Методы комбинаторики: Пособие1_титульник

Содержание

Метод комбинаторики

Комбинаторика означает нахождение различных комбинаций из заданных элементов по определенным принципам: путем трасформаций, перестановок, сочетаний, группировок, переворота, организации ритма.

Человек, организуя свою среду обитания, применил комбинаторный метод ранее других в строительном деле, где существует необходимость в повторяющихся элементах.

Переход от кустарного ручного труда к высококачественному машинному производству привел к унификации, типизации, агрегатированию, стандартизации и другим принципам и способам комплексного формообразования.

Комбинаторику и трансформацию в проектировании одежды впервые применили русские конструктивисты в 20-х годах XX века А. Родченко, Л. Попова, В. Степанова. В образцах созданной ими производственной одежды были применены программированные методы формообразования нескольких уровней: комбинирование стандартных элементов из набора простейших геометрических форм, комбинирование различных видов декора на основе базовой формы, комбинирование стандартных готовых объектов, трансформация одежды в процессе эксплуатации.

Сегодня комбинаторика в дизайне — метод формообразования, использующий закономерности вариантного изменения пространственных, конструктивных, функциональных и графических структур, а также способы проектирования объектов из типизированных элементов. Среди приемов комбинаторики, используемых в дизайнерском проектировании, можно выделить следующие:

комбинирование типизированных стандартных элементов (модулей) на плоскости при создании текстильных композиций, раппортных тканей или трикотажных полотен и при создании целостной объемной формы;
комбинирование деталей, пропорциональных членений внутри базовой формы;
создание сложной формы путем вставок и врезок в первоначальную форму;
поиск вариантов организации готовых комплектов.

Прообразом текстильных композиций, основанных на типизированных стандартных элементах, являются мотивы народных орнаментов, которые состоят из небольшого числа повторяющихся элементов. В последние годы мода часто возвращается к стилю оп-дизайна (оптический дизайн) в оформлении тканей, представляющему собой активные динамические композиции из геометрических фигур или модулей. Комбинаторный принцип в этом случае направлен на создание иллюзии движения (колебания, поворота, закручивания в спираль и т.д.), особым образом организованных элементов композиции.

Трансформация (лат. transformation — превращение) заключается в изменении одной формы в другую, а также в превращении деталей внутри одной формы при эксплуатации. Примерами трансформации могут служить раскладная сумка, превращающаяся в пляжный коврик или в плащ, пальто, трансформирующееся в куртку, широкий воротник, складывающийся при необходимости в капюшон [8].

Контрольные вопросы

В чем состоит сущность метода инверсии?
Что означает понятие «эмпатия»?
В каких проектных ситуациях применяется метод мозгового штурма?
Какие приемы комбинаторики применяются в дизайне костюма?

Применение, принципы, правила, методы комбинаторики

И. И. Лапшин описал различные варианты творческой работы с помощью комбинаторики:

1. Комбинаторика фактов. Чем большим запасом организованных фактических знаний располагает учёный или философ, тем более ему приходится в данной области работы при исследовании причинной или вообще законосообразной связи выбирать для экспериментирования; в этом выборе, разумеется, играют роль его знания, но он не может обойтись и без пробований. Так поступает всякий экспериментатор, в том числе и философы (Декарт, Лейбниц, Кант, Спенсер). Так, например, Фарадею, «чтобы напасть на те условия опыта, при которых предположенная догадка или идея, как выражается сам Фарадей, могла быть оправдана опытным путём, ему приходилось проделывать сотни и даже тысячи неудачных опытов» («Фарадей», биография Абрамова).

2. Комбинаторика мыслей. В области мышления точно так же в виде того, что Мах называл Gedankenexperimentum, происходит у учёного и философа непрестанное пробование. Иногда та же мысль фигурирует в одном периоде философского развития в качестве аргумента в пользу одной точки зрения, а в другой период, когда взгляды философа глубоко изменились, та же идея служит обоснованием для диаметрально противоположного толкования. Очевидно, мысль двигалась ощупью, и неудачный умственный эксперимент побудил к его возобновлению в другой обстановке. Так, Кант в докритический период творчества усматривал в несовпадении симметричных фигур свидетельство в пользу трансцендентной реальности пространства, а в критический период то же несовпадение симметричных фигур приводится им как аргумент в защиту трансцендентной идеальности пространства.

