Методом трапеций вычислить интеграл: Формула трапеции онлайн

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).

Метод трапеций

Сегодня мы познакомимся с еще одним методом численного интегрирования, методом трапеций. С его помощью мы будем вычислять определенные интегралы с заданной степенью точности. В статье мы опишем суть метода трапеций, разберем, как выводится формула, сравним метод трапеции с методом прямоугольника, запишем оценку абсолютной погрешности метода. Каждый из разделов мы проиллюстрируем примерами для более глубокого понимания материала.

Метод трапеций

Предположим, что нам нужно приближенно вычислить определенный интеграл ∫abf(x)dx, подынтегральная функция которого y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b]. Для этого разделим отрезок [a;b] на несколько равных интервалов длины h точками  a=x0<x1<x2<…<xn-1<xn=b. Обозначим количество полученных интервалов как n.

Найдем шаг разбиения: h=b-an. Определим узлы из равенства xi=a+i·h, i=0, 1,…, n.

На элементарных отрезках рассмотрим подынтегральную функцию xi-1; xi, i=1, 2,.., n.

При бесконечном увеличении n сведем все случаи к четырем простейшим вариантам:

Выделим отрезки xi-1; xi, i=1, 2,…, n. Заменим на каждом из графиков функцию y=f(x) отрезком прямой, который проходит через точки с координатами xi-1; fxi-1 и xi; fxi. Отметим их на рисунках синим цветом.

Возьмем выражение f(xi-1)+f(xi)2·h в качестве приближенного значения интеграла ∫xi-1xif(x)dx. Т.е. примем ∫xi-1xif(x)dx≈f(xi-1)+f(xi)2·h.

Давайте посмотрим, почему метод численного интегрирования, который мы изучаем, носит название метода трапеций. Для этого нам нужно выяснить, что с точки зрения геометрии означает записанное приближенное равенство.

Для того, чтобы вычислить площадь трапеции, необходимо умножить полусуммы ее оснований на высоту. В первом случае площадь криволинейной трапеции примерно равна трапеции с основаниями  f(xi-1), f(xi) высотой h. В четвертом из рассматриваемых нами случаев заданный интеграл ∫xi-1xf(x)dx приближенно равен площади трапеции с основаниями -f(xi-1), -f(xi)  и высотой h, которую необходимо взять со знаком «-». Для того, чтобы вычислить приближенное значение определенного интеграла ∫xi-1xif(x)dx во втором и третьем из рассмотренных случаев, нам необходимо найти разность площадей красной и синей областей, которые мы отметили штриховкой на расположенном ниже рисунке.

Подведем итоги. Суть метода трапеций заключается в следующем: мы можем представить определенный интеграл ∫abf(x)dx  в виде суммы интегралов вида ∫xi-1xif(x)dx на каждом элементарном отрезке и в последующей приближенной замене ∫xi-1xif(x)dx≈f(xi-1)+f(xi)2·h.

Формула метода трапеций

Вспомним пятое свойство определенного интеграла: ∫abf(x)dx=∑i=1n∫xi-1xif(x)dx. Для того, чтобы получить формулу метода трапеций, необходимо вместо интегралов ∫xi-1xif(x)dx подставить их приближенные значения: ∫xi-1xif(x)dx=∑i=1n∫xi-1xif(x)dx≈∑i=1nf(xi-1)+f(xi)2·h==h3·(f(x0)+f(x1)+f(x1)+f(x2)+f(x2)+f(x3)+…+f(xn))==h3·f(x0)+2∑i=1n-1f(xi)+f(xn)⇒∫xi-1xif(x)dx≈h3·f(x0)+2∑i=1n-1f(xi)+f(xn)

Формула метода трапеций: ∫xi-1xif(x)dx≈h3·f(x0)+2∑i=1n-1f(xi)+f(xn)

Оценка абсолютной погрешности метода трапеций

Оценим абсолютную погрешность метода трапеций следующим образом:

δn≤maxx∈[a;b]f»(x)·n·h412=maxx∈[a;b]f»(x)·b-a312n2

Графическая иллюстрация метода трапеций

Графическая иллюстрация метода трапеций приведена на рисунке:

Примеры вычислений

Разберем примеры использования метода трапеций для приближенного вычисления определенных интегралов. Особое внимание уделим двум разновидностям заданий:

• вычисление определенного интеграла методом трапеций для данного числа разбиения отрезка n;
• нахождение приближенного значения определенного интеграла с оговоренной точностью.

