Область определения функции | Онлайн калькулятор
Данный калькулятор позволит найти область определения функции онлайн.
Область определения функции y=f(x) – это множество всех значений аргумента x, на котором задана функция. Другими словами, это все x, для которых могут существовать значения y. На графике областью определения функции является промежуток, на котором есть график функции.
Область определения функции f(x), как правило, обозначается как D(f). Принадлежность к определенному множеству обозначается символом ∈, а X – область определения функции. Таким образом, формула x∈X означает, что множество всех значений x принадлежит к области определения функции f(x).
Приведем примеры определения основных элементарных функций. Областью определения постоянной функции y=f(x)=C является множество всех действительных чисел. Когда речь идет о степенной функции y=f(x)=xa, область определения зависит от показателя степени данной функции. При нахождении области определения функции y=f(x)= √(n&x) (корень n-ой степени) следует обращать внимание на четность или нечетность n.
Областью определения логарифмической функции являются все положительные действительные числа, и она не зависит от основания логарифма. Областью определения показательной функции, также как и у постоянной функции, является множество всех действительных чисел.
Областью определения сложных функций y=f1(f2(x)) является пересечение двух множеств: x∈D(f2) и множества всех x, для которых f2(x) ∈ D(f1). Следовательно, для того чтобы найти область определения сложной функции, необходимо решить систему неравенства.
Преимуществом онлайн калькулятора является то, что Вам нет необходимости знать и понимать, как находить область определения функции.
Select rating12345
Рейтинг: 3.4 (Голосов 24)
Сообщить об ошибке
Вам помог этот калькулятор?
Предложения и пожелания пишите на [email protected]
Поделитесь этим калькулятором на форуме или в сети!
Это помогает делать новые калькуляторы.
3 | Функция y= k/x | Функция y=sinx | Функция y=cosx | Функция y=tgx | Функция y=ctgx | Функция y=arcsinx | Функция y=arccosx | Функция y=arctgx | Функция y=arcctgx | Преобразование графиков функции | Построить график функции онлайн
Линейная функция и ее график
· Функция, заданная формулой , где и — некоторые числа, называется линейной.
· Областью определения линейной функции служит множество всех действительных чисел, так как выражение имеет смысл при любых значениях х.
· График линейной функции есть прямая линия. Для построения графика, очевидно, достаточно двух точек. Например, ,
|
x |
0 |
-0,5 |
|
y |
1 |
0 |
Свойства функции при и :
1)
Область определения функции — множество всех
действительных чисел.
2) Множеством значений функции является множество всех действительных чисел.
3) Функция не принимает ни наибольшего, ни наименьшего значений.
4) График функции пересекает ось Ох в точке , а ось Oy – в точке .
5) Значение аргумента является нулем функции .
6) Функция не является ни четной ни нечетной.
7) Функция является возрастающей на всей области определения, если k>0; является убывающей на всей области определения. Если k<0.
8) Функция () принимает отрицательные значения (y<0) на промежутке и положительные значения (y>0) на промежутке .
Функция () принимает отрицательные значения (y<0) на промежутке и положительные значения (y>0) на промежутке .
· Функцию вида называют прямой пропорциональностью
Свойства функции :
1) Областью определения функции () является множество всех действительных чисел
2) Множеством значений функции () является множество всех действительных чисел
3)
Функция () не имеет ни наименьшего ни
наибольшего значения.
4) График функции () имеет единственную точку пересечения с осями координат — начало координат
5) Значение аргумента x=0 является нулем функции ()
6) Функция () является нечетной
7) Функция () является возрастающей на всей области определения, если k>0 и убывающей, если k<0.
8) Функция () принимает отрицательные значения (y<0) на промежутке и положительные значения (y>0) на промежутке .
Функция () принимает отрицательные значения (y<0) на промежутке и положительные значения (y>0) на промежутке .
Калькулятор статистики
| 10, 2, 38, 23, 38, 23, 21, 23 |
Выше приведен простой калькулятор обобщенной статистики, который вычисляет статистические значения, такие как среднее значение, стандартное отклонение совокупности, стандартное отклонение выборки и среднее геометрическое среди других.
Многие из этих значений более подробно описаны в других калькуляторах, также доступных на этом веб-сайте. Посетите предоставленные гиперссылки для получения более подробной информации о том, как рассчитать эти значения, а также основных примеров и приложений каждого из них. Обратите внимание, что, хотя расчет дисперсии явно не показан, он рассчитывается как квадрат стандартного отклонения, или о 2 . Просто убедитесь, что используется правильное стандартное отклонение ( s против σ ) и возведите значение в квадрат, чтобы получить дисперсию.
Среднее геометрическое
Среднее геометрическое в математике — это тип среднего, который использует произведение значений в наборе для указания центральной тенденции. Это отличается от среднего арифметического, которое выполняет ту же функцию, используя сумму значений в наборе, а не их произведения. Среднее геометрическое полезно в тех случаях, когда сравниваемые значения сильно различаются. Представьте себе автомобиль, который оценивается по шкале от 0 до 5 за эффективность использования топлива и по шкале от 0 до 100 за безопасность.
