Множества равны когда: Страница не найдена — ПриМат

Содержание

Страница не найдена — ПриМат

© 2012-2016: Нохум-Даниэль Блиндер (11), Анастасия Лозинская (10), Валентин Малявко (8), Елизавета Савицкая (8), Игорь Любинский (8), Юлия Стерлянко (8), Денис Стехун (8), Александр Базан (7), Анна Чалапчий (7), Константин Берков (7), Олег Шпинарев (7), Кирилл Волков (6), Татьяна Корнилова (6), Влад Радзивил (6), Максим Швандт (6), Людмила Рыбальченко (6), Елизавета Снежинская (5), Вадим Покровский (5), Даниил Радковский (5), Влад Недомовный (5), Александр Онищенко (5), Андрей Метасов (5), Денис Базанов (5), Александр Ковальский (5), Александр Земсков (5), Марина Чайковская (5), Екатерина Шибаева (5), Мария Корень (5), Анна Семененко (5), Мария Илларионова (5), Сергей Черкес (5), Алиса Ворохта (5), Валерия Заверюха (5), Яков Юсипенко (4), Ольга Слободянюк (4), Руслан Авсенин (4), Екатерина Фесенко (4), Дмитрий Заславский (4), Алина Малыхина (4), Андрей Лисовой (4), Полина Сорокина (4), Кирилл Демиденко (4), Дмитрий Стеценко (4), Александр Рапчинский (4), Святослав Волков (4), Иван Мясоедов (4), Владислав Стасюк (4), Алёна Гирняк (4), Николай Царев (4), Валентин Цушко (4), Павел Жуков (4), Роман Бронфен-Бова (4), Артём Романча (4), Анна Шохина (4), Иван Киреев (4), Никита Савко (4), Кондрат Воронов (4), Алина Зозуля (4), Иван Чеповский (4), Артем Рогулин (4), Игорь Чернега (4), Даниил Кубаренко (4), Ольга Денисова (4), Татьяна Осипенко (4), Вячеслав Иванов (3), Валерия Ларикова (3), Евгений Радчин (3), Андрей Бойко (3), Милан Карагяур (3), Александр Димитриев (3), Иван Василевский (3), Руслан Масальский (3), Даниил Кулык (3), Стас Коциевский (3), Елизавета Севастьянова (3), Павел Бакалин (3), Антон Локтев (3), Андрей-Святозар Чернецкий (3), Николь Метри (3), Евелина Алексютенко (3), Константин Грешилов (3), Марина Кривошеева (3), Денис Куленюк (3), Константин Мысов (3), Мария Карьева (3), Константин Григорян (3), Колаев Демьян (3), Станислав Бондаренко (3), Ильдар Сабиров (3), Владимир Дроздин (3), Кирилл Сплошнов (3), Карина Миловская (3), Дмитрий Козачков (3), Мария Жаркая (3), Алёна Янишевская (3), Александра Рябова (3), Дмитрий Байков (3), Павел Загинайло (3), Томас Пасенченко (3), Виктория Крачилова (3), Таисия Ткачева (3), Владислав Бебик (3), Илья Бровко (3), Максим Носов (3), Филип Марченко (3), Катя Романцова (3), Илья Черноморец (3), Евгений Фищук (3), Анна Цивинская (3), Михаил Бутник (3), Станислав Чмиленко (3), Катя Писова (3), Дмитрий Дудник (3), Дарья Кваша (3), Игорь Стеблинский (3), Артем Чернобровкин (3), Виктор Булгаков (3), Дмитрий Мороз (3), Богдан Павлов (3), Игорь Вустянюк (3), Андрей Яроцкий (3), Лаура Казарян (3), Екатерина Мальчик (3), Анатолий Осецимский (3), Иван Дуков (3), Дмитрий Робакидзе (3), Вячеслав Зелинский (3), Данила Савчак (3), Дмитрий Воротов (3), Стефания Амамджян (3), Валерия Сиренко (3), Георгий Мартынюк (3), Виктор Иванов (3), Георгий Луценко (2), Владислав Гринькив (2), Александр Дяченко (2), Анна Неделева (2), Никита Строгуш (2), Настя Панько (2), Кирилл Веремьев (2), Даниил Мозгунов (2), Андрей Зиновьев (2), Андрей Данилов (2), Даниил Крутоголов (2), Наталия Писаревская (2), Дэвид Ли (2), Александр Коломеец (2), Александра Филистович (2), Евгений Рудницкий (2), Олег Сторожев (2), Евгения Максимова (2), Алексей Пожиленков (2), Юрий Молоканов (2), Даниил Кадочников (2), Александр Колаев (2), Александр Гутовский (2), Павел Мацалышенко (2), Таня Спичак (2), Радомир Сиденко (2), Владислав Шиманский (2), Илья Балицкий (2), Алина Гончарова (2), Владислав Шеванов (2), Андрей Сидоренко (2), Александр Мога (2), Юлия Стоева (2), Александр Розин (2), Надежда Кибакова (2), Майк Евгеньев (2), Евгений Колодин (2), Денис Карташов (2), Александр Довгань (2), Нина Хоробрых (2), Роман Гайдей (2), Антон Джашимов (2), Никита Репнин (2), Инна Литвиненко (2), Яна Юрковская (2), Гасан Мурадов (2), Богдан Подгорный (2), Алексей Никифоров (2), Настя Филипчук (2), Гук Алина (2), Михаил Абабин (2), Дмитрий Калинин (2), Бриткариу Ирина (2), Никита Шпилевский (2), Алексей Белоченко (2), Юлиана Боурош (2), Никита Семерня (2), Владимир Захаренко (2), Дмитрий Лозинский (2), Яна Колчинская (2), Юрий Олейник (2), Кирилл Бондаренко (2), Елена Шихова (2), Татьяна Таран (2), Наталья Федина (2), Настя Кондратюк (2), Никита Гербали (2),

Множества — Теория — Равенство множеств

 

     Определение. Неупорядоченные множества равны, если они содержат одинаковый набор элементов.
     Обозначается A=B. Если множества не равны, это обозначается .

     Определение. Число элементов в конечном множестве М обозначается .

     Для множеств A и B с бесконечным или большим числом элементов проверка совпадения наборов всех элементов может быть практически затруднительной. Более эффективной оказывается логическая проверка двухстороннего включения. А именно, А=В тогда и только тогда, когда из следует и из следует .

     Пример. Пусть заданы множества

A = {1,2,3,4,5};

B - множество натуральных чисел от 1 до 5;

D = {4,1,5,2,3}.

Эти множества содержат один набор элементов, поэтому A=B=C=D.

     При задании множеств могут присутствовать неточности, которые необходимо устранять. Рассмотрим примеры.

     Пример. Пусть заданы множества:
A={Иванов, Петров, Сидоров};
B={Иванов, Петров, Сидоров}.
     В этом случае A=B, если речь идет об одних и тех же людях. В противном случае

. Такие определения необходимо уточнять, чтобы можно было безошибочно определить элементы множества.

     Пример. Рассмотрим множество A остатков, получаемых при последовательном делении натуральных чисел {3,4,5,6,…} на 3. A={0,1,2,0,1,2,0,1,2,0,…}. Это множество содержит всего три элемента: 0, 1, 2. Поэтому его можно записать в виде A={0,1,2}. Аналогично множество D={a,b,b,b,a} можно записать как D={a,b}.

     Пример. Пусть задано множество , тогда .

     Пример. Пусть B - множество всех видов шахматных фигур, а С - множество всех шахматных фигур, участвующих в одной игре. Тогда (пешка, ладья, слон, конь, ферзь, король), а (16 белых и 16 черных).

- 2. .


Практическая работа № 2. Равенство множеств. 

Подмножество. Надмножество

Вопросы к работе

  1. Какие множества называют равными?

  2. Когда два конечных множества будут равными?

  3. Когда множество А называется подмножеством множества В? Как множество В в этом случае называется по отношению к множеству А?

  4. Какие подмножества множества А называются тривиальными?

  5. Что такое “длина множества”?

  6. Сколько подмножеств можно создать для множества длины n?

Образцы решения заданий

Пример 1. Пусть А – множество двузначных натуральных чисел, В – множество четных двузначных чисел. Верно ли, что В есть подмножество множества А? 

Ответ: Каждое четное двузначное число содержится в множестве А. Следовательно, В  А.

Пример 2. Пусть А = {1; 2; 3}, В = {x | x  N , х < 4}. Верно ли, что  А = В.

Ответ. Множество В состоит из натуральных чисел, меньших 4. Каждый элемент из А входит в В. Следовательно,  А  В. Но натуральных чисел, меньших 4, кроме чисел 1,2,3, нет. Следовательно, каждый элемент из В входит в А. Значит, В  А. По определению, А = В.

Пример. 3. Дано множество А четных натуральных чисел и множество В натуральных чисел, кратных 4. В каком отношении включения находятся множества А и В? Ответ проиллюстрировать диаграммой Эйлера-Венна. 

