Сложение и вычитание отрицательных чисел – правила (6 класс, математика)
4
Средняя оценка: 4
Всего получено оценок: 349.
4
Средняя оценка: 4
Всего получено оценок: 349.
Отрицательные числа для многих учеников навсегда остаются загадочной частью математики. Всех нас с начальной школы приучают, что отрицательные числа – это не правильно решенный пример, позднее во взрослой жизни отрицательные числа все так же продолжают пугать, что вызывает большое количество ошибок. Чтобы не допускать оплошностей в будущем, рассмотрим во всех подробностях правила сложения и вычитания отрицательных чисел.
Материал подготовлен совместно с учителем высшей категории Харитоненко Натальей Владимировной.
Опыт работы учителем математики — более 33 лет.
Отрицательные числа
Отрицательные числа – это всего лишь числа, которые находятся слева от точки ноль на числовой прямой. Вот и все определение. Его нетрудно запомнить, но трудно понять.
Ведь в реальной жизни отрицательных чисел практически нет: нельзя себе представить – 2 яблока или – 3 ручки. Можно понять, что такое реальное число, что такое отсутствие чисел, но что такое отрицательные числа понять куда труднее.
На самом деле можно представить себе любое отрицательное число, как недостаток до нуля. Например, – 3 значит, что при вычитании уменьшаемому не хватило трех единиц, чтобы выйти в ноль. Чаще всего это встречается в бухгалтерских отчетах и финансовых сводках.
Правило знаков
В этой теме часто встречается понятие правила знаков, которое изучается в курсе математики 6 класса. Стоит подробнее остановится на этом вопросе.
На самом деле, правило знаков – это производная от правил умножения отрицательных и положительных чисел. Например:
6-(-6)=6+(-1*-1*6)=6+6 – но расписывать так каждый раз слишком долго, поэтому проще запомнить один раз, что умножение “минуса” на “минус” и “плюса” на “плюс” дает знак “плюс”. А умножение “плюса” на “минус” – “минус”.
Сложение и вычитание отрицательных чисел
Рассмотрим в отдельности каждую из операций, чтобы не вызывать лишних вопросов.
Сложение отрицательных чисел
Сложение может происходить между:
Вычитание отрицательных чисел
Вычитание может происходить между:
- Двумя отрицательными числами. В этом случае «”минус” на “минус”» дает “плюс”. После этого, мы увидим выражение из предыдущего пункта, то есть сложение отрицательного числа с положительным. Нужно поменять числа местами и выполнить вычитание.
- Отрицательным и положительным числом. В этом случае получается та же ситуация, что при сложении двух отрицательных чисел. Так как, “минус” на “плюс” дает “минус”. Получившиеся числа складываются по модулю, а потом к результату возвращают “минус”.
- Положительным и отрицательным числом. Этот случай больше прочих любим составителями примеров.
Стоит добавить, что сложение или вычитание нуля никак не повлияет на отрицательное число. При этом, если из нуля вычесть число, то оно изменит свой знак на противоположный.
Что мы узнали?
Мы поговорили о том, что такое отрицательное число. Выяснили, чем отличается сложение и вычитание отрицательных чисел, и подробно расписали каждый из возможных случаев.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда — пройдите тест.
Джамиля Таджиева
8/10
Мария Воробьева
10/10
Алла Лалаева
7/10
Максим Рачек
10/10
Александра Мальцева
7/10
Оценка статьи
4
Средняя оценка: 4
Всего получено оценок: 349.
А какая ваша оценка?
§ Умножение отрицательных чисел.
Умножение рациональных чиселКоординатная прямая Координаты точек на числовой оси Сложение отрицательных чисел Вычитание отрицательных чисел Умножение отрицательных чисел Деление отрицательных чисел
Используя понятие модуля числа, сформулируем правила умножения положительных и отрицательных чисел.
Умножение чисел с одинаковыми знаками
Первый случай, который может вам встретиться — это умножение чисел с одинаковыми знаками.
Чтобы умножить два числа с одинаковыми знаками надо:
- перемножить модули чисел;
- перед полученным произведением поставить знак «+» (при записи ответа знак «плюс» перед первым числом слева можно опускать).
Примеры умножения отрицательных и положительных чисел.
- (−3) · (−6) = +18 = 18
- 2 · 3 = 6
Умножение чисел с разными знаками
Второй возможный случай — это умножение чисел с разными знаками.
Чтобы умножить два числа с разными знаками, надо:
- перемножить модули чисел;
- перед полученным произведением поставить знак «−».
Примеры умножения отрицательных и положительных чисел.
- (−0,3) · 0,5 = −0,15
- 1,2 · (−7) = −8,4
Правила знаков для умножения
Запомнить правило знаков для умножения очень просто. Данное правило совпадает с правилом раскрытия скобок.
Запомните!
Минус на минус даёт плюс,
Плюс на минус даёт минус.
| + · (+) = + | + · (−) = − |
| − · (−) = + | − · (+) = − |
В «длинных» примерах, в которых есть только действие умножение, знак произведения можно определять по количеству отрицательных множителей.
При чётном числе отрицательных множителей результат будет положительным, а при нечётном количестве — отрицательным.
Пример.
(−6) · (−3) · (−4) · (−2) · 12 · (−1) =
В примере пять отрицательных множителей. Значит, знак результата будет «минус».
Теперь вычислим произведение модулей, не обращая внимание на знаки.
6 · 3 · 4 · 2 · 12 · 1 = 1728
Конечный результат умножения исходных чисел будет:
(−6) · (−3) · (−4) · (−2) · 12 · (−1) = −1728
Умножение на ноль и единицу
Если среди множителей есть число ноль или положительная единица, то умножение выполняется по известным правилам.
- 0 · a = 0
- a · 0 = 0
- a · 1 = a
Примеры:
- 0 · (−3) = 0
- 0,4 · 1 = 0,4
Особую роль при умножении рациональных чисел играет отрицательная единица «−1».
При умножении на «−1» число меняется на противоположное.
В буквенном выражении это свойство можно записать:
a · (−1) = (−1) · a = −a
При совместном выполнении сложения, вычитания и умножения рациональных чисел сохраняется порядок действий, установленный для положительных чисел и нуля.
Пример умножения отрицательных и положительных чисел.
Координатная прямая Координаты точек на числовой оси Сложение отрицательных чисел Вычитание отрицательных чисел Умножение отрицательных чисел Деление отрицательных чисел
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
| Отправить |
Сложение и вычитание отрицательных чисел
IntroMultiplying & DividingExponents
Purplemath
Как вы справляетесь со сложением и вычитанием отрицательных чисел? Процесс работает аналогично сложению и вычитанию положительных чисел. Когда вы добавили положительное число, вы переместились вправо по числовой строке. Когда вы вычитали положительное число, вы двигались влево.
Теперь, если вы добавляете минус, вы можете рассматривать это почти так же, как когда вы вычитали плюс, если вы рассматриваете «добавление минуса» как добавление слева . То есть, прибавляя минус, вы прибавляете в другом направлении. Точно так же, если вы вычитаете минус (то есть минус минус), вы вычитаете в другом направлении; то есть вы будете вычитать, перемещая вправо .
Например:
Содержание продолжается ниже
MathHelp.com
Сложение и вычитание целых чисел
Вернемся к первому примеру с предыдущей страницы: «9 − 5» также можно записать как «9».+ (−5)». Графически это будет выглядеть как «стрелка от нуля до девяти, а затем «отрицательная» стрелка длиной пять единиц»:
← пролистните , чтобы просмотреть полное изображение →
. ..и вы получите «9 + (−5) = 4». есть «пробел», чтобы завершить это вычитание.Рассмотрите вычитание как добавление отрицательной 9, то есть нарисуйте стрелку от нуля до пяти, а затем «отрицательную» стрелку длиной девять единиц:
← пролистните для просмотра полного изображения →
…или, что то же самое:
← проведите для просмотра полного изображения →
= 5 − ( 9) = −4.
Конечно, этот метод подсчета вашего ответа на числовой прямой не будет работать так хорошо, если вы имеете дело с большими числами.
Например, подумайте о выполнении «465 − 739». Вы, конечно, не хотите использовать числовую линию для этого. Однако, поскольку 739 больше 465, вы знаете, что ответ на «465 − 739″ должен быть отрицательным, потому что «минус 739» приведет вас куда-то левее нуля. Но как вычислить , какое отрицательное число является ответом?
Посмотрите еще раз на «5 − 9». Теперь вы знаете что ответ будет отрицательным, потому что вы вычитаете большее число, чем вы начали (девять больше, чем пять) Самый простой способ справиться с этим — сделать вычитание «обычно» (с меньшим число вычитается из большего числа), а затем ставится перед ответом знак «минус»: 9− 5 = 4, поэтому 5 − 9 = −4. Это работает так же и для больших чисел (и это намного проще, чем пытаться нарисовать картинку): поскольку 739 − 465 = 274, тогда 465 − 739 = −274.
Сложить два отрицательных числа очень просто: вы просто добавляете две «отрицательные» стрелки, так что это похоже на «обычное» сложение, но в противоположном направлении.
Например, 4 + 6 = 10 и -4 — 6 = -4 + (-6) = -10. Но что делать, если у вас много как положительных, так и отрицательных чисел?
Вероятно, самое простое, что можно сделать, это преобразовать все в сложение, сгруппировать положительные и отрицательные вместе, объединить и упростить. Выглядит так:
18 — (-16) — 3 — (-5) + 2
= 18 + 16 — 3 + 5 + 2
= 18 + 16 + (-3) + 5 + 2
= 18 + 16 + 5 + 2 + (-3)
= 41 + (-3)
= 41 — 3
= 38
Я слышу, как ты говоришь. «Как перейти от «- (-16)» к «+16» на первом этапе? Как «минус минус 16» превратился в «плюс 16»?
На самом деле это довольно важная концепция, и, если вы спрашиваете, я предполагаю, что объяснение вашего учителя не имело для вас особого смысла. Поэтому я не буду давать вам «правильное» математическое объяснение этого правила «минус от минуса — это плюс». Вместо этого вот мысленная картина, на которую я натолкнулся много лет назад в группе новостей по алгебре:
Представьте, что вы готовите какое-то рагу в большой кастрюле, но не на плите.
Вместо этого вы контролируете температуру тушеного мяса с помощью магических кубиков. Эти кубики бывают двух типов: горячие кубики и холодные кубики.
Если добавить в кастрюлю горячий кубик (добавьте положительное число), температура рагу повысится. Если вы добавите кубик холода (добавите отрицательное число), температура понизится. Если убрать горячий куб (вычесть положительное число), температура понизится. А если убрать холодный куб (вычесть отрицательное число), температура ПОВЫШАЕТСЯ! То есть вычитание минуса равносильно добавлению плюса.
Теперь предположим, что у вас есть несколько двойных кубиков и несколько тройных кубиков. Если вы добавите три кубика двойного нагрева (добавьте три раза плюс два), температура повысится на шесть. А если убрать два тройных кубика холода (вычесть дважды-отрицательно-три), то получится тот же результат. То есть −2(−3) = + 6.
Вот еще одна аналогия, которую я видел. Позволив «хорошему» быть «позитивным», а «плохому» «негативным», вы могли бы сказать:
хорошие вещи, происходящие с хорошими людьми: хорошие вещи
хорошие вещи, происходящие с плохими людьми: плохие вещи
плохие вещи, происходящие с хорошими людьми: плохие вещи
плохие вещи, происходящие с плохими людьми: хорошие вещи
Приведем конкретный пример:
семья из четырех человек на микроавтобусе добирается до дома в целости и сохранности: хорошо
пьяный водитель на угнанной машине, мчащейся по дороге, не попадается и не останавливается: плохо
семья из четырех человек убита пьяным водителем, в то время как пьяный скрылся с места происшествия без единой царапины: плохо
пьяный водитель пойман и заперт до того, как он причинит кому-либо вред: хорошо
Приведенные выше аналогии не t технических объяснений или доказательств, но я надеюсь, что они сделают правила «минус от минуса плюсом» и «минус, умноженный на минус, будет плюсом» кажутся немного более разумными.
По какой-то причине кажется полезным использовать термины «плюс» и «минус» вместо «сложение», «вычитание», «положительное» и «отрицательное». Так, например, вместо того, чтобы говорить «вычитание отрицательное», вы бы сказали «минусование минуса». Я понятия не имею, почему это так полезно, но я знаю, что эта вербальная техника помогла и отрицаниям «щелкнуть» меня тоже.
Рассмотрим еще несколько примеров:
−43 − (−19) − 21 + 25
= −43 + 19 − 21 + 25 *
= (−43) + (−21) + 19 + 25 *
= (−64) + 44
= 44 + (−64)
Технически я могу перемещать числа так, как я это делал. между двумя звездочками выше только после я преобразовал все в дополнение. Я не могу обратить вычитание, я могу только обратить сложение; только сложение коммутативно. С практической точки зрения это означает, что я могу перемещать числа примерно на 9.0009 только в том случае, если я также перенесу с ними их знаки . Если я буду перемещать только числа, а не их знаки, я изменю значения и получу неправильный ответ.
Продолжаем…
44 + (-64) = 44 — 64
Так как 64 — 44 = 20, то 44 — 64 = -20.
84 + (-99) + 44 — (-18) — 43
= 84 + (-99) + 44 + 18 + (-43)
= 84 + 44 + 18 + (-99) + (−43)
= 146 + (−142)
= 146 − 142
= 4
URL: https://www.purplemath.com/modules/negative2.htm
Стр. 1 Стр. 3 Стр. 4
По какому правилу вычитаются отрицательные числа?
Алгебра — раздел математики, занимающийся арифметическими операциями и связанными с ними символами. Символы называются переменными, которые могут принимать разные значения при различных ограничениях. Переменные в основном обозначаются как x, y, z, p или q, которыми можно манипулировать с помощью различных арифметических операций сложения, вычитания, умножения и деления для вычисления значений.
Отрицательные числа
Отрицательные числа обозначаются целыми числами, перед которыми стоит знак минус. Например, -4, -2 — отрицательные числа.
Отрицательные числа лежат слева от числовой прямой, они отделены от положительных чисел 0. Можно сказать, что отрицательные числа являются дополнением положительных чисел. Отрицательные числа можно легко складывать или вычитать, используя оба отрицательных операнда. Давайте узнаем, как специально вычитать отрицательные числа с правильными случаями,
По какому правилу вычитаются отрицательные числа?
Решение:
Правило 1: Вычитание отрицательного числа из отрицательного числа (-) со знаком минус, за которым следует знак минус, превращает два знака в знак плюс.
Вычитание отрицательного числа из другого отрицательного числа — это просто сложение отрицательных и положительных чисел. Это потому, что по известному правилу – (-4) становится +4. Результирующая операция приобретает положительный характер. Заключительная операция может носить положительный или отрицательный характер. Однако величина конечного вывода больше, чем оба операнда, если ни один из операндов не равен 0.
- Второй операнд > первый операнд
Если величина второго операнда больше, чем величина первого операнда, окончательный результат имеет положительный знак, связанный с ним. Например, у нас есть, -2 — (-4). Это уравнение эквивалентно -2 + 4, что сводится к добавлению 4 к -2. На числовой прямой он начинается с -2.Затем продвигаемся вперед с 4 единицами: +4.
Ответ: -2 – (-4) = 2.
- Второй операнд < первый операнд
В случае, если величина второго операнда больше, чем величина первого операнда, окончательный вывод имеет связанный с ним отрицательный знак. Например, у нас есть -4 – (-2). Это уравнение эквивалентно -4 + 2, что сводится к добавлению 2 к -4. На числовой прямой он начинается с -4. При добавлении 2 результат становится -2.- Второй операнд = первый операнд
В случае, если величина второго операнда равна первому операнду, окончательный вывод равен 0.
В случае вычитания отрицательных чисел могут возникнуть следующие сценарии, когда мы вычитаем второй операнд из первого операнда: 
Например, у нас есть, -2 – (-2). Это уравнение эквивалентно -2 + 2, которое сводится к добавлению 2 к -2 и дает 0,Примеры задач
Вопрос 1: Оцените -4 – (-10) – 2 – (-25).
Решение:
-4 – (-10) – 2 – (-25)
- Сначала откройте скобки.
= -4 + 10 – 2 + 25
- Сложите положительные и отрицательные целые числа отдельно.
= -4 – 2 + 10 + 25
= -6 + 35
= 29
Вопрос 2: Найдите решение для: (2 × 2) – (3 × 3) – (4 × 4)
Решение:
(2 × 2) – (3 × 3) – (4 × 4)
- Сначала разгадайте скобки.
= (4) – (9) – (16)
- Теперь раскроем скобки.
= 4 – 9 – 16
- Сложите положительные и отрицательные целые числа отдельно.
= 4 – 25
= -21
Вопрос 3: Вычтите (2x + 3y) 
Решение:
(4x – 5 лет) 2 – (2x + 3 года) 2
- Раскройте скобки.
Используя алгебраическое тождество,
(x + y) 2 = x 2 + y 2 + 2xy
= (16x 6 9 2 905267 + – 40xy) – (4x 2 + 9y 2 + 12xy)
- Теперь раскроем скобки
= 16x 2 + 25y 2 – 40xy – 4x
2 2 – 12xy
- Теперь прибавьте или вычтите аналогичные члены 0003
= 12x 2 + 16y 2 – 52xy
Вопрос 4: Вычесть (6x – 8y) 2 из 2x 2 – 4y 2 – 12xy 3
2 Решение: 032x 2 – 4 года 2 – 12xy – (6x – 8y) 2
- Раскройте скобку.
Используя алгебраическое тождество,
(x + y) 2 = x 2 + y 2 + 2xy
= 2x 2 6 907 290492 12xy – (36x 2 + 64y 2 – 96xy)
- Откройте кронштейн.