При заданном n все промежуточные вычисления необходимо проводить с достаточно высокой степенью точности. Точность вычислений должна быть те выше, чем больше n.

Если мы имеем заданную точность вычисления определенного интеграла, то все промежуточные вычисления необходимо проводить на два и более порядков точнее. Например, если задана точность до 0,01, то промежуточные вычисления мы проводим с точностью до 0,0001 или 0,00001. При больших n промежуточные вычисления необходимо проводить с еще более высокой точностью.

Рассмотрим приведенное выше правило на примере. Для этого сравним значения определенного интеграла, вычисленного по формуле Ньютона-Лейбница и полученного по методу трапеций.

Итак, ∫057dxx2+1=7arctg(x)05=7arctg 5≈9,613805.

Вычислим по методу трапеций определенный интеграл ∫057×2+1dx для n равным 10.

Решение

Формула метода трапеций имеет вид ∫xi-1xif(x)dx≈h3·f(x0)+2∑i=1n-1f(xi)+f(xn)

Для того, чтобы применить формулу, нам необходимо вычислить шаг h по формуле h=b-an , определить узлы xi=a+i·h, i=0, 1,.

Шаг разбиения вычисляется следующим образом: h=b-an=5-010=0.5. Для вычисления подынтегральной функции в узлах xi=a+i·h, i=0, 1,…, n будем брать четыре знака после запятой:

i=0: x0=0+0·0.5=0⇒f(x0)=f(0)=702+1=7i=1: x1=0+1·0.5=0.5⇒f(x1)=f(0.5)=70,52+1=5,6…i=10: x10=0+10·0.5=5⇒f(x10)=f(5)=752+1≈0,2692

Внесем результаты вычислений в таблицу:

Подставим полученные значения в формулу метода трапеций: ∫057dxx2+1≈h3·f(x0)+2∑i=1n-1f(xi)+f(xn)==0,52·7+2·5,6+3,5+2,1538+1,4+0,9655+0,7+0,5283+0,4117+0,3294+0,2692=9,6117

Сравним наши результаты с результатами, вычисленными по формуле Ньютона-Лейбница. Полученные значения совпадают до сотых.

Ответ: ∫057dxx2+1=9,6117

Вычислим по методу трапеций значение определенного интеграла ∫12112×4+13x-160dx с точностью до 0,01.

Решение

Согласно условию задачи a = 1; b = 2, f(x)=112×4+13x-160; δn≤0,01.

Найдем n, которое равно количеству точек разбиения отрезка интегрирования, с помощью неравенства для оценки абсолютной погрешности δn≤maxx∈[a;b]f»(x)·(b-a)312n2. Сделаем мы это следующим образом: мы найдем значения n, для которых будет выполняться неравенство maxx∈[a;b]f»(x)·(b-a)312n2≤0,01. При данных n формула трапеций даст нам приближенное значение определенного интеграла с заданной точностью.

Для начала найдем наибольшее значение модуля второй производной функции на отрезке [1; 2].

f'(x)=112×4+13x-160’=13×3+13⇒f»(x)=13×3+13’=x2

Вторая производная функция является квадратичной параболой f»(x)=x2. Из ее свойств мы знаем, что она положительная и возрастает на отрезке [1; 2]. В связи с этим maxx∈[a;b]f»(x)=f»(2)=22=4.

В приведенном примере процесс нахождения maxx∈[a;b]f»(x) оказался достаточно простым. В сложных случаях для проведения вычислений можно обратиться к наибольшим и наименьшим значениям функции. После рассмотрения данного примера мы приведем альтернативный метод нахождения maxx∈[a;b]f»(x).

Подставим полученное значение в неравенство maxx∈[a;b]f»(x)·(b-a)312n2≤0,01

4·(2-1)312n2≤0,01⇒n2≥1003⇒n≥5,7735

Количество элементарных интервалов, на которые разбивается отрезок интегрирования n является натуральным числом. Для поведения вычислений возьмем n равное шести. Такое значение n позволит нам достичь заданной точности метода трапеций при минимуме расчетов.

Вычислим шаг: h=b-an=2-16=16.