Решение. Каждое натуральное число, кратное 4, является четным числом. Значит, B  А. Но не каждое четное число обязано делится на 4. Например, 6 не делится 4, т.е. А  В. Имеем диаграмму:  

  

                                     

1. Найдите все подмножества множества А = {1; 2;  3; 4}.

2. Установите, в каком отношении включения находятся множества А и В. Ответ проиллюстрируйте с помощью диаграммы Эйлера-Венна:

а)  А – множество натуральных четных чисел,

     В – множество натуральных чисел, кратных 7;

б)  А – множество натуральных четных чисел,

     В – множество натуральных нечетных чисел.

3. Дано множество А = {72; 56; 513; 117; 324}. Составьте подмножества множества А, состоящие из чисел, которые:

а) делятся на 4;

б) делятся на 9;

в) делятся на 5;

г) делятся на 10.

4. Установите, в каком отношении включения находятся множества решений неравенств от одного неизвестного x:

а) х  <  12  и  х  < 10;

б) х  <  12  и   x  > 15;

 в) x  <  12  и  x  > 10;        

 г)  x  < 12 и  –3x  >  – 36.

5. Изобразите с помощью диаграмм Эйлера-Венна отношение включения между множествами А и В, если:

а) А – множество натуральных четных чисел,

    В – множество натуральных чисел, кратных 3;

б) А – множество квадратов,

    В – множество прямоугольников;

в) А – множество квадратов,

    В – множество прямоугольных треугольников;

г) А – множество квадратов,

    В – множество прямоугольников с равными сторонами.

6. Приведите примеры множеств X,Y,Z,  чтобы отношение включения между ними были такими, как на диаграммах  а), б), с).

                     

                                       Индивидуальноее задание

  1. Даны пары множеств А и В. Укажите отношение включения между ними.

1)  А – множество городов северного полушария,

В – множество городов, находящихся в Азии;

2)  А – множество городов Российской Федерации,

В – Москва, Новосибирск, Владивосток, Мурманск, Грозный, Сочи, Барнаул.      

3)  А – множество городов Франции,

     В – множество городов Европы;

4)  А – множество рек Татарстана,

     В – множество рек Поволжья;

5)  А – множество озер Смоленщины,

     В – множество водоемов Смоленской области;

6)  А – множество административных центров Мордовии,

      В – множество городов Поволжья. 

7)   А – множество рек Сибири,

       В – множество рек СНГ;

8)   А – множество озер Канады,

       В – множество озер Северного полушария;

9)   А – множество городов Африки,

      В – множество населенных пунктов Южного полушария;

10)  А – множество городов Японии,

       В – множество городов Северного полушария;

  1. Среди следующих пар множеств найдите пары равных множеств:
  1. X = {3; 5; 7; 9},

Y – множество нечетных натуральных чисел, больших 2, но меньших 10;

  1. X = {4; 6; 8},

Y – множество четных натуральных чисел, больших 1, но меньших 9;

3)  X –  множество плоских четырехугольников,

Y – множество плоских фигур, ограниченных замкнутой ломаной из  четырех отрезков;

4)  X –   множество двузначных чисел, кратных 9,

Y – множество двузначных чисел, сумма цифр которых равна 9;

5)  X – множество сумм двух нечетных натуральных чисел,

Y – множество четных натуральных чисел;

6)   X –  множество точек плоскости, равноудаленных от точек М и К,

Y – множество точек прямой, проходящей через середину отрезка МК  перпендикулярно этому отрезку;

7) X – множество точек, лежащих на окружности с центром C и радиусом  5,

Y – множество точек, расстояние которых от точки  C равно 5;

8) X – множество точек, лежащих внутри круга, ограниченных   окружностью с центром C и радиуса 5,

Y – множество точек, расстояние которых от точки C меньше, чем 5;

9)   X – множество точек, лежащих вне круга, ограниченного окружностью с центром C и радиуса 5,

Y – множество точек, расстояние которых от точки C больше, чем 5;

10)  X – множество натуральных чисел, кратных 10,

Y – множество натуральных чисел, кратных 2 и 5 одновременно.

Задания для самоконтроля

1. Верно ли, что

а) {1; 2}  {{1; 2; 3}; {1; 3}; 1; 2};

б) {1; 2}  {{1; 2; 3}; {1; 3}; 1; 2};

в) {1; 3}  {{1; 2; 3}; {1; 3}; 1; 2};

г) {1; 3}  {{1; 2; 3}; {1; 3}; 1; 2}?

2. Равны ли следующие множества:

а) A = {2; 4; 6}, B = {6; 4; 2};

б) A = {1; 2; 3}, B = {I; II; III};

в) A = {{1; 2}, {2; 3}}, B = {2; 3; 1};

г) A = {, , , }, B = {12, 22, 32, 42}, где A  N, B  N.

3. Существуют ли такое множество, которое имеет 80 подмножеств?

4. Изобразите диаграмму Эйлера-Венна взаимодействия множеств N, Z, Q, R.

5. В чем ошибочность следующих формулировок:

а) Если элементы множества А принадлежат другому множеству В, то множество А включается в множество В;

б)  Если два множества содержат одни и те же элементы, то они равны.

Как исправить эти формулировки?

Математика. Множества. Равные множества. Подмножества. Объединение множеств.

Над множествами, как и над многими другими математическими объектами, можно совершать различные операции, которые иногда называют теоретико-множественными операциями или сет-операциями. В результате операций из исходных множеств получаются новые. Множества обозначаются заглавными латинскими буквами, а их элементы – строчными. Запись aR означает, что элемент а принадлежит множеству R , то есть а является элементом множества R . В противном случае, когда а не принадлежит множеству R , пишут aR .

Два множества А и В называются равными ( А = В ), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества Аявляется элементом множества В и наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А .

Сравнение множеств.

Множество A содержится во множестве B (множество B включает множество A), если каждый элемент A есть элемент В:

Говорят, что множество А содержится в множестве В или множество Аявляется подмножеством множества В ( в этом случае пишут А В ), если каждый элемент множества А одновременно является элементом множества В . Эта зависимость между множествами называется включением. Для любого множества А имеют место включения: ØА и А  А

В этом случае A называется подмножеством BB — надмножеством A. Если  , то A называется собственным подмножеством В. Заметим, что ,

По определению  ,

Два множества называются равными, если они являются подмножествами друг друга

Операции над множествами

Пересечение.

Объединение.

Свойства.

1.Операция объединения множеств коммутативна

2.Операция объединения множеств транзитивна

3. Пустое множество X является нейтральным элементом операции объединения множеств

Примеры:

1. Пусть A = {1,2,3,4},B = {3,4,5,6,7}. Тогда 

2. А={2,4,6,8,10}, В = {3,6,9,12}. Найдём объединение и пересечение этих множеств:

 {2,4,6,8, 10,3,6,9,12}, = {6}.

3. Множество детей является подмножеством всего населения

4. Пересечением множества целых чисел с множеством положительных чисел является множество натуральных чисел.

5. Объединением множества рациональных чисел с множеством иррациональных чисел является множество положительных чисел.

6.Нуль является дополнением множества натуральных чисел относительно множества неотрицательных целых чисел.

Диаграммы Венна (Venn diagrams) — общее название целого ряда методов визуализации и способов графической иллюстрации, широко используемых в различных областях науки и математики: теория множеств, собственно «диаграмма Венна» показывает все возможные отношения между множествами или событиями из некоторого семейства; разновидностями диаграмм Венна служат: диаграммы Эйлера,

Диаграмма Венна четырёх множеств.

Собственно «диаграмма Венна» показывает все возможные отношения между множествами или событиями из некоторого семейства. Обычная диаграмма Венна имеет три множества. Сам Венн пытался найти изящный способ с симметричными фигурами, представляющий на диаграмме большее число множеств, но он смог это сделать только для четырех множеств (см. рисунок справа), используя эллипсы.

 

Диаграммы Эйлера

Диаграммы Эйлера аналогичны диаграммам Венна.Диаграммы Эйлера можно использовать, для того, чтобы оценивать правдоподобность теоретико-множественных тождеств.

Задача 1. В классе 30 человек, каждый из которых поёт или танцует. Известно, что поют 17 человек, а танцевать умеют 19 человек. Сколько человек поёт и танцует одновременно?

Решение: Сначала заметим, что из 30 человек не умеют петь 30 - 17 = 13 человек.

 

Все они умеют танцевать, т.к. по условию каждый ученик класса поёт или танцует. Всего умеют танцевать 19 человек, из них 13 не умеют петь, значит, танцевать и петь одновременно умеют 19-13 = 6 человек.

ПМ-ПУ :: Атаева Надежда Николаевна :: Фрактальные множества

Атаева Надежда


Оглавление

Комплексные числа

Во множестве натуральных чисел всегда выполнимы только сложение и умножение. Вычитание уже может приводить к числам отрицательным, а деление - к дробным.

