Множество которому принадлежат те и только те элементы которые одновременно: Кроссворд Отношения объектов и их множеств (6 класс)

alexxlab / / Разное

ГДЗ информатика 6 класс, Босова, рабочая тетрадь, упр. 46. Разгадайте кроссворд «Отношения объектов и их множеств». – Рамблер/класс

ГДЗ информатика 6 класс, Босова, рабочая тетрадь, упр. 46. Разгадайте кроссворд «Отношения объектов и их множеств». – Рамблер/класс

Интересные вопросы

Школа

Подскажите, как бороться с грубым отношением одноклассников к моему ребенку?

Новости

Поделитесь, сколько вы потратили на подготовку ребенка к учебному году?

Школа

Объясните, это правда, что родители теперь будут информироваться о снижении успеваемости в школе?

Школа

Когда в 2018 году намечено проведение основного периода ЕГЭ?

Новости

Будет ли как-то улучшаться система проверки и организации итоговых сочинений?

Вузы

Подскажите, почему закрыли прием в Московский институт телевидения и радиовещания «Останкино»?

По горизонтали. 4. Графическое (наглядное) изображение связей между объектами (два слова). 5. Множество, содержащее в себе все элементы нескольких множеств. 6. Математик, в честь которого названа схема, используемая для наглядного представления отношений между множествами. 7. Взаимная связь, в которой находятся какие-либо объекты. 8. Любая часть окружающей действительности (предмет, процесс, явление), воспринимаемая человеком как единое целое.

По вертикали. 1. Если каждый элемент множества В является элементом множества А, то говорят, что В — … А. 2. Совокупность, набор, коллекция объектов. 3. Множество, которому принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат всем исходным множествам.

ответы

По горизонтали. 4. Схема отношения 6. Эйлер. 7.
Отношение. 8 Объект.
По вертикали. 1. Подмножество 2. Множество. 3.
Пересечение.
 

ваш ответ

Можно ввести 4000 cимволов

отправить

дежурный

Нажимая кнопку «отправить», вы принимаете условия  пользовательского соглашения

похожие темы

Экскурсии

Мякишев Г. Я.

Психология

Химия

похожие вопросы 5

Часть 1. № 11. ГДЗ Информатика 1 класс Горячев. Как раскрасить фигуры?

Раскрась круги жёлтым цветом, овалы — синим, треугольники — зелёным, квадраты — голубым, а прямоугольники — коричневым.
  (Подробнее…)

ГДЗИнформатика1 класс

Радиус основания цилиндра равен 2. В этот цилиндр наклонно к оси вписан квадрат со стороной 4 так, что все вершины его находятся на окружностях осн

Радиус основания цилиндра равен 2. В этот цилиндр наклонно к оси вписан квадрат со стороной 4 так, что все вершины его находятся на (Подробнее…)

ВыпускнойЕГЭГДЗ

Помогите упростить № 443 ГДЗ Математика 6 класс Никольский С.М.

Упростите запись по образцу (Подробнее…)

ГДЗМатематика6 классНикольский С.М.

Задание 1. § 3 Ввод информации в память компьютера. Информатика. 5 класс. Л.Л. Босова. ГДЗ

Как ответить на вопрос по информатике?
Какую информацию может обрабатывать компьютер?

ГДЗИнформатикаБосова Л.Л5 класс

Привет! Какое решение у неравенства? Работа № 10. Вариант 1. № 3. ГДЗ Алгебра 9 класс Кузнецова.

Решите неравенство: 3х — 4 (х + 1) < 8 + 5х.
 

ГДЗАлгебра9 классКузнецова Л. В.

Множества в Python — CodeChick

В этом руководстве вы узнаете всё о множествах в Python: как их создавать, как добавлять и удалять элементы и т. д. 

Множество — неупорядоченный набор элементов. Каждый элемент в множестве уникален (т. е. повторяющихся элементов нет) и неизменяем. 

Само по себе множество можно изменять, то есть удалять или добавлять элементы. 

Множества удобно использовать для выполнения математических операций: объединение, пересечение, симметрическая разность и т. д. 

Как создать множество

Множество объявляется так: элементы помещаются в фигурные скобки {} и разделяются запятыми. Сделать это можно и с помощью встроенной функции set().

Внутри множества может быть любое количество элементов любого типа (целые числа, числа с плавающей точкой, кортежи, строки и т. д.). Внутрь множества нельзя помещать элементы изменяемых типов: списки, другие множества или словари. 