Найдем узлы xi=a+i·h, i=1, 0,…, n, определим значения подынтегральной функции в этих узлах:

i=0: x0=1+0·16=1⇒f(x0)=f(1)=112·14+13·1-160=0,4i=1: x1=1+1·16=76⇒f(x1)=f76=112·764+13·76-160≈0,5266…i=6: x10=1+6·16=2⇒f(x6)=f(2)=112·24+13·2-160≈1,9833

Результаты вычислений запишем в виде таблицы:

Подставим полученные результаты в формулу трапеций:

∫12112×4+13x-160dx≈h3·f(x0)+2∑i=1n-1f(xi)+f(xn)==112·0,4+2·0,5266+0,6911+0,9052+1,1819+1,5359+1,9833≈1,0054

Для проведения сравнения вычислим исходный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

∫12112×4+13x-160dx=x560+x26-x6012=1

Как видим, полученной точности вычислений мы достигли.

Ответ: ∫12112×4+13x-160dx≈1,0054

Для подынтегральных функций сложного вида нахождение числа n из неравенства для оценки абсолютной погрешности не всегда просто. В этом случае будет уместен следующий метод.

Обозначим приближенное значение определенного интеграла, которое было получено по методу трапеций для n узлов, как In. Выберем произвольное число n. По формуле метода трапеций вычислим исходный интеграл при одинарном (n=10) и удвоенном (n=20) числе узлов и найдем абсолютную величину разности двух полученных приближенных значений I20-I10.

Если абсолютная величина разности двух полученных приближенных значений меньше требуемой точности I20-I10<δn, то мы прекращаем вычисления и выбираем значение  I20 , которое можно округлить до требуемого порядка точности.

Если абсолютная величина разности двух полученных приближенных значений больше требуемой точности, то необходимо повторить действия с удвоенным количеством узлов (n=40).

Такой метод требует проведения большого объема вычислений, поэтому разумно использовать вычислительную технику для экономии времени.

Решим с помощью приведенного выше алгоритма задачу. С целью экономии времени опустим промежуточные вычисления по методу трапеций.

Необходимо вычислить определенный интеграл ∫02xexdx по методу трапеций с точностью до 0,001.

Решение

Возьмем n равное 10 и 20. По формуле трапеций получим  I10=8,4595380, I20=8,4066906.

I20-I10=8,4066906-8,4595380=0,0528474>0,001, что требует продолжения вычислений.

Возьмем n равное 40: I40=8,3934656.

I40-I20=8,3934656-8,4066906=0,013225>0,001, что также требует продолжения вычислений.

Возьмем n равное 80: I80=8,3901585.

I80-I40=8,3901585-8,3934656=0,0033071>0,001, что требует проведения еще одного удвоения числа узлов.

Возьмем n равное 160: I160=8,3893317.

I160-I80=8,3893317-8,3901585=0,0008268<0,001

Получить приближенное значение исходного интеграла можно округлив I160=8,3893317 до тысячных: ∫02xexdx≈8,389.

Для сравнения вычислим исходный определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница: ∫02xexdx=ex·(x-1)02=e2+1≈8,3890561. Требуемая точность достигнута.

Ответ: ∫02xexdx≈8,389

Погрешности

Промежуточные вычисления для определения значения определенного интеграла проводят в большинстве своем приближенно. Это значит, что при увеличении n начинает накапливаться вычислительная погрешность.

Сравним оценки абсолютных погрешностей метода трапеций и метода средних прямоугольников:

δn≤maxx∈[a;b]f»(x)n·h412=maxx∈[a;b]f»(x)·b-a312n2δn≤maxx∈[a;b]f»(x)n·h424=maxx∈[a;b]f»(x)·b-a324n2.

Метод прямоугольников для заданного n при одинаковом объеме вычислительной работы дает вдвое меньшую погрешность. Это делает метод более предпочтительным в тех случаях, когда известны значения функции в средних отрезках элементарных отрезков.

В тех случаях, когда интегрируемые функции задаются не аналитически, а в виде множества значений в узлах, мы можем использовать метод трапеций.

Если сравнивать точность метода трапеций и метода правых и левых прямоугольников, то первый метод превосходит второй в точности результата.

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.

Правило трапеций — Формула | Формула трапеций

В математике правило трапеций, также известное как правило трапеций или правило трапеций, представляет собой метод аппроксимации определенного интеграла в численном анализе. Правило трапеций — это правило интегрирования, используемое для вычисления площади под кривой путем деления кривой на маленькие трапеции. Сумма всех площадей маленьких трапеций даст площадь под кривой. Давайте разберемся с формулой правила трапеций и ее доказательством, используя примеры в следующих разделах.