Во множестве рациональных чисел всегда выполнимы все четыре действия арифметики, но действие извлечения корня не всегда возможно.

Во множестве вещественных (действительных) чисел извлечение корня возможно за исключением извлечения корней четной степени из отрицательных чисел.

Во множестве комплексных (мнимых) чисел всегда выполнимы все четыре действия арифметики (с сохранением всех аксиом), а также извлечение корня любой степени из любого комплексного числа. В результате выполнения этих действий над комплексными числами снова получаем комплексные числа. Кроме того, целый ряд задач, которые во множестве вещественных чисел оказывались неразрешимыми, получили простое и естественное объяснение во множестве чисел комплексных. Например, во множестве алгебраическое уравнение n-ой степени всегда имеет в точности n корней (с учетом их кратности), в то время как во множестве чисел вещественных оно может иметь и меньшее число корней (и даже не иметь их вовсе). Во множестве комплексных чисел существует логарифм от отрицательных чисел, функции синус и косинус могут принимать любые значения (в том числе и большие единицы), и т.д.

Комплексное число представляется в виде суммы , где  и  - вещественные числа. При этом называется вещественной частью, а  - мнимой частью комплексного числа: (сокращение от real и imaginary). Число (такое обозначение придумал Эйлер в XVIII веке) называется мнимой единицей, для него вводится правило умножения

Два комплексных числа называются равными, если равны их вещественные и мнимые части:

Комплексное число вида считается равным вещественному числу . Таким образом, множество комплексных чисел включает в себя множество вещественных. Для геометрической интерпретации комплексного числа, напомним, что всякое вещественное число графически можно изобразить либо отрезком, отложенным на данной прямой, либо точкой на этой прямой, если начала всех отрезков помещать в начало координат. Теперь если рассмотреть плоскость XOY с прямоугольной системой координат и договориться вещественные числа откладывать по оси OX, а числа вида - по оси OY, то каждой точке плоскости будет однозначно соответствовать комплексное число . В этой терминологии плоскость XOY называется комплексной плоскостью, прямая OX - ее вещественной осью, а OY - ее мнимой осью.

Можно также считать комплексное число вектором, с началом в начале координат и с концом - в точке . Вспомним, что тот же вектор можно задать не только прямоугольными координатами и , но и полярными координатами: длиной вектора и углом, который вектор образует с положительным направлением оси OX:

Следовательно, имеем

и соответствующее комплексное число можно представить в, так называемой, тригонометрической форме:

Здесь называется модулем комплексного числа, а  - его аргументом: .

Алгебраические действия над комплексными числами

Сложение комплексных чисел выполняется по правилу:

Вычитание комплексных чисел. Сложение допускает обратную операцию: для любых двух комплексных чисел и  всегда можно найти такое число , что . Таким образом,

Видим, что обе операции совершенно аналогичны действиям с векторами. Однако на следующей операции аналогия заканчивается.

Умножение комплексных чисел. Приняв во внимание, что , и группируя действительные и мнимые части, находим

Тот же результат можно представить и в тригонометрической форме: если

то

(при умножении комплексных чисел перемножаются их модули и складываютсяаргументы).

Деление комплексных чисел определяется как действие, обратное умножению: если и , то частное от деления z1 на z2 есть число, удовлетворяющее равенству :

Возведение в степень комплексного числа, т.е. вычисление также может быть выполнено двумя способами. С одной стороны, можно раз воспользоваться формулой умножения (формулой бинома Ньютона)

Здесь означает биномиальный коэффициент: . С другой стороны, вспомнив правило умножения чисел в тригонометрической форме, можно получить формулу Муавра:

Извлечение корня из комплексного числа или вычисление числа такого, что  может быть произведено с использованием формулы Муавра

Здесь параметр может пробегать любые целые значения, но реально последняя формула содержит только различных значений для ; они соответствуют . На комплексной плоскости все эти значения расположены на окружности радиуса с центром в начале координат и они делят эту окружность на  равных дуг.

Графики функций комплексного переменного

График вещественной функции можно изобразить в двумерном (2D) пространстве, на плоскости XOY. Это многим знакомо и привычно:

График же комплексной функции можно было бы построить в четырехмерном (4D) пространстве (две координаты нужны для изображения , и две - для ).

К сожалению, подавляющее большинство людей сталкивается с серьезными проблемами при воображении четырехмерного пространства... Поэтому, одно из ухищрений, обычно применяемое, заключается в следующем: график строится в трехмерном (3D) пространстве. Ось OX отвечает за , ось OY - за , ось OZ - за . Для изображения используется цвет получаемой 3D-точки. Цвет берется из заранее сформированной цветовой шкалы (градиента). Вот несколько примеров для :

Для наглядности под получившейся изображено множество значений (). Примеры функций вынесены на отдельную страницу.

Множества Жюлиа и Мандельброта

Обозначим через плоскость комплексных чисел, а через - риманову сферу . Рассмотрим процесс , где  и . Выбрав произвольное число , возведем его в квадрат и прибавим константу для того, чтобы получить ; затем повторим вычисления для того, чтобы получить , , и т.д.

Давайте начнем с простейшего из возможных значений константы , а именно . Тогда при каждой итерации вычисляется точный квадрат числа: . В зависимости от значения имеются три возможности:

  1. Если , то числа получаются все меньшими и меньшими, их последовательность приближается к нулю.
  2. Если , то числа получаются все большими и большими, стремясь к бесконечности.
  3. Если , то точки продолжают оставаться на расстоянии 1 от нуля. Их последовательности лежат на границе двух областей притяжения, в данном случае на окружности единичного радиуса с центром в нуле.

Ситуация ясна: плоскость делится на две зоны влияния, а границей между ними является просто окружность.

Сюрпризы начинаются, когда мы выберем ненулевое значение параметра , например, Здесь для последовательности имеются также три вышеперечисленные возможности, но внутренняя точка, к которой стремится последовательность, уже не является нулем, а граница уже не является гладкой, она сильно изломана. Именно это Б. Мандельброт назвал фрактальной структурой такой границы.

Одной из характерных особенностей такой границы является ее самоподобие. Если взять любую часть границы, то можно обнаружить, что она встречается в разных местах границы и имеет разные размеры. Границы такого рода в математике называют множествами Жюлиа.

Различные значения параметра могут порождать разнообразные множества Жюлиа, причем малейшее изменение этого параметра нередко приводит к существенным метаморфозам. Некоторые множества Жюлиа связны, другие представляют собой канторовы множества.

Существует правило, определяющее вид множества Жюлиа. Оно зависит от параметра и связано с изображением множества Мандельброта. Множество всех точек , для которых итерации остаются ограниченными при , называется множеством Мандельброта.

Интересно, что все значения , при которых множества Жюлиа связны, принадлежат множеству Мандельброта, поэтому последнее может быть определено и как множество всех значений параметра , при которых множество Жюлиа связно.


Алгоритм построения множества Жюлиа

Шаг 0:

Выбрать параметр

Выбрать число M, которое считается бесконечно большим.

Положить , где  - разрешающая способность экрана.

Для всех пар , где  и  выполнить следующую процедуру:

Шаг 1:

Положить

Шаг 2 (итерация):

Вычислить по , используя формулы

Увеличить счетчик k на 1.

Шаг 3 (оценка):

Вычислить .

Если , то выбрать цвет k и идти дальше на Шаг 4.

Если , то выбрать цвет 0 (черный) и идти на Шаг 4.

Если , вернуться на Шаг 2.

Шаг 4:

Приписать цвет k точке экрана и перейти к следующей точке, начиная с Шаг 1.


Алгоритм построения множества Мандельброта

Шаг 0:

Выбрать

Выбрать число M, которое считается бесконечно большим. Например, M=100.

Положить .

Для всех пар , где  и  выполнить следующую процедуру:

Шаг 1:

Положить

Шаг 2 (итерация):

Вычислить , используя формулы

Увеличить счетчик k на 1.

Шаг 3 (оценка):

Вычислить .

Если , то выбрать цвет k и идти дальше на Шаг 4.

Если , то выбрать цвет 0 (черный) и идти на Шаг 4.

Если , вернуться на Шаг 2.

Шаг 4:

Приписать цвет k точке экрана и перейти к следующей точке, начиная с Шаг 1.


Визуализация фрактальных множеств: примеры Дмитрия Абрамова

Литература

  1. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. Москва - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002, 656 с.
  2. Милнор Дж. Голоморфная динамика. Ижевск: НИЦ , 2000, 320 с.
  3. Морозов А. Д. Введение в теорию фракталов. Москва - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002, 162 с.
  4. Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. Образы комплексных систем. М.: Мир, 1993, 176 с.
  5. Фукс Б. А., Шабат Б. В. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения. Москва, 1959, 376 с.
  6. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Ижевск: РХД, 2001, 526 с.

Множество и его элементы. подмножество. пустое множество.