# Разные виды множеств
# Множество с целыми числами
my_set = {1, 2, 3}
print(my_set)

# Множество с разными типами данных
my_set = {1.0, "Привет", (1, 2, 3)}
print(my_set)

Вывод:

{1, 2, 3}
{1.0, (1, 2, 3), 'Привет'}
# Внутри множества не может быть одинаковых элементов
# Вывод: {1, 2, 3, 4}
my_set = {1, 2, 3, 4, 3, 2}
print(my_set)

# Аргументом функции set() может быть список
# Вывод: {1, 2, 3}
my_set = set([1, 2, 3, 2])
print(my_set)

# Внутри множества не может быть изменяемых объектов
# В этом множестве [3, 4] — изменяемый список
# Поэтому следующая строка вызовет ошибку

my_set = {1, 2, [3, 4]}

Вывод:

{1, 2, 3, 4}
{1, 2, 3}
Traceback (most recent call last):
 File "<string>", line 15, in <module>
   my_set = {1, 2, [3, 4]}
TypeError: unhashable type: 'list'

Создание пустого множество — дело хитрое.  

Пустые фигурные скобки

{} — это словарь. Чтобы объявить пустое множество, нужно использовать функцию set() без аргументов. 

# Обратим внимание на объявление пустого множества

# Объявление с помощью {}
a = {}

# Проверка типа a
print(type(a))

# Объявление с помощью set()
a = set()

# Проверка типа a
print(type(a))

Вывод:

<class 'dict'>
<class 'set'>

Как изменять множество

Множества изменяемы и не упорядочены. Поэтому в индексации нет никакого смысла. 

Так что получить доступ к элементам с помощью индексов или срезов не получится. Множества просто не поддерживают эти операции.

Чтобы добавить один элемент, нужно использовать метод add(). Если нужно добавить несколько элементов — метод update(). Метод update() принимает в качестве аргументов кортежи, списки или другие множества.

Во всех случаях следует избегать одинаковых элементов. 

# создаем my_set
my_set = {1, 3}
print(my_set)

# вызов my_set[0] приведет к ошибке
# TypeError: 'set' object does not support indexing

# добавляем элемент
# Вывод: {1, 2, 3}
my_set.add(2)
print(my_set)

# добавляем несколько элементов
# Вывод: {1, 2, 3, 4}
my_set.update([2, 3, 4])
print(my_set)

# добавляем список и множество
# Вывод: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}
my_set.update([4, 5], {1, 6, 8})
print(my_set)

Вывод:

{1, 3}
{1, 2, 3}
{1, 2, 3, 4}
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}

Как удалять элементы из множества 

Определенный элемент множества можно удалить с помощью методов discard() и remove().

Разница между ними вот в чем. Если элемент, который вы хотите удалить с помощью

discard(), отсутствует в множестве — оно не изменится. А вот remove() вызовет ошибку, если элемента нет в множестве.

# разница между discard() и remove()

# создаем my_set
my_set = {1, 3, 4, 5, 6}
print(my_set)

# удаление элемента
# с помощью discard
# Вывод: {1, 3, 5, 6}
my_set.discard(4)
print(my_set)

# удаление элемента
# с помощью remove

# Вывод: {1, 3, 5}
my_set.remove(6)
print(my_set)

# удаление элемента,
# отсутствующего в my_set,
# с помощью discard
# Вывод: {1, 3, 5}
my_set.discard(2)
print(my_set)

# При удалении элемента,
# отсутствующего в my_set,
# с помощью remove
# вы получите ошибку.

# Вывод: KeyError

my_set.remove(2)

Вывод:

{1, 3, 4, 5, 6}
{1, 3, 5, 6}
{1, 3, 5}
{1, 3, 5}
Traceback (most recent call last):
 File "<string>", line 28, in <module>
KeyError: 2

Удалить и вернуть элемент мы можем с помощью метода pop().

Так как множество — неупорядоченный тип данных, невозможно определить, какой из элементов будет удален. Это произойдет случайным образом.

Удалить все элементы из множества можно с помощью метода clear().

# cоздаем my_set
# Вывод: множество уникальных элементов
my_set = set("Приветмир")
print(my_set)

# pop элемента
# Вывод: случайный элемент
print(my_set.pop())

# pop еще одного элемента
my_set.pop()
print(my_set)

# очищаем my_set
# Вывод: set()
my_set.clear()
print(my_set)

Вывод:

{'П', 'и', 'р', 'т', 'е', 'м', 'в'}
П
{'р', 'т', 'е', 'м', 'в'}
set()

Операции со множествами 

Множества можно использовать для выполнения математических операций вроде объединения, пересечения, симметрической разности и т. д. Сделать это можно с помощью операторов и методов. 