1.	Что такое правило трапеций?
2.	Формула трапециевидной линейки
3.	Вывод формулы правила трапеций
4.	Как применить правило трапеций?
5.	Часто задаваемые вопросы о правиле трапеций

Что такое правило трапеций?

Правило трапеций применяется для решения определенного интеграла формы ^b ∫ _a f(x) dx путем аппроксимации области под графиком функции f(x) трапецией и вычисления ее область. По правилу трапеций мы оцениваем площадь под кривой, разделив общую площадь на маленькие трапеции, а не на прямоугольники.

Формула трапециевидной линейки

Мы применяем формулу правила трапеций для решения определенного интеграла путем вычисления площади под кривой путем деления общей площади на маленькие трапеции, а не на прямоугольники. Это правило используется для аппроксимации определенных интегралов, где оно использует линейные аппроксимации функций. Правило трапеций берет среднее значение левой и правой суммы.

Пусть y = f(x) непрерывна на [a, b]. Разделим интервал [a, b] на n равных подынтервалов, каждый шириной h = (b — a)/n,

, так что a = x ₀ < x ₁ < x ₂ < ⋯ < x _n = b

Площадь = (h/2) [y ₀  + 2 (y ₁  + y ₂  + y ₃  + . …. + y ₁ ) + у _n ]

где,

• у ₀ , у ₁ ,у ₂ …. – значения функции при x = 1, 2, 3….. соответственно.

Вывод формулы правила трапеций

Мы можем вычислить значение определенного интеграла, используя трапеции, чтобы разделить площадь под кривой для данной функции.

Правило трапеций Утверждение: Пусть f(x) — непрерывная функция на интервале (a, b). Теперь разделите интервалы (a, b) на n равных подинтервалов шириной

Δx = (b — a)/n , такой, что a = x ₀ < x ₁  < x ₂  < x ₃  <…..< x 3

где, x _i = a + i△x

Если n → ∞, правая часть выражения приближается к определенному интегралу

Чтобы доказать правило трапеций, рассмотрим кривую, показанную на рисунке выше, и разделим площадь под этой кривой на трапеции. Мы видим, что первая трапеция имеет высоту Δx и параллельные основания длины y ₀ или f(x ₀ ) и y ₁ или f ₁ . Таким образом, площадь первой трапеции на приведенном выше рисунке может быть определена как

(1/2) Δx [f(x ₀ ) + f(x ₁ )]

Площади остальных трапеций равны (1/2)Δx [f(x ₁ ) + f(x ₂ )], (1/2)Δx [f(x ₂ ) + f(x ₃ )] и скоро.

Следовательно,

∫ ^b _a f(x) dx ≈ (1/2)Δx (f(x ₀ )+f(x ₁ ) ) + (1/2)Δx f(x ₁ )+f(x ₂ ) ) + (1/2)∆x (f(x ₂ )+f(x ₃ ) ) + … + (1/2)∆x (f( _n-1 ) + f(x _n ))

После вынесения общего множителя ( 1/2)Δx и объединяя подобные члены, имеем

∫ ^b _a f(x) dx≈ (Δx/2) (f(x ₀ )+2 f(x ₁ ) +2 f(x ₂ )+2 f(x ₃ )+ . .. +2f( _n-1 ) + f(x _n ) )

Как применить правило трапеций?

Правило трапеций можно применять для решения определенного интеграла любой заданной функции. Он вычисляет площадь под кривой, образованной функцией, путем деления ее на трапеции и является менее точным методом по сравнению с правилом Симпсона. И правило Симпсона, и правило трапеций дают приближенное значение, но правило Симпсона приводит к еще более точному приближенному значению интегралов, потому что правило Симпсона использует квадратичное приближение вместо линейного приближения.

Выполните следующие шаги, чтобы применить правило трапеций, чтобы найти площадь под заданной кривой, y = f(x).

• Шаг 1: Запишите количество подинтервалов «n» и интервалов «a» и «b».
• Шаг 2: Примените формулу для расчета ширины подинтервала, h (или) △x = (b — a)/n
• Шаг 3: Подставьте полученные значения в формулу правила трапеций, чтобы найти приблизительную площадь заданной кривой,
  ^b ∫ _a f(x)dx ≈ T _n = (△x/2) [f(x ₀ ) + 2 f(x ₁ ) + 2 f(x ₂ ) +…. + 2 f( _n-1 ) + f( _n )], где x _i = a + i△x

Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы лучше понять правило трапеций.