Понятие множества – одно из основных понятий математики. Под множеством понимают совокупность объектов (предметов или понятий), которая рассматривается как единое целое. Например, можно говорить о множестве натуральных чисел, о множестве букв на данной странице, о множестве корней данного уравнения и т. п. Понятие множества принимается как исходное, первичное, т. е. несводимое к другим понятиям. Объекты, входящие в состав множества, называются его элементами. Обычно множества обозначаются большими печатными буквами английского алфавита, например, множество А; а его элементы маленькими прописными буквами, например, элемент а.

Запись означает, что элемент а принадлежит множеству А. Запись — наоборот, Что элемент а множеству А не принадлежит. Знак называют знаком принадлежности.

Определение 1. Два множества А и В называются равными и пишут А=В, если множества А и В содержат одни и те же элементы.

Например: {2, 4, 6} = {4, 2, 6} – равные множества.

Определение 2. Множество называется непустым, если содержит хотя бы один элемент.

Определение 3. Множество А является подмножеством множества В, если каждый элемент множества А принадлежит множеству В.

В этом случае пишут , знак называют знаком включения.

Например: {2, 4,} {4, 2, 6}

Рассмотрим свойства отношения включения.

рефлексивно, т.е любое множество является подмножеством самому себе.

транзитивно, т. е. для любых множеств А, В и С, если множество А является подмножеством множества В и множество В является подмножеством множества С, то из этого следует, что множество А является подмножеством множества С.

антисимметрично, т. е. для любых множеств А и В следует, что, если множество А является подмножеством множества В и в то же время множество В является подмножеством множества А, то множества А и В равны.

Определение 4. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустыммножеством.

Пустое множество обозначают

Пустое множество является подмножеством любого множества.

Определение 5. Множество всех подмножеств множества A называется множеством-степенью и обозначается P(A).

В дальнейшем будем пользоваться следующим утверждением:

Утверждение 1. Число всех подмножеств конечного множества равно 2n.

Пример. Выделим все подмножества множества А ={2, 4, 6}.

Р(А)={2, 4, 6}, {2, 4}, {4, 6}, {2, 6}, {2}, {4 }, {6}, — всего 23=8.

Операции над множествами

Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из тех элементов, которые принадлежат одному из множеств А или В.

Для обозначения объединения множеств используют знак .

Пример. , ,

Пересечением множеств А и В называются такое множество, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.

Для обозначения пересечения множеств используют знак .

Пример. , ,

Разностью множеств А и В называется множество, элементы которого являются элементами множества А, не принадлежащие множеству В.

Для обозначения разности множеств используют знак /.

Пример. , ,

Перечислим основные свойства операций над множествами:

1) идемпотентность объединения

2) идемпотентность пересечения

3) коммутативность объединения

4) коммутативность пересечения

5) ассоциативность объединения

6) ассоциативность пересечения

7) дистрибутивность объединения относительно пересечения

8) дистрибутивность пересечения относительно объединения

Универсальное множество. Дополнение множества.

Во многих приложениях теории множеств рассматриваются только такие множества, которые содержатся в некотором фиксированном множестве. Например, в геометрии мы имеем дело с множеством точек данного пространства, в арифметике – с множеством целых чисел. Такое фиксированное множество называют универсальным.Для его обозначения используют букву U.

Определение 6. Множество U/А называется дополнением множества А и обозначается (или ).

Дополнение U/ множества обозначается

Справедливы следующие формулы:

=

— закон инволюции.

Теорема. Если множество А является подмножеством множества В, то дополнение множества А будет являться подмножеством дополнения множества В.

Доказательство.

Пусть множество А является подмножеством множества В, , необходимо доказать, что для каждого элемента х из универсального множества U выполняется следующее условие: если элемент х принадлежит множеству , то он принадлежит и множеству .

.

Действительно, если х принадлежит множеству , то он не принадлежит множеству В, а т. к. множество А является подмножеством множества В, то элемент х не принадлежит и множеству А, а это означает его принадлежность множеству .

Теорема. Имеют место следующие тождества

— Законы де Моргана для множеств

Приведем краткое доказательство первого утверждения.

Второе утверждение докажите самостоятельно.

Диаграммы Эйлера-Венна.

Для графического изображения множеств и их свойств используются так называемые диаграммы Эйлера-Венна.

Объединение множеств Пересечение множеств

Разность множеств Подмножество

Универсальное множество Дополнение

Понятие множества. Элементы множества. Пустое множество. Принадлежность элементов.


Простая и сложная математика – аналитический портал ПОЛИТ.РУ

 

Партнер проекта

3 октября в рамках проекта «Публичные лекции Полит.ру» состоялось выступление Леона Арменовича Тахтаджяна – доктора физико-математических наук, профессора математического факультета университета Стони Брук штата Нью-Йорк, США, ведущего научного сотрудника Международного математического института имени Л. Эйлера в Санкт-Петербурге. Его лекция называлась «Математика как форма существования».

В своем рассказе Леон Тахтаджян продемонстрировал как многие понятия, знакомые нам по каждодневной жизни и кажущиеся простыми и понятными: число, форма, размер — при более внимательном анализе демонстрируют нам неожиданную сложность. Объем краткого вступительного очерка не позволяет нам описать целиком даже отдельный раздел лекции. Поэтому мы, учитывая, что лекция всё-таки была рассчитана на восприятие более или менее подготовленных слушателей, решили немного облегчить задачу тех, кто знаком с математикой мало. Для этого на уровне ликбеза мы рассмотрим лишь одну математическую проблему, упомянутую лектором — континуум-гипотезу в теории множеств. Читатели, получившие математическое образование, могут смело переходить сразу к видеозаписи лекции Леона Арменовича.

Рассуждать о сравнении множеств удобно на примере театра. Представим себе, что в ProScience Театр приходят зрители и рассаживаются в креслах. Глядя на это глазами математика, можно сказать, что устанавливается соответствие между множеством зрителей и множеством кресел. Что же мы видим? Ни один человек не сидит сразу на двух креслах (математик скажет, что такое соответствие двух множеств функционально). Нет ни одного кресла, где ютились бы сразу двое (математик назовет такое соответствие инъективным). Пустых кресел не осталось (такое соответствие зовется сюръективным). И все пришедшие люди смогли сесть (значит, соответствие является всюду определенным). Если соответствие функционально, инъективно, сюръективно и всюдуопределено, его называют взаимно-однозначным соответствием. Установив взаимно-однозначное соответствие между множеством пришедших зрителей и множеством кресел, мы узнали, что в этих множествах одинаковое число элементов. Математики в таких случаях также говорят, что мощности этих множеств равны или что данные множества эквивалентны.

Пока что эти рассуждения кажутся очевидными. Посмотрим, что будет дальше. Представьте, что ProScience Театр стал настольно популярен, что для него построили новое здание, где в зрительном зале бесконечное число кресел. На выступление известного ученого пришло бесконечное число зрителей. Первый зритель сел в кресло номер один, второй – в кресло номер два, n-й – в кресло номер n и так далее. Вновь установилось взаимно-однозначное соответствие. На следующий день в театре состоялось другое выступление, в котором лектор-физик положил перед началом спектакля на кресло номер один маленькую модель Большого адронного коллайдера. Пришел первый зритель, увидел, что кресло занято, и сел в кресло номер два. Второй – в кресло номер три, третий – в кресло номер четыре, n-й – в кресло номер n+1 и так далее. Администрация театра удивлена: свободных кресел было на одно меньше, в всем зрителям хватило место.

Но однажды случилась накладка. На одно и то же время в ProScience Театр по ошибке назначили два выступления. И на каждое купило билеты бесконечное число зрителей. Пришли зрители, заняли все кресла. И тут приходит еще столько же зрителей. Куда их сажать? Администрация театра, уже знакомая с неожиданными свойствами бесконечного зрительного зала нашла выход. Обратившись к первой бесконечной группе зрителей, директор театра попросил их сесть через одного на кресла с четными номерами. Первое кресло пустует, первый зритель сел во второе кресло, третье кресло осталось пустым, второй зритель – в третье кресло, третий – в пятое, n-й – в кресло номер 2n. Все расселись. Тогда директор предложил занять места бесконечному числу зрителей, пришедших позднее. Они уселись на нечетных креслах: первом, третьем, пятом… И всем хватило мест! Выходит, в бесконечном зрительном зале мест в два раза больше, чем мы думали?

Мы смогли установить взаимно-однозначное соответствие между множеством натуральных чисел (зрителями) и множеством четных или нечетных чисел (креслами). Каким бы парадоксальным это не казалось, эти множества эквивалентны. Более того, множеству натуральных чисел эквивалентно любое его бесконечное подмножество: все числа, делящиеся на 43; все числа, заканчивающиеся на 0, простые числа, числа Фибоначчи и так далее. Ведь любое из этих множеств мы можем представить в виде последовательности элементов и перенумеровать эти элементы натуральными числами. Аристотель когда-то писал, что целое больше части. Как мы видим, в случае с бесконечными множествами это не так.