Рассмотрим два множества и проведем с ними разные операции.

A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {4, 5, 6, 7, 8}
Объединение

Результат бъединения A и B — множество, содержащее в себе все элементы множеств A и B.

Операцию объединения можно произвести двумя способами: с помощью оператора | и метода union(). 

# Операция объединения двух множеств
# Создаем множества A и B
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {4, 5, 6, 7, 8}

# Используем оператор | 
# Вывод: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
print(A | B)

Вывод: 

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Попробуйте ввести следующие примеры в консоль:

# используем функцию union
>>> A.union(B)
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

# используем функцию union с B
>>> B.union(A)
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
Пересечение

Результат пересечения A и B — множество, которому принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат всем данным множествам

Операцию объединения можно произвести двумя способами: с помощью оператора & и метода intersection().

# Пересечение множеств
# Создаем множества A и B
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {4, 5, 6, 7, 8}

# Используем оператор & 
# Вывод: {4, 5}
print(A & B)

Вывод:

{4, 5}

Попробуйте ввести следующие примеры в консоль:

# использование метода intersection с A
>>> A.intersection(B)
{4, 5}

# использование метода intersection с B
>>> B.intersection(A)
{4, 5}
Разность

Результат разности множеств B и A — множество элементов, содержащихся только в A. Следовательно, B-A = множество элементов, содержащихся только в B. 

Операцию объединения можно произвести двумя способами: с помощью оператора - и метода difference().

# Разность двух множеств
# Создаем множества A и B
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {4, 5, 6, 7, 8}

# Используем оператор - с A
# Вывод: {1, 2, 3}
print(A - B)

Вывод:

{1, 2, 3}

Попробуйте ввести следующие примеры в консоль:

# Использование функции difference с A
>>> A.  B)

Вывод:

{1, 2, 3, 6, 7, 8}

Попробуйте ввести следующие примеры в консоль:

# Использование функции symmetric_difference с A
>>> A.symmetric_difference(B)
{1, 2, 3, 6, 7, 8}

# Использование функции symmetric_difference с B
>>> B.symmetric_difference(A)
{1, 2, 3, 6, 7, 8}

Методы множеств

У множеств много методов, некоторые мы уже обсудили выше. Вот полный список методов объекта set: 

Метод

Описание

add()

Добавляет элемент в множество

clear()

Удаляет все элементы из множества

copy()

Возвращает копию множества

difference()

Возвращает новое множество — разность двух или более множеств

difference_update()

Удаляет все элементы одного набора из другого

discard()

Удаляет элемент, если он содержится в множестве (если элемента в множестве нет, то ничего не происходит)

intersection()

Возвращает новое множество — пересечение двух множеств

intersection_update()

Добавляет в множество пересечение с другим множеством или с самим собой

isdisjoint()

Возвращает True, если два множества не имеют пересечения

issubset()

Возвращает True, если определенное множество содержится в другом множестве

issuperset()

Возвращает True, если в множестве есть другое множество 

pop()

Удаляет и возвращает случайный элемент множества. Если множество пусто, то возвращает ошибку KeyError

remove()

Удаляет определенный элемент множества. Если элемент отсутствует в множестве, то возвращает ошибку KeyError

symmetric_difference()

Возвращает новое множество — симметрическую разность двух множеств

symmetric_difference_update()

Добавляет в множество симметрическую разницу с другим множеством или с самим собой

union()

Возвращает новое множество — объединение множеств

update()

Добавляет в множество объединение с другим множеством или с самим собой

Несколько операций со множествами

Проверка на вхождение 

Мы можем проверить, есть ли элемент в множестве. Сделать это можно с помощью ключевого слова in.

# Использование ключевого слова in 
# Создаем множество my_set
my_set = set("яблоко")

# Проверяем, есть ли 'о' в множестве
# Вывод: True
print('о' in my_set)

# Проверяем, отсутствует ли 'к' в множестве
# Output: False
print('к' not in my_set)

Вывод:

True
False
Итерирование по множеству

Множество можно перебрать с помощью цикла for.

for letter in set("яблоко"):
    print(letter)

Вывод:

я
о
л
к
б

Встроенные функции множеств

Функция

Описание

all()

Возвращает True, если все элементы множества истинны или множество пустое

any()

Возвращает True, если хоть один элемент множества истинен. Если множество пустое, возвращает False

enumerate()

Возвращает перечисляемый объект. В нем в виде пар содержатся значения и индексы всех элементов множества

len()

Возвращает длину (количество элементов) множества 

max()

Возвращает наибольший элемент множества

min()

Возвращает наименьший элемент множества

sorted()

Возвращает отсортированный список, в котором находятся элементы множества (само множество не сортируется)

sum()

Возвращает сумму всех элементов множества

Frozenset

Frozenset — класс, имеющий характеристики множества. Отличие состоит в том, что frozenset после объявления неизменяем.