Если бы использовались средние арифметические значения, безопасности транспортного средства придавалось бы гораздо большее значение, поскольку небольшое процентное изменение в более крупном масштабе приведет к большей разнице, чем большое процентное изменение в меньшем масштабе; изменение рейтинга эффективности использования топлива с 2 до 5, что означает увеличение рейтинга на 250%, будет омрачено изменением рейтинга на 6,25% с 80 до 85, если учитывать только среднее арифметическое. Среднее геометрическое учитывает это путем нормализации усредняемых диапазонов, в результате чего ни один из диапазонов не доминирует при взвешивании. В отличие от среднего арифметического, любое заданное процентное изменение среднего геометрического оказывает такое же влияние на среднее геометрическое. Уравнение для расчета среднего геометрического выглядит следующим образом:
В приведенном выше уравнении i — это индекс, указывающий на положение значения в наборе, x i — отдельное значение, а N — общее количество значений.
i=1 относится к начальному индексу, т.е. для набора данных 1, 5, 7, 9, 12, i=1 равно 1, i=2 равно 5, i=3 равно 7, и так далее. Приведенная выше запись по существу означает умножение каждого значения в наборе на n th значение, а затем взять n th корень продукта. При необходимости обратитесь к калькулятору корней для обзора корней n th . Ниже приведен пример использования приведенного набора данных:
Среднее геометрическое имеет применение в пропорциональном росте, социальных науках, соотношениях сторон, геометрии и финансах, среди прочего, и, как и большинство других статистических величин, может предоставить очень полезную информацию, когда используется в соответствующих контекстах.
Как найти максимальное и минимальное значение функции
Следующие шаги могут быть полезны для нахождения максимального и минимального значения функции с использованием первой и второй производных.
Шаг 1:
Пусть f(x) — функция. Найдите первую производную от f(x), которая равна f'(x).
Шаг 2 :
Приравняйте первую производную f'(x) к нулю и найдите x, которые называются критическими числами.
Шаг 3 :
Найдите вторую производную от f(x), которая равна f»(x).
Шаг 4:
Подставьте критические числа, найденные на шаге 2, во вторую производную f»(x).
Шаг 5:
Если f»(x) < 0 для некоторого значения x, скажем, x = a , то функция f(x) максимальна при x = a.
Если f»(x) > 0 для некоторого значения x, скажем, x = b, то функция f(x) минимальна при x = b.
Шаг 6:
Чтобы получить максимальное и минимальное значения замена функции x = a и x = b в f(x).
Максимальное значение = f(a)
Минимальное значение = f(b)
Пример 1 :
Определить максимальное значение функции:
f(x) = 4x — x 2
+ 30 Найти 1
0 Решение первая производная f(x).
f'(x) = 4(1) — 2x + 0
= 4 — 2x
Приравняем первую производную к нулю, то есть f'(x) = 0.
4 — 2x = 0
2(2 — х) = 0
2 — х = 0
х = 2
Найдите вторую производную f(x).
f'(x) = 4 — 2x
f»(x) = 0 — 2(1)
f»(x) = -2
Подставить критическое число x = 2 в f»(x) .
f»(2) = -2 < 0
Итак, f(x) максимальна при x = 2.
Чтобы найти максимальное значение, подставьте x = 2 в f(x).
f(2) = 4(2) — 2 2 + 3
= 8 — 4 + 3
= 11 — 4
= 7
Следовательно, максимальное значение функции ) составляет 7,
Обоснование :
Мы можем обосновать наш ответ, построив график функции f(x).
f(x) = 4x — x 2 + 3
Данная функция является уравнением параболы. Замените f(x) на y.
y = -x 2 + 4 x + 3
Запишите приведенное выше уравнение параболы в вершинной форме.
y = -(x 2 — 4 x — 3)
y = -[x 2 — 2(x)(2) + 2 2 — 2 2 0 — 0 3] 9 0 = -[(х — 2) 2 — 4 — 3]
y = -[(x — 2) 2 — 7]
y = -(x — 2) 2 + 7
Приведенное выше уравнение имеет вид y = а(х — h) 2 + k.
a = -1
Вершина (h, k) = (2, 7)
Поскольку ‘a’ отрицательно, парабола раскрывается вниз. Итак, у нас есть только максимальное значение y, то есть координата y в вершине, равная 7.
Ответ обоснован.
Пример 2:
Определить максимальное и минимальное значения функции:
f(x) = 2x 3 + 3x 2 — 36x + 1
Решение:
Найдите первую производную f(x).
f'(x) = 2(3x 2 ) + 3(2x) — 36(1) + 0
= 6x 2 + 6x — 36
Приравняем первую производную к нулю, т.е. f'(x) = 0,
6x 2 + 6x — 36 = 0
Разделите обе части на 6.