Может быть, множество целых (положительных и отрицательных) чисел имеет большую мощность, чем множество натуральных? Нет, оказывается, что и эта пара множеств эквивалентна. Взаимно-однозначное соответствие устанавливается просто:

0 — 1, 1 — 2, -1 — 3, 2 — 4, -2 — 5, 3 — 6, -3 — 7 и так далее.

Тогда, может быть, все бесконечные множества эквивалентны друг другу? Ответ на этот вопрос нашел немецкий математик Георг Кантор. Именно он создал теорию множеств, им введен термин «взаимно-однозначное соответствие». Ему удалось и доказать, что мощность множества действительных чисел больше, чем мощность натуральных. Доказательство это известно под названием канторовский диагональный процесс.

Рассмотрим действительные числа, расположенные на числовой оси между нулем и единицей. Предположим, что их множество эквивалентно множеству натуральных чисел, то есть все их можно перенумеровать: а1, а2, а3, а4..., аn, … Любое действительное число можно записать в виде бесконечной десятичной дроби. Если эта дробь конечна, то с какого-то момента все последующие знаки в нем будут нулями. Запишем наши числа в виде десятичных дробей:

а1 = 0,00132277...

а2 = 0,90367515...

а3 = 0,21597404...

а4 = 0,09708352... и так далее.

Обратите внимание на подчеркнутые цифры. Они стоят по диагонали: первая цифра после запятой у а1, вторая — у а2 и так далее. С их помощью составим новую бесконечную десятичную дробь. Причем поступим так: если у числа аn на n-ом месте стоит ноль, в новой дроби на n-ом месте поставим единицу, во всех остальных случаях на n-ом месте ставим ноль. В итоге наша дробь будет выглядеть так: 0,1101... Получившаяся дробь не будет совпадать ни с одной из имеющихся среди а1,..., аn,… С а1 у нее будет отличаться первый знак после запятой, с а2 — второй и так далее. Мы считали, что записали в последовательности все числа между 0 и 1, однако новой дроби среди них не оказалось. Значит, мы пришли к противоречию, следовательно, утверждение, что множество чисел на отрезке от 0 до 1 эквивалентно множеству натуральных чисел неверно. Понятно, что множество действительных числе также не эквивалентно натуральным.

Затем Кантор доказал другую теорему: о том, что любое множество менее мощно, чем множество всех его подмножеств. Множества, эквивалентные множеству натуральных чисел, стали называть счетными множествами. Мощность множества действительных числе называется континуум. Как мы видим, в сторону увеличения мощность множеств может расти бесконечно: для каждого множества есть более мощное множество всех его подмножеств. Счетные же множества — самые «маленькие» из бесконечных множеств.

Тут мы и подошли к проблеме, которой заинтересовался и Георг Кантор: существуют ли множества, мощность которых больше, чем у счетных, но меньше, чем у множества действительных чисел. Это проблема получила название континуум-гипотезы. Доказать, что «промежуточных» мощностей между счетным множеством и континуумом нет, Георг Кантор так и не смог. Лишь в 1940 году Курт Гёдель доказал, что отрицание континуум-гипотезы недоказуемо в системе аксиом теории множеств, а в 1963 году американский математик Пол Коэн доказал, что и континуум-гипотеза также недоказуема в этой системе аксиом. Можно принять ее или ее отрицание как еще одну аксиому, что порождает два разных варианта теории множеств.

Равные и эквивалентные наборы - определение, объяснение, примеры и часто задаваемые вопросы

Чтобы понять значение «Равный набор», равный набор определяется как два набора, имеющие одинаковые элементы. Два набора A и B могут быть равны только при условии, что каждый элемент набора A также является элементом набора B. Кроме того, если два набора оказываются подмножествами друг друга, то они указываются как равные наборы.

(Изображение будет добавлено в ближайшее время)

Равные множества

Равные множества могут быть представлены как:

P = Q

P ⊂ Q и Q ⊂ P ⟺ P равно Q

Следует отметить, что если описанное выше условие не выполняется, то набор считается неравным.

Неравные множества представлены как

P ≠ Q

Определить эквивалентные множества

Эквивалентные множества, означающие в математике, содержат два определения.

Эквивалентных множеств Определение 1 - Предположим, что два набора A и B имеют одинаковую мощность, тогда существует целевая функция от множества A до B.

Эквивалентных множеств Определение 2 - Предположим, что указаны два набора A и B. быть эквивалентными, только если они имеют одинаковую мощность, то есть n (A) = n (B).

Таким образом, чтобы оставаться или быть эквивалентными, множества должны иметь одинаковую мощность. Это условие означает, что между элементами, принадлежащими обоим множествам, должно быть однозначное соответствие. В этом контексте условие «один к одному» подразумевает, что для каждого элемента в множестве A существует элемент в множестве B, пока и множество A, и множество B не будут исчерпаны.

Таким образом, в целом можно констатировать, что два набора остаются эквивалентными друг другу, если только количество элементов в обоих наборах остается равным.Наборы не обязательно должны содержать одни и те же элементы, иначе они останутся подмножеством друг друга.

(Изображение будет добавлено в ближайшее время)

Эквивалентные наборы

Примеры равных и эквивалентных множеств

Пример равных множеств

Давайте разберемся, равные множества на примере,

Если M = {1, 3, 9, 5, - 7} и N = {5, −7, 3, 1, 9,}, то можно сказать, что M = N. Следует отметить, что независимо от того, сколько раз элемент повторяется в конкретном наборе, элемент засчитывается только один раз.Также следует отметить, что порядок элементов в конкретном наборе не имеет значения. Следовательно, в терминах кардинального числа равные множества могут быть заявлены так:

Если P = Q, то n (P) = n (Q) и для любого x ∈ P, x ∈ Q тоже.

Пример эквивалентного множества

Если S = ​​{x: x, где x указано как положительное целое число} и T = {d: d, где x считается натуральным числом}, то S определяется как эквивалент T.

Таким образом, можно сказать, что эквивалентный набор - это просто набор с равным числом элементов.Однако в наборах не обязательно должны быть одни и те же элементы, но они должны содержать одинаковое количество элементов.

Давайте разберемся с эквивалентными наборами на примерах

  1. Если A = {1, −7,200011000,55} и B = {1,2,3,4}, то A эквивалентно B.

  2. Если Набор G: {Свитер, Рукавицы, Шарф, Куртка} и Набор H: {Яблоки, Бананы, Персики, Виноград}, можно отметить, что Набор G и Набор H содержат элементы слов в разных категориях и имеют одинаковое количество элементов. я.е. четыре.

Важные моменты, которые следует помнить об эквивалентных наборах

  • Все нулевые наборы считаются эквивалентными друг другу.

  • Не все бесконечные множества остаются эквивалентными друг другу. Например, эквивалентный набор всех действительных чисел и эквивалентный набор целых чисел.

  • Если P и Q указаны как два набора, так что P равно Q, то есть (P = Q). Этот пример означает, что два равных набора всегда будут оставаться эквивалентными, но обратное эквивалентному набору может оставаться верным, а может и не оставаться.

  • Равный набор может быть эквивалентным набором, но не обязательно, чтобы эквивалентный набор был равным набором.

Основы набора

Основы набора

Набор

Основы набора

Предметы для изучения

  • равенство наборов
  • подмножество, собственное подмножество
  • пустой набор
  • универсальный набор
  • силовой агрегат

Содержание

Определение (равенство наборов): Два набора - равно тогда и только тогда, когда у них одинаковые элементы.
Формально для любых наборов A и B , A = B тогда и только тогда, когда х [ x А х B ].

Таким образом, например, { 1, 2, 3 } = { 3, 2, 1 } , то есть порядок элементов не имеет значения, и { 1, 2, 3 } = { 3, 2, 1, 1 } , то есть дублирование не не имеет значения для наборов.

Определение (подмножество): Набор A является подмножество набора B тогда и только тогда, когда все в A также в B .
Формально для любых наборов A и B , A - это подмножество из B и обозначается А B , если и только если х [ x А х B ].
Если А Б , г. и А Б , г. тогда A называется собственное подмножество из B и обозначается А В .

Например { 1, 2 } { 3, 2, 1 }.
Также { 1, 2 } { 3, 2, 1 }.

Определение (мощность): Если набор S имеет n отдельные элементы для некоторого натурального числа n , n - это мощность (размер) из S и S является конечным множеством .Мощность S обозначается | S | .

Например, количество элементов набора { 3, 1, 2 } равно 3 .

Определение (пустой набор): Набор, не имеющий элементов, называется пустой набор.
Более формально, пустой набор , обозначенный , г. - это набор, удовлетворяющий следующему:
х х ,
где означает «не входит» или «не является членом».

Обратите внимание, что и {} - разные наборы. {} в нем есть один элемент. Так {} не пусто. Но в нем ничего нет.