Кортеж — неизменяемый список, frozenset — неизменяемое множество.

Множества изменяемы, поэтому не могут использоваться в качестве ключей словаря. Frozenset же неизменяемы — их можно использовать в качестве ключей словаря. 

Этот тип данных поддерживает следующие методы: copy(), difference(), intersection(), isdisjoint(), issubset(), issuperset(), symmetric_difference() и union(). Так как он неизменяем, методы add() и remove() с ним не работают. 

# Frozenset
# Создаем множества A и B
A = frozenset([1, 2, 3, 4])
B = frozenset([3, 4, 5, 6])

Попробуйте ввести следующие примеры в консоль:

>>> A.isdisjoint(B)
False

>>> A.difference(B)
frozenset({1, 2})

>>> A | B
frozenset({1, 2, 3, 4, 5, 6})

>>> A. add(3)
...
AttributeError: 'frozenset' object has no attribute 'add'
```
 

1A Set Терминология

1A Set Терминология

ГЛАВА 1

НАБОРЫ

Множества, полезные для анализа того, как мы думаем, также помогают формировать основу большей части математики.

Терминология набора 1A


 

Мыслящие Существа

Люди, как мыслящие существа, любят классифицировать вещи; это способ осмысления мира. Например, одни вещи называются камнями, другие — деревьями, третьи — собаками, кошками или стульями. У нас также есть коричневые собаки, персидские кошки и спелые желтые бананы. Люди, обладающие языковыми способностями, имеют преимущество перед другими мыслящими существами в том, что мы можем давать имена категориям, что позволяет нам говорить друг с другом о вещах мира.

Обычно мы не говорим обо всем сразу. Когда мы упоминаем в одном и том же разговоре яблоки, апельсины и вишни, мы, возможно, говорим о фруктах, а если мы упоминаем «Форды», «Шевроле» и «Тойоты», вероятно, мы обсуждаем автомобили. Таким образом, вообще существует большая категория, содержащая все обсуждаемые вещи, и эта большая категория делится на более мелкие категории, и эти более мелкие категории могут быть далее разделены на другие, и в то же время некоторые категории могут накладываться друг на друга, так что это может стать довольно сложным. Что касается автомобилей, то есть красные автомобили, белые автомобили, маленькие зеленые автомобили, средние синие «Тойоты» с антиблокировочной системой тормозов и так далее. Нам действительно повезло, что мы наделены достаточно гибким умом, чтобы справиться со всеми этими смесями категорий одновременно.

Математическое изучение множеств — это более или менее изучение того, как мы классифицируем вещи. Категория вещей называется набором , а вещи в наборе называются элементами , или элементами набора. Большая категория, содержащая все обсуждаемые вещи, — это универсальный набор , или вселенная ; его обычно обозначают символом U. Например, при обсуждении автомобилей U, вероятно, будет представлять множество всех автомобилей, причем каждый отдельный автомобиль является элементом универсального множества U; тогда мы могли бы дополнительно обозначить F как множество всех автомобилей Ford, C как множество всех Chevy и R как множество всех красных автомобилей. Правило для набора состоит в том, что каждый член вселенной должен либо быть в наборе, либо не быть в наборе — в этом не может быть никакой двусмысленности. Например, вы, вероятно, не стали бы рассматривать набор из всех дружественный автомобиль, так как такое описание расплывчато и обычно нельзя сказать, дружественный автомобиль или нет. (Иногда в наших примерах и упражнениях мы можем интерпретировать это правило немного вольно, чтобы можно было говорить о более занимательных сетах.)

Полезно учесть возможность множества с без элементов; этот набор называется пустым набором и обозначается символом Æ.

Проницательный читатель может возразить здесь, что мы не очень хорошо определили термины 9.0031 поставил , а элемент — и это возражение было бы вполне обоснованным. Мы сказали, что множество — это категория вещей, которую мы называем элементами. Если бы нас заставили определить как категорию и как , мы вернулись бы к исходной точке — нам пришлось бы придумывать альтернативные названия для этих двух основных понятий. На самом деле не существует удовлетворительного способа определения множества и элемента. Эти слова, а также словосочетания относятся к и содержит , примеры в математике примитивных терминов ; мы просто предполагаем, что каждый имеет представление о том, что они означают, и мы связываем определенные правила с их использованием. При изучении множеств правила заключаются в том, что у нас есть множества и у нас есть элементы, и что для любого конкретного набора и любого конкретного элемента элемент либо принадлежит набору, либо нет. Если элемент принадлежит множеству, то множество содержит этот элемент. Универсальное множество содержит все элементы, пустое множество не содержит ни одного из них, а все остальные множества содержат одни элементы, а другие нет.