3. Комбинаторика точек зрения. У художников она выражается в пробованиях относительно идеальной перевоплощаемости в своих мысленных героев, относительно их характеров и ситуаций. «Война и мир» Толстого возникла «как бы случайно». 17 ноября 1864 г. Толстой пишет: «Вы не можете себе представить, как мучительна эта предварительная работа глубокой пахоты того поля, на котором я принужден сеять; обдумать и передумать все, что может случиться со всеми будущими людьми предстоящего сочинения, и обдумать миллионы возможных сочетаний, для того чтобы выбрать из них 0,000001-ную, ужасно трудно, и этим я занят». Художники иногда играют в карты, загадывая на судьбу героев своих будущих произведений: «Играя в пасьянс вечером, он всегда почти что-нибудь загадывал о своем будущем романе» (Бирюков. Биография Л. Н. Толстого, ч. II). Совершенно такой же факт сообщает в «Revue philosophique» (1913 г., статья о «механизме творческого воображения») Костылев о Виллье де Лилль Адане. Здесь в буквальном смысле слова «воображенье свой пёстрый мечет фараон». У философа и ученого такая комбинаторика имеет место, когда он мысленно становится на другую точку зрения, например в полемике, при сочинении диалога, главным же образом такие пробования в перевоплощаемости наблюдаются в последовательных периодах развития философа. Кант был сначала вольфианцем, потом ньютонианцем, потом поддался влиянию Юма, потом (после опубликования «Nouveaux Essays» Лейбница в 1765 г.) вернулся в диссертации «De mundi sensibilis atque intelligibilis forma etc.» к догматизму, и лишь в письме к Герцу 1772 г. видна окончательная решимость порвать с догматизмом.

4. Наконец, комбинаторика форм выражения, пробование в области стиля и вообще борьба со словом, стремление выработать ясную и отчет ливую терминологию для передачи своих совершенно новых мыслей, для которых нередко не существует подходящих терминов. Последнее сочинение Канта «Uebergang von der Metaphysik der Natur zur Physik» даёт нам возможность видеть, какая масса попыток делается философом, чтобы подыскать подходящее выражение для мысли, которое постепенно выявляется, как и сама мысль.

Таким образом, в творческом духе учёного и философа могут взаимодействовать четыре различные сферы или поля испытаний — под непрестанным контролем мысли. Совокупность всех этих взаимодействующих процессов настолько сложна, что было бы совершенно непостижимым, как может единое внимание так быстро перемещаться, ибо бывают случаи в творческой работе, когда пользование четырьмя полями испытания зараз является необходимым».

Лапшин И.И., Философия изобретения и изобретение в философии. Введение в историю философии, М., «Республика», 1999 г., с. 213-215.

комбинаторика | математика | Британика

Комбинаторика

Просмотреть все СМИ

Ключевые люди:: Пол Эрдёш Андрей Окуньков

Похожие темы:: теория графов перестановки и комбинации Латинский квадрат проблема с ожерельем Числа Рэмси

Просмотреть весь связанный контент →

Сводка

Прочтите краткий обзор этой темы

комбинаторика , также называемая комбинаторной математикой , область математики, связанная с проблемами выбора, расположения и работы в конечной или дискретной системе. Включена тесно связанная область комбинаторной геометрии.

Одной из основных задач комбинаторики является определение числа возможных конфигураций ( например, графики, конструкции, массивы) заданного типа. Даже когда правила, определяющие конфигурацию, относительно просты, перечисление иногда может представлять огромные трудности. Математику, возможно, придется довольствоваться приближенным ответом или, по крайней мере, хорошей нижней и верхней оценкой.

В математике обычно говорят, что сущность «существует», если математический пример удовлетворяет абстрактным свойствам, определяющим сущность. В этом смысле может быть неочевидно, что существует хотя бы одна конфигурация с определенными заданными свойствами. Эта ситуация порождает проблемы существования и построения. Снова имеется важный класс теорем, гарантирующих существование определенного выбора при соответствующих гипотезах. Помимо их внутреннего интереса, эти теоремы могут быть использованы как теоремы существования в различных комбинаторных задачах.

Наконец, есть проблемы с оптимизацией. Например, функция f , экономическая функция, присваивает числовое значение f ( x ) любой конфигурации x с определенными заданными свойствами. В этом случае задача состоит в том, чтобы выбрать конфигурацию x ₀, которая минимизирует f ( x ) или делает его ε = минимальным, то есть для любого числа ε >

0 f ( x ₀ ) ф ( x ) + ε, для всех конфигураций x с указанными свойствами.

