя расценивалось экономное расходование памяти: при вычислении х/*’ нет нужды хранить значения и соответствующие ячейки памяти можно очистить. Задание на лабораторную работу №2. 1. Преобразовать систему линейных уравнений к виду, удобному для итераций; 2. Решить ее методом Зейделя с точностью ==10; 3. Сравнить с методом простых итераций, т.е. вывести количество итераций и ответ обоими методами. 4. Сравнить методы при изменении точности, например при &=10*,10°.. 5. Проверить ответ любым точным методом (обратной матрицы, Гаусса и т.д.) Варианты в файле «Задание к лабораторной работе №2». Пример ручного счета. Вариант 30 2.7 х,+3.3х›+ 1.3 х.=2.1 {3.5х,— 1.7 х,+2.8 х-=1.7,е=10`3. 4.1 х,+5.8 х›—1.8 х.=0.8 Это формат Ах=В. Запишем матрицы: 2.7 3.3 1.3 2.1 А=|3.5 —1.7 2.8 |,В= 1.
7 |. 4.1 5.8 —1.8 0.8 Приведем в формат х=Сх+ [. В 1-том уравнении прибавим и отнимем х‚,Ё=1,п: 2.7 х,+х,—х,+3.3 х›+ 1.3х.=2.1 {3.5 х,— 1.7х›+х,—х,+2.8х.=1.7. 4.1 х,+5.8 х›—1.8 хз+ хз— хз=0.8 Выразим х; и перенесем все лишнее вправо: х=х,—2.7 х,—3.3х,—1.3х.+2.1 1.7 х, —3.3х›—1.3х.+2.1 3.5 х,+2.7 х›— 2.8 х.+ 1.7. х.=—4.1х,—5.8 х,+2.8 х.+0.8 Таким образом, при таком преобразовании находим матрицы: —1.7 —3.3 —13 2.1 С=|-3.5 2.7 —2.8,Р=В=|1.7|. —4.1 —5.8 2.8 0.8 В общем виде это выглядит вот так:
Итерационные методы решения Ax = b — метод Гаусса-Зейделя
‹ Итерационные методы решения [i]Ax[/i] = [i]b[/i] — метод Якоби вверх Итерационные методы решения [i]Ax[/i] = [i]b[/i] — Упражнения, часть 1: методы Якоби и Гаусса-Зейделя ›
Автор(ы):
Дэвид М. Стронг
Пусть мы продвинем метод Якоби еще на один шаг вперед. Где истинное решение
х = ( х 1 , x 2 ,…, x N ),IF
x 1 ( K +1) — это лучшая приближающаяся значение к истинной цене ) .
x
, чтобы использовать его (вместо старого значения
x 1in finding
x 2 ( k +1) , … , x n ( k +1 ) .So
x 1 ( k +1)is found as in Jacobi’s Method, but in finding
x 2 ( k +1) ,instead of using старое значение
x 1 ( k )and the old values
x 3 ( k ) , … , x n ( k ) ,we now use the new value
x 1 ( k +1) and the old values x 3 ( k ) , … , x n ( k ), и аналогично для нахождения
x 3 ( k +1) , … , x n ( k +1) .
Этот метод называется методом Гаусса-Зейделя, хотя, как отмечает Гил Стрэнг в своей книге «Введение в прикладную математику» , Гаусс не знал о нем, а Зейдель не рекомендовал его. Это описано
Это также можно записать
То есть
так что
Пример 2
Применим метод Гаусса-Зейделя к системе из Примера 1:
на каждом этапе, учитывая текущие значения x 1 ( K ) , x 2 ( K ) , x 3 444 ( x 3 4 (11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111Р1н. , находим х 1 ( к +1) , х 2 ( k +1) , x 3 ( k +1) в
Чтобы сравнить наши результаты двух методов, мы снова выбираем x (0) = (0, 0, 0). We then find x (1) = ( x 1 (1) , x 2 (1) , x 3 (1) ), решив
Давайте проясним, как мы решаем эту систему. Сначала решим на х 1 (1) в первом уравнении и найти, что
х 1 (1) = 3/4 = 0,750.
Затем мы решаем для x 2 (1) во втором уравнении, используя новое значение x 1 (1) = 0,750 и обнаружил, что
x 6666 и 0,750 и нашел, что
x и 0,750 и обнаружено, что
x
и 0,750 и обнаружено, что x и 0,750.
2 (1) = [9 + 2(0,750)] / 6 = 1,750.
Наконец, находим x 3 (1) в третьем уравнении, используя новые значения x 1 (1) = 0,750 и x 2 (1) = 1,750, и считают, что
8 (1) = 1,750, и считают, что 8 (1) = 1,750, и обнаружите, что (1) = 1,750, и обнаружите, что . х 3 (1) = [-6 + 0,750 — 1,750] / 7 = — 1,000.Результат этой первой итерации метода Гаусса-Зейделя:0016 2 (1) , x 3 (1) )= (0,750, 1,750, − 1,000).
Мы определяем этот процесс, чтобы генерировать последовательность все более лучших приближений x (0) , x (1) , x (2) , x (2) , и нахождение x (2) , и нахождение x (2) , и нахождение x (2) x (2).
результаты аналогичны тем, которые мы получили для примера 1.
| к | х ( к ) | x ( k ) − x ( k -1) | e ( к ) = х − х 4 ( 9 ) 1 | || e ( к ) || | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | -0,000 | -0,000 | -0,000 | — | — | — | -0,000 | -0,000 | -1.000 | 2,449 |
| 1 | 0,750 | 1,750 | -1. 000 | -0,000 | -0,000 | -1.000 | 0,250 | 0,250 | 0,000 | 0,354 |
| 2 | 0,938 | 1,979 | -1,006 | 0,188 | 0,229 | -0,006 | 0,063 | 0,021 | 0,006 | 0,066 |
| 3 | 0,993 | 1,999 | -1,001 | 0,056 | 0,020 | 0,005 | 0,007 | 0,001 | 0,001 | 0,007 |
| 4 | 0,999 | 2. 000 | -1.000 | 0,006 | 0,001 | 0,001 | 0,001 | 0,000 | 0,000 | 0,001 |
| 5 | 1.000 | 2.000 | -1.000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 |
Как и в примере 1, мы прекращаем итерацию после x ( k ) − x 91 k 0037, e ( k ) и || e ( к ) || все от 0 до трех знаков после запятой. Обратите внимание, что эта последовательность итераций сходится к истинному решению (1, -2, 1) намного быстрее, чем мы нашли в примере 1 с помощью метода Якоби.
Обычно это ожидаемо, поскольку метод Гаусса-Зейделя использует новые значения по мере их нахождения, а не ждет до следующей итерации, как это делается в методе Якоби.
Дэвид М. Стронг, «Итерационные методы решения [i]Ax[/i] = [i]b[/i] — Метод Гаусса-Зейделя», Convergence (июль 2005 г.)
Метод Гаусса-Зейделя — GeeksforGeeks
Это шаг вперед в методе Якоби. Где лучшее решение x = (x1, x2, …, xn), если x1(k+1) является лучшим приближением к значению x1, чем x1(k), то было бы лучше, если бы мы нашли новое значение x1(k+1), чтобы использовать его (а не старое значение x1(k)) при нахождении x2(k+1),…, xn(k+1). Таким образом, x1(k+1) находится так же, как и в методе Якоби, но при нахождении x2(k+1) вместо использования старого значения x1(k) и старых значений x3(k),…, xn(k) , затем мы используем новое значение x1(k+1) и старые значения x3(k), … , xn(k), и аналогично для нахождения x3(k+1), … , xn(k+1). Этот процесс поиска решения данного линейного уравнения называется Метод Гаусса-Зейделя
Метод Гаусса-Зейделя представляет собой итеративный метод решения квадратной системы из n (n=3) линейных уравнений с неизвестным x.
Учитывая
Ax=B
, найти систему уравнений x, удовлетворяющую этому условию.
Более подробно, A, x и b в их компонентах равны:
Тогда разложение матрицы A на ее нижний треугольный компонент и его верхний треугольный компонент дается следующим образом:
Система линейных уравнений переписывается как:
Метод Гаусса-Зейделя теперь решает левую часть этого выражения для x, используя предыдущее значение для x в правой части. Более формально это может быть записано как:
Однако в треугольной форме L* элементы x(k+1) могут быть вычислены последовательно с использованием прямой подстановки:
Этот процесс непрерывно повторяется, пока мы не найдем лучшее приближение решение с наименьшей ошибкой.
Примеры:
Ввод: 3 4x+y+2z=4 3x+ 5y+ 1z= 7 х+ у+ 3z= 3 Выход: [0, 0, 0] [1,0, 0,8, 0,399999999999999997] [0,6000000000000001, 0,95999999999999997, 0,480000000000000004] [0,52, 0,9919999999999998, 0,49600000000000005] [0,504, 0,9983999999999998, 0,4992000000000001] [0,5008, 0,99968, 0,49984] [0,5001599999999999, 0,9999360000000002, 0,4999679999999999] [0,500032, 0,9999872, 0,4999936] [0,5000064, 0,9999974400000001, 0,49999871999999995] [0,50000128, 0,999999488, 0,4999997439999999] [0,500000256, 0,9999998976000001, 0,49999994880000004] [0,5000000512, 0,9999999795199999, 0,4999999897600001] [0,50000001024, 0,999999995904, 0,499999997952] [0,500000002048, 0,9999999991808, 0,499999999503] [0,5000000004095999, 0,9999999998361601, 0,49999999991808003] [0,50000000008192, 0,99999999999672321, 0,49999999998361594] [0,500000000016384, 0,99999999999934465, 0,49999999999672307] [0,5000000000032768, 0,9999999999986894, 0,4999999999993445] [0,5000000000006554, 0,9999999999997378, 0,49999999999986894] [0,500000000000131, 0,9999999999999478, 0,49999999999997374] [0,5000000000000262, 0,9999999999999897, 0,49999999999999467] [0,5000000000000052, 0,99999999999999979, 0,49999999999999895] [0,5000000000000011, 0,99999999999999994, 0,49999999999999983] [0,5000000000000002, 0,99999999999999998, 0,50000000000000001] [0,49999999999999994, 1,0, 0,5] [0,5, 1,0, 0,5]
Учитывая три уравнения:
4x + у + 2z = 4 3х + 5у + г = 7 х + у + 3z = 3
Сначала мы предполагаем, что решение данного уравнения равно
(0,0,0)
Затем сначала мы помещаем значения y и z в уравнение 1 и получаем значение x и обновляем значение x как
( x1,0,0)
Теперь, подставив обновленное значение x, равное x1, и z=0 в уравнение 2, чтобы получить y1, а затем обновив наше решение как
(x1,y1,0)
Затем, наконец подставив x1 и y1 в уравнение 3, чтобы получить z1, и обновив наше решение как
(x1,y1,z1)
Теперь повторите тот же процесс еще 24 раза, чтобы получить приближенное решение с минимальной ошибкой.
93393393393393393393393393393393393393393393393393393393393393339333 , N): 9000 393939339393393933 .0732 d = b[j] = x [J] = x [J] = x [J] 9073 3 |
0732 1 An example for the matrix version
A linear система, представленная как Ax=b, определяется как:
Мы хотим использовать уравнение
Где:
Мы должны разложить A на сумму нижнего треугольного компонента L* и строгого верхнего треугольного компонента U:
Инверсия L*:
Теперь мы можем найти оставшиеся вещи:
Теперь у нас есть T и C, и мы можем использовать их для получения векторов x итеративно.