. Мы говорим, что два множества A и B являются одним и тем же множеством или равными друг другу , когда они имеют точно такие же элементы, и в этом случае мы пишем A = B. С другой стороны, если A содержит элемент, не принадлежащий B, или если B имеет элемент, не принадлежащий A, мы говорим, что A и B не равны , и пишем A ≠ B. Для любого множества A существует другое множество, естественно связанное с A, обозначен как ~A и назван дополнением к A; это то множество, членами которого являются именно те элементы универсального множества, но не элементы А. Если элемент принадлежит А, то он не принадлежит ~А, а если он не принадлежит А, то он принадлежит ~ А.

пример 1

 

Гавайский математический класс

Пусть универсальное множество U состоит из всех учащихся этого математического класса. Мы рассматриваем различные другие множества элементов из этого универсального множества. Обозначаем наборы

М: самцы

  

H : Студенты, родившиеся на Гавайях

  

J: юниоры

Ж : самки

  

A : Учащиеся, родившиеся в Антарктиде

  

B: способные ученики.

Заметим, что F = ~M, так как F состоит ровно из тех учеников из класса, которые не входят в множество M. Аналогично, M = ~F. Мы видим, что J ≠ M, за исключением маловероятного случая, когда все ученики мужского пола в классе — младшие, а все младшие — мальчики. Некоторые из этих наборов перекрываются; например, некоторые учащиеся могут принадлежать ко всем трем множествам F, J и H. Кроме того, A = Æ, поскольку никто никогда не рождался в Антарктиде, а B = U, поскольку, несомненно, все учащиеся в этом классе сообразительны.


Наборы M и F из Примера 1 иллюстрируют общую формулу набора


~(~S) = S .

То есть «дополнением дополнения» множества является само множество. Истинность этого утверждения становится очевидной после небольшого размышления. Вы начинаете с S и берете все элементы, не входящие в S, чтобы получить ~S; затем, если вы повторите процесс, начиная с ~S, вы вернетесь к исходному набору S. Две другие самоочевидные формулы:


~U = Æ , ~Æ = U .

До сих пор мы определяли множества с помощью , описывающих их членов. Если члены набора имеют имена или, возможно, символы, представляющие их, то мы можем определить набор с помощью метода списка , в котором мы просто перечисляем все элементы набора внутри пары квадратных скобок. Например, мы могли бы написать

V = {а, е, я, о, и}

для обозначения набора гласных в английском алфавите. Чтобы представить набор из все буквы алфавита мы могли бы написать

L = {а, б, в, d, …, х, у, г}.

Три точки или многоточие означают, что шаблон настолько очевиден, что любой может заполнить недостающие элементы. Мы могли бы также рассмотреть наборы людей, например

.

P = {Алан, Бетти, Синди, Дон, Эвелин, Фред},

или наборы цифр типа

Т = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} .

Если набор имеет бесконечное число элементов, то, очевидно, мы не можем перечислить все его элементы по отдельности, но с использованием многоточия мы все же можем использовать метод реестра для описания набора. Набор всех положительных целых чисел является таким набором; его можно указать как

Z = {1, 2, 3, 4, 5, …}

Порядок, в котором перечислены элементы набора, не важен, т. е. перечисление элементов в другом порядке не изменяет набор. Таким образом, три листинга

{красный, синий, зеленый}    , {синий, красный, зеленый}    , {зеленый, синий, красный}

относятся к тому же набору. Кроме того, не имеет значения, если элемент указан более одного раза. Другое приемлемое, но, несомненно, более запутанное: способ записи вышеуказанного набора —

{красный, синий, красный, зеленый, синий, синий}.

 

Можно описать множества также с помощью так называемых нотация построителя набора . Мы используем это обозначение, чтобы описать множество S студентов в классе математики 100, написав

S = {x : x изучает математику 100} .

Двоеточие в скобках читается как «такой, что», а вся строка читается как «S равно множеству всех x таких, что x — ученик по математике 100». Буква x является просто заполнителем и может быть заменена любым другим символом. Метод построения множества — это просто формальный способ словесного описания членов множества; он имеет очевидные преимущества перед методом реестра, когда в наборе много членов или когда члены набора не имеют имен. Например, вы не хотели бы пытаться описать множество

J = {y : y — яванский воробей на Гавайях}

реестровым методом!

Символ «Î» означает, что принадлежит , или является членом , а «Ï» имеет противоположное значение: не принадлежит или не является членом . Например, если

А = {1, 2, 3, 4, 5},

, тогда мы можем написать 3 Î A и 7 Î A.

Понятие подмножества является фундаментальным в изучении множеств, да и в большей части математики. Для двух множеств A и B мы говорим, что A является подмножеством B всякий раз, когда каждый элемент A является также элементом B. Мы пишем A Ì B, чтобы обозначить, что A является подмножеством B, и A Ë B, чтобы обозначить иное. Пустое множество считается подмножеством каждого множества, в то время как каждое множество является подмножеством самого себя, а также универсального множества.

пример 2

Множество B = {a, b, c} имеет восемь подмножеств; они

Æ    {a}   ,   {b}   ,   {c}   ,   {a, b}   ,   {a, c}   ,   {b, c}   ,   {a, b, c} .

Будьте внимательны, не перепутайте символы «М» и «О». В этой ситуации мы можем написать {a} Ì B и a Î B, но мы не можем написать {a} Î B или a Î B. Обозначение {a} относится к множеству, содержащему a, но не к элементу a. само по себе — это как разница между мешком с яблоком и только яблоком.


Два множества A и B пересекаются с или встречаются с , если они имеют хотя бы один общий элемент, и в этом случае мы говорим, что A встречается с В, и точно так же В встречается с А. Если А и В не встречаются, то есть если они не имеют общих элементов, мы говорим, что они не пересекаются друг с другом, или что они образуют непересекающаяся пара . Конечно, пустое множество не пересекается ни с каким другим множеством, в то время как универсальное множество встречается со всеми множествами, кроме пустого множества.

пример 3

Пусть универсальный набор будет

У = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7},

и рассмотрим также наборы

А = {1, 2, 3}

 

В = {4, 5, 6}

 

С = {3, 4, 7}

Д = {2 , 3}

 

Е = {4}

 

Ф = {2, 4, 6, 7}.

Обратите внимание, что множества A и B, не имеющие общих элементов, не пересекаются друг с другом. Другими непересекающимися парами множеств являются A и E, B и D, D и E. Все остальные пары множеств пересекаются; например, A и C пересекаются, потому что у них есть общий элемент 3, а B и F пересекаются, потому что у них есть два общих элемента 4 и 6. Заметим также, что D Ì A, E Ì B, E Ì C, E Ì F, а каждое множество является подмножеством самого себя и универсального множества U.


Если множества A и B не пересекаются, то каждый элемент A не является элементом B, то есть каждый элемент A является членом дополнения B, или A Ì ~B. Эквивалентно, мы можем сказать, что каждый элемент B не является элементом A или B Ì ~A. В приведенном выше примере 3 множества A и B не пересекаются, а

~A = {4 , 5 , 6 , 7}      , ~В = {1, 2, 3, 7}

Заметим, что A Ì ~B и B Ì ~A.

пример 4

 

Пусть универсальное множество состоит из всех животных мира, и рассмотрим множества

М : млекопитающие

 

F : рыба

 

Ж: обитатели воды

П: пловцы

 

Н : люди

 

L : наземные жители .

Множества M и F не пересекаются друг с другом, как и пары F и L, W и H, и F и H (если вы не верите в русалок). Кроме того, F Ì W, F Ì S, H Ì M и H Ì L. Множества M и W пересекаются (рассмотрим китов), хотя ни одно из них не является подмножеством другого. То же самое можно сказать и о парах M и S, M и L, S и W, S и H, S и L. Если мы согласны с тем, что земноводные, такие как лягушки, принадлежат обоим множествам W и L, то и эти два множества встретиться.


Многие повседневные утверждения можно сформулировать как утверждения о множествах. Снова рассмотрим множества, описанные в примере 4. В таблице ниже слева показаны несколько утверждений, выраженных на обычном языке, а справа показаны эквивалентные формулировки этих утверждений в терминах множеств.


Все рыбы живут в воде.

  F Ì W

Все рыбы плавают.

  Ф М С

Все плавающие рыбы.

  С М Ф

Не все плавающие рыбы.

  С Ф

Не все люди умеют плавать.

  Ч С

В воде живут только рыбы.

  В М Ф

В воде не живет человек.

  H Ì ~W

Все не умеющие плавать живут на суше.

  ~S Ì L

Плавать умеют только млекопитающие.

  ~С М М

Наземные обитатели не обязательно млекопитающие.

  Л Ë М

Некоторые люди умеют плавать.

  H Ë ~S

Некоторые млекопитающие не умеют плавать.

  М Ë С

(Для простоты мы предполагаем, что «некоторые» означает «по крайней мере один» — таким образом, «некоторые люди» означают «по крайней мере один человек» или «один или несколько человек».)

УПРАЖНЕНИЯ 1А


  1. Как вы думаете, какие описания достаточно точны, чтобы определить множество?
    1. все четные целые числа больше 3 и меньше 17
    2. все счастливые числа от 1 до 100
    3. все искренние ученики в этом математическом классе
    4. все левши в этом математическом классе
    5. все довольно хорошие романисты
    6. все живые писатели, лауреаты Нобелевской премии

  2.  

    Первый США
    Президент
    Второй
    Половина
    Двадцатый
    Век

    Пусть P обозначает набор инициалов президентов США во второй половине двадцатого века. Опишите этот набор
    1. реестровым методом,
    2. с обозначением конструктора наборов.

  3. Пусть PC обозначает набор, содержащий три основных цвета. Опишите этот набор
    1. реестровым методом,
    2. с обозначением конструктора наборов.

  4. Описать набор ростерным методом:
    1. {x : x положительное нечетное однозначное целое число}
    2. {y : y — целое положительное число, которое делится на 3 без остатка}
    3. {h : h — один из шести крупнейших Гавайских островов}
    4. {$ : $ — буква алфавита, обозначающая ноту в музыкальной гамме}
    5. {# : # — буква английского алфавита, произношение которой требует выдоха через нос}

  5. Опишите набор, используя нотацию конструктора наборов:
    1. {2, 4, 6, 8}
    2. {1, 3, 5, 7, 9, 11, …}
    3. {b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, p, q, r, s, t, v, w, x, y, z}
    4. {Аляска, Гавайи}
    5. {Бесс, Мэми, Джеки, леди Берд, Пэт, Бетти, Розалин, Нэнси, Барбара, Хилари, Лора}

  6. Перечислите все подмножества множества S = {a, b, c, d}. Как вы думаете, сколько подмножеств будет иметь множество из пяти элементов?
  7. Учитывая, что B = {0 , 1}, ответьте верно или неверно на следующее:

    а. Æ О B

     

    б. Э М Б

     

    в. {0} ОБ

     

    д. 0 ОБ

     

    эл. Б О Б

    ф. Б М Б

     

    г. 0 МБ

     

    ч. {0} МБ

     

    я. 0 Î Æ

     

    л. Æ О 0

    к. Э М 0

     

    л. Æ О {0}

     

    м. Æ Ì Æ

     

    н. Æ Î Æ

     

    о. 1 ОБ


  8. Пусть универсальный набор будет

    U = {и, v, ш, х, у, г},

    и рассмотрим также множества

    А = {и, v, у, г}

     

    В = {v, ш, у, г}

     

    С = {ш, х, у}

    Д = {и, г}

     

    Е = {v, ш, у}

     

    F = {и, v}.

    Пренебрегая универсальным множеством U,
    1. список всех пар множеств, не пересекающихся друг с другом,
    2. найти все пары множеств, одно из которых является подмножеством другого,
    3. список множеств, пересекающих D.
    Также,
    1. описывают наборы ~A, ~B и ~C,
    2. список наборов (среди A, B, C, D, E, F), которые являются подмножествами ~D.

  9. Пусть универсальный набор состоит из всех кошек, и рассмотрим наборы

    B: черные кошки

     

    P : Персидские кошки

     

    S : сиамские кошки

    W: белые кошки

     

    Ж : привередливые кошки

     

    L: длиннохвостые кошки.

    Сформулируйте следующие предложения как символические высказывания о множествах (используя символы Ì и Ë):
     
    1. Все персидские кошки привередливы.
    2. У всех привередливых кошек длинные хвосты.
    3. Ни у одной привередливой кошки нет длинного хвоста.
    4. Не все сиамские кошки белые.
    5. Некоторые персидские кошки черные.
    6. Черный кот не может быть сиамским.
    7. Любая непривередливая кошка обязательно белая.
    8. Нечерные кошки не обязательно сиамские.
    9. Некоторые длиннохвостые кошки не черные.
    10. Вы не можете предположить, что кошка не персидская, только потому, что у нее нет длинного хвоста.

  10. Пусть универсальное множество состоит из дней в Монтане, и рассмотрим множества

    C: холодные дни

     

    J : июньские дни

     

    N : хорошие дни

    З: теплые дни

     

    D : Декабрьские дни

     

    R: дождливые дни.

    Переведите следующие символические утверждения о множествах в обычные предложения:

    а. Д М С

     

    б. Д С

     

    в. Р М ~ Н

     

    д. J Ë ~R

     

    эл. J Ë W

    ф. Н М ~Д

     

    г. ~N М C

     

    ч. ~Н О ~В

     

    я. W Ë ~D

     

    л. ~R Ë J

    День июня
    в Монтане

    		  

Mathscene — наборы 1 — урок 1

Mathscene — наборы 1 — урок 1
2008  Расмус Эф    ог Джанн Сак

Наборы я

Печать

Урок 1

Набор Теория и обозначение  

Любая коллекция чисел, объектов или идей и т. д. называется НАБОР и каждый объект в наборе называется элементом набора. Большинство множеств, с которыми мы имеем дело, представляют собой наборы чисел, и каждое число принадлежащий этому множеству, называется ЭЛЕМЕНТОМ множества.

Наборы записываются с использованием фигурных скобок, которые содержат элементы множества. Например, набор, содержащий только числа 1, 2 и 3 записываются {1,2,3}.

Четные числа больше 0 можно записать {2,4,6,8,∙∙∙∙∙∙∙}. точки означают, что числа продолжают следовать той же схеме.

Обычно в именах используются заглавные буквы. наборы. Мы могли бы, например, дать набору, содержащему числа 0, 1, 2 и 3, назовите M и напишите M = {0,1,2,3}.

В математике есть целый язык символов, который используются для обозначения слов и утверждений. Это позволяет нам точно сказать и логически, что мы имеем в виду, не используя много слов. Многие из этих символов используются в теории множеств. Вот некоторые примеры:

Символ означает принадлежит или является элементом.

Если провести черту через этот символ, т.е. зачеркнуть его, , тогда это означает, что он не принадлежит или не является элементом.

Если М = {0,1,2,3}, то мы можем сделать заявления

{1} М и {4} М

И то, и другое верно.

Иногда проще описать набор, чем чем написать список его элементов. Вертикальная линия | внутри установленные скобки — это символ для такого, что или для которого это верно что . Например, набор числа, принадлежащие множеству M, которые меньше 3, можно записать

 {x М | х < 3 } = {0, 1, 2} Это читает x элемент множества M такой, что x меньше 3. Это верно для чисел 0, 1 и 2.

Мы также можем описать приведенный выше набор как такой же набор, как M, за исключением числа 3. Обратная косая черта \ является символом используется для обозначения, кроме. Используя это обозначение, мы можем написать:

 М\{3} = {0, 1, 2} Это читается: набор всех чисел в M, кроме 3.

Нам часто требуется более одного условия для описания множество. Вот пример:

{х М | х < 3 ог х 0} = {1, 2} Это считывает, что x является элементом множества M таким, что x меньше 3, но не равно 0,

Если у нас есть условие, что ни один элемент не удовлетворяет у нас есть множество, называемое пустым множеством. Другими словами набор, в котором ничего нет.

Символ или { } используется для пустого набора. За пример

{х М | Икс > 3} = Это читается: множество всех чисел в M, которые больше 3. Как м содержит только числа 0, 1, 2, 3, нет чисел больше 3.

Когда мы смотрим на множества A = { 1,2,3,4,5 }, B = { 1,3,5 } и C = { 2,4,6 } сразу видно, что все элементы множества B тоже элементов множества A. Мы говорим, что B является собственным подмножеством A. символ используется для выражения этого отношения. Пишем   

Б А

Заметьте также, что множество C имеет элемент 6, которого нет в множестве A. В этом случае C не является подмножеством A. Символ для этого делается путем проведения линии через , на самом деле мы зачеркиваем это, как мы делали с другими символами, когда что-то не правда. В системе обозначений мы пишем  

.

 С А

Мы используем слово собственно подмножество, если одно множество содержится в другом, но они не являются одним и тем же множеством. Если одно множество содержится в другом, но может быть тем же самым множеством, которое мы используем подмножество слова и символ . Это сравнимо с использованием символов неравенства в алгебре, < и .

А список символов и их значений

{ }

Набор кронштейны

 это элемент в наборе

 это не является элементом множества

|

таких что

\

кроме
пустой набор

 это правильное подмножество или содержится в

 это не правильное подмножество

 это содержится в или совпадает с

 

 

Попробуйте выполнить тест 1 на наборах 1.

No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *