Как решить неравенство с модулем (одним, двумя): примеры
Sign in
Password recovery
Восстановите свой пароль
Ваш адрес электронной почты
MicroExcel.ru Математика Алгебра Решение неравенств с модулем
В данной публикации мы рассмотрим, что из себя представляют неравенства с модулем (одним или двумя), а также на практических примерах покажем, как их решать.
Примечание: что такое модуль числа, мы рассмотрели в отдельной публикации.
- Внешний вид неравенств
- Решение неравенств
Внешний вид неравенств
Неравенства с одним модулем выглядят следующим образом:
- |x| > 5
(модуль икс больше 5) - |x – 7| < 4
(модуль икс минус 7 меньше 4) - |x + 2| ≥ 11
(модуль икс плюс 2 больше или равен 11)
В модуле указывается неизвестная переменная x или выражение с ней.
Решение неравенств
Разберем по порядку решение представленных выше примеров.
|x| > 5
Это следует понимать таким образом: на числовой оси существуют такие точки, расстояние от которых до нуля больше пяти. Т.е. это точки больше 5 или меньше -5, следовательно, у данного неравенства два решения: x1 ∈ (-∞; -5) и x2 ∈ (5; ∞).
|x – 7| < 4
Т.е. на числовой линейке существует такое множество точек x, расстояние от которых до точки 7 меньше 4. Следовательно, неравенство имеет следующее решение:
7 – 4 < x < 7 + 4 или x ∈ (3; 11).
|x + 2| ≥ 11
Данное неравенство можно представить в таком виде: |x – (-2)| ≥ 11.
Таким образом, на числовой оси точки x находятся на расстоянии не менее 11 от точки -2. Значит:
- x1 ≥ 9 (-2 + 11) или x1 ∈ [9; ∞)
- x2 ≤ -13 (-2 – 11) или x 2 ∈ (-∞; -13]
Примечание:
Некоторые неравенства могут содержать два модуля: например: |x| > |y|.
Для него, также, есть два решения: x1 ∈ (-∞; -y) и x2 ∈ (y; ∞).
ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ
Таблица знаков зодиака
Нахождение площади трапеции: формула и примеры
Нахождение длины окружности: формула и задачи
Римские цифры: таблицы
Таблица синусов
Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)
Нахождение площади ромба: формула и примеры
Нахождение объема цилиндра: формула и задачи
Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)
Геометрическая фигура: треугольник
Нахождение объема шара: формула и задачи
Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)
Нахождение объема конуса: формула и задачи
Таблица сложения чисел
Нахождение площади квадрата: формула и примеры
Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема
Нахождение объема пирамиды: формула и задачи
Признаки подобия треугольников
Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи
Формула Герона для треугольника
Что такое средняя линия треугольника
Нахождение площади треугольника: формула и примеры
Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи
Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы
Разность кубов: формула и примеры
Степени натуральных чисел
Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры
Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg
Нахождение периметра квадрата: формула и задачи
Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи
Сумма кубов: формула и примеры
Нахождение объема куба: формула и задачи
Куб разности: формула и примеры
Нахождение площади шарового сегмента
Что такое окружность: определение, свойства, формулы
|
В математике очень распространены неравенства, содержащие переменную под знаком модуля. На этом уроке мы рассмотрим различные способы решения этих неравенств. |
Тема урока «Неравенства с модулем»
|
|
Для изучения этой темы вспомним определение модуля числа и его геометрический смысл.
|
|
|
Модулем числа называется само это число, если оно неотрицательное, или это же число с противоположным знаком, если оно отрицательное.
|
Картинка.
|
|
Геометрически модуль а означает расстояние на координатной прямой от начала отсчета до точки, изображающей число а. Если а не равно нулю, то на координатной прямой существуют две точки а и минус а, равноудаленные от нуля, модули которых равны.
|
Картинка. |
|
Первый способ (геометрический смысл модуля). Рассмотрим на простых примерах. Задание 1 Решить неравенство модуль икс минус трех меньше четырех. Решение Рисуем координатную прямую. Модуль икс минус трех меньше четырех означает, что расстояние от точки икс до точки три меньше четырех единиц. Отмечаем на прямой число три и отсчитываем влево и вправо от него четыре деления. Слева мы придем к точке один, справа – к точке семь. Таким образом, границы точки икс мы просто увидели, не вычисляя их. При этом, согласно условию неравенства, сами минус один и семь не включены во множество решений. Таким образом, ответ: интервал от минус единицы до семи.
|
Текст. Первый способ ( геометрический смысл модуля). Решить неравенство |х — 3| Решение. –1 х Ответ:(-1;7)
|
|
Второй способ – графическое решение. Задание 2 Решить неравенство икс минус один меньше модуля квадрата разности икс и двух и минус один. Решение Построим в одной системе координат графики функций: игрек равен икс минус один и игрек равен модуль икс минус два и все в квадрате и минус один. Графиком линейной функции игрек равен икс минус один является прямая, проходящая через точки, например, с координатами один и ноль и четыре и ноль. График функции игрек равен модуль икс минус два и все квадрате и минус один. Находим точки пересечения графиков. В ответе указываем те значения икс, при которых график первой функции расположен ниже графика второй функции. Это объединение открытого числового луча от минус бесконечности до единицы, интервала от одного до двух и открытого числового луча от четырех до плюс бесконечности. Ответ: объединение открытого числового луча от минус бесконечности до единицы, интервала от одного до двух и открытого числового луча от четырех до плюс бесконечности. |
Текст. Второй способ – графическое решение. Пример 2. Решить неравенство x-1 Решение. Построим в одной системе координат графики функций
Картинка.
|
|
Третий способ – возведение в квадрат. Задание 3 Решить неравенство модуль икс квадрат минус один меньше модуля икс квадрат минус икс плюс один. Решение Возведем обе части неравенства в квадрат. Заметим, что возводить обе части неравенства в квадрат можно только в том случае, когда они обе положительные. В данном случае у нас и слева, и справа стоят модули, поэтому мы можем это сделать. Теперь воспользуемся следующим свойством модуля: квадрат модуля икс равен икс квадрат. Получим икс квадрат минус один и все в квадрате минус икс квадрат минус икс плюс один и все в квадрате меньше нуля. Дальше лучше всего воспользоваться формулой разности квадратов. Можно, конечно, и возводить в квадрат левую и правую скобку, но это займет гораздо больше времени. Имеем произведение трех множителей меньше нуля. Решаем методом интервалов. Из рисунка видно, что решением неравенства является объединение открытого числового луча от минус бесконечности до нуля и интервала от одной второй до двух. Ответ: объединение открытого числового луча от минус бесконечности до нуля и интервала от одной второй до двух. |
Третий способ – возведение в квадрат. Пример3. Решить неравенство |x2 – 1| 2 – x + 1|. Решение. Возведем обе части неравенства в квадрат, получим: (|x2 – 1|)22 – x + 1|)2. По свойству модуля (|x|)2 = x2, получим (x2 – 1)22 – x + 1)2, (x2 – 1)2 – (x2 – x + 1)2 Дальше лучше всего воспользоваться формулой разности квадратов. (x2 – 1 – x2 + x – 1)( x2 – 1 + x2 – x + 1) (x – 2)(2x2 – x) x(x – 2)(2x – 1) Решаем методом интервалов. |
|
Четвертый способ (определение модуля). Задание 4 Решить неравенство три умноженное на модуль икс минус один меньше либо равно икс плюс три. Решение По определению модуля выражение икс минус один может быть неотрицательным или отрицательным. Если икс минус один больше либо равно нулю, то заданное неравенство примет вид два икс больше либо равно шести. Если икс минус один меньше нуля, то заданное неравенство примет вид минус четыре икс меньше либо равно нулю. Таким образом, данное неравенство равносильно совокупности двух систем. Решаем первую систему совокупности, получим, что решением является числовой отрезок от единицы до трех. Решаем вторую систему совокупности, получим, что решением является числовой отрезок от нуля до единицы. Решением данного неравенства является объединение этих числовых отрезков, то есть числовой отрезок от нуля до трех. Ответ: числовой отрезок от нуля до трех.
|
Текст. Четвертый способ (определение модуля). Пример4. Решить неравенство 3|x – 1| ≤ x + 3. Решение. Если х-1≥0, то |x – 1|= х-1 и заданное неравенство примет вид 2х≤6. Если х-1 Имеем, данное неравенство равносильно совокупность двух систем х-1≥0, 2х≤6; х-1 -4х≤0. Решаем первую систему совокупности, получим x ≥ 1 х∈ [1;3] Решаем вторую систему совокупности, получим х-1 -4х≤0 х∈ [0;1] Решением данного неравенства является [0;1] U [1;3]= [0;3] Ответ: [0;3] |
|
Четвертый способ является наиболее универсальным, но в зависимости от ситуации используются и остальные. |
|
|
Задание 5 Решить неравенство модуль икс квадрат минус три минус два икс меньше либо равно нулю. Решение Преобразуем неравенство. Перенесем два икс в правую часть неравенства. Замечаем, что левая часть неравенства неотрицательна, значит, и правая часть должна быть неотрицательной, то есть икс больше либо равно нулю. Так как обе части неравенства неотрицательны, то их можно возвести в квадрат (третий способ) и разложить на множители по формуле разности квадратов. Получаем произведение четырех множителей меньше либо равно нулю. Решим это неравенство методом интервалов. Из рисунка видно, что решение этого неравенства — объединение числовых отрезков от минус трех до минус единицы и от единицы до трех. Учитывая условие икс больше либо равно нулю, получим решение исходного неравенства — отрезок от одного до трех. Ответ: отрезок от одного до трех. |
Текст. Пример5. Решить неравенство │х2-3│-2х≤0. Решение. Преобразуем неравенство в виде │х2-3│≤2х. Замечаем, что 2х≥0,х≥0. Поэтому, обе части неравенства можно возвести в квадрат: ( х2-3)2-(2х)2≤0, (х2-3-2х)( х2-3+2х) ≤0, (х+1)(х-1)(х-3)(х+3) ≤0. Решим это неравенство методом интервалов и получим х[-3;-1]U[1;3].Учитывая условие х≥0, получим х[1;3]. Ответ: [1;3]. |
|
Задание 6 Решить неравенство модуль икс минус четыре больше модуля икс плюс шесть. Решение Обе части данного неравенства неотрицательны для любых значений икс, поэтому их можно возвести в квадрат, затем разложить на множители по формуле разности квадратов, привести подобные члены, разделить на минус десять. Получим неравенство икс меньше минус одного. Решением этого неравенства, а значит, и равносильного ему данного неравенства является открытый числовой луч от минус бесконечности до минус единицы. Ответ: открытый числовой луч от минус бесконечности до минус единицы.
|
Текст. Пример 6. Решить неравенство │х-4│>│х+6│. Решение. Так как обе части данного неравенства неотрицательны для любых значений х, то каждую возведем в квадрат, получим (х-4)2>(х+6)2, (х-4)2-(х+6)2>0, (х-4-х-6)(х-4+х+6) >0, -10(2х+2) >0, 2х+2 х Решение этого неравенства- (-∞;-1)а, значит, решение равносильного ему данного неравенства тоже есть (-∞;-1). Ответ: (-∞;-1). |
|
Задание 7 Решить неравенство икс минус один больше кубического корня из икс в кубе минус два икс в квадрате плюс четыре икс минус семь. Решение Возведя обе части этого неравенства в третью степень, получим неравенство, равносильное данному. Применив формулу куба разности, перенеся все члены неравенства в правую часть и приведя подобные члены многочлена, получим квадратное неравенство икс в квадрате плюс икс минус шесть меньше нуля, равносильное данному неравенству. Решением этого неравенства, а значит, и равносильного ему исходного неравенства является интервал от минус трех до двух. Ответ: интервал от минус трех до двух. |
Текст. Пример7. Решить неравенство Решение. Возведя обе части этого неравенства в третью степень, получим неравенство (х-1)3 >х3-2х2+4х-7 равносильное данному. Или х2+х -6 х(-3;2) Так как неравенство х2+х -6 Ответ: (-3;2) |
|
Задание 8 Решить неравенство два икс плюс три и все в квадрате минус модуль двух икс плюс три меньше либо равно тридцати. Решение Заметим, что два икс плюс три и все в квадрате равно квадрату модуля два икс плюс три. Тогда получим квадратное неравенство, в котором сделаем замену: игрек равен модулю два икс плюс три. Перепишем наше неравенство с учетом замены, разложим на множители и получим неравенство игрек минус шесть умноженное на игрек плюс пять меньше либо равно нулю. Решим методом интервалов и получим: игрек меньше либо равен минус пять и меньше либо равен шести. Вернемся к замене, и данное двойное неравенство равносильно системе неравенств. Решим первое неравенство из этой системы. Оно равносильно системе неравенств. Два икс плюс три меньше либо равно шести и два икс плюс три больше либо равно минус шести. Ее решением является отрезок от минус четырех целых пяти десятых до одной целой пяти десятых. Второе неравенство системы — модуль двух икс плюс три больше либо равно минус пяти — очевидно выполняется для всех икс, так как модуль по определению число положительное. Так как решение системы неравенств – это все икс, которые удовлетворяют одновременно и первому и второму неравенству системы, то ее решением, а значит, и исходного неравенства, будет решение ее первого неравенства (ведь решением системы будет решение ее первого неравенства, то есть числовой отрезок от минус четырех целых пяти десятых до одной целой пяти десятых. Ответ: числовой отрезок от минус четырех целых пяти десятых до одной целой пяти десятых. |
Текст. Пример8. Решить неравенство (2x + 3)2 – |2x + 3| ≤ 30. Решение. Заметим, что (2x + 3)2 = (|2x + 3|)2. Тогда получим неравенство (|2x + 3|)2 – |2x + 3| ≤ 30. Сделаем замену y = |2x + 3|. Перепишем наше неравенство с учетом замены. y2 – y ≤ 30, y2 – y – 30 ≤ 0. Разложим квадратный трехчлен, стоящий слева, на множители. D = 121, y1 = (1 + 11) / 2, y2 = (1 – 11) / 2, y1 = 6, y2 = -5. (y – 6)(y + 5) ≤ 0. Решим методом интервалов и получим: -5 ≤ y ≤ 6. Вернемся к замене: -5 ≤ |2x + 3| ≤ 6. Данное двойное неравенство равносильно системе неравенств: |2x + 3| ≤ 6 Решим каждое из неравенств в отдельности. Первое равносильно системе 2x + 3 ≤ 6
Решим ее. x ≤ 1.5 х∈[-4,5; 1,5]. Второе неравенство очевидно выполняется для всех x. Так как решение системы – это все x, которые удовлетворяют одновременно и первому и второму неравенству системы, то ее решением, а, значит, и исходного неравенства будет решение ее первого неравенства (ведь второе верно для всех x),то есть х∈[-4,5; 1,5].
Ответ: [-4,5; 1,5].
|
|
|
|
java — Деление по модулю, когда первое число меньше второго числа
Прошу прощения, если это простой вопрос, но у меня возникли проблемы с пониманием концепции деления по модулю, когда первое число меньше второго числа. Например, когда 1 % 4 моя книга говорит, что остаток равен 1. Я не понимаю, как 1 является остатком 1 % 4.
1/4 равно 0,25. Я неправильно думаю о модульном делении?
- java
- по модулю
- целочисленное деление
- арифметические-выражения
Во-первых, в Java % — это оператор остатка (не по модулю), который имеет немного другую семантику.
Тем не менее, вам нужно мыслить с точки зрения целочисленного деления, как если бы не было дробных значений. Думайте об этом как о хранении предметов, которые нельзя разделить: вы можете хранить ноль предметов размера 4 в хранилище общей емкости один.
Ваша оставшаяся емкость после хранения максимального количества предметов равна одному. Точно так же 13%5 равно 3, так как вы можете разместить 2 полных предмета размера 5 в хранилище размера 13, а оставшаяся вместимость равна 9.0016 13 — 2*5 = 3 .
Если вы разделите 1 на 4, вы получите 0 с остатком 1. Это все модуль, остаток после деления.
2Я собираюсь добавить более практический пример к тому, что уже сказал «Жан-Бернар Пеллерен».
Верно, что если вы разделите 1 на 4, вы получите 0, но почему, когда вы делаете 1 % 4, вы получаете 1 в результате?
В основном это потому, что это:
n = a / b (целое число), и м = а % б = а - ( б * п )
Итак,
a b n = a/b b * n m = a%b 1 4 0 0 1 2 4 0 0 2 3 4 0 0 3 4 4 1 0 0 5 4 1 4 1
Заключение : Пока a < b, результатом a % b будет "a"
1 Другой способ думать об этом как о представлении вашего числа кратным другому числу.
то есть a = n*b + r , где b>r>=0 . В этом смысле ваш случай дает 1 = 0*4 + 1 . (редактировать: речь идет только о положительных числах)
Я думаю, вы запутались между операторами %(Remainder) и /(Division) .
Когда вы говорите % , вам нужно продолжать делить делимое, пока вы не получите остаток 0 или возможный конец. И то, что вы получите в итоге, называется Остаток .
Когда вы говорите / , вы делите делимое до тех пор, пока делитель не станет равным 1. И конечный продукт, который вы получите, называется Quotient
Еще один хороший способ прояснить ситуацию. По модулю, если первое число больше второго числа, вычтите второе число из первого, пока первое число не станет меньше второго.
17 % 5 = ? 17 - 5 = 12 12 % 5 = ? 12 - 5 = 7 7 % 5 = ? 7 - 5 = 2 2 % 5 = 2
Следовательно, 17 % 5, 12 % 5, 7 % 5 дают ответ 2.
Это потому, что 2/5 = 0 (при работе с целыми числами) с 2 в остатке.
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google Зарегистрироваться через Facebook Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и парольОпубликовать как гость
Электронная почтаОбязательно, но не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почтаТребуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания и подтверждаете, что прочитали и поняли нашу политику конфиденциальности и кодекс поведения.
c — Как работает модуль меньшего делимого и большего делителя?
спросил
Изменено 1 год, 11 месяцев назад
Просмотрено 24к раз
7 % 3 = 1 (остаток 1)
как работает
3 % 7 (остаток?)
?
3остаток от 3/7 равен 3.. так как он прошел 0 раз с 3 остатком, поэтому 3%7 = 3
07 переходит в 3? ноль раз с 3 оставшимися.
частное равно нулю. Остаток (модуль) равен 3.
Концептуально я думаю об этом так. По определению, ваше делимое должно быть равно (частное * делитель) + модуль
Или, найдя модуль: модуль = делимое - (частное * делитель)
Всякий раз, когда делимое меньше делителя, частное всегда равно нулю, что приводит к тому, что модуль просто равен делимому.
Чтобы проиллюстрировать значениями OP:
модуль 3 и 7 = 3 - (0 * 7) = 3
Для иллюстрации с другими значениями:
1 % 3: 1 - (0 * 3) = 1 2 % 3: 2 - (0 * 3) = 2
Так же. Частное равно 0 (3/7 с отброшенной дробной частью). Тогда остаток удовлетворяет:
(а / б) * б + (а % б) = а (3/7) * 7 + (3% 7) = 3 0 * 7 + (3 % 7) = 3 (3 % 7) = 3
Это определено в C99 §6.5.5, Мультипликативные операторы.
Пока они оба положительны, остаток будет равен делимому. Если один или оба отрицательные, вам напомнят, что % на самом деле является оператором остатка, а не оператором модуля. Модуль всегда будет положительным, но остаток может быть отрицательным.
(7 * 0) + 3 = 3 ; поэтому остаток равен 3 .
a % q = r означает, что существует x, такой что q * x + r = a.
Итак, 7 % 3 = 1, потому что 3 * 2 + 1 = 7,
и 3 % 7 = 3, потому что 7 * 0 + 3 = 3
Самый простой и эффективный способ запомнить:
Всякий раз, когда делимое меньше, чем делитель , модуль равен именно этому делимому .