Britannica Quiz

Числа и математика

A-B-C, 1-2-3… Если вы считаете, что считать числа — это то же самое, что читать алфавит, проверьте, насколько свободно вы владеете языком математики в этом тесте.

История

Ранние разработки

Некоторые типы комбинаторных задач привлекали внимание математиков с древних времен. Магические квадраты, например, квадратные массивы чисел со свойством, что строки, столбцы и диагонали в сумме дают одно и то же число, встречаются в И Цзин, китайская книга, датируемая 12 веком до н.э. Биномиальные коэффициенты, или целые коэффициенты в разложении ( a + b ) ⁿ, были известны индийскому математику XII века Бхаскаре, который в своей книге Līlavati («Изящный») посвященный красивой женщине, дал правила их расчета вместе с наглядными примерами.

«Треугольник Паскаля», треугольный массив биномиальных коэффициентов, преподавал персидский философ 13-го века Насир ад-Дин ах-Туси.

На Западе можно считать, что комбинаторика началась в 17 веке с Блеза Паскаля и Пьера де Ферма, оба из Франции, которые открыли многие классические комбинаторные результаты в связи с развитием теории вероятностей. Термин «комбинаторный» впервые был использован в современном математическом смысле немецким философом и математиком Готфридом Вильгельмом Лейбницем в его Dissertatio de Arte Combinatoria («Диссертация о комбинированных искусствах»). Он предвидел применение этой новой дисциплины ко всему спектру наук. Швейцарский математик Леонард Эйлер, наконец, стал ответственным за развитие школы подлинной комбинаторной математики, начиная с 18 века. Он стал отцом теории графов, когда решил проблему Кенигсбергского моста, а его знаменитая гипотеза о латинских квадратах не была решена до 19 века.59.

Оформите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчас

В Англии Артур Кейли в конце 19 века внес важный вклад в перечислительную теорию графов, а Джеймс Джозеф Сильвестр открыл множество комбинаторных результатов. Британский математик Джордж Буль примерно в то же время использовал комбинаторные методы в связи с развитием символической логики, а также комбинаторные идеи и методы Анри Пуанкаре, получившие развитие в начале ХХ века в связи с проблемой n тел привели к возникновению дисциплины топологии, которая занимает центральное место в математике. Многие комбинаторные задачи ставились в XIX веке как чисто развлекательные задачи и получили такие названия, как «задача восьми ферзей» и «задача Киркмана о школьницах». С другой стороны, изучение тройных систем, начатое Томасом П. Киркманом в 1847 году и продолженное Якобом Штайнером, немецким математиком швейцарского происхождения, в 1850-х годах, стало началом теории дизайна. К числу самых ранних книг, посвященных исключительно комбинаторике, относятся «9» немецкого математика Ойгена Нетто.

0031 Lehrbuch der Combinatorik (1901; «Учебник комбинаторики») и Combinatory Analysis (1915–16) британского математика Перси Александра Мак-Магона, которые дают представление о комбинаторной теории в том виде, в каком она существовала до 1920 года. век

Многие факторы способствовали ускорению темпов развития комбинаторной теории с 1920 г. Одним из них было развитие статистической теории планирования экспериментов английскими статистиками Рональдом Фишером и Фрэнком Йейтсом, давшее начало многим проблемы комбинаторного интереса; методы, изначально разработанные для их решения, нашли применение в таких областях, как теория кодирования. Теория информации, возникшая примерно в середине века, также стала богатым источником комбинаторных задач совершенно нового типа.

Другим источником возрождения интереса к комбинаторике является теория графов, важность которой заключается в том, что графы могут служить абстрактными моделями для многих различных схем отношений между множествами объектов. Его приложения распространяются на исследование операций, химию, статистическую механику, теоретическую физику и социально-экономические проблемы. Теорию транспортных сетей можно рассматривать как главу теории ориентированных графов. Одна из самых сложных теоретических задач, задача четырех цветов (см. ниже), относится к области теории графов. У него также есть приложения к таким другим разделам математики, как теория групп.

Развитие вычислительной техники во второй половине 20 века является основной причиной интереса к конечной математике вообще и комбинаторной теории в частности. Комбинаторные задачи возникают не только при численном анализе, но и при проектировании компьютерных систем и при применении компьютеров к таким задачам, как хранение и поиск информации.

Статистическая механика — один из старейших и наиболее продуктивных источников комбинаторных задач. С середины 20 в. прикладными математиками и физиками проделана большая важная комбинаторная работа, например, работа над моделями Изинга (см. ниже «Проблема Изинга»).

В чистой математике комбинаторные методы успешно использовались в таких различных областях, как вероятность, алгебра (конечные группы и поля, теория матриц и решеток), теория чисел (разностные множества), теория множеств (теорема Шпернера) и математическая логика. (теорема Рамзи).

В отличие от широкого круга комбинаторных задач и множества методов, разработанных для их решения, отсутствует центральная объединяющая теория. Однако объединяющие принципы и перекрестные связи стали появляться в различных областях комбинаторной теории. Поиск лежащего в основе паттерна, который может каким-то образом указать, как переплетаются различные части комбинаторики, — задача, стоящая перед математиками в последней четверти 20-го века.

18.226 Вероятностные методы в комбинаторике

Осень 2022 г., Массачусетский технологический институт

[Каталог класса (примечания и посты)] [Холст]

Классные собрания: По понедельникам и средам с 14:30 до 16:00, кабинет 4-370

(первый класс, среда, 7 сентября)

Инструктор: Юфэй Чжао

Оценщики: Юань Яо и Анки Ли

Электронная почта и Piazza

Моя политика заключается в том, чтобы не отвечать по электронной почте на любые математические вопросы, связанные с классом, из-за нехватки времени, а также из-за того, что электронная почта не является хорошим средством для таких вопросов и ответов (вместо этого задавайте их в рабочее время).
Уточняющие вопросы (о домашнем задании или лекциях) следует задавать по телефону Piazza (ссылка на холсте), так как они могут быть полезны остальным учащимся. То же самое касается других дискуссий, представляющих общий интерес. Не обсуждайте подсказки или решения домашних заданий на Piazza до истечения установленного срока.
Пишите оценщикам и дайте мне копию, если у вас есть какие-либо вопросы, связанные с домашними заданиями (отправка, дополнения, выставление оценок и т. д.)
Начните строку темы электронной почты с «[18.226]»

Часы работы

Я останусь после занятий, чтобы ответить на вопросы – мы можем перейти в комнату отдыха по математике (2-290).
Я также планирую запланировать специальные рабочие часы для каждого набора задач. Следите за анонсами Canvas.
Вы можете спрашивать меня о непомеченных задачах (но не помеченных) в рабочее время.
Сначала я попрошу вас объяснить на доске ваш прогресс.

Описание курса и правила

Введение для выпускников в вероятностный метод, фундаментальный и мощный метод в комбинаторике и теоретической информатике. Суть подхода заключается в следующем: чтобы показать, что некоторый комбинаторный объект существует, мы доказываем, что некоторая случайная конструкция работает с положительной вероятностью. Курс будет посвящен методологии, а также комбинаторным приложениям.

Темы:

Линейность ожиданий
Изменение
Второй момент
Граница Чернова
Локальная лемма Ловаша
Корреляционные неравенства
Неравенства Янсона
Концентрация меры
Энтропийный метод
Контейнерный метод

Учебник: Алон и Спенсер, Вероятностный метод, Wiley (последнее издание — 4-е, но более ранних изданий достаточно). Доступен в электронном виде в библиотеках Массачусетского технологического института.

Я также предоставлю свои конспекты лекций.

Требования: Математическая зрелость на уровне аспиранта первого курса математического факультета. Удобно с комбинаторикой (18.211), вероятностью (18.600) и реальным анализом (18.100).

Оценка: В основном на основе оценок за домашнее задание (без экзаменов). Модификатор до 5 процентных пунктов может применяться (в любом направлении) при расчете итоговой оценки по моему усмотрению на основе таких факторов, как участие.

Окончательные предельные значения буквенных оценок: только задачи, не отмеченные звездочкой, учитываются при расчете буквенных оценок, отличных от A и A+.

А- : ≥ 85%
В- : ≥ 70%
С- : ≥ 50%

Оценки A и A+ присуждаются по моему усмотрению на основе общей успеваемости. Решение значительного количества задач, отмеченных звездочкой, является требованием для получения оценок А и А+ (пожалуйста, не спрашивайте меня, что означает «значительное число»).

Обратите внимание, что для студентов Массачусетского технологического института модификатор оценки ± не учитывается при расчете среднего балла и не отображается во внешней стенограмме.

Если вы хотите посетить лекции, пожалуйста, зарегистрируйтесь в качестве кредита или слушателя.

Учащимся, нуждающимся в поддержке, следует подумать о том, чтобы обратиться в Службу поддержки учащихся (S ³), GradSupport или Службу поддержки учащихся с ограниченными возможностями.

Домашнее задание

[Каталог класса (примечания и посты)]

Набор задач будет обновляться в течение семестра. Я объявлю на Canvas, когда каждый набор задач будет завершен.

Вы должны отправлять только указанные проблемы, но рекомендуется попробовать и остальные.

Задачи, отмеченные звездочкой, как правило, более сложные.

Чтобы получить максимальную отдачу от этого курса, вы должны потратить значительное количество времени на решение этих задач. Очень важно начать думать об этих проблемах как можно раньше.

Расписание

Предварительно

Набор задач	Срок сдачи
ПС 1	Вс, 25 сентября
ПС 2	Вс, 9 октября
PS 3	Вс, 23 октября
ПС 4	Вс, 6 ноября
ПС 5	Вс, 20 ноября
ПС 6	Вс, 11 декабря

Задачи со звездочкой для каждого набора задач должны быть отправлены отдельно, с автоматическим продлением на 7 дней без штрафных санкций (и без дополнительных задержек).

Представления

Должен быть напечатан в LaTeX и отправлен в формате PDF на Gradescope (доступ из Canvas).
Срок выполнения: 23:59 каждой даты выполнения
Начинайте каждое решение с новой страницы
Выберите страницы для каждой задачи в Gradescope (иначе они не будут оцениваться)
Каждое поле на левом поле набора задач в формате PDF указывает на одну задачу, которая оценивается в 10 баллов
Запросы на изменение оценок должны быть отправлены в Gradescope в течение одной недели после публикации оценок

Поздняя политика

Штраф. Несвоевременная отправка будет оштрафована на 20% за каждый просроченный день (увеличение за 24 часа, без дробного учета).
- Пример: для задания, которое нужно сдать в воскресенье, отправка на сумму x баллов, если она сдана вовремя, будет стоить 0,6 x балла, если она будет отправлена во вторник.
Несколько представлений. Вам разрешено сдавать некоторые задачи вовремя, а некоторые задачи в отдельной «поздней» партии, и штраф за просрочку применяется только к просроченной партии.
- Если вы выберете этот вариант, вы должны (1) сообщить оценщикам по электронной почте, какие задачи были сданы вовремя, а какие с опозданием и на сколько дат, и (2) четко указать эту информацию также в своем письме.
- Несколько отправленных материалов усложняют процесс оценивания. Если вы не сделаете вышеперечисленное, вся ваша заявка может быть оштрафована за просрочку, как если бы все задачи были отправлены к моменту последней отправки.
- Вы можете отправить не более двух пакетов (т. е. 1 вовремя + 1 пакет с опозданием или 2 отдельных пакета с опозданием)
- Второй пакет может не содержать никаких обновлений или замен уже отправленной проблемы.
- Окончательная заявка должна включать все, с четкой пометкой опоздания каждой проблемы в PDF-файле.
- Эта политика предоставлена в качестве любезности. Он может быть аннулирован в случае злоупотребления.
Удлинители. Если вам нужно продление по уважительной причине (например, непредвиденные проблемы со здоровьем или семейные проблемы), пожалуйста, напишите учащимся и мне по электронной почте заранее или попросите S3 отправить нам сообщение. Сообщите нам, на сколько дней вам нужно продление.
- Моя политика заключается в том, чтобы не предоставлять продление на основании предсказуемых обстоятельств, включая академическую нагрузку, внеклассные занятия и плохие учебные привычки.
Если вы сдали домашнюю работу с опозданием, вам не следует обсуждать домашнюю работу с другими учащимися, которые уже сдали домашнюю работу, пока вы не сдадите ее сами (включая чтение обсуждений на площади).

Сотрудничество

Вам рекомендуется сначала поработать над домашним заданием самостоятельно, прежде чем искать сотрудничества.
Значимое сотрудничество разрешено, если оно помогает в обучении (например, совместное решение проблемы)
К неприемлемым методам относятся: «разделение» проблем между группами и последующее распространение решений; прошу решения у друга.
Вы должны написать свои собственные решения.
Партнеры Pset — инструмент для поиска соавторов решения задач (требуется MIT Touchstone)

Выражение признательности соавторам и источникам

Требуется подтверждение ваших источников (даже если вы работали самостоятельно)

В начале представления для каждой проблемы напишите Соавторы и источники: , а затем список соавторов и источников, с которыми проводились консультации (люди, книги, документы, веб-сайты, программное обеспечение и т.
No related posts.