Часто задаваемые вопросы о правиле трапеций

Почему используется правило трапеций?

Правило трапеций — это правило интегрирования, используемое для вычисления площади под кривой путем деления кривой на маленькие трапеции. Сумма всех площадей маленьких трапеций даст площадь под кривой. Согласно этому правилу, площадь под кривой оценивается путем деления общей площади на маленькие трапеции, а не на прямоугольники.

Что такое формула правила трапеций?

Формула правила трапеций: Площадь = (h/2)[y ₀ +y _n +2(y ₁ +y ₂ +y ₃ +…..+y _н-1 )]

где,

• у ₀ , у ₁ ,у ₂ …. – значения функции при x = 1, 2, 3….. соответственно.
• ч = небольшой интервал (x ₁ — x ₀ )

Почему эта формула называется правилом трапеций?

Правило называется трапецеидальным, потому что при оценке площади под кривой (определенного интеграла) общая площадь делится на маленькие трапеции, а не на прямоугольники. Затем находим площади этих маленьких трапеций на определенном интервале.

Используя формулу правила трапеций, найдите площадь, когда h = 2, y

Используя формулу трапеции Площадь = (h/2)[y ₀ +y 9б {е\влево(х\вправо)dx}.\)

Суммы Римана используют прямоугольники для аппроксимации площади под кривой.

Еще одним полезным правилом интегрирования является правило трапеций. Согласно этому правилу, площадь под кривой оценивается путем деления общей площади на маленькие трапеции, а не на прямоугольники.

Пусть f ( x ) непрерывны на [ a , b ]. Разобьем интервал [ a , b ] на n равных подынтервалов, каждый шириной 92}xdx}.\]

Пример 2

Функция \(f\left( x \right)\) задается таблицей значений. Аппроксимируйте площадь под кривой \(y = f\left( x \right)\) между \(x = 0\) и \(x = 8\), используя правило трапеций с \(n = 4\) подынтервалами.

Пример 3

Функция \(f\left( x \right)\) задается таблицей значений. Аппроксимируйте площадь под кривой \(y = f\left( x \right)\) между \(x = -4\) и \(x = 2\), используя правило трапеций с \(n = 6\) подынтервалами . 92}xdx} \ приблизительно {T_6} = \frac{{\Delta x}}{2}\left[ {f\left( {{x_0}} \right) + 2f\left( {{x_1}} \right ) + \cdots + 2f\left( {{x_5}} \right) + f\left( {{x_6}} \right)} \right] = \frac{\pi }{{12}}\left[ { 0 + 2 \cdot \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{3}{4} + 2 \cdot 1 + 2 \cdot \frac{3}{4} + 2 \cdot \frac{1 {4} + 0} \right] = \ frac {\ pi }{{12}} \ left [ {\ frac {1} {2} + \ frac {3} {2} + 2 + \ frac {3 {2} + \frac{1}{2}} \right] = \frac{\pi }{{12}} \cdot \frac{{12}}{2} = \frac{\pi }{2 }. \]

Мы также можем определить точное значение интеграла: 9\pi = \frac{1}{2}\left[ {\left({\pi — 0} \right) — 0} \right] = \frac{\pi}{2}.\]

Итак, в данном конкретном примере трапециевидное приближение \({T_6}\) совпадает с точным значением интеграла.

Пример 2.

Функция \(f\left( x \right)\) задана таблицей значений. Аппроксимируйте площадь под кривой \(y = f\left( x \right)\) между \(x = 0\) и \(x = 8\), используя правило трапеций с \(n = 4\) подынтервалами.

Раствор.

Формула правила трапеций для \(n= 4\) подынтервалов имеет вид

\[{T_4} = \frac{{\Delta x}}{2}\left[ {f\left( {{x_0}} \right) + 2f\left( {{x_1}} \right) + 2f \left( {{x_2}} \right) + 2f\left( {{x_3}} \right) + f\left( {{x_4}} \right)} \right].\]

Ширина подинтервала равна \(\Delta x = 2.\)

Подставляя значения функции из таблицы, находим приблизительную площадь под кривой:

\[A \приблизительно {T_4} = \frac{2}{2}\left[ {3 + 2 \cdot 7 + 2 \cdot 11 + 2 \cdot 9 + 3} \right] = 3 + 14 + 22 + 18 + 3 = 60. \]

Пример 3.

Функция \(f\left( x \right)\) задана таблицей значений. Аппроксимируйте площадь под кривой \(y = f\left( x \right)\) между \(x = -4\) и \(x = 2\), используя правило трапеций с \(n = 6\) подынтервалами .

Раствор.

Мы применяем формулу правила трапеций с \(n = 6\) подынтервалов, которая определяется как

\[{T_6} = \frac{{\Delta x}}{2}\left[ {f\left( {{x_0}} \right) + 2f\left( {{x_1}} \right) + 2f \left( {{x_2}} \right) + 2f\left( {{x_3}} \right) + 2f\left( {{x_4}} \right) + 2f\left( {{x_5}} \right) + f\left( {{x_6}} \right)} \right].\]

Ширина каждого интервала равна \(\Delta x = 1.\)

Значения функции известны из таблицы, поэтому мы можем легко вычислить приблизительное значение площади:

\[A \приблизительно {T_6} = \frac{1}{2}\left[ {0 + 2 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 10 + 2 \cdot 11 + 2 } \right] = \frac{1}{2}\left[ {8 + 10 + 6 + 20 + 22 + 2} \right] = \frac{{68}}{2} = 34.\]

Пример 4.

Аппроксимируйте площадь под кривой \(y = f\left( x \right)\) между \(x = 0\) и \(x = 10\), используя правило трапеций с \(n = 5\) подинтервалов.

.

Формула правила трапеций для \(n = 5\) интервалов задается как

\[{T_5} = \frac{{\Delta x}}{2}\left[ {f\left( {{x_0}} \right) + 2f\left( {{x_1}} \right) + 2f \left( {{x_2}} \right) + 2f\left( {{x_3}} \right) + 2f\left( {{x_4}} \right) + f\left( {{x_5}} \right) } \справа].\]

Из рисунка следует, что \(\Delta x = 2.\) Значения функции на концах интервалов равны

\[f\left( {{x_0}} \right) = f\left( 0 \right) = 4;\]

\[f\влево( {{x_1}} \вправо) = f\влево( 2 \вправо) = 6;\]

\[f\влево( {{x_2}} \вправо) = f\влево( 4 \вправо) = 6;\]

\[f\влево( {{x_3}} \вправо) = f\влево( 6 \вправо) = 4;\]

\[f\left( {{x_4}} \right) = f\left( 8 \right) = 4;\]

\[f\left( {{x_5}} \right) = f\left( {10} \right) = 5.\] 9x}\] между \(x = -1\) и \(x = 3\) с использованием правила трапеций с \(n = 4\) подинтервалами. { — 1}} = \frac{1}{2};\] 93} = 8.\]

Поскольку \(\Delta x = 1,\) мы получаем

\[A \приблизительно {T_4} = \frac{1}{2}\left[ {\frac{1}{2} + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 4 + 8} \right ] = \frac{1}{2} \cdot 22\frac{1}{2} = 11\frac{1}{4}.\]

Пример 6.

Аппроксимируйте площадь под кривой \[y = \frac{1}{x}\] между \(x = 1\) и \(x = 5\), используя правило трапеций с \(n = 4\) подинтервалов.

Раствор.

Запишем формулу правила трапеций для \(n = 4\) подынтервалов:

\[{T_4} = \frac{{\Delta x}}{2}\left[ {f\left( {{x_0}} \right) + 2f\left( {{x_1}} \right) + 2f \left( {{x_2}} \right) + 2f\left( {{x_3}} \right) + f\left( {{x_4}} \right)} \right].\]

Функция имеет следующие значения в точках \({x_i}:\)

\[f\left( {{x_0}} \right) = f\left( 1 \right) = \frac{1}{1} = 1;\]

\[f\left( {{x_1}} \right) = f\left( 2 \right) = \frac{1}{2};\]

\[f\left( {{x_2}} \right) = f\left( 3 \right) = \frac{1}{3};\]

\[f\left( {{x_3}} \right) = f\left( 4 \right) = \frac{1}{4};\]

\[f\left( {{x_4}} \right) = f\left( 5 \right) = \frac{1}{5}.