Определение (универсальный набор): Набор, в котором есть все элементы вселенная дискурса называется универсальный набор.
Более формально универсальный набор , обозначаемый U , - это набор, удовлетворяющий следующему:
х х U.

Три отношения подмножества, включающие пустой набор и универсальный набор, перечислены ниже. как теоремы без доказательства.Их доказательства найдены в другом месте.

Обратите внимание на , что набор A в следующих четырех теоремах произвольный. Таким образом, A может быть пустым набором или универсальным набором.

Теорема 1: Для произвольного набора A А У .

Теорема 2: Для произвольного набора A А .

Теорема 3: Для произвольного набора A А А .

Определение (набор мощности): Набор всех подмножеств набора A называется набором мощности из A и обозначается 2 A или ( А ).

Например, для A = { 1, 2 } , ( A ) знак равно , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}.

Для B = {{ 1, 2 }, {{ 1 }, 2}, }, ( B ) знак равно , {{ 1, 2 }}, {{{ 1 }, 2}}, {}, {{ 1, 2 }, {{ 1 }, 2}}, {{ 1, 2 }, }, {{{ 1 }, 2}, }, {{ 1, 2 }, {{ 1 }, 2}, }}.

Также () знак равно и ({}) знак равно {}}.

Теорема 4: Для произвольного набора A , количество подмножеств A равно 2 | A | .

Проверьте свое понимание основных концепций набора


Далее - Математические рассуждения

Вернуться к расписанию
Вернуться к содержанию

Equal Sets - Учебный материал для IIT JEE


Значение наборов

Набор различных объектов, имеющих какое-то общее свойство, называется набором .Это может быть что угодно, например числа, алфавиты изображений и т. Д. В наборе мы должны перечислить все объекты группы, а затем заключить их в фигурные скобки «{}» .

Что такое элементы набора?

Различные объекты набора называются элементами набора. Элементы и члены - это одно и то же. Обычно мы обозначаем набор заглавными буквами. Мы должны перечислить все объекты и разделить их запятой, а затем заключить их в фигурные скобки.

Пример 1

На картинке выше 3, 6 и 91 - это элементы набора, поэтому мы должны записать их в скобках. Здесь три точки означают, что нет. элементов не ограничены.

Пример 2

Здесь формы являются элементами набора, и набор обозначен заглавной буквой «B». А количество элементов набора B здесь 4. Представим его как n (B) = 4.

Определение равных множеств

Два заданных набора называются Равными наборами, если их количество элементов и состав элементов в точности совпадают. Это может быть что угодно, например числа, изображения, буквы и т. Д. Порядок элементов и их повторение здесь не имеют никакого значения.

Пример 1

Вот два набора фигур. Это равные наборы, потому что количество элементов одинаково и есть одинаковые элементы.

Пример 2

A = {5, 6, 7, 8}

B = {6, 8, 5, 7}

C = {5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8}

Здесь все три набора, набор A, набор B и набор C равны, так как их элементы одинаковы по несущественности порядка и повторения.

Равные множества по математике

Два набора X и Y называются равными наборами, если все элементы X присутствуют в Y, и все элементы Y присутствуют в X.Или вы можете сказать, что если оба набора являются подмножеством друг друга, то они равны.

X⊂Y и Y⊂X ⇔X = Y

X - это подмножество Y, а Y - подмножество X, это означает, что X равен Y.

Пример

Здесь все элементы A и B одинаковы, или мы можем сказать, что A - это подмножество B, а B - подмножество A, Итак, A = B

Но если это условие не выполняется, то наборы называются неравными.

Как в примере выше,

C⊂A, но A⊄C ⇔ A ≠ C

То есть, все элементы C присутствуют в A, но все элементы A отсутствуют в C, это означает, что A не равно C или A, а C - неравные множества.

Итак, , если все элементы двух данных наборов не одинаковы, они называются Неравными наборами .

Количество равных множеств

Мощность набора равна n (A) = x, где x представляет количество элементов набора A.

Как на картинке выше, мощность этого набора A равна 6, и набора B также 6.

п (А) = п (В) = 6

Итак, согласно количеству элементов или в количественном выражении, два набора называются равными наборами, если,

n (A) = n (B) и x A , x B также ,

Затем,

А = В

Обозначение равных множеств

Для представления равных множеств мы используем символ «=» i.е. равенство.

И для неравных наборов мы используем символ «≠» , т.е. не равно.

Как в примере выше,

A = B, т.е. набор A равен набору B

Но, A ≠ C, т.е. набор A не равен набору C.


Какое определение эквивалентных множеств в математике?

Два набора называются эквивалентными наборами , если количество элементов одинаково. Элементы не обязательно должны быть одинаковыми, просто количество элементов должно быть одинаковым.

Здесь все четыре набора являются эквивалентными наборами, поскольку количество элементов одинаково во всех четырех наборах треугольника, смайлика, звезды и сердца. Здесь n (T) = n (Sm) = n (St) = -n (H ) = 6.

Итак, наборы считаются эквивалентными, если их кадинальность такая же.

Поскольку все пустые множества имеют нулевую мощность, все пустые множества являются эквивалентными множествами.

Другое определение эквивалентных множеств состоит в том, что два множества эквивалентны, если существует взаимно однозначное соответствие внутри двух множеств.Биекция - это взаимно однозначное соответствие между двумя наборами. Это означает, что для каждого элемента в наборе X должен быть элемент в наборе Y, пока элементы не пройдут.

Пример

Биекция - это взаимно-однозначное соответствие между наборами

Здесь, на картинке выше, X и Z - эквивалентные множества, поскольку элементы не совпадают, но количество элементов одинаково. Для каждого элемента в множестве X также есть элемент в множестве Z.Но множества X и Y не эквивалентны, потому что для каждого элемента в Y нет элемента в X. В X есть 3 элемента и 4 элемента в Y.

Итак, два набора эквивалентны, если в них есть взаимное соответствие .

Обозначение комплектов эквивалентов

Для представления эквивалентных множеств мы используем эквивалентный знак или «~» или «≡»

Как в приведенном выше примере X ~ Z, т.е. Set X эквивалентен Set Z.

В чем разница между равными и эквивалентными наборами?

Разница между равными и эквивалентными наборами следующая:

No. Очки Равные наборы Наборы эквивалентов
1

Определение

Два набора равны, если все элементы обоих наборов одинаковы.

Два набора эквивалентны, если количество элементов в обоих наборах одинаково.

2

Количество элементов

То же в обоих наборах

То же в обоих наборах

3

Мощность

То же для обоих комплектов

То же для обоих комплектов

5

Элементы

Элементы должны быть одинаковыми

Элементы не должны совпадать

6

Символ

=

~ или

7

Отношение

Равные наборы также могут быть эквивалентными.

Эквивалентные наборы не могут быть равны.

8

Пример

A = {2,4,6,8}

B = {4,8,2,6}

А = В

X = {2, 4, 6, 8}

Y = {1,3,5,7}

X ~ Y

Связь между равными и эквивалентными наборами

Два набора равны, если они точно такие же i.е. их элементы и количество элементов одинаковы, без какого-либо отношения к порядку и повторению элементов.

И два набора эквивалентны, если их количество элементов одинаково. Элементы могут быть одинаковыми или разными, просто количество должно быть одинаковым.

Равные наборы также эквивалентны

Здесь, на картинке выше, оба набора равны, потому что все элементы одинаковы, а количество элементов также одинаково, поэтому они также эквивалентны.

Значит, все равные множества также эквивалентны.

Эквивалентные наборы могут не совпадать с наборами

Здесь X и Y - эквивалентные множества, поскольку их количество элементов одинаково, то есть 4, но это не равные множества, потому что элементы не совпадают.

Итак, все эквивалентные множества не равны.

Как определить наборы как равные или эквивалентные?

Как мы знаем, все наборы, которые имеют один и тот же элемент и одинаковое количество элементов, называются равными наборами, а наборы, имеющие одинаковое количество элементов, являются эквивалентными наборами.Таким образом, легко идентифицировать наборы как равные или эквивалентные наборы.

Давайте попробуем несколько примеров, чтобы определить равные и эквивалентные множества.

S.Np. Пример Аналог или эквивалент Почему?
1

A = {5,10,15,20}

Обе одинаковые и эквивалентные

Оба набора содержат одинаковые элементы, и порядок элементов не имеет значения.

B = {10,5,20,15}

2

C = {5, 10, 15, 20}

Аналогично, но не равно

В обоих наборах одинаковое количество элементов, но они разные.

D = {@, $, &, #}

3

E = {1,2,3,4,5}

Обе одинаковые и эквивалентные

Оба набора содержат одинаковые элементы, и повторение элементов не имеет значения.

F = {1,1,2,2,3,3,4,4,5,5}

4

G = {1,2,3,4}

Не равно и не эквивалентно

Оба набора имеют разное количество элементов, и элементы также не совсем одинаковы.

H = {1,2,3,4,5}

5

I = {A, B, C, D}

Аналогично, но не равно

Количество элементов в обоих наборах одинаковое.

J = вс, пн, вт, ср}

6

Аналогично, но не равно

Количество элементов в обоих наборах одинаковое.

Это показывает, что все равные множества также эквивалентны, но все эквивалентные множества не равны.

В чем разница между объединенными и непересекающимися наборами?

Комплекты шарниров

Два набора называются соединенными, если в них есть хотя бы один общий элемент.

Условно,

A∩B ≠ ∅ т.е. пересечение B не является пустым множеством.

Пример

A = {1, 2, 3, 4}

B = {2, 4, 6, 8}

A∩B = {2,4} ≠ ∅

Здесь A и B - это наборы шарниров, потому что в A и B есть два общих элемента.

Разъединенные наборы

Два множества называются непересекающимися, если в них нет общего элемента.

Условно,

A∩B = ∅ i.е. Пересечение B - пустое множество.

Пример

A = {1, 2, 3, 4}

B = {5, 6, 7, 8}

A∩B =

Здесь A и B - непересекающиеся множества, потому что в них нет общего элемента.

Графическое представление совместных и непересекающихся множеств

Совместное и непересекающееся множества можно представить диаграммой Венна. Это простой способ понять концепцию совместных и непересекающихся множеств.

Если два набора представлены двумя взаимоисключающими окружностями и не пересекаются друг с другом, то эти наборы называются непересекающимися наборами. Как видно из названия, наборы не соединяются друг с другом.

Если два набора представлены двумя пересекающимися друг с другом окружностями, то это совместные множества. Это показывает, что внутри них есть некий общий элемент, который показан пересечением двух кругов.

Здесь набор A и набор B являются непересекающимися наборами, поскольку в них нет общего элемента.Они исключают друг друга.

A = {1, 2, 3}

B = {5, 7, 9}

Если два множества не пересекаются, их пересечение пусто.

A∩B =

Наборы C и D являются наборами шарниров, поскольку они имеют один общий элемент.

C = {3, 5, 7}

D = {7, 9, 11}

C∩D = {7}

Дополнительная информация

Равные наборы

пар наборов

Covid-19 привел мир к феноменальному переходу.

За электронным обучением будущее уже сегодня.

Оставайтесь дома, оставайтесь в безопасности и продолжайте учиться !!!

Если между двумя наборами существует какая-то связь, такие наборы называются парами наборов.

Пары множеств - это равные множества, эквивалентные множества, непересекающиеся множества и перекрывающиеся множества.

Равные наборы

Два набора считаются равными, если они содержат одинаковые элементы.

Примеры:

1) A = {1, 2, 3} и B = {1, 2, 3}

Поскольку два набора содержат одинаковые элементы, набор A и набор B являются равными наборами

Он обозначается как A = B

Эквивалентные наборы

Два набора эквивалентны тогда и только тогда, когда между ними существует взаимно однозначное соответствие

Примеры

Поскольку набор A и набор B являются эквивалентными наборами .

Обозначается как A ↔ B

2) A = {x | x ∈ N, x ∠ 5} и B = {x | x - буквенное слово DEAR}

Решение:
A = {x | x ∈ N, x ∠ 5}

A = {1, 2, 3, 4}

B = {D, E, A, R}

N (A) = n (B)

∴ A ↔ B

Непересекающиеся множества

Два набора не пересекаются, если у них нет общих элементов.

Примеры:

1) A = {1, 2, 3} и B {4, 5, 6}

Набор A и набор B не пересекаются, поскольку в них нет общего элемента.

2) A {x | x ∈ N} и B {x | x ∠ o, x ∈ Z}

Решение:
A = {x | x ∈N}

A = {1, 2, 3, 4…}

B = {x | x ∠o, X ∈ Z}

B = {-1, -2, -3…}

Поскольку нет общего элемента в наборе A и наборе B, поэтому они не пересекаются

Перекрывающиеся наборы

Если два набора A и B имеют некоторые общие элементы, тогда они называются перекрывающимися наборами

Примеры:

1) A = {2, 3, 4} и B = {3, 4, 5}

В наборе A и установите B там являются двумя общими элементами 3 и 4

Набор A и набор B являются перекрывающимися наборами


Теория множеств

• Наборы
• Представление набора
• Кардинальное число
• Типы наборов
• Пары наборов
• Подмножество
• Дополнение набора
• Объединение множеств
• Пересечение множеств
• Операции над множествами
• Закон Де Моргана
• Диаграммы Венна
• Диаграммы Венна для множеств
• Диаграммы Венна для различных сидений uations
• Проблемы на пересечении двух множеств
• Проблемы на пересечении трех множеств

Домашняя страница

Covid-19 повлиял на физическое взаимодействие между людьми.

Не позволяйте этому влиять на ваше обучение.

теория элементарных множеств - Какие из этих множеств равны?

Ваше сообщение отредактировано. В новой редакции ясно, что вы не делаете запутанных и абстрактных, а продвинутых обозначений теории множеств чисел, тогда как раньше казалось очевидным, что это так. ТАК новый ответ:

«Я знаю, что ∅ - это подмножество всех пустых множеств. Таким образом, не будут ли все они равны друг другу?»

Нет, иметь что-то как элемент - это не то же самое, что быть подмножеством.Надеюсь, это станет ясно из объяснения. (Если нет, вы можете использовать аналогию «набор похож на мешок» и «пустой мешок внутри мешка отличается от пустого мешка»)

а) $ \ emptyset $ - пустое множество. Это набор без каких-либо элементов. Ничего особенного.

б) {$ \ emptyset $} - это набор, состоящий из одного элемента. Единственный элемент - это пустой набор. Можно ставить наборы как элементы наборов. Но наборы - это элементы набора. Они не подмножества. Подмножество - это набор с одними и теми же элементами.Набор внутри набора может иметь совершенно разные элементы. Во всяком случае, это из , первый набор как элемент.

c) {0} - это набор с единственным элементом 0 в нем. Ноль - это число. Это не набор.

Итак, для $ a \ ne b $, $ b \ ne c $ и $ c \ ne a $.

г) {} - еще один способ записи пустого множества. Знаки "{" и "}" представляют собой символы, обозначающие, "что внутри является элементами набора". Итак, {} говорит: «Это список, в котором ничего нет.Это пустой набор.

Итак, {{}} - это набор, состоящий из одного элемента. Этот элемент - пустой набор.

Итак, у нас есть = $ \ emptyset $ = {}. b = d = {$ \ emptyset $} = {{}}. И c = {0}.

e) {}, как я сказал в d), {} - это пустое множество.

Так

a = e = пустой набор = набор вообще без элементов = $ \ emptyset $ = {}

b = d = набор с пустым набором в качестве единственного элемента = {{}} = {$ \ emptyset $}

c = набор с номером ноль в качестве единственного элемента = {0}.

==== старый ответ, если вы делаете более продвинутый класс. Оставлено для справки. =====

a) Если вы не делаете теоретическое определение числа множеством, 0 вообще не является множеством. Это просто число.

Если вы выполняете теоретическое определение числа, все, - это набор. Я собираюсь предположить, что вы делаете теоретическое определение числа до конца этого ответа.

0 - это пустой набор - набор без элементов.Существует только один пустой набор, поэтому утверждение «0 - это подмножество всех пустых наборов» вводит в заблуждение. 0 - это пустой набор --- единственный пустой набор.

б) {0}. Это набор с элементом в нем. Элемент в нем равен 0. Это не пустой набор, потому что в нем есть элемент. Мы можем переписать пустой набор как, $ \ emptyset $, {} или 0. Таким образом, этот набор может быть записан как {0}, {{}}, {$ \ emptyset $} или 1. Как в определении множества для числа, число 1 определяется как набор, содержащий только один член - пустой набор.

c) означает то же самое, что и b в письменной форме. Один из них должен был быть {$ \ emptyset $}? Ну да ладно. Как я объяснил в б) {{}}, {0}, {$ \ emptyset $} и 1 - это одно и то же: набор с ровно одним элементом; элемент - это пустой набор.

d) то же самое

e) {} - это набор без элементов, то есть пустой набор.

Итак, a = e и b = c = d.

Быть элементом - не то же самое, что быть его подмножеством.

====

Хорошо, если вы , а не , выполняете определение чисел в теории множеств, тогда 0 - это число.Это вообще не набор. В остальном все то же самое: а) не набор b = c = d = набор, содержащий пустой набор. e = пустое множество.

Теория элементарных множеств

- равен ли пустой набор другому пустому набору?

Чтобы показать, что два набора эквивалентны, вы должны показать, что $ A \ substeq B $ и $ B \ substeq A $. Отсюда следует, что $ A = B $. Если $ A = \ varnothing $ и $ B = \ varnothing $, попробуйте доказательство поиска элементов, чтобы показать, что $ A = B $.

($ \ to $): Если $ x \ in A $, то $ x \ in B $.Таким образом, $ A \ substeq B $. $ \ qquad $ [ Вакуумно верно ]

($ \ leftarrow $): Если $ x \ in B $, то $ x \ in A $. Таким образом, $ B \ substeq A $. $ \ Qquad $ [ Вакуумно верно ]

Таким образом, благодаря взаимному включению подмножеств, мы получаем, что $ A = B $.


Однако этот вывод довольно неубедительный, поскольку он является примером так называемой пустой истины . Импликация $ p \ to q $ ложна только тогда, когда $ p $ истинно, а $ q $ ложно. Таким образом, предположение, что что-то находится в пустом наборе, приведет к всевозможным странным выводам.


Приложение: Некоторая путаница, кажется, коренится в том, что значит быть подмножеством, а не элементом. Таким образом, я собираюсь перечислить несколько утверждений, цель которых - выяснить, является ли утверждение истинным или ложным (надеюсь, это может помочь OP и некоторым другим пользователям). Ответы будут предоставлены на каждой претензии.


Претензии:

(a) $ 0 \ in \ varnothing \ qquad \ qquad $ [ Ложь ]

(b) $ \ varnothing \ in \ {0 \} \ qquad \ qquad $ [ Ложь ]

(c) $ \ {0 \} \ subset \ varnothing \ qquad \ qquad $ [ Ложь ]

(d) $ \ varnothing \ subset \ {0 \} \ qquad \ qquad $ [ True ]

(e) $ \ {0 \} \ in \ {0 \} \ qquad \ qquad $ [ Ложь ]

(f) $ \ {0 \} \ subset \ {0 \} \ qquad \ qquad $ [ Ложь ]

(g) $ \ {\ varnothing \} \ substeq \ {\ varnothing \} \ qquad \ qquad $ [ True ]

(h) $ \ varnothing \ in \ {\ varnothing \} \ qquad \ qquad $ [ True ]

(i) $ \ varnothing \ in \ {\ varnothing, \ {\ varnothing \} \} \ qquad \ qquad $ [ True ]

(j) $ \ {\ varnothing \} \ in \ {\ varnothing \} \ qquad \ qquad $ [ Ложь ]

(k) $ \ {\ varnothing \} \ in \ {\ {\ varnothing \} \} \ qquad \ qquad $ [ True ]

(l) $ \ {\ varnothing \} \ subset \ {\ varnothing, \ {\ varnothing \} \} \ qquad \ qquad $ [ True ]

(м) $ \ {\ {\ varnothing \} \} \ subset \ {\ varnothing, \ {\ varnothing \} \} \ qquad \ qquad $ [ True ]

(n) $ \ {\ {\ varnothing \} \} \ subset \ {\ {\ varnothing \}, \ {\ varnothing \} \} \ qquad \ qquad $ [ False ]

Примечание: Ниже $ x $ означает просто букву , а не набор (который часто обозначается прописной буквой, как это было сделано в первоначальном объяснении).Для (t) , если $ x $ действительно обозначает набор, тогда $ x = \ varnothing $ сделает (t) истинным, а не ложным.

(o) $ x \ in \ {x \} \ qquad \ qquad $ [ True ]

(p) $ \ {x \} \ substeq \ {x \} \ qquad \ qquad $ [ True ]

(q) $ \ {x \} \ in \ {x \} \ qquad \ qquad $ [ Ложь ]

(r) $ \ {x \} \ in \ {\ {x \} \} \ qquad \ qquad $ [ True ]

(s) $ \ varnothing \ substeq \ {x \} \ qquad \ qquad $ [ True ]

(t) $ \ varnothing \ in \ {x \} \ qquad \ qquad $ [ Ложь ]

(u) $ \ varnothing \ in \ varnothing \ qquad \ qquad $ [ False ]

(v) $ \ varnothing \ substeq \ varnothing \ qquad \ qquad $ [ True ]

Доказательство равенства двух комплектов

Достаточно распространенная проблема, с которой мы столкнемся в этом курсе, - это доказать, что два множества $ S $ и $ T $ на самом деле равны.Конечно, если и $ S $, и $ T $ имеют точное описание, эта проблема будет тривиальной. Однако обычно описания $ S $ и $ T $ будут разными, и, следовательно, если мы утверждаем, что $ S = T $, то нам нужно представить доказательство этого утверждения. Ниже мы поговорим об одном очень распространенном приеме доказательства равенства множеств.

Этот трюк основан на том простом факте, что $ S = T $ тогда и только тогда, когда $ S \ substeq T $ и $ T \ substeq S $:

Уловка 1

Сначала докажите $ S \ substeq T $.Затем докажите $ T \ substeq S $.

Мы применим этот трюк к следующему упражнению:

Упражнение 1

Вы - журналист-расследователь, изучающий две компании. Две компании занимают нишу, занимающуюся производством плитки с цельными размерами. WeLoveEvenSides утверждает, что является единственной компанией на земле, которая имеет все возможные прямоугольные плитки, по крайней мере, по длине или ширине. WeLoveEvenArea утверждает, что является единственной компанией на земле, которая имеет все возможные прямоугольные плитки, площадь которых делится на два. Ваши предварительные расследования привели вас к мысли, что эти две компании действительно одно и то же. Теперь представьте аргумент о нокауте, доказав, что набор прямоугольных плиток, производимых WeLoveEvenSides , в точности совпадает с набором прямоугольных плиток, производимых WeLoveEvenArea (что, по утверждениям компаний, показывает, что они одинаковы).

В качестве дополнения:

Упражнение 2

Объясните, почему вы не можете нанести сокрушительный удар в упражнении 1, если размеры плиток могут быть действительными числами.

Наконечник

Всякий раз, когда вы видите такую ​​многословную постановку задачи, как в упражнении 1, полезно абстрагироваться от математической задачи.

Я утверждаю, что вышеприведенное то же самое, что и следующая проблема (это упражнение, чтобы убедить себя, что мое утверждение действительно верно):

Упражнение 3

Пусть $ R $ - множество всех прямоугольников с целой длиной и шириной. Пусть $ R_1 \ substeq R $ будет набором прямоугольников четной длины или ширины. Пусть $ R_2 $ - множество всех прямоугольников с четной целой площадью. Докажите, что $ R_1 = R_2 $.

Теперь воспользуемся нашим приемом для решения упражнения 3.

Доказательство идеи (пример 3)

Сначала мы докажем, что $ R_1 \ substeq R_2 $. Затем мы будем утверждать, что $ R_2 \ substeq R_1 $. Для этого воспользуемся тем фактом, что прямоугольник длиной $ \ ell $ и шириной $ b $ имеет площадь $ \ ell \ cdot b $.

Детали доказательства

Сначала докажем $ R_1 \ substeq R_2 $. Рассмотрим произвольный $ r \ in R_1 $ длины $ \ ell $ и ширины $ b $.Поскольку $ r \ in R_1 $ либо $ \ ell $, либо $ b $ четно. Поскольку умножение четного числа на другое целое число приводит к другому четному числу, мы заключаем, что $ \ ell \ cdot b $ четно. Отсюда по определению следует $ r \ in R_2 $. Поскольку выбор $ r $ был произвольным, имеем $ R_1 \ substeq R_2 $.

Теперь докажем, что $ R_2 \ substeq R_1 $. Рассмотрим произвольный $ r \ in R_2 $ с площадью $ a $. Это означает, что $ a $ четное. Теперь пусть $ \ ell $ и $ b $ обозначают длину и ширину $ r $.Обратите внимание, что это означает, что $ \ ell \ cdot b $ четно. Мы утверждаем, что либо $ \ ell $, либо $ b $ четно. (Мы вскоре докажем это утверждение.) Обратите внимание, что по определению отсюда следует, что $ r \ in R_1 $. Поскольку выбор $ r $ был произвольным, мы имеем $ R_2 \ substeq R_1 $, что и требовалось.

Наконец, докажем утверждение. Допустим, для противодействия, что и $ \ ell $, и $ b $ нечетные. Поскольку произведение двух целых чисел дает нечетное целое число, должно быть так, что $ a = \ ell \ cdot b $ нечетное.Противоречие (поскольку $ a $ четно) доказывает утверждение.

Уловка 1 '(для конечных множеств)

Теперь мы представляем вариант трюка 1, который работает для конечных множеств. 1 Это основано на учете следующего свойства:

Упражнение 4 (Уловка 1 ')

Пусть $ S $ и $ T $ - конечные множества. Тогда $ S = T $ тогда и только тогда, когда $ S \ substeq T $ и $ | S | \ ge | T | $.

В этой заметке мы не будем подробно останавливаться на приеме 1 '(поскольку мы не будем использовать его в CSE 331), но вот упражнение, в котором вы можете применить прием 1': 2

Упражнение 5

Пусть $ S = \ {(0,0), (1,1) \} $ и $ T = \ {(a, b) | a \ oplus b = 0 \ text {and} a, b \ in \ {0,1 \} \